FIS-26 Lista-01 Março/2018

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1 FIS-26 Lista-01 Março/2018 Resolver os exercícios de forma individual em uma única folha. Data de entrega Turma 1: às 10:10 do dia 28/03. Turma 2: às 08:00 do dia 28/03. Turma 3: às 10:10 do dia 29/03. Turma 4: às 10:10 do dia 29/03. Não serão aceitas listas com atraso. 1. (5 pontos) Uma partícula de massa m tem energia mecânica E e se movimenta numa região do espaço onde as forças são conservativas. A energia potencial experimentada pela partícula nessa região é { kx 2 para x < 0 V (x) = 2 βx para x 0 Considere que o movimento da partícula é unidimensional e que β e k são constantes positivas. Sabe-se que em t = 0 a partícula passa pela posição x = 0 com velocidade no sentido positivo de x. (a) (3 pontos) Calcule o período do movimento em função de E, m, k e β. (b) (1 ponto) O movimento é do tipo harmônico simples? Por quê? (c) (1 ponto) Esboce o gráfico de x versus t para um período completo. 2. (5 pontos) Todos os animais que caminham, inclusive os homens, possuem um ritmo natural da caminhada, um número de passos por minuto mais confortável do que um ritmo lento ou veloz. Suponha que este ritmo natural seja igual ao período da perna, encarada como um pêndulo (físico) em forma de barra com um pivô na junta do quadril. Algumas evidências de fósseis mostram que o Tyrannosaurus rex, um dinossauro bípede que viveu há 65 milhões de anos no final do período cretáceo, possuía pernas com comprimento L = 3,1 m e uma passada (distância entre uma pegada e a pegada seguinte do mesmo pé) de S = 4,0 m. Estime a velocidade de caminhada (em km/h) do Tyrannosaurus rex. 1

2 Exercícios extras 1. Qual o curso de Engenharia que você pretende fazer? Com base nesta resposta, escreva um breve texto (no máximo 3 parágrafos), abordando a importância do estudo de oscilações para esta carreira de Engenharia. 2. A caixa d água mostrada na Figura a seguir é sustentada por uma coluna de altura l feita de concreto reforçado. A massa de água que cabe na parte superior da caixa d água, quando esta está cheia, é igual a M (nesta massa já estamos incluindo a massa da parte superior da caixa d água também). Considere que a parte superior da caixa d água (cheia) pode ser modelada por uma massa pontual M, e que a coluna pode ser modelada por um barra elástica unidimensional cuja massa m está uniformemente distribuída ao longo da altura l. Esta coluna quando sofre um esforço P na direção transversal à sua altura exibe uma deformação elástica (na direção do esforço aplicado) que pode ser caracterizada pela função matemática y(x) = ymax (3x 2 l x 3 ), onde y 2l 3 max = P/k, sendo k uma espécie de constante elástica de mola (por curiosidade, k = 3EI/l 3, onde E é o módulo de Young do concreto e I é o momento de inércia de área da seção transversal da coluna). Nos itens (a) e (b) que se seguem, ignore o efeito da massa M. (a) Suponha que a coluna é posta para oscilar sob a ação de uma força P periódica, de forma que a sua extremidade superior oscila com velocidade v(t) = dy(l) = v dt max sin(ωt). Com isto, a coluna (em toda a sua extensão) adquire uma energia cinética que varia (periodicamente) com o passar do tempo entre 0 e T max. Encontre uma expressão para a energia cinética média T med da coluna de massa m. Dê sua resposta em função de m e v max. OBS.: o valor médio f de uma função periódica f(t) com período p é dada por: f = 1 p t0 +p t 0 f(t)dt, onde t 0 é um valor convenientemente escolhido (o valor médio independe de t 0 ). (b) Encontre m eq a massa puntiforme equivalente à coluna, isto é, uma massa m eq que, posta para oscilar na posição y = l com velocidade v(t) = dy(l) = v dt max sin(ωt), teria a mesma energia 2

3 cinética da coluna inteira. Escreva sua resposta da forma m eq = fm, onde f é uma fração irredutível (uma razão entre dois números inteiros simplificada ao máximo). (c) Obtenha a frequência angular ω 0 de oscilação do sistema coluna mais caixa d água. Dê sua resposta em função de M, m e k. OBS.: Se você não tiver conseguido fazer o item (b), você pode tentar resolver este problema; neste caso, deixe sua resposta em função de f (você poderá receber uma pontuação parcial, se fizer isto). Dica: Para o cálculo da frequência angular de oscilação, o efeito da gravidade pode ser ignorado. 3. Desenvolva a equação diferencial do movimento para o sistema mostrado, em termos da variável x 1. A massa do mecanismo é desprezível. Assuma pequenas oscilações. 4. Uma placa circular homogênea de raio R e massa M é suspensa por um fio de módulo de torção K, de duas maneiras diferentes (a) Pelo centro C da placa, ficando ela no plano horizontal; (b) Por um ponto O da periferia, com a placa na vertical. Calcule os períodos τ a e τ b das pequenas oscilações de torção, respectivamente nos casos (a) e (b). 5. Quando um nadador caminha até a extremidade de um trampolim horizontal, ele desce 5,00 cm sob a ação do peso, no equilíbrio. Desprezando a massa do trampolim, calcule a sua frequência angular de oscilação em torno do equilíbrio, com o nadador permanecendo na extremidade. 6. Uma barra esbelta possui o formato de um semicírculo de raio r como mostrado. Determine a frequência natural f n para pequenas oscilações da barra enquanto está apoiada sobre a aresta da cunha horizontal, no ponto médio de seu comprimento. 3

4 7. Obtenha o período de pequenas oscilações do hemisfério abaixo, mediante a hipótese de rolamento sem deslizamento. A distância do CM do hemisfério ao centro do mesmo é de d = 3r/8. O momento de inércia do hemisfério por um eixo horizontal passando pelo CM é I CM = 83mr 2 /320. Deixe sua resposta em função de r e g. 4

5 Respostas 1. (a) (2/β) 2mE + π m/k 2. 5,0 km/h. Extras (a) T med = 33mv 2 max/560, (b) m eq = 33m/140, (c) ω = k/(m + m eq ) = 3. [m 1 + b 2 m 2 /a 2 ]ẍ 1 + [k 1 + b 2 k 2 /a 2 ]x 1 = 0 4. τ a = πr 2M/K e τ b = πr M/K. 5. ω = 14 rad/s. 6. f n = (2π) 1 g/(2r) 7. T = 2π 26r/(15g) k/(m m) 5