Lista de Exercícios 2a

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1 Lista de Exercícios 2a MAT Cálculo Numérico Prof. Dagoberto Adriano Rizzotto Justo 6 de Agosto de 203 Álgebra Linear. Encontre x e x 2 para os seguintes vetores: (a) x = [3 (b) x = [ /2] T 3 4] T R: 4, 5.220, 4, Calcule A de A = ( ) R: Calcule A de A = R: 2 4. Calcule o número de condicionamento (na norma infinito) das matrizes: ( ) (a) A = 2 3 (b) A = 3 4 ( ) R: 50, Sendo A = e b = 6 7, calcule: (a) b, b 2, b 3 e b. (b) A, A, κ (A) = A A, κ (A) = A A. R: 7, , , 7, 8, 7, 2.6, Considere o sistema Ax = b com A = 4 2 e b = (a) Resolva o sistema usando fatoração LU. (b) Resolva o sistema utilizando os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com uma tolerância de 0 2 e um máximo de 0 iterações. Calcule em cada iteração k o resíduo r k = b Ax k e a norma- do resíduo. O que se pode concluir?

2 R: x = [,, ] T 7. Dê as seguintes definições: (a) Norma vetorial; (b) Número de condição de uma matriz κ(a); (c) Matriz mal-condicionada e bem-condicionada; (d) Uma matriz diagonal dominante; dê exemplos. 8. Qual a condição para que o método iterativo x k = (I Q A)x k + Q b seja convergente? 9. Defina o método de refinamento iterativo. Qual a condição para o método de refinamento iterativo convergir? 0. Descreva o método de Jacobi. Como ele pode ser representado matricialmente? Qual a condição para que o método de Jacobi seja convergente?. Descreva o método de Gauss-Seidel. Como ele pode ser representado matricialmente? Qual a condição para que o método de Gauss-Seidel seja convergente? 2. Defina uma matriz de Vandermonde. Qual o problema desta matriz. Dê um exemplo. 3. Para cada um dos sistemas lineares, obtenha uma solução se possível. Explique os resultados do ponto de vista geométrico. (a) x + 2x 2 = 3 x x 2 = 0 (b) x + 2x 2 = 0 2x + 4x 2 = 0 4. Use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear, se possível, e determine se é necessário trocar linhas ou colunas. x x 2 + 2x 3 x 4 = 6 x x 3 + x 4 = 4 2x + x 2 + 3x 3 4x 4 = 2 x 2 + x 3 x 4 = 5 x x 2 + 3x 3 = 2 3x 3x 2 + x 3 = x + x 2 = 3 5. Dados os sistemas com a mesma matriz de coeficientes: x x 2 + 2x 3 x 4 = x x 3 + x 4 = 2x + x 2 + 3x 3 4x 4 = 2 x 2 + x 3 x 4 = (a) resolva os sistemas aplicando eliminação de Gauss à matriz aumentada: (b) resolva os sistemas calculando primeiro a inversa de

3 (c) qual é o método que requer mais operações? 6. Encontre a matriz de permutação P e as matrizes L e U da fatoração LU para a seguinte matriz: A = Encontre a matriz de permutação P e as matrizes L e U da fatoração LU para a seguinte matriz: 0 2 A = Resolva o sistema abaixo usando a fatoração LU: x x 2 = 2 2x + 2x 2 + 3x 3 = x + 3x 2 + 2x 3 = 4 9. O sistema linear Ax = b, dado por ( ) ( ) 2 x = x 2 ( 3 ) tem solução [ ] T. Modificando A para ( ) calcule a solução do novo sistema usando aritmética de cinco algarismos significativos e arredondamento por adição. O que se pode concluir sobre o condicionamento de A? 20. Calcule as duas primeiras iterações do método de Jacobi, usando um vetor aproximação inicial nulo. 3x x 2 + x 3 = 3x + 6x 2 + 2x 3 = 0 3x + 3x 2 + 7x 3 = 4 2. Repita o exercício 20, usando o método de Gauss-Seidel. 22. Considere o sistema de equações lineares: x x 2 x 3 = 4 2 Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado pelo método de Gauss-Seidel com x 0 = [ ] e tol = Dado o sistema de equações lineares 4x + x 2 + x 3 = 7 4x x 2 + 3x 3 = 2 x + 5x 2 + 3x 3 = 3 reordene as equações e as incógnitas de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito. 3

4 Considere o código abaixo para as próximas 2 questões:. N = 00; 2. f(:n) = ; 3. x(:n) = ; 4. c(:n) = :N; 5. for it =: xnew()=( f() + 4*x(N)-5*x(2))/3; 7. xnew(2)=( f(2) + 4*x()-5*x(3))/3; 8. for i=3:n- 9. xnew(i)=( f(i) +c(i)*x(i-2)+4*x(i-)-5*x(i+))/3; 0. end. xnew(n)=( f(n) + 4*x(N-)-5*x())/3; 2. x=xnew 3. end 24. Considerando o código em scilab/matlab acima, responda: (a) Sendo flop uma operação de ponto flutuante básica (+,, ou /), quantos flops são necessários na linha 9? (b) Quantos flops são necessários para o cálculo do loop interno (linhas 8-0)? (c) Quantos flops são necessários para o cálculo de xnew (linhas 6-2)? (d) Quantos flops são necessários para o algoritmo? (e) Qual deve ser o valor máximo de it (linha 5) para que o método de Jacobi acima tenha um custo menor que a solução do sistema via fatoração LU (assuma que a solução do sistema via fatoração LU é O( 4 3 n3 ))? 25. O código acima realiza o método de Jacobi conforme a equação x new = G x + g (a) Qual o valor de x new (4) na primeira iteração? (b) Qual é a matriz G do algoritmo acima? (descreva pelo menos as 3 primeiras e as 3 últimas linhas de G) (c) Se o método convergir, o vetor x new será solução de um sistema A x = b. Qual a matriz A do sistema acima? (descreva pelo menos as 3 primeiras e as 3 últimas linhas de A); (d) O método é convergente para a matriz A do item anterior? justifique. (e) Qual o vetor b? (f) Qual alteração deve ser feita no algoritmo para implementar o método de Gauss-Seidel? 26. Usando duas iterações do método de Newton, calcule uma aproximação para a solução do sistema { x 2 + y 2 = 3x 2 + y 2 = 27. Usando duas iterações do método de Newton, calcule uma aproximação para a solução do sistema { 2x 3 y = x 2 y = 28. Usando x 0 = [0, 0], aproxime a solução do sistema utilizando o método de Newton: { x ( x ) + 4x 2 = 2 (x 2) 2 + (2x 2 3) 2 = 25 4

5 29. Usando x 0 = [0, 0, 0], aproxime a solução do sistema utilizando o método de Newton: x 2 + x 2 37 = 0 x x = 0 x + x 2 + x 3 3 = 0 Custo computacional 30. Seja u, v, b, x R n, A R n n. Considerando que o custo de uma operação de multiplicação ou divisão é um flop (floating operation) e que adições e subtrações tem um custo desprezível se comparados a esse custo, mostre que o custo das seguintes operações é de: (a) O(n) para calcular o produto escalar u v = n i= u iv i ; (b) O(n 2 ), Multiplicação matriz-vetor u = Ab; (c) O(n 3 ), Multiplicação matriz-matriz C = AB; (d) O(n + 2), para calcular a norma-2 de um vetor x 2 = n i= x2 i, onde o custo de calcular uma raiz é de 2 flops. (e) O(n 2 /2 + n/2), para resolver um sistema triangular inferior por substituição; (f) O(n 2 /2 + n/2), para resolver um sistema triangular superior por retro-substituição; (g) O(n 3 /3 + n 2 /2 + n/6), para fatorar a matriz A em LU; (h) O(n 3 /3 + 3n 2 /2), para resolver um sistema usando fatoração LU; (i) O(m(n 3 /3 + 3n 2 /2)), para resolver m sistemas diferentes usando fatoração LU; (j) O(n 3 /3 + (m + )n 2 /2), para resolver m sistemas com a mesma matriz A usando fatoração LU; (k) O(n 3 /3 + (m + )n 2 /2), para calcular A, via resolução de n sistemas; (l) O(n 2 + 2), para calcular a norma de Frobenius A F = n i= n j= a2 ij. 3. Se o tempo para realizar manualmente numa calculadora um operação de multiplicação é de segundo, quanto tempo seria necessário para calcular a multiplicação de três matrizes A = BCD com tamanhos B R 20 30, C R 30 40, D R Considere os vetores u, v, d, x R 5 e as matrizes M, N, I R 5 5, onde I é a matriz identidade. (a) Quantos flops são necessários para calcular o produto interno u v? (b) Quantos flops são necessários para calcular x = Mu + Nv? (c) Quantas adições/subtrações são necessários para calcular (M + I) + (N + 5I)? (d) Dadas as matrizes L e U da fatoração LU de uma matriz M = LU, quantos flops são necessários para resolver o sistema Mx = d? (e) Dadas as matrizes triangular superior U e triangular inferior L, quantos flops são necessários para calcular a multiplicação LU? 33. Considere os vetores u, v, x R 5 e as matrizes K, M, N, L, I R 5 5, onde I é a matriz identidade. (a) Quantos flops são necessários para calcular u T u + 2u T v + v T v (b) Quantos flops são necessários para calcular R(x) = x T Mx? (c) Quantos flops são necessários para calcular K = MNM? (d) Quantos flops são necessários para calcular M = LLL, onde L é uma matriz triangular inferior? 5

6 34. Sendo E = , A = Considere os vetores u, v, x R n e as matrizes E n, A n R n n, onde E n e A n são matrizes esparsas com o mesmo formato de E e A. (a) Quantos flops são necessários para calcular A n A n (b) No método da potência, quantos flops são necessários para calcular λ (x T A n x)/(x T x)? (c) Supondo que A n R n n (da mesma forma que A), calcule quantos flops são necessários para fatorar a matriz A n como matrizes L e U, matrizes triangulares inferior e superior respectivamente. 35. Considere os sistema T x = b, onde T é uma matriz tridiagonal n n da forma T = e x, b R n (considere apenas multiplicações e divisões na contagem dos flops). (a) Considere a matriz tridiagonal S com tamanho 0 0 definida por 2, se i = j S ij = j/i, se i = j + ou i = j ; 0, caso contrário. O que se pode dizer sobre a convergência do método de Jacobi para a solução do sistema Sx = b? (b) Quantos flops são necessários para resolver o sistema tridiagonal genérico T x = b usando fatoração LU? (c) Quantos flops são necessários para resolver o sistema usando o método de Jacobi? (d) Qual das duas opções acima é mais eficiente? Justifique sua escolha. 36. Considere as matrizes com tamanho n n e vetores com tamanho n: A = Considere a matriz A R n n dada acima e use o fato que A é esparsa: (a) Quantos flops são necessários para calcular AA? (b) Quantos flops são necessários para calcular o quociente de Raileygh c = (x T Ax)/(x T x)? (c) Calcule quantos flops são necessários para fatorar a matriz A como matrizes L e U, matrizes triangulares inferior e superior respectivamente. 6

7 37. Responda ambas as questões em termos de esforço computacional: (a) Suponha que se queira encontrar x que satisfaça Ax = b, usando um método direto. melhor estratégia: calcular a inversa de A ou resolver o sistema? Justifique. Qual a (b) Suponha que seja necessário resolver um conjunto de m sistemas lineares de tamanho n que compartilhem a mesma matriz de coeficientes A, onde m é muito maior do que n. Dentre as opções para resolver cada sistema: por eliminação gaussiana ou por fatoração LU, qual seria a mais indicada? Justifique. 38. Uma empresa deseja comprar um software para resolver sistemas lineares. Existem no mercado quatro softwares para tal tarefa com custos operacionais diferentes: ExtremeLS O(5n 2 /2 + 2n/3), LUmaster O(n 3 /3 n 2 /4 + n/3), superqr O(2n 3 /3 + n/2 n/4), DonkeyShot O(n 4 /9 + n). Qual deles você escolheria? Justifique sua resposta. Interpolação e Ajuste de curvas 39. Para a seguinte tabela de valores, utilize interpolação polinomial e calcule o polinômio interpolador de ordem 2. x y(x) 0 3 Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. 40. Repita o exercício anterior usando a forma de Newton e diferenças divididas. Estime o erro na interpolação para o ponto x = Repita o exercício anterior usando a forma de Lagrange. 42. Usando uma calculadora ou MATLAB, calcule o polinômio interpolador de ordem 4. x y(x) Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. O que se pode concluir. 43. Repita o exercício anterior usando a forma de Newton com diferenças divididas. Estime o erro na interpolação para o ponto x = Repita o exercício anterior usando a forma de Lagrange. 45. Usando a forma de Newton e diferenças simples, calcule o polinômio interpolador da seguinte tabela x y(x) Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. O que se pode concluir. Estime o erro na interpolação para o ponto x = Para a seguinte tabela de valores, utilize uma interpolação por splines cúbicas: x y(x) 0 3 Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. Utilize as fórmulas para Splines do livro. 47. Sejam a, b, c e d números reais. Mostre que existe um polinômio p, de grau menor ou igual a 2, tal que p( ) = a, p(0) = b, p() = c e p(3) = d se e somente se 3a 8b + 6c d = Use polinômios de Lagrange de graus um, dois e três para aproximar os valores em cada caso: (a) f(8.4) se f(8.) = , f(8.3) = , f(8.6) = , f(8.7) = (b) f(0.25) se f(0.) = , f(0.2) = , f(0.3) = , f(0.4) =

8 49. Repita o exercício 48 usando polinômios de Newton. 50. No exercício 48, as funções são f(x) = x ln x e f(x) = x cos x 2x 2 +3x, respectivamente. Encontre uma estimativa para o erro de interpolação e compare com o valor real nos casos n = e n = Dada a tabela abaixo, (a) calcule e 3., usando um polinômio de interpolação sobre três pontos; (b) dê um limitante para o erro cometido. x f(x) Construa a tabela de diferenças com os dados abaixo e estime o valor de f(.23), justificando a escolha do grau do polinômio interpolador. x f(x) Considere as tabelas abaixo. w f(w) x g(x) Calcule o valor aproximado de x tal que f(g(x)) = 0.6 usando polinômios interpoladores de grau Construa a spline cúbica que interpola os pontos f(0) = 0, f() = e f(2) = Uma spline S é definida por { + B(x ) D(x ) S(x) = 3, se x < 2, + b(x 2) 3 4 (x 2)2 + d(x 2) 3, se 2 x 3. Se S interpola os pontos (, ). (2, ) e (3, 0), encontre B, D, b e d. 56. Considere os vetores x = [, 0,, 2] T e y = [, 3, 3, 4] T. (a) Qual sistema numérico deve ser resolvido para ajustar uma reta a esses pontos? (b) Qual a reta que melhor se ajusta a esses pontos? (c) Encontre a curva na forma y(x) = + ax 2 que melhor se ajusta aos pontos dados. 57. Encontre as funções de ajuste de graus, 2 e 3 para os dados da tabela: x y Os dados abaixo dão o volume do álcool anídrico em função da temperatura: T (C) V (cm 3 )

9 Determine uma função de ajuste adequada ao conjunto de dados. 59. Sabendo que a dependência funcional entre carga Q de um condensador e o tempo t é do tipo Q = a(0) kt. determine a e k a partir da tabulação t Q Quando a população P (t) é limitada por um certo valor L, a curva logística tem a forma P (t) = L + c e a t Encontre a e c para os seguintes dados, considerando L = 000: t P (t) Autovalores Considere as matrizes A = , I = , C = , d = 2, b = Para a matriz A, descreva e represente graficamente os discos de Gershgorin. Calcule os autovalores e represente-os no mesmo gráfico. O que se pode concluir? Resp.: λ = 5.65, λ 2 = 2.726, λ 3 = Repita o exercício anterior para a matriz C. Resp.: λ = , λ 2 = i, λ 3 = i. 63. Escolha uma matriz rândomica com 5 5 elementos. Represente graficamente os discos de Gershgorin. Se puder, usando MATLAB ou sua calculadora, calcule os autovalores e represente-os graficamente. 64. Explique por que nâo devemos usar o cálculo de autovalores via determinantes, do ponto de vista numérico. Um gráfico poderia ajudar na explicação. 65. Defina quociente de Rayleigh. 66. Descreva o método da potência, como ele funciona e para que serve. Quando este método nâo funciona? 67. Calcule via método da potência o maior autovalor de A. 68. Calcule via método da potência o maior autovalor de C. 69. Considere a matriz A. Usando os discos de Gershgorin, selecione um possível valor para σ e use como translação para o Método da Potência. Repita o exercício para três valores diferentes de σ. (Calcule a cada iteração k o valor de λ k = x T k Ax k. 70. Considere a matriz A e o resultado do exercício anterior. Utilize o método da iteração inversa com translação usando como σ o valor aproximado do autovalor anterior. O que se pode concluir. 7. Utilize o método de iteração inversa com o quociente de Rayleigh e calcule um autovalor de A. O que se pode concluir. 72. Considere a matriz C e repita os três exercícios anteriores. 9