Sequências (P.A. e P.G.)

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1 Parte I Sequências (P.A. e P.G.) 1. (Espcex (Aman) 014) Os números naturais ímpares são dispostos como mostra o quadro 1ª linha 1 ª linha 3 5 3ª linha ª linha ª linha O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é: a) 807 b) 1007 c) 1307 d) 1507 e) (Unicamp 014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m. b),0 m. c) 1,5 m. d) 3,5 m. 3. (Unesp 013) A soma dos n primeiros s de uma progressão aritmética é dada por 3n n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro e a razão são, respectivamente, a) 7 e 1. b) 1 e 6. c) 6 e 1. d) 1 e 7. e) 6 e (Fgv 013) Entre 006 e 010, foram cometidos em média 30 crimes por ano em Kripton (entre roubos, estelionatos e assassinatos). Em 007, foram cometidos 40 crimes no total. Entre 006 e 010, o número de crimes evoluiu em uma progressão aritmética. a) Qual é a razão da progressão aritmética em que evoluiu o número de crimes, entre 006 e 010? b) Em 010, houve duas vezes mais roubos que assassinatos e igual número de roubos e estelionatos. Quantos estelionatos ocorreram em 010? c) Em 011, foram cometidos 30 crimes. Qual é o número médio de crimes cometidos entre 007 e 011? 5. (Unifesp 013) A sequência (1,a,b), denominada S 1, e a sequência (c,d,e), denominada S, são progressões aritméticas formadas por números reais. a) Somando 1 ao segundo e 5 ao terceiro de S 1, a nova sequência de três números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG. b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três s de S, a nova sequência que se forma tem soma dos três s igual a zero, e do meio diferente de zero. Determine a razão r de S, para o caso em que π < r < π. 6. (Unicamp 013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo. Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x) 35 3,8 cm 4 7,3 cm Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em s do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em s da numeração. b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x 0) / 3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados n k forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro n 1 = 5, em que n k = f (c k ), com k natural, calcule o comprimento c (Fgv 013) Observe a tabela com duas sequências. Sequência 1 Sequência 1.º.º 3.º 4.º Sendo S n a soma dos n primeiros s da sequência 1, e b n o n-ésimo da sequência, então, S n = b n para n igual a 1 ou a) 6. b) 9. c) 38. d) 43. e) (Enem 013) As projeções para a produção de arroz no período de 01 01, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento... Página 1

2 constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. Ano Projeção da produção (t) 01 50, , , ,00 A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 01 a 01 será de a) 497,5. b) 500,85. c) 50,87. d) 558,75. e) 563,5. 9. (Fgv 013) Um anfiteatro tem 1 fileiras de cadeiras. Na 1ª fileira há 10 lugares, na ª há 1, na 3ª há 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente). O número total de cadeiras é a) 50 b) 5 c) 54 d) 56 e) (Fgv 013) Uma mercadoria é vendida com entrada de R$500,00 mais parcelas fixas mensais de R$576,00. Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 0% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a a) 1.380,00. b) 1.390,00. c) 1.40,00. d) 1.440,00. e) 1.460, (Unesp 013) Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto P 0, localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto P 3, em r. Na figura, O,O 1 e O são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, R, R seus respectivos 4 raios. A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência R dados por On e R n =, respectivamente, até o ponto n P, também em r. Nessas condições, o comprimento da n trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a a) π 3 b) π n c) π 7 d) π 4 e) π 1. (Fgv 013) Se uma pessoa faz hoje uma aplicação financeira a juros compostos, daqui a 10 anos o montante M será o dobro do capital aplicado C. Utilize a tabela abaixo. x 0 0,1 0, 0,3 0,4 x 1 1,0718 1,1487 1,311 1,3195 Qual é a taxa anual de juros? a) 6,88% b) 6,98% c) 7,08% d) 7,18% e) 7,8% 13. (Ita 013) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é 1 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm 3. Calcule: a) As medidas das arestas do paralelepípedo. b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo. 14. (Insper 01) Considere a sequência 3 n cos π,cos π,cos π,...,cos π,...,cos π,cos π O total de elementos dessa sequência que são números inteiros é igual a a) 0. b) 35. c) 71. d) 105. e) (Unicamp 01) Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros Página

3 dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura abaixo, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm. a) Determine a área da região destacada na figura. b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 0 arcos de circunferência. Parte II 1. (Ufjf 01) Se a soma dos n primeiros s de uma progressão aritmética (PA) de geral a n, com n 1, é 15n n dada por S n =, então o vigésimo dessa PA 4 é: a) 10. b) 6. c) 4. d) 1. e) 0.. (Ufjf 011) Dados dois números reais, tais que a< b, definimos o comprimento do intervalo fechado [a,b] por l ([a,b]) = b a. Para cada número n natural, considere o intervalo I n =, n 1. O valor de n tal que l (I n) = é: a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) (Ufjf 007) Os números log 10 x, log 10 (10x) e formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, onde x é um número real positivo. Sobre os s dessa progressão, é correto afirmar que: a) são 3 números reais positivos. b) o menor deles é um número real negativo. c) a soma deles é igual a. d) são 3 números inteiros. e) o produto entre eles é igual a. 4. (Ufjf 006) Uma pessoa compra um carro, devendo pagá-lo, em prestações mensais, durante 5 anos. As prestações pagas em um mesmo ano são iguais, sendo de R$ 400,00 o valor da primeira prestação, paga em janeiro. A cada ano, a prestação sofre um aumento de 10%, em relação à do ano anterior. Sendo assim, o valor da prestação mensal, no último ano será, aproximadamente, de: a) R$ 440,00. b) R$ 480,00. c) R$ 500,00. d) R$ 580,00. e) R$ 670, (Ufjf 006) Uma progressão aritmética e uma geométrica têm o número como primeiro. Seus quintos s também coincidem e a razão da PG é. Sendo assim, a razão da PA é: a) 8. b) 6. c) 3/5. d) 4. e) 15/. 6. (Ufjf 003) Os comprimentos das circunferências de uma sequência de círculos concêntricos formam uma progressão geométrica de razão 3. As áreas desses círculos formam uma: a) progressão geométrica de razão 9. b) progressão aritmética de razão 1/3. c) progressão geométrica de razão 1/3. d) progressão aritmética de razão 9. e) progressão geométrica de razão 1/9. 7. (Ufjf 00) Um aluno do curso de biologia estudou durante nove semanas o crescimento de uma determinada planta, a partir de sua germinação. Observou que, na primeira semana, a planta havia crescido 16 mm. Constatou ainda que, em cada uma das oito semanas seguintes, o crescimento foi sempre a metade do crescimento da semana anterior. Dentre os valores a seguir, o que MELHOR aproxima o tamanho dessa planta, ao final dessas nove semanas, em milímetros, é: a) 48. b) 36. c) 3. d) 30. e) 4. Página 3

4 Parte III 1. (Uerj 014) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: - os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; - o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; - os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior. Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta. Cartão amarelo Valor da multa (R$) recebido 1º º 3º 500 4º º Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a: a) b) c) d) (Uerj 014) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 00 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 0mg. Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos tenha 30mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos: - numeram-se os frascos de 1 a 15; - retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração; - verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a 540mg. A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é: a) 1 b) 13 c) 14 d) (Uerj 014) Um feirante vende ovos brancos e vermelhos. Em janeiro de um determinado ano, do total de vendas realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros 50% de ovos vermelhos. Nos meses seguintes, o feirante constatou que, a cada mês, as vendas de ovos brancos reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumentaram 0%, sempre em relação ao mês anterior. Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual de vendas de ovos vermelhos, em relação ao número total de ovos vendidos em março, foi igual a: a) 64% b) 68% c) 7% d) 75% 4. (Uerj 014) Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40cm de comprimento, 5cm de largura e 0cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 3 0,5cm. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. 10 Considerando 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é: a) 15 b) 16 c) 17 d) (Uerj 013) Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos. Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos iguais e procedimento idêntico. 6. (Uerj 01) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 1 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em Página 4

5 Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é: a) 6 b) 7 c) 9 d) 1 plantaram em novembro de 009. Nesse tempo, a árvore cresceu está com quase,5 metros, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore pioneira, que cresce rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento mais lento, mas de vida mais longa. (Pesquisa FAPESP, janeiro de 01. Adaptado.) Parte IV 1. (Insper 01) Na sequência de quadrados representada na figura abaixo, o lado do primeiro quadrado mede 1. A partir do segundo, a medida do lado de cada quadrado supera em 1 unidade a medida do lado do quadrado anterior. A distância do ponto O, vértice do primeiro quadrado, até o ponto V n, vértice do n-ésimo quadrado, ambos indicados na figura, é a) n n + n + 5. b) n n n + 9. c) n n + 4n + 3. d) e) n n + n 1. n n + n+.. (Fuvest 01) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros s são dados por a1 = 1+ x, a = 6x, a3 = x + 4em que x é um número real. Considerando que a referida árvore foi plantada em 1º de novembro de 009 com uma altura de 1 dm e que em 31 de outubro de 011 sua altura era de,5 m e admitindo ainda que suas alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de crescimento, formem uma progressão geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de a) 0,5. b) /. c) 5. d) /. e) (Unicamp 01) Para construir uma curva floco de neve, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4. a) Determine os possíveis valores de x. b) Calcule a soma dos 100 primeiros s da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a). 3. (Unesp 01) O artigo Uma estrada, muitas florestas relata parte do trabalho de reflorestamento o necessário após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo, que ele e sua equipe Página 5

6 Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a 6! a) cm 4!3! 5! b) cm 4!3! 5 4 c) cm d) cm 3 5. (Unifesp 011) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses s (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão aritmética e usualmente indicada por r. a) Considere uma PA genérica finita (a 1, a, a 3,..., a n ) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos s de índice par dessa PA, em função de a 1, n e r. b) Qual a quantidade mínima de s para que a soma dos s da PA ( 4, 0, 16,...) seja positiva? Página 6