Problemas de Máximo e Mínimos em Intervalos quaisquer

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1 Capítulo 18 Problemas de Máimo e Mínimos em Intervalos quaisquer 18.1 Introdução No Cap. 15 estudamos o problema de determinar máimos e mínimos globais para funções contínuas definidas em intervalos fechados. Visto que o teorema dos valores etremos para funções contínuas garante, para estas funções, a eistência de etremos globais, e como tais etremos só podem ocorrer nos pontos críticos da função ou nas etremidades do intervalo onde esta função está definida, o critério empregado foi o de comparar os valores da função f calculados nos etremos do intervalo com os valores de f nos seus pontos críticos. No entanto, em vários problemas a função f que descreve a grandeza a ser maimizada é definida em um intervalo aberto (a, b) e até mesmo em um intervalo não limitado, por eemplo, (0, ). Neste caso, não podemos empregar a técnica descrita acima. Não podemos nem sequer garantir, a priori, a eistência de máimos e mínimos globais. O teste da derivada segunda é útil nestes casos. Suponhamos que queiramos maimizar, ou minimizar, uma função derivável f num intervalo aberto I, e constatemos que f tem apenas um ponto crítico em I, isto é, um número c para o qual f (c) = 0. Se f () tiver o mesmo sinal em todos os pontos de I, o teste da derivada segunda nos diz que o ponto c é um etremo absoluto de f em I. Este etremo será um mínimo se f (c) > 0 e, um máimo se f (c) < 0. Os eemplos a seguir ilustram o uso deste teste Eemplos Eemplo 1 Um fabricante de latas cilíndricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com determinado volume V 0. Quais as dimensões que minimizarão a área lateral da superfície de uma lata como esta e, portanto, a quantidade de metal necessário para fabricá-la? Solução Sendo r e h, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cilíndrica, seu volume será dado por e a área lateral por (1) V 0 = π r 2 h (2) A = 2 π r π r h. Queremos minimizar A, que é uma função de duas variáveis relacionadas pela equação (1). Resolvendo (1) para h e substituindo em (2), > h:=solve(v[0]=pi*r^2*h,h); h = V 0 π r 2 > subs(h=v[0]/(pi*r^2),a=2*pi*r^2+2*pi*r*h); A = 2 π r V 0 r, onde r pertence ao intervalo (0, ). Como sabemos, os etremos desta função, caso eistam, estarão localizados em um de seus pontos críticos. Assim, derivamos a equação acima e resolvemos a equação resultante ao igualarmos esta derivada a zero: > diff(2*pi*r^2+2*v[0]/r,r);

2 242 Cap. 18. Problemas de Máimo e Mínimos em Intervalos quaisquer Mas, 4 π r 2 V0 r 2 A := 4 π r 2 V 0 r 2 = 0 se r = ( V0 2 π ) 1 3. A derivada segunda desta função é dada por > diff(2*pi*r^2+2*v[0]/r,r,r); A = 4 π + 4 V 0 r 3 que é sempre positiva, pois r é positivo. Assim, a função A(r) é côncava para cima em todo o seu domínio e o ponto crítico 4 π + 4 V 0 r 3 para esta função. Veja o gráfico de A para V 0 = 500 ml é um mínimo absoluto y r As dimensões da lata de custo mínimo podem ser obtidas, a partir da equação (1), calculando-se o valor de h, correspondente ao valor de r, onde a função A atinge o seu mínimo. Assim, h = V 0 π r 2 = 2 ( V 0 2 π ) 1 3. Note que h = 2 r. Do ponto de vista de diminuir custos de matéria-prima, esse resultado revela que a melhor proporção para uma lata cilíndrica é aquela em que a altura é igual ao diâmetro da base. Esta é a proporção usada em latas de leite em pó, salsichas, etrato de tomate, etc. Você é capaz de eplicar por que esta não é a proporção empregada na fabricação de latas de óleo de cozinha? Eemplo 2 Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de volume máimo que pode ser inscrito numa esfera de raio R. Solução As figuras mostram um cilindro inscrito numa esfera juntamente com um corte transversal do mesmo: y R O volume do cilindro será dado, então, por V = 2 π 2 y. Além disso, pelo teorema de Pitágoras podemos concluir que as variáveis e y estão relacionadas pela equação 2 + y 2 = R 2. Podemos perceber, também, que V é pequeno quando está perto de zero ou quando está perto de R, portanto, entre estes etremos eiste uma posição de volume máimo. Para achá-la, substituímos o valor de 2 na equação que define V e obtemos a equação V = 2 π y (R 2 y 2 ). Derivando esta equação em relação a y, temos > diff(2*pi*y*(r^2-y^2),y); > simplify(%); Resolvendo a equação V (y) = 0, obtemos > solve({diff(2*pi*y*(r^2-y^2),y)=0},{y}); V = 2 π (R 2 y 2 ) 4 π y 2 V = 2 π R 2 6 π y 2

3 W.Bianchini, A.R.Santos 243 {y = R}, {y = 3 R} 3 3 Aplicando o teste da derivada segunda, comprovamos que o ponto y = 3 R 3 é realmente um ponto de máimo para a função, pois > derivada_segunda=diff(2*pi*y*(r^2-y^2),y,y); derivada segunda = 12 π y e esta derivada é negativa para valores positivos de y. Substituindo o valor positivo encontrado para y na igualdade 2 + y 2 = R 2, obtemos = 2 R 3. Concluímos, então que a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de maior volume inscrito numa esfera de raio R é y 2 = 2 Eemplo 3 Determinar o comprimento da maior vara que pode ser transportada horizontalmente, através da quina de um corredor de 2 m de largura para outro de 4 m de largura, conforme é esquematizado no desenho a seguir. Solução: Conforme mostra a figura, o comprimento desejado é o comprimento mínimo L = L 1 + L 2 da vara. Pelos dois triângulos semelhantes da figura, vemos que de modo que 4 L 1 = sen(θ) e 2 L 2 = cos(θ) L 1 = 4 csc(θ) e L 2 = 2 sec(θ). Portanto, o comprimento L = L 1 + L 2 da vara é uma função de θ, dada por L(θ) = 4 csc(θ) + 2 sec(θ), θ L2 θ L1 onde θ varia no intervalo aberto (0, π 2 ). Note que L quando θ 0 pela direita ou quando θ π 2 (Por quê?) Calculando a derivada de L(θ) e igualando a epressão resultante a zero, temos > diff(4*csc(theta)+2*sec(theta),theta); 4 csc(θ) cot(θ) + 2 sec(θ) tan(θ) > solve(-4*csc(theta)*cot(theta)+2*sec(theta)*tan(theta)=0,theta); pela esquerda. arctan(2 1/3 ), arctan( / I 3 2 1/3 ), arctan( /3 1 2 I 3 2 1/3 ) Logo, θ = arctg(2 1 3 ) é a raiz que nos interessa. Este valor é aproimadamente igual a > evalf(arctan(2^(1/3))); Vamos agora calcular a derivada segunda da função L, para comprovar que o ponto que achamos é, de fato, o mínimo da função L. > derivada_segunda:=diff(4*csc(theta)+2*sec(theta),theta,theta); derivada segunda := 4 csc(θ) cot(θ) 2 4 csc(θ) ( 1 cot(θ) 2 ) + 2 sec(θ) tan(θ) sec(θ) (1 + tan(θ) 2 ) > evalf(subs(theta=0.9,derivada_segunda)); Como a derivada segunda no ponto crítico é positiva e este é o único ponto crítico da função (as demais raízes da equação L (θ) = 0 são compleas), vemos que o mínimo absoluto de L e, portanto, o comprimento máimo da vara, é cerca de > evalf(4*csc(0.9)+2*sec(0.9));

4 244 Cap. 18. Problemas de Máimo e Mínimos em Intervalos quaisquer ou seja, aproimadamente 8,32 metros. Eemplo 4: Refleão da luz Um raio de luz parte de um ponto A, atinge um ponto P sobre um espelho plano, sendo então refletido e passando por um ponto B, como mostra a figura abaio. Medidas acuradas mostram que o raio incidente e o raio refletido formam ângulos iguais com o espelho, isto é α = β. Suponha que o raio de luz siga o caminho mais curto de A a B, passando pelo ponto P no espelho. Prove a lei de refleão, mostrando que o caminho APB é mais curto quando α = β. A a α P c β c- B b Solução Repare que o ponto P pode assumir várias posições no espelho e cada uma destas posições é determinada por um valor de. Vamos considerar, portanto, o comprimento L do caminho percorrido pelo raio de luz como uma função de. A partir da figura, podemos concluir que Derivando esta função, temos > L:=->sqrt(a^2+^2)+sqrt(b^2+(c-)^2): > diff(l(),); L () = L = a b 2 + (c ) 2. a c + 2 b2 + c 2 2 c + 2 Minimizamos L ao igualar esta derivada a zero, obtendo: a2 + = c 2 b2 + c 2 2 c + 2 e daí, podemos concluir que cos(α) = cos(β). Como α e β estão no primeiro quadrante, segue que α = β. Para verificar que realmente minimizamos L, basta calcular a derivada segunda de L e observar que esta derivada é sempre positiva para qualquer valor de. De fato, Eemplo 5: Refração da luz d 2 L d 2 = a 2 (a ) + b 2 ( 3 2 ) (b 2 + (c ) 2 ). ( 3 2 ) O raio de luz refletido que acabamos de discutir no eemplo anterior mantém a velocidade constante quando atravessa um único meio. No entanto, em meios diferentes (ar, água, vidro) a luz tem velocidades diferentes. Se um raio de luz passa do ar para a água, é refratado passando a ter uma direção mais próima da perpendicular à interface. Veja a figura: A a Ar α va α Agua P β vw c- β b c B O percurso APB, nitidamente, não é mais o caminho mais curto de A até B. Em 1621, o cientista holandês Snell descobriu, empiricamente, que o caminho real do raio de luz é o que satisfaz a relação sen(α) sen(β) = constante, onde esta constante é independente das posições de A e de B. Esse fato é chamado lei de refração de Snell. Prove a lei de Snell, partindo do pressuposto de que o raio percorre um caminho de A a B de modo a minimizar o tempo total de percurso.

5 W.Bianchini, A.R.Santos 245 Solução Se a velocidade da luz no ar é v a e na água é v w, então o tempo total de percurso T é a soma do tempo que a luz gasta atravessando o ar com o tempo gasto para atravessar a água e é dado por a2 + T = 2 b2 + (c ) + 2. v a v w ou Calculando a derivada dessa função e observando o seu significado geométrico em termos da figura, obtemos: > T:=->sqrt(a^2+^2)/v[a]+sqrt(b^2+(c-)^2)/v[w]; a2 + T := 2 b2 + (c ) + 2 v a > diff(t(),)=sen(alpha)/v[a]-sen(beta)/v[w]; T () = a2 + 2 v a v w 2 c + 2 = sen(α) sen(β) b2 + c 2 2 c + 2 v w v a v w Para conseguir o tempo mínimo de percurso, igualamos essa derivada a zero, obtendo sen(α) v a = sen(β) v w sen(α) sen(β) = v a v w = constante Esta é a forma mais reveladora da lei de Snell, porque nos dá o significado físico da constante que aparece na equação. Esta constante é a razão entre a velocidade da luz no ar e a velocidade (menor) da luz na água. Essa constante chama-se índice de refração da água. Se, nesse eemplo, a água for substituída por qualquer outro meio translúcido, tal com álcool, glicerina ou vidro, então a constante terá um valor numérico diferente que será dado pelo índice de refração do meio em questão. Como no eemplo anterior, podemos verificar que a resposta obtida realmente minimiza T, calculando a segunda derivada e observando que esta é positiva. De fato, d 2 T d 2 = a 2 v a (a ) + b 2 ( 3 2 ) v w (b 2 + (c ) 2 ) > 0. ( 3 2 ) 18.3 Problemas propostos 1. Determine a constante a de modo que a função f() = 2 + a, para 0, tenha um mínimo relativo em = Uma grande vara deve passar por um canto retangular de um corredor, seguindo de uma parte de largura a para outra de largura b. Se o comprimento da vara é L, qual a largura mínima b para que a manobra seja possível? 3. Uma caia retangular com base quadrada deve ser feita de madeira compensada. Sendo dado o seu volume, ache a forma (razão entre a altura e o lado da base) que minimiza a quantidade de madeira compensada necessária. Resolva este problema supondo, agora, que a caia é aberta em cima. 4. Ache o raio do cilindro de volume máimo que pode ser inscrito num cone de altura H e raio da base R. 5. Ache a altura do cone de máimo volume que pode ser inscrito numa esfera de raio R. 6. Um tanque cilíndrico sem tampa deve ter um volume especificado. Se o custo do material usado para a base é três vezes maior que o custo daquele usado para a lateral encurvada, ache a razão entre a altura e o diâmetro da base para a qual o custo total é mínimo. 7. (a) Calcule as coordenadas do ponto do gráfico da função y = mais próimo do ponto ( 3 2, 0). Sugestão: Minimize o quadrado da distância do ponto dado ao ponto (, ). (b) Generalize o item anterior: ache o ponto sobre o gráfico de y = que está mais próimo do ponto (a, 0) para a > 0, qualquer. (c) Determine o ponto da parábola y = 2 mais próimo do ponto (6, 3).

6 246 Cap. 18. Problemas de Máimo e Mínimos em Intervalos quaisquer 8. (a) Suponha que f seja uma função derivável definida em toda a reta, e que o gráfico de f contenha um ponto Q(, y) que está mais perto do ponto P ( 0, y 0 ) que não está no gráfico. Mostre que f () = 0 y y 0, em Q. Conclua que o segmento P Q é perpendicular à reta tangente à curva em Q. (b) Use o resultado acima para mostrar que a distância mínima do ponto ( 0, y 0 ) a um ponto da reta A + B y + C = 0 é A 0+B y 0 +C A2. +B 2 9. Duas discotecas, uma delas quatro vezes mais barulhenta do que a outra, estão situadas em etremidades opostas de um quarteirão de 1000 m de comprimento. Qual é o ponto menos barulhento entre as discotecas? A intensidade do ruído em um ponto distante da fonte é diretamente proporcional ao ruído e inversamente proporcional ao quadrado da distância à fonte. 10. (a) Um triângulo isósceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando = 3R. Sugestão: Minimize A 2. (b) Se a figura descrita em (a) for girada ao redor da altura do triângulo, o resultado é um cone inscrito numa esfera de raio R. Mostre que o volume do cone é mínimo quando = 4 R e que esse volume é o dobro do volume da esfera. 11. (a) Um silo tem parede cilíndrica, piso plano circular e teto hemisférico. Para um dado volume, ache a razão entre a altura total e o diâmetro da base que minimiza a área da superfície total. (b) No item anterior, se o custo de construção por metro quadrado do teto hemisférico é o dobro do custo da parede e do piso, ache a razão entre a altura total e o diâmetro da base que minimiza o custo total de construção. 12. Qual o menor valor da constante a para o qual a desigualdade 2 2 a + 1 positivos? seja válida para todos os números 13. Um espião é deiado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2 km de um ponto P numa praia reta com direção norte-sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a 6 km ao norte de P. Remando, ele percorre 3 km/h e, andando, 5 km/h. Sua intenção é remar em direção a um certo ponto ao norte de P e depois andar o resto do caminho. (a) A que distância ao norte de P ele deve desembarcar para chegar à casa no menor tempo possível? (b) Qual a duração da viagem? (c) Quanto tempo a mais ele gastará se remar diretamente a P e depois andar até a casa? (d) Mostre que a resposta do item (a) deste problema não se altera se a casa estiver a 8 km ao norte de P. (e) Se o bote do espião estiver munido de um pequeno motor que desenvolve uma velocidade de 5 km/h, então, utilizando apenas o nosso bom senso, é óbvio que a rota mais rápida será a que for percorrida eclusivamente de bote. Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais rápida? 18.4 Um pouco de história: Princípio do tempo mínimo de Fermat As idéias do Eemplo 5 foram descobertas em 1657 pelo grande matemático francês Pierre Fermat, e por essa razão a afirmação de que um raio de luz atravessa um sistema ótico percorrendo o caminho que minimiza o tempo total de percurso chama-se princípio do tempo mínimo de Fermat. É importante ressaltar que quando um raio de luz percorre um único meio uniforme, caminho mais curto é equivalente a tempo mínimo, e assim o Eemplo 4 recai também neste mesmo princípio. Durante os dois séculos seguintes, as idéias de Fermat estimularam um amplo desenvolvimento da teoria geral de máimos e mínimos, levando primeiro à criação por Euler ( ) do Cálculo Variacional um ramo da matemática que procura achar os etremos de funções em um conteto mais geral do que aquele estudado no Cálculo Diferencial e depois, ao princípio da mínima ação, de Hamilton ( ), que se tornou um dos princípios unificadores mais profundos da Física. Euler epressou seu entusiasmo com as seguintes palavras memoráveis: Como a estrutura do mundo é a mais perfeita e foi estabelecida pelo mais sábio Criador, tudo que ocorre nesse mundo obedece a algum princípio de máimo ou mínimo.

7 W.Bianchini, A.R.Santos Para você meditar: Como os gregos eram espertos ou uma demonstração sem palavras A lei de refleão discutida no Eemplo 4 já era conhecida pelos gregos da Antiguidade. No entanto, o fato de que um raio de luz refletido segue o caminho mais curto foi descoberto muito mais tarde por Heron de Aleandria, no século I D.C. A demonstração geométrica de Heron é simples, porém engenhosa. O desenho a seguir ilustra o argumento empregado por ele. Demonstre a lei da refleão usando a figura abaio para justificar seu raciocínio. Nesta figura B é a imagem especular de B. B A α P P β γ B 18.6 Projetos Um problema de otimização Otimizar é uma das mais importantes aplicações de derivada. Os problemas aplicados que usualmente são estudados num curso de Cálculo são, necessariamente, muito simples para que a aplicação dos conceitos matemáticos não sejam sobrepujadas por cálculos longos e cansativos. O objetivo deste projeto é apresentar um problema um pouco mais real. Nele, você é o gerente de planejamento de uma companhia elétrica e a você é designada a seguinte tarefa: A Companhia deve estender um cabo de alta tensão partindo de uma usina localizada dentro de uma reserva florestal até uma fábrica em construção. A fábrica está a 2, 3 km ao norte e a 5, 2 km a leste da usina, junto a uma área de propriedade particular de 1, 3 km de largura (direção leste-oeste) entre a usina e a fábrica. O cabo de alta tensão deve passar pela propriedade particular. Veja o mapa: y O custo de instalação do cabo é de R$ 0,75 por metro através da reserva florestal e R$2,25 por metro na propriedade privada. Sua tarefa é achar o tamanho (diâmetro) ótimo do cabo, determinar a rota de menor custo e, finalmente, determinar o custo total mínimo do projeto. Etapa I: Minimizar o custo por metro relacionado ao tamanho do cabo. O custo por metro de aquisição do cabo C a, é diretamente proporcional à espessura do fio, isto é, varia de acordo com a quantidade de cobre usada por unidade de área da sua seção reta A. O departamento de compras providenciou às seguintes cifras: C a (R$) A (mcm 2 ) 0,25 167

8 248 Cap. 18. Problemas de Máimo e Mínimos em Intervalos quaisquer (a) Usando os dados da tabela, ache uma equação para C a. De acordo com a teoria da eletricidade, a resistência do material do cabo causa uma perda de potência resultante da dissipação de energia em forma de calor. O custo por metro desta perda, C p, é inversamente proporcional à área da seção reta, A, do fio. Depois de alguns testes o departamento de engenharia, chegou aos seguintes dados: (b) Usando estes dados, ache uma equação para C p. C p (R$) A (mcm 2 ) 0, (c) Defina o custo por metro de cabo adquirido, como função da sua seção reta A. Ache a seção reta A min, em mcm 2, que minimiza o custo. Determine este custo mínimo C(A min ) Etapa II: Determinar o caminho de custo mínimo e o seu comprimento O custo total de instalação do cabo, C i é dado por C i = 0, 75 w + 2, 25, onde w é a distância percorrida na reserva florestal e a distância através da propriedade particular. (d) Usando os dados fornecidos, epresse w como uma função de. (e) Minimize C i em relação à, especificando o intervalo de variação de. (f) Com o valor de, que fornece o menor custo de instalação, ache w e o comprimento total L = w + do cabo. Etapa III: Calcular o custo total do projeto (g) Combine os resultados das Etapas I e II e ache o custo total mínimo do projeto. Etapa Final: Relatório (h) Envie um relatório com as suas conclusões e o custo mínimo estimado do projeto ao diretor da companhia. Observação: Um relatório mínimo deve incluir respostas justificadas às questões propostas e um gráfico mostrando o percurso mínimo que você encontrou.