2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N.

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1 2.4. PROJECÇÕES 2. dim(l)=dim(m)+dim(n) Demonstração. Se L=M N, qualquer vector x L se pode escrever de forma única como a soma de um vector x M M e outro vector x N N. 1. Dada uma base de M, x M pode ser escrito de forma única como combinação linear dessa base. De forma análoga, x N pode ser escrito de forma única como combinação linear duma base de N. Logo, qualquer vector x L pode ser escrito de forma única como combinação linear do conjunto de vectores que resulta de reunir as bases de M e N, pelo que esse conjunto é uma base de L. Note-se que não é possível que haja dependência linear ao juntar os vectores das bases de M e N, uma vez que apenas o vector nulo é comum a esses dois espaços. 2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N. Teorema 2.16 Seja L um espaço linear com produto interno e M qualquer subespaço de L. Então: L = M M (2.2) Demonstração. Pelo Teorema 2.14 sabemos que basta demonstrar que M M = {0} e que M+M =L. 1. Seja x M M. Então x x < x,x >= 0 x = 0 (pela definição de produto interno). 2. Seja z L, qualquer. Seja {x i } k i=1 uma base ortonormada de M. Então o vector x = k i=1 α ix i com α i =< z,x i >, i = 1,..., k, pertence ao subespaço M. Se provarmos que o vector z x M, teremos L=M+M. Ora, para qualquer vector x i da base, tem-se: < z x,x i > = < z,x i > < x,x i > = α i k α j < x j,x i > = α i α i = 0 já que < x i,x j >= 0 se i j, uma vez que a base é ortonormada. Assim, z x é ortogonal a todos os vectores da base de M, pelo que tem de ser ortogonal a qualquer vector de M. j=1 Observações: 1. Isto significa que qualquer vector de L se pode sempre escrever de forma única como a soma de um vector em M e de outro vector de M, i.e., ortogonal a M. 2. O facto de L=M M não invalida que L=M N para outros subespaços N M. Definição 2.17 Seja L um espaço linear e M, N dois seus subespaços tais que L=M N. Uma aplicação P que associa a cada z L a sua componente única em M (i.e., tal que se z = x +y, com x M e y N, se tem Pz = x) diz-se uma projecção de L sobre M, ao longo de N. Se N=M, diz-se que P é a projecção ortogonal de L sobre M. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

2 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES Observação: A demonstração da segunda parte do Teorema 2.16 significa que, caso seja conhecida uma base ortonormada de M, {x i } k i=1, a projecção ortogonal de um vector genérico z L sobre M será dada por ẑ = k i=1 < z,x i > x i. Teorema 2.17 Seja L um espaço linear e M, N dois seus subespaços tais que L=M N, e P uma projecção sobre M, ao longo de N. Então P é uma aplicação linear. Demonstração. Para verificar que P é uma aplicação linear, haverá que mostrar que α, β IR e x,y L, se verifica P(αx + βy) = αpx + βpy. Ora, como L=M N, temos, de forma única, x = x M + x N e y = y M + y N. Logo, como M e N são subespaços, αx + βy = (αx M + βy M ) + (αx N + βy N ), sendo esta a decomposição única de αx + βy nas suas componentes em M e N. Assim, P(αx + βy) = αx M + βy M = αpx + βpy. Verifica-se então o seguinte resultado, que permite falar sempre em o projector sobre um subespaço, ao longo de outro. Teorema 2.18 Dado um espaço linear L e uma soma directa L=M N, o projector sobre M ao longo de N é único. Demonstração. Seja P um projector sobre M ao longo de N, isto é, P é uma aplicação linear tal que, z L, e dada a decomposição única de z = z M + z N, verifica: Pz = z M. Admita-se que existia outra aplicação linear Q que também projectasse sobre M ao longo de N. Então Pz = Qz, z L. Mas nesse caso Pz Qz = (P Q)z = 0 L, z L, onde 0 L representa o elemento aditivo nulo em L. Logo (tendo em conta as observações feitas na página 21) P Q tem de ser a aplicação nula, o que implica que P = Q. Definição 2.18 Uma aplicação linear P num espaço linear L diz-se: 1. uma aplicação idempotente se P 2 = P, onde por P 2 se entende a aplicação P 2 (x) = P(P(x)). 2. uma aplicação identidade se Px = x, x L. Observação. É usual indicar uma aplicação identidade utilizando a letra I. Teorema 2.19 Seja P uma aplicação linear no espaço linear L, e I a aplicação identidade. Então: 1. P é uma projecção em L se e só se P é idempotente. 2. Se P é idempotente, P projecta sobre o seu subespaço imagem, C(P), ao longo do seu núcleo, N(P). 3. Se P é idempotente, I P projecta sobre o núcleo de P, N(P), ao longo da subespaço imagem de P, C(P). Munindo o espaço linear L dum produto interno, e sendo M um subespaço de L, verifica-se ainda 4. Se P é projecção ortogonal sobre M, então I P é projecção ortogonal sobre M. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

3 2.4. PROJECÇÕES Demonstração. 1. ( ) Se P é uma projecção sobre um subespaço M ao longo de outro subespaço N (com L=M N), um vector arbitrário z L, pode-se escrever de forma única como z = z M + z N para z M M, z N N, e P devolve a componente (única) de z em M: Pz = z M. Nesse caso: P 2 z = P(Pz) = Pz M Mas Pz M = z M, pois se z M M, então z M = z M + 0 é a sua decomposição (única), e P é uma projecção sobre M ao longo de N. Logo: o que equivale a dizer que P 2 = P. P 2 z = Pz (= z M ), z L ( ) Seja P 2 = P, N o núcleo de P e M o conjunto de vectores x L tais que Px = x. Sabe-se que N é um subespaço. M também o é (verifique que é não-vazio e fechado para combinações lineares dos seus elementos). Vamos provar que L=M N, isto é, que M N={0} e M+N=L. (a) Vamos mostrar que se z M N = z = 0. Seja z N, então Pz = 0. Seja z M, então Pz = z. Então z pertence a M N se e só se z = 0. (b) Tem-se, z L, z = Pz + z Pz = Pz + (I P)z, onde I é a aplicação identidade em L. Mas Pz M (pois P(Pz) = Pz, pela idempotência de P), e (I P)z N, (pois P[I P]z = Pz P 2 z = 0). Assim, qualquer z L é decomponível, pelo que L=M+N. Logo, L=M N. Por construção, Pz tem de ser a componente única de z em M, logo P é projector sobre M ao longo de N. 2. Só falta provar que M é o conjunto imagem de P, isto é, que M= C(P). Que M está contido em C(P) é imediato, a partir da sua definição como o conjunto de vectores x L para os quais x = Px. Falta provar que C(P) M, isto é, que se existe z L tal que x = Pz = x M. Mas se x = Pz = Px = P 2 z = Pz = x, pela idempotência de P, logo x M. 3. Sabemos que se P é idempotente, então P projecta sobre M=C(P), ao longo de N=N(P), i.e., z L, que se pode sempre escrever de forma única como z = z M +z N, com z M M e z N N, se tem: Pz = P(z M + z N ) = z M Logo, (I P)z = z Pz = (z M + z N ) z M = z N, que é a componente única de z em N. Assim, (I P) projecta sobre N=N(P) ao longo de M=C(P). 4. Se P é projecção ortogonal sobre M, tem-se M= C(P) e M = N(P). Sabemos pela alínea anterior que, nesse caso, I P projecta sobre M ao longo de M, isto é, é o projector ortogonal sobre M. Observações: 1. Repare-se que na demonstração do primeiro ponto do Teorema anterior mostrou-se que se P é uma aplicação idempotente, P projecta sobre o conjunto de vectores que permanecem invariantes sob o seu efeito (isto é, o conjunto de vectores x L tais que Px = x), ao longo ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

4 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES do núcleo de P (isto é, ao longo do conjunto de vectores x L tais que Px = 0). Isso mostra que os vectores de um subespaço permanecem invariantes sob o efeito de um projector sobre esse subespaço. 2. A demonstração do ponto 2 do Teorema torna evidente que aquilo que se está a afirmar é que, se P é uma aplicação idempotente no espaço linear L, então P induz a seguinte decomposição em soma directa: L= C(P) N(P). 3. Em aplicações estatísticas, é frequente designar o vector Pz como o vector ajustado, e o vector (I P)z como o vector residual de z após a sua projecção ortogonal sobre M. 4. Existe uma caracterização simples de projectores ortogonais em espaços lineares genéricos, mas exige conceitos adicionais (i.e., o conceito de aplicação auto-adjunta) e será omitida. As projecções ortogonais desempenham um papel decisivo em muitos campos da Estatística, incluíndo no estudo de vários tipos de modelos. A principal razão dessa importância reside no seguinte Teorema, de índole muito geral. Teorema 2.20 Seja L um espaço linear com produto interno e a norma induzida pelo produto interno. Seja M um subespaço de L, e P o projector ortogonal sobre M. Dado qualquer vector (nãonulo) z L, verifica-se: 1. (Teorema de Pitágoras.) O quadrado da norma de z é a soma dos quadrados das normas das suas componentes em M e em M, isto é: z 2 = Pz 2 + (I P)z O cosseno do ângulo entre um vector z / M e a sua projecção ortogonal sobre M é dada por: cos(z,pz) = Pz z 3. O vector no subespaço M mais próximo do vector z L (isto é, o vector y = ẑ que minimiza a distância z y, entre todos os vectores y M), é a projecção ortogonal de z sobre M, isto é, ẑ = Pz. 4. Os vectores no subespaço M que formam o mais pequeno ângulo com o vector z / M são os vectores que apontam no mesmo sentido que Pz, ou seja, os vectores y = αpz, α R +. Demonstração. 1. Tem-se: z 2 = Pz + (I P)z 2 = Pz < Pz, (I P)z > + (I P)z 2. Mas a parcela intermédia anula-se, pois Pz M, e (I P)z M. 2. Se Pz 0 (i.e., z / M ), pela definição de cosseno de ângulo entre vectors não-nulos (p. 24) vem: cos(z,pz) = < z,pz > z Pz = < Pz + (I P)z,Pz > z Pz = < Pz,Pz > + < (I P)z,Pz > z Pz. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

5 2.4. PROJECÇÕES A segunda parcela do numerador anula-se, enquanto que a primeira é Pz Queremos determinar o vector ẑ M que minimiza z ẑ ou, o que é equivalente, que minimiza z ẑ 2. Ora, como L=M M, o vector z tem decomposição única z = z M + z M, com z M M e z M M. Logo, z ẑ 2 = z M + z M ẑ 2 = < (z M ẑ) + z M, (z M ẑ) + z M > = z M ẑ (z M ẑ),z M + z M 2. Mas a segunda parcela do lado direito anula-se, uma vez que o vector z M ẑ pertence ao subespaço M, e o vector z M pertence ao complemento ortogonal de M. Por outro lado, a terceira parcela não depende de ẑ. Assim, minimizar z ẑ 2 corresponde a minimizar a primeira parcela do lado direito. Mas isso faz-se tomando ẑ = z M, como queríamos demonstrar. 4. Minimizar ângulos corresponde a maximizar cossenos desses ângulos. Assim, procuramos os vectores ẑ de M que maximizam o quociente <z,ẑ> z ẑ. Utilizando a decomposição única do vector genérico z, isto é, considerando z = z M +z M, temos < z,ẑ > = < z M,ẑ > + < z M,ẑ >. Por considerações análogas às das alíneas anteriores, a segunda parcela anula-se. E pelo Teorema de Cauchy-Schwarz- Buniakovski, sabemos que < z M,ẑ > z M ẑ, verificando-se a igualdade quando ẑ é um múltiplo escalar de z M, isto é, de Pz. Para poder ignorar os módulos, há que exigir que o escalar desse múltiplo escalar seja positivo, isto é, que ẑ aponte no mesmo sentido que Pz. M (I P)z z ẑ = Pz z 0 x 3 Pz θ x x2 x4 1 Figura 2.2: Ilustração do Teorema de Pitágoras. O ângulo θ é o ângulo cujo cosseno é referido no Teorema da página 30 Daqui em diante iremos cingir-nos apenas a projecções nos espaços IR k. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

6 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES Projecções em IR k Consideremos agora os espaços reais, IR k, munidos do habitual produto interno Euclidiano: < x,y > = x t y. Sabemos, da disciplina de Complementos de Álgebra e Análise que a cada matriz do tipo n m corresponde uma aplicação linear de IR m em IR n, e viceversa (fixando as bases de cada espaço). As aplicações lineares em IR k correspondem a matrizes de tipo k k. Assim, a cada aplicação linear (e admitindo que se convenciona trabalhar apenas com as bases canónicas de IR k ) corresponde uma matriz A M k k. Pela caracterização feita anteriormente de projecções, as projecções em IR k correspondem a matrizes idempotentes. Mas pode-se demonstrar um resultado mais forte, que caracteriza completamente as matrizes de projecção ortogonal nos espaços vectoriais IR k : as matrizes de projecção ortogonal em IR k são as matrizes simétricas (A t = A) e idempotentes (A 2 = A) de tipo k k, como mostram os seguintes Teoremas. Teorema 2.21 Seja IR k =M M, com M um subespaço em IR k de dimensão r. Considere o produto interno usual em IR k. Então, a matriz P de projecção ortogonal sobre M é única e tem a forma: P = B(B t B) 1 B t, onde B é uma matriz k r cujas r colunas formam uma qualquer base de M. Notas: 1. A matriz B não é única, mas a matriz de projecção P = B(B t B) 1 B t tem de o ser, pelo Teorema 2.18 (pg. 28). 2. No caso de se escolher uma base ortonormada do subespaço M sobre o qual se projecta, então as colunas da matriz B são ortonormadas e pode escrever-se apenas P B = BB t. Demonstração. Se IR k =M M, qualquer vector x IR k se pode escrever de forma única como x = x 1 + x 2, com x 1 M e x 2 M. Como as colunas de B formam uma base de M, x 1 pode escrever-se por sua vez, de forma única, como combinação linear dessas colunas, isto é, x 1 = Bc para um e um só vector c IR r. Simultaneamente, se x 2 M, x 2 é ortogonal a qualquer vector de M, logo é ortogonal a todas as colunas de B, pelo que B t x 2 = 0. Assim, Px = (B(B t B) 1 B t )(x 1 + x 2 ) = (B(B t B) 1 B t )(Bc) + 0 = Bc = x 1. Assim, a imagem de qualquer vector de IR k por P é a sua componente única no subespaço M. Assinale-se que a existência da inversa de B t B é garantida pelo facto de esta matriz r r ter característica igual à característica de B (ver apontamentos de Estatística Multivariada), e a característica de B ter de ser r, já que as suas colunas formam uma base dum subespaço de dimensão r. Exemplo 2.6 Consideremos o exemplo trivial de projecção ortogonal, em R 3, sobre o plano coordenado x0y. Em R 3, um ponto genérico tem coordenadas (x, y, z) e a sua projecção ortogonal sobre o plano (subespaço) referido é o ponto de coordenadas (x, y, 0). Para construir a respectiva matriz de projecção ortogonal, escolhemos uma base (por sinal, ortonormada) do subespaço x0y, dada pelos vectores ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

7 (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Temos B = P B [x, y, z] t = [x, y, 0] t e P B = B(B t B) 1 B t = PROJECÇÕES. Facilmente se vê que Exemplo 2.7 Em R 3, a equação x = y define um plano vertical, constituido pelos pontos de coordenadas (a, a, b), a, b R. Este plano (subespaço) é gerado, por exemplo, pelos vectores [1, 1, 0] t e [0, 0, 1] t. Logo, podemos tomar B = 1 0 e a matriz de projecção ortogonal é: P B = B(B t B) 1 B t = A projecção ortogonal de, por exemplo, o vector [1, 2, 3] t é dada por P B [1, 2, 3] t = [ 3 2, 3 2, 3]t. Nota: Seja y IR k um vector e M um subespaço linear r-dimensional de IR k com uma base constituída pelas colunas da matriz B. A projecção ortogonal de y sobre M (com o produto interno usual) é o vector: O vector (de tipo r 1): ŷ = Py = B(B t B) 1 B t y (B t B) 1 B t y é o vector dos r coeficientes da combinação linear que define de forma única o vector projectado ŷ M em termos dos vectores da base B de M. M y x 2 ŷ = Py x 1 0 Figura 2.3: Projecção do vector y sobre o subespaço M, gerado pelos vectores x 1 e x 2. As coordenadas do vector projectado nos eixos x 1 e x 2 são dadas pelos elementos do vector (B t B) 1 B t y, onde a matriz B é a matriz cujas duas colunas são os vectores da base, x 1 e x 2. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

8 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES Teorema 2.22 Seja P uma matriz de dimensão k k. Então P é matriz de projecção ortogonal sobre algum subespaço de R k se e só se P é uma matriz simétrica e idempotente. Demonstração. (= ) Imediata: é trivial verificar que P = B(B t B) 1 B t é uma matriz simétrica e idempotente. ( =) Se P é idempotente, já sabemos que é projecção sobre o seu espaço imagem C(P), ao longo do seu núcleo N(P). Para que a projecção seja ortogonal, é preciso que N(P) = C(P). Já sabemos, da disciplina de Complementos de Álgebra e Análise que, como para qualquer matriz P, se tem C(P) = N(P t ). Sendo a matriz P simétrica, tem-se o resultado pretendido. Exercício 2.5 Verifique que a matriz de projecção referida no Teorema 2.21 é simétrica e idempotente. A decomposição espectral das matrizes de projecção ortogonal em subespaços de IR n é interessante. Teorema 2.23 Seja M um subespaço r-dimensional de IR k, e P M a matriz de projecção ortogonal sobre M. Então: 1. Os valores próprios de P M apenas tomam valor 0 ou 1, havendo precisamente r = dim(m) valores próprios de valor 1 e k r = dim(m ) valores próprios de valor Os vectores próprios associados a valores próprios 1 formam uma base ortonormada de M. Os vectores próprios associados a valores próprios 0 formam uma base ortonormada de M. 3. O traço de P M é a dimensão do subespaço M sobre o qual P M projecta. 4. A matriz P M é semi-definida positiva. Demonstração. Uma matriz simétrica de dimensão k k admite um conjunto ortonormado de k vectores próprios, aos quais correspondem valores próprios reais (como foi visto nas disciplinas de Complementos de Álgebra e Análise e Estatística Multivariada). Escolha-se então uma base ortonormada do subespaço M, {a i } r i=1. Essa base tem precisamente r vectores, a dimensão do subespaço M. Como os r vectores pertencem a M, a sua projecção ortogonal sobre esse subespaço deixa-os invariantes (vejam-se as observações na página 29). Logo, P M a i = a i, (i = 1 : n). Mas isso significa que os r vectores a i são vectores próprios de P M, com valor próprio associado igual a 1. Considere-se agora uma base ortonormada de M, {b i } k r i=1. Esta base tem k r vectores, pois essa é a dimensão do complemento ortogonal de M (veja-se o Teorema 2.15 da página 26). Mas se estes vectores pertencem a M, a sua componente única em M tem de ser o vector nulo. Logo, tem-se P M b j = 0. Esta equação significa que todos esses vectores b j são vectores próprios de P M com valor próprio associado igual a zero. Como já foram identificados k vectores próprios ortogonais entre si, P M não pode ter mais vectores/valores próprios. A alínea seguinte é consequência directa desta discussão, dado que o traço de P M será o número de valores próprios iguais a 1, que coincide com o número de vectores na base do subespaço M. A última alínea é consequência ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

9 2.4. PROJECÇÕES imediata da primeira, uma vez que (Teorema A.1, Apêndice A) uma matriz simétrica é semi-definida positiva se e só se todos os seus valores próprios forem não-negativos Projecções em subespaços encaixados No estudo do Modelo Linear, vários resultados importantes dizem respeito a situações em que se comparam projecções de vectores sobre subespaços encaixados noutros subespaços, ou seja, subespaços contidos noutros subespaços. Vejamos dois resultados relativos a projecções sobre subespaços encaixados. Teorema 2.24 Seja M um subespaço linear de IR k e N um subespaço próprio de M (N M IR k ). Sejam P M e P N as matrizes de projecção ortogonal sobre M e N, respectivamente. Sejam P M e as matrizes de projecção ortogonal sobre os complementos ortogonais de M e N. Então, tem-se: P N 1. P M P N = P N P M = P N. 2. P M P N = P N P M = P M P N. 3. P N P M = P M P N = P M P N = P N P M = P M. Nota: repare-se que, em geral, o produto de duas matrizes de projecção não é uma matriz de projecção. Aqui considera-se uma situação especial, resultante dos subespaços onde se projecta estarem encaixados. Demonstração. Repare-se que as dimensões dos subespaços M e N são diferentes, mas P M e P N são sempre matrizes k k. Seja N uma matriz cujas colunas formam uma base de N. Então, P N = N(N t N) 1 N t. Ora, como N M, as colunas de N pertencem ao subespaço M, donde P M N = N (relembre-se a primeira observação da página 29). Logo: 1. P M P N = P M N(N t N) 1 N t = N(N t N) 1 N t = P N. Por outro lado, dada a simetria das matrizes de projecção e as relações entre produtos e transpostas de matrizes: P N P M = P t N Pt M = (P M P N ) t = (P N ) t = P N. 2. Sabemos (Teorema 2.19, página 28) que P N = I P N, onde I é a matriz identidade k k. Logo, P M P N = P M (I P N ) = P M P M P N = P M P N, pela alínea anterior. Para o outro produto, a demonstração é análoga. 3. Tem-se P M P N = (I P M )P N = P N P M P N = P N P N = 0. A demonstração que P N P M = 0 é análoga. 4. Tem-se P M P N = (I P M )(I P N ) = I P N P M + P M P N = I P M = P M. Vejamos ainda outro resultado envolvendo projecções e subespaços encaixados, que será de grande utilidade posteriormente. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

10 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES Teorema 2.25 Seja M um subespaço próprio de IR k e N M um seu subespaço próprio. Seja Q=M N. Sejam P M e P N as matrizes de projecção ortogonal sobre M e N, respectivamente. Então: 1. Q e N são subespaços ortogonais. 2. M = N Q. 3. A matriz de projecção ortogonal sobre o subespaço Q é P M P N. Demonstração. 1. Q é subespaço pois é a intersecção de dois subespaços. Que é ortogonal ao subespaço N é imediato, uma vez que Q = M N N. 2. Uma vez que N e Q são ortogonais, o único elemento que lhes pode ser comum é a origem de IR k (se x N Q, x é ortogonal a si próprio, mas < x,x > = 0 x = 0). Falta apenas provar que M = N + Q (isto é, que qualquer elemento de M se pode escrever como a soma de um elemento de N e outro de Q) para se poder aplicar o Teorema 2.14 (pg.26) e concluir que M = N Q. Ora N é subespaço de IR k, pelo que é possível decompôr IR k em soma directa de N e o seu complemento ortogonal (veja-se o Teorema 2.16, pg. 27), isto é, IR k = N N. Isto significa que todos os elementos de IR k se podem escrever, de forma única, como soma de um elemento de N mais um elemento de N. Em particular, os elementos de M IR n podem ser decompostos desta forma. Logo, x M, x = x N + x N, com x N N e x N N. Mas N M, logo x N = x x N é a diferença de dois elementos de M, pelo que tem de pertencer a M. Assim, existe pelo menos uma forma de escrever qualquer elemento de M como soma de um elemento de N com outro que, além de estar em N, tem de estar também em M, i.e., está em Q. Assim, M = N + Q. 3. A matriz de projecção ortogonal sobre o subespaço Q = M N tem de ser uma matriz P Q simétrica e idempotente (Teorema 2.22, p. 34) cujo espaço de colunas é Q (Teorema 2.19, página 28). É fácil de verificar que a diferença de duas matrizes simétricas é simétrica. Por outro lado, (P M P N ) (P M P N ) = P 2 M P MP N P N P M + P 2 N = P M P N, já que, quer P M, quer P N, são idempotentes, e, pelo Teorema 2.24 (página 35), P M P N = P N P M = P N. Falta verificar que C(P M P N ) = Q. Ora, é fácil de ver que o subespaço Q está contido no subespaço-coluna de P M P N. De facto, x Q, (P M P N )x = P M x P N x = x 0 = x, já que x Q implica que x M e que x é ortogonal a qualquer vector de N. Tem-se ainda que a dimensão do subespaço sobre o qual a matriz (P M P N ) projecta é o traço dessa matriz (Teorema 2.23, pg. 34). Ora tr(p M P N ) = tr(p M ) tr(p N ) = dim(m) dim(n). Essa também é a dimensão do subespaço Q, já que, pela alínea anterior, e pelo Teorema 2.15 (que relaciona a dimensão dum espaço linear com a dimensão dos subespaços que constituem uma sua soma directa, p. 26) tem-se dim(q) = dim(m) dim(n). Mas a argumentação relativa às dimensões desses dois subespaços impõe agora que o subespaço-coluna de P M P N coincida com o subespaço Q. Nota: Repare-se que, em conjunto com o Teorema 2.24 (p. 35), este Teorema mostra que a matriz de projecção ortogonal sobre o subespaço Q=M N (com N M) é o produto (por qualquer ordem) das matrizes de projecção ortogonal sobre M e sobre N. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/