Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

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1 Apostila de Matemática Aplicada Volume Edição 00 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

2 Capítulo - Revisão Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns eercícios, dos principais tópicos já estudados. Os tópicos selecionados para esta revisão são: Cálculo Numérico; Cálculo com Números percentuais; Cálculo algébrico; Equações e Sistemas do o grau; Equações e Sistemas do o grau.. Cálculo Numérico Operações com frações Adição e Subtração: usamos o menor múltiplo comum Multiplicação: O produto de duas frações é uma fração que tem por numerdor o produto dos numeradores e que tem por denominador o produto dos denominadores Divisão: O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração. 6 Cálculo do valor de epressões numéricas: deve-se obedecer à prioridade dos sinais indicativos e das operações matemáticas. Prioridade dos Sinais Prioridade das Operações ( ) Eponenciação e Logaritmação [ ] Potenciação e Radiciação { } Multiplicação e Divisão Adição e Subtração

3 Calcule o valor numérico das epressões: a) {5[ (50) ] } b) R: 8 7 c) R: /90 ou,6 d) R: 09/00 ou 6,9 R: -8/5 ou - 0,8

4 e) R: - Potenciação Potenciação de epoente inteiro: Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Então: a.a.a.a...a a n (n vezes) n m m n a a a 0 a a a a a a n 0 ( ) 0 b b a b a a a 0 a a a a n n n m n n m n m m n a) 5 R: 00/6 ou 5,875 b) 5 ) ( R: 7/0

5 c) ( ) ( ) d) 5 ( 5) R: R: 069/5 Potenciação de epoente não inteiro: Toda raiz pode ser escrita na forma de potência. n n a a a m n a m n Observação: se n for par e se a < 0, não caracteriza um número real: 5 R 0 a) ( ) ( ) b) ( ) 0 ( 5) 7 R: 0 R: 7 5

6 Eercícios ) Calcule o valor das epressões: a) 5 5 b) 5 5 R: 7/5 c) 0,9 0,8 0,5 R: 7/ d) 0, 0,0 0, 0,0 R: 7/0 R: / 6

7 ) Aplicando as propriedades das potências, simplifique as epressões: a) b) c) ( ) d) Respostas: a) 5 b) 9 c) 5 65 d) 0, ) Escreva os números abaio como o produto de um número inteiro por uma potência de 0: a) 0, b) 000 c) 0,005 d) 0,065 e),5 f) ) Calcule o valor de: a) 6 6 b) 8 c) 5 d) 8 7

8 5) Calcule o valor das epressões: a) 8 6 ( ) 7 b) 0,5 0,5 8 R: a) 5 b) 6) Simplifique os radicais: a) 5 b) c) 5 0 R: a) 8 b) c) 7) Racionalize os denominadores das epressões: a) b) 5 5 c) d) 5 e) 8

9 8) Efetue: a) 5 5 b) 8 8 Respostas: a) 5 b) 5. Cálculo com Números Percentuais Os números percentuais são identificados pela notação % e aparecem com muita freqüência. Para transformar um número percentual em um número real, devemos dividi-lo por % 70 / 00 0,7 5 % 5 / 00 0,05 00 % 00 / 00 Para transformar um número real em um número percentual, devemos multiplica-lo por 00. 0, > 0, 00 % > % Eercícios: a) Calcular 0 % de R$.700,00 R: R$ 0,00 9

10 b) Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00. Determine a taa de lucro sobre o preço de compra e a taa de lucro sobre o preço de venda. p Utilize i, onde p é a parte; P é o todo (ou principal) e i é a taa na forma Ρ real R: a) 60 % b) 7,5 % c) Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual é o novo preço de uma mercadoria que era vendida por R$ 70,00. R: R$ 7,50 d) Um vestido estava eposto em uma loja com preço de etiqueta de R$ 0,00. Um cliente, alegando que faria pagamento à vista, solicitou um desconto de 5 % e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido? R: R$ 78,50 e) Um funcionário recebe um salário base de R$ 800,00. Recebe um adicional de 5 % por tempo de serviço sobre o salário base. Recebe também uma gratificação de chefia de 0 % sobre o salário base. Desconta-se 0 % de INSS sobre o salário total. Quanto recebe esse funcionário? R: R$ 97,00 0

11 f) Uma pessoa recebe mensalmente R$.500,00 de salário de uma empresa. Recebe R$.500,00 de aluguel de um ponto comercial e R$.000,00 de rendimento de aplicações financeiras. Qual a participação percentual de cada fonte em sua renda total? R: 50 %, 0 %, 0 %. Cálculo algébrico. ) Calcule os valor numérico das epressões: a) a b a ab, para a e b - b), para e 0 00 Resposta: a) 9 b) 00 ) Simplifique as epressões reduzindo-as ao máimo: a) ( a a ) ( a a ) ( a a )

12 b) a (a b c) b(b c a) c(a b c) Respostas: a) a a b) a b c Produtos notáveis: (a b) a ab b (a b) (a b) a ab b ( a b) a b ) Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) ( ) b) ( ) d) ( a b) ( a b) c) ( 5 ) ( 5 ) ) Simplifique as epressões: a) ( ) ( ) b) ( m ) ( m ) ( m ) 0 c) 5

13 d) 6 e) ( ) 9 f) g) h) z z i) w w Respostas: a) b) -m c) g) 5 h) i) w z 0 d) e) f)

14 5) Efetue as operações indicadas: a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Respostas: a) ( ) b) ( ). Equações e sistemas do o grau. ) Resolva as equações: 8 a) 5 5

15 b) 7 Respostas: a) 6 b) ) Um produto teve seu preço aumentado em 0% para pagamento a prazo, resultando em um total de R$ 600,00. Qual era o preço a vista do produto? R: 500 ) Duas pessoas tem juntas R$ 5,00. Quanto cada uma possui, sabendo-se que uma possui o dobro da outra? R: 5 e 90 ) Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento. R$ 00,00. Qual o valor da dívida, se o último pagamento era de 0 % da dívida original? R: 000 5

16 5) Resolva os sistemas de equações do o grau a) 5 b) 8 5 c) Respostas: a), b), c) -, 5 6) A soma de dois números é e a sua diferença é 5. Calcule os dois números. Resposta: -5 e 6 6

17 7) Um aluno ganha 5 pontos por eercício que acerta e pede pontos por eercício que erra. Ao fim de 50 eercícios tinha 0 pontos. Quantos eercícios ele acertou? Resposta: 5 8) A diferença entre as idades de duas pessoas é 5 anos. Daqui a dois anos, a mais velha terá o dobro da idade da mais nova. Qual é a idade de cada uma? R: 8 e anos. Equações e sistemas do o grau. ) Resolva as equações: a) 50 0 b) ( ) 5( ) 0 c) d) Resposta: a) -5, 5 b) 0, / c) -, d) -, -/5 7

18 ) Resolva os seguintes sistemas de equações: a) 0 b) 9 Respostas: a) (-;),(;-) b) (;5), (5;) ) Resolva: a) 0 b) 5 0 c) 6 Respostas: a) -, b) -, 8 c) -, 5 8

19 ) Um jardim de forma retangular tem 96 m de área. Se aumentarmos o comprimento desse jardim em m e a largura em m, a área do jardim passa a ter 50 m. Calcule as dimensões originais do jardim. Resposta: c m e l 8 m 9

20 Capítulo - Funções. Definição Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (,) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja, garante que seja único para um valor específico de. Em outras palavras, o valor de depende do valor de. Eemplo: a área de um quadrado é função do comprimento do seu lado; o salário é função das horas trabalhadas; o número de unidades de certo produto demandadas pelos consumidores depende de seu preço; etc.. Sistema Cartesiano Ortogonal É um sistema constituído por dois eios, e, perpendiculares entre si. O eio é denominado eio das abscissas e o eio é o eio das ordenadas. Esses eios dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. o Quadrante b o Quadrante P(a,b) a o Quadrante o Quadrante Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano; assim, o ponto P(a,b) indicado na figura tem abscissa a e ordenada b. (a,b) é denominado par ordenado e representam as coordenadas do ponto P. 0

21 . Função Polinomial do o grau Toda função polinomial representada pela fórmula f() ab ou ab, definida para todo a,b e reais e com a diferente de zero, é denominada função do o grau. Eercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função: Observação: ) para a > 0 a função do o grau é crescente, e para a < 0 ela é decrescente. ) denomina-se zero ou raiz da função f()ab o valor de que anula a função, isto é, torna f()0 Eercício: Calcule a raiz da função do eemplo acima:. Função Polinomial do o grau Toda função polinomial representada pela fórmula f() a bc ou a bc, definida para todo a,b,c e reais e com a diferente de zero, é denominada função do o grau ou função quadrática.

22 Eercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função: a) - - X Y b) - X Y

23 Observação: ) para a > 0 o gráfico da função do o grau é uma parábola com concavidade voltada para cima, e para a < 0 ela é uma parábola com concavidade voltada para baio. ) denomina-se zero ou raiz da função f()a b c o valor de que anula a função, isto é, torna f()0 ) no cálculo das raízes tem-se: Se >0 a função tem duas raízes (zeros) diferentes Se 0 a função tem uma raiz (zero) Se <0 a função não tem raízes (zeros) b ) o vértice da parábola é um ponto que é determinado por, a a 5) quando a > 0 (concavidade para cima), o vértice é o ponto de mínimo da função. Quando a < 0 (concavidade para baio), o vértice é o ponto de máimo da função. Eercícios: Construa no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções e determine os pontos de máimo ou de mínimo, conforme o caso: a) - - X - 0 Y

24 b) X Y Capítulo - Estudo da Reta. Condição de alinhamento de pontos Se três pontos estão alinhados, ou seja, pertencem a mesma reta, deve-se satisfazer a seguinte condição: A B C

25 Eercício: Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados: a) A(-,6) B(,8) C(,7) b) A(0,) B(-,) C(,5). Coeficiente angular ou inclinação de uma reta (m). É o valor que epressa a tangente trigonométrica do ângulo de inclinação da reta. m Obs: Duas retas são paralelas quando seus respectivos valores de m forem iguais. Quando forem perpendiculares m m m > 0 m 0 m < 0 Observação: quando a reta ficar na vertical, todos os seus pontos possuem a mesma abscissa ( ), e o valor de m tende ao infinito.. Equação geral e reduzida de uma reta. A equação geral é do seguinte formato: resultando em: ( ) m( ), a b c 0 5

26 6 Eemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-,-) e B(5,). Solução: primeiro determina-se o valor de m. 6 ) ( 5 ) ( m Utilizando o ponto A: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( m A equação reduzida é da seguinte forma: b m o que graficamente pode ser representado por: b No eemplo anterior tem-se utilizando m / e o ponto A: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( m

27 Eercícios: ) Dada a reta de equação - 5 0, escreva a equação da reta paralela à reta dada e que passa pelo ponto A(-,) Resposta: ) São dados os pontos A(,) e B(-,-5). Determine a equação da reta t, que passa pelo ponto C(8,-6) e que é paralela à reta determinada pelos pontos A e B. Resposta: Interseção de retas. Consideremos duas retas r e s, que se interceptam num ponto P(a,b). Como o ponto P deve pertencer as duas retas, suas coordenadas (a,b) devem satisfazer as equações das duas retas, simultaneamente. Portanto, obtemos as coordenada (a,b) do ponto P, resolvendo o sistema formado pelas equações das duas retas. Eemplo: Determine o ponto de interseção das retas 0 e P(,) 7

28 Pode-se também igualar as equações na sua forma reduzida: Aplicação em administração Eemplo: Uma empresa investe R$ 800 em equipamentos. O contador da empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 0 anos, que é a estimativa de vida do equipamento, isto é, o valor contábil do equipamento decresce a uma taa constante, de tal forma que ao fim dos 0 anos aquele valor contábil será zero. Suponhamos que o valor contábil do equipamento seja ao fim de anos. Assim, quando 0, 800, e quando 0, 0. A equação da reta que dá a relação entre e é a da reta que une os pontos (0,800) e (0,0), então: m Utilizando o ponto (0,0): ( ) m( ) ( 0) 80( 0) Observe que a inclinação da reta é -80, e este número dá a quantia segundo a qual o valor contábil muda a cada ano; decresce R$ 80 por ano. Eercícios: ) Uma companhia comprou uma máquina no valor de R$ Sabe-se que o valor residual após 0 anos será de R$ 000. Usando o método da linha reta para depreciar a máquina de R$ 5000 para R$ 000 em 0 anos, qual o valor da maquinaria depois de 6 anos? 8

29 Resposta: R$ 700 ) O fabricante de determinada mercadoria tem um custo total consistindo de despesas gerais semanais de R$ 000 e um custo de manufatura de R$ 5 por unidade. (a) Se unidades são produzidas por semana e é o custo total semanal, escreva uma equação relacionando e. (b) Faça um esboço do gráfico da equação obtida em (a). ) O custo total para um fabricante consiste de um custo de manufatura de R$ 0 por unidade e de uma despesa diária fia. (a) Se o custo total para produzir 00 unidades em dia é de R$ 500, determine a despesa fia diária. (b) Se unidades são produzidas diariamente e é o custo total diário, escreva uma equação relacionando e. (c) Faça um esboço do gráfico da equação obtida em (b). 9

30 ) Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no mercado. Durante o primeiro ano o custo fio para iniciar a nova produção é de R$ e o custo variável para produzir cada unidade é R$ 5. Durante o primeiro ano o preço de venda é de R$ 65 por unidade. (a) Se unidades são vendidas durante o primeiro ano, epresse o lucro do primeiro ano como uma função de. (b) Se.000 unidades forem vendidas, qual será o lucro. (c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo? Respostas: b) c).500 5) O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$.00, e o custo variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 05. (a) Se unidades são vendidas durante um mês, epresse o lucro mensal como uma função de. (b) Se 600 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. (c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um mês? Respostas: b) c) 8 0

31 6) Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo de R$ 5 por unidade. Está estimado que se o preço de venda for, o número de relógios vendidos por semana será de 5 -. (a) Epresse o lucro semanal como uma função de. (b) Se R$ 5 for o preço de venda, qual será o lucro semanal? (c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máimo? Respostas: b).00 c) 70 7) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$ 0 cada um, estima-se que se o preço de venda for, o número de brinquedos vendidos por dia será de 5 -. (a) Epresse o lucro diário como uma função de. (b) Se R$ 0 for o preço de venda, qual será o lucro diário? (c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máimo? Respostas: b) 00 c) 7,5.6 Equações de Demanda e de Oferta Geralmente, a quantidade de mercadoria demandada no mercado pelos consumidores irá depender do preço da mesma. Quando o preço baia, os consumidores procuram mais a mercadoria. Caso o preço suba, os consumidores procurarão menos.

32 Seja p o preço de uma unidade e o número e unidades demandadas, uma relação entre p e é denominada equação de demanda. Para representar essa equação em um gráfico, usualmente utiliza-se o eio vertical para o preço e o horizontal para a demanda. Eemplo: Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preço de uma visita a pontos turísticos é de R$ 6, a média do números de ingressos vendidos por viagem é 0, e quando o preço passa a R$ 0, o número médio de ingressos vendidos é somente 8. Supondo linear a equação de demanda, encontre-a e trace um esboço. Solução: A equação da reta que dá a relação une os pontos (0,6) e (8,0), então: m Utilizando o ponto (0,6): ( ) m( ) 6 p 6 ( 6) ( 0) Equação de Demanda 6,0,0 Preço do ingresso,0 0,0 8,0 6,0,0,0 0, Número de ingressos demandados

33 Eercício ) Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é R$ 80,00; 0 relógios são vendidos quando o seu preço é R$ 60,00. Qual é a equação da demanda? Trace o gráfico. Resposta: 00 Eercício ) Uma firma analisou suas vendas e conclui que seus clientes irão comprar 0% a mais de unidades dos seus produtos para cada redução de R$,00 no preço unitário. Quando preço é R$,00 a firma vende 500 unidades. Qual a equação da demanda para esse produto, trace o gráfico.

34 Resposta: 50 As equações de oferta em geral são positivas, isto é, a medida que o preço aumenta a oferta aumenta. Nesse caso só interessam os valores positivos de e. Eercício ) Quando o preço for de R$ 50,00, 50 máquinas fotográficas estão disponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00, 00 máquinas estão disponíveis. Qual a equação da oferta? Trace o gráfico. Resposta: 5

35 Capítulo - Método dos Mínimos Quadrados (Regressão Linear) O método dos mínimos quadrados é um modelo matemático que determina a reta que pode representar (se ajustar a ) uma série de valores e que não se alinham perfeitamente. Eemplo: A tabela abaio nos fornece a receita total anual das vendas de uma fábrica durante os seus primeiros 0 anos de operação, onde é o número de anos em operação e é o número de milhões em vendas anuais A reta denominada reta de regressão é escrita no formato m b, onde os valores de m e b são o resultado de um sistema de duas equações do o grau demonstradas abaio: ( ) m ( ) b ( ) i i ( i ) m n b ( i ) i i onde n é o número total de pontos Portanto monta-se a seguinte tabela: i i i i. i E resolve-se o sistema: ( ) m ( ) b ( ) i i ( i ) m n b ( i ) i i 0 m 0 b 90 0 m 0 b 90 b 6 b 0 m b 0 m b 96 Substituindo: 0 m 0 m 0 m 0 Resposta: a equação de reta que se melhor ajusta é : 5

36 Eercícios: Determine a reta de regressão para os seguintes dados: a) i i i i. i 65 Resp:

37 b) Um quadro foi comprado em 965 por U$ 00. Seu valor era U$ 800 em 970, U$ 500 em 975, e U$ 500 em 980. Qual o seu valor em 990? i i i i. i Resp: 5 0 (5) 90 7

38 c) Na tabela abaio, dias passaram-se desde o aparecimento de certa doença, e é o número de novos casos da doença no -ésimo dia. (a) Ache a reta de regressão para os pontos dados. (b) Use a reta de regressão para estimar o número de novos casos da doença no seto dia. i i i 0 i. i Resposta: a) 5,5,7 b) 7 8

39 BIBLIOGRAFIA: DANTE, L. R. Matemática: Conteto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 999. GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo: Editora FTD Ltda, 99. LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 988. MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., 00. WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, a ed