Miguel Abreu. Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro.

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João Garrau Fagundes
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1 Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos Instituto Superior Técnico Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro.27

Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em

2 Motivação Publicitar e divulgar o livro Calculus Gems - Brief Lives and Memorable Mathematics de George F. Simmons, que muito gostei de ler quando, há 2 anos, resolvi mudar de engenharia para matemática. Apresentar pequenas obras de arte matemáticas que podem ser apreciadas, compreendidas e até demonstradas, logo a seguir a uma primeira cadeira universitária de cálculo diferencial e integral. Há 5 anos que dou essa cadeira a alunos de engenharia no IST (campus do Tagus Park) e vou voltar a fazê-lo neste próximo ano lectivo.

3 Plano (673): π/4 = /3 + /5 /7 + 5 (736): π 2 /6 = + /4 + /9 + /6 +

4 Definição Um número real r R diz-se um número racional se r = p/q com p, q Z e q. O conjunto dos números racionais é designado por Q R. Os elementos de R \ Q dizem-se números irracionais. O primeiro exemplo de número irracional é dado pelo seguinte teorema, tradicionalmente atribuido a Pitágoras (ca A.C.). Teorema 2 é irracional.

$Os elementos de R \ Q dizem-se números irracionais.$

5 2 é irracional Dem. Suponhamos por absurdo que 2 = p q com p, q N e mdc(p, q) =. Então p 2 q 2 = 2 p2 = 2q 2 p 2 é par p é par, 4k 2 q 2 = 2 q2 = 2k 2 q 2 é par q é par p = 2k, k N Logo, mdc(p, q) 2 o que é absurdo.

6 Notas 2 R \ Q p 2 2q 2, p, q Z Pitágoras fundou a chamada Escola Pitagórica, cujo lema era Tudo é Número, em que número significava, naturalmente, número racional. O facto dos Teoremas de Pitágoras garantirem que o comprimento da diagonal de um quadrado de lado ser o irracional 2, foi obviamente muito problemático. Diz a lenda que os Pitagóricos o tentaram manter em segredo, tendo ido ao extremo de afogar o renegado que o revelou para o exterior.

O facto dos Teoremas de Pitágoras garantirem que o comprimento da diagonal de um quadrado de lado ser o

7 Preponderância dos Definição Diremos que um subconjunto S R tem medida nula se pode ser coberto por uma união de intervalos abertos com comprimento total arbitrariamente pequeno. Teorema Q (, ] tem medida nula. Tendo em conta que p/q (, ] q/p [, + ) e p/q (, + ) p/q (, ), tem-se imediatamente o seguinte Corolário Q R tem medida nula.

arbitrariamente pequeno. Teorema Q (, ] tem medida nula.

8 Dem. (Teor.) Dado ε > arbitrário, temos que Q (, ] q q= p= ( p q ε q 3, p q + ε ) q 3, e o comprimento total L ε desta união de intervalos abertos satisfaz L ε q q= p= = 2ε + 2ε 2ε q 3 = q=2 q= 2ε q 2 < 2ε + ( q ) q q=2 2ε q(q ) = 2ε + 2ε = 4ε.

9 Notas Usando o facto de q 2 2p 2, p, q Z, temos 2 2 p q = q 2 2p 2 2q 2 ( 2/2 + p/q) 2q 2 ( 2/2 + ) > 4q 2 4q 3, p, q N, p q. Logo, se ε /4 o número 2/2 é um exemplo de irracional não coberto pela união disjunta de intervalos abertos anteriores. Recordámos também na demonstração anterior o facto da série n= n 2 ser convergente.

10 Definição O número e R é definido como a soma da seguinte série: e + + 2! + + n! + = n= n! Teorema e é irracional.

11 Demonstração Suponhamos por absurdo que e = p/q com p, q N. Seja q < N N. Temos então que ( a N! e 2! ) N. N! Por outro lado [ ] a = N! (N + )! + (N + 2)! + < N + + (N + ) 2 + = N + ( ) = N + /(N + ) = N <. ( k= ( ) ) k N + Absurdo.

12 Provado pela primeira vez por J.H. Lambert (76). Usaremos um método de C. Hermite (873), aperfeiçoado por I. Niven (947). Provaremos de facto que π 2 é irracional, o que implica que π é irracional. Definição O número π R é definido como sendo o primeiro zero positivo da função seno, i.e. < sen(πx) se < x < e sen() = sen(π) =.

Provaremos de facto que π 2 é irracional, o que implica que π é irracional.

13 Função e Facto Auxiliares Dado n N, consideramos a função f n : R R definida por f n (x) = x n ( x) n n! Propriedades relevantes: = n! 2n k=n (i) < f n (x) < /n!, se < x < ; c k x k (com c k Z). (ii) f (k) n (), f (k) n () Z, para qualquer ordem k N. Usaremos também o seguinte facto: a n lim n n! =, a R.

14 π 2 é irracional - demonstração Suponhamos por absurdo que π 2 = a/b com a, b N. Veremos que então Como temos que πa n f n (x) sen(πx) dx Z, n N. < πa n f n (x) sen(πx) < πan n! se < x <, < πa n f n (x) sen(πx) dx < πan n! < se n >>. Absurdo.

15 πan f n (x) sen(πx) dx Z - demonstração Consideramos a função F n : R R definida por F n (x) = b n [ π 2n f n (x) π 2n 2 f (2) n (x) + + ( ) n f (2n) n ] (x). Temos então que F n (), F n () Z e [ F n (x) sen(πx) πf n (x) cos(πx) ] = b n π 2n+2 f n (x) sen(πx) Logo, [ F πa n f n (x) sen(πx) dx = n (x) sen(πx) π = F n () + F n (). = π 2 a n f n (x) sen(πx). ] F n (x) cos(πx)

Temos então que F n (), F n () Z e [ F n (x) sen(πx) πf n (x) cos(πx) ] = b n π 2n+2 f n (x)

16 π/4 = /3 + /5 /7 + Série de Taylor para a função arcotangente: arctan(x) = x x x 5 5 x 7 + se x < (versão CDI). 7 Quando x = temos arctan() = π/4 e /3 + /5 /7 + = n= ( ) n 2n +, uma série alternada decrescente, logo convergente pelo Critério de. Como justificar com rigor que, de facto, π/4 = /3 + /5 /7 +?

17 π/4 = /3 + /5 /7 + - dem. Começamos por considerar a fórmula finita + t 2 = t2 + t 4 + t 4n t4n+2 + t 2, t R. Temos então que, para qualquer x R, com arctan(x) = x + t 2 dt = x x x 5 R n (x) = 5 + x 4n+ 4n + R n(x), x t 4n+2 + t 2 dt.

18 π/4 = /3 + /5 /7 + - dem. Se x temos que R n (x) = x Se x temos então que Assim, e, de facto, t 4n+2 x + t 2 dt t 4n+2 dt = x 4n+3 4n + 3. R n (x) x 4n+3 4n + 3 n. 4n + 3 arctan(x) = x x x 5 5 x 7 + se x 7 π/4 = /3 + /5 /7 +.

19 Notas π 4 = descobriu esta fórmula em 673, usando um processo engenhoso para calcular a área de um quarto de um círculo de raio (cf. Simmons). "É como se, através desta expansão, o véu que cobria aquele número estranho [π] fosse levantado." K. Knopp (séc. XX)

20 π 2 /6 = + /4 + /9 + /6 + Série de Taylor para a função seno, válida para todo o x R: sen(x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + Produto Infinito de para a função seno, válido para todo o x R: sen(x) = x ( x 2 ) π 2 ( x 2 ) 4π 2 ( x 2 ) 9π 2 Intuitivamente, o Produto Infinito de para a função seno não é mais do que a factorização polinomial adequada da sua Série de Taylor.

+ Produto Infinito de para a função seno, válido para todo o x R: sen(x) = x ( x 2 ) π 2 (

21 π 2 /6 = + /4 + /9 + /6 + Igualando o coeficiente de x 3 nas duas expressões anteriores, obtemos o que é equivalente à 3! = π 2 + 4π 2 + 9π 2 +, π 2 6 = n 2 = n=

22 π 2 /6 = + /4 + /9 + /6 + Considerações semelhantes, cf. Simmons, levaram à descoberta, em 736, da seguinte fórmula mais geral: n= n 2k = ( )k 22k B 2k 2(2k)! π2k, onde k N e os B 2k são números de Bernoulli, e.g. B 2 = /6, B 4 = /3, B 6 = /42,.... Em particular, n= n 2 = π2 6, n= n 4 = π4 9, n= n 6 = π6 945,....

23 Nota "É notável que, em mais de 25 anos, não tenham havido progressos em encontrar a soma exacta de qualquer das séries n= n 3, n= n 5, n= n 7,.... Talvez seja preciso um segundo, mas não há nenhum à vista." George F. Simmons (992)

24 via Integral Duplo dx dy xy = = = = ( ) + xy + x 2 y 2 + [ x + 2 x 2 y + 3 x 3 y 2 + ( + y2 + y 2 ) 3 + dy [y + y y 3 ] y= y= dx dy ] x= x= dy =

25 Nota Final Logo n= n 2 = dx dy xy. É possivel calcular explicitamente este integral duplo (cf. Simmons). Notem que, de forma análoga, n= n 3 = dx dy dz xyz. Assim, quem conseguir calcular explicitamente este integral triplo poderá ser considerado, pelo menos aos olhos de George F. Simmons, um segundo...

26 I. Niven. Irrational Numbers. MAA, 956. G.F. Simmons. Calculus Gems - Brief Lives and Memorable Mathematics. McGraw-Hill, 992. M. Spivak. Calculus, corrected 3rd edition. Cambridge, 26.

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