Cálculo Diferencial e Integral II

Transcrição

1 Prof. Alex Bernardi

2 Cálculo Diferencial e Integral II Aula 2 1 Sólidos de Revolução 2 Integração por partes 3 Coordenadas Polares 4 Atividades 23/02/2017

3 1 Sólidos de Revolução Considere uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a; b] -> R +. Seja R a região delimitada pelo gráco de f, pelo eixo x e pelas retas x = a, x = b. Sabemos que a área de R é dada pela integral de Riemann. Fonte:

4 1 Sólidos de Revolução Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como na figura abaixo: Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno de um eixo, são chamados de sólidos de revolução. Fonte:

5 1 Sólidos de Revolução O volume do sólido S é dado por: Sabemos que: Logo: Fonte:

6 1 Sólidos de Revolução

7 2 Integração por partes Dedução da Fórmula para a Integração por Partes: Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto: Integrando ambos os lados, obtemos ou ou Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos: Fonte:

8 2 Integração por partes Fonte:

9 3 Coordenadas Polares

10 3 Coordenadas Polares

11 4 Atividades Questão 1 Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do plano, em torno de uma reta chamada eixo de revolução, contida no plano. Observe a figura abaixo: A região limitada pela curva y = x 2, o eixo x e as retas x = 1 e x = 2, sofrem uma rotação em torno do eixo x. Assinale a alternativa que determina o volume aproximado do sólido de revolução gerado:

12 4 Atividades Resolução - Questão 1 Temos que:

13 4 Atividades Questão 2 Quando calculamos uma integral muitas vezes é necessário reduzir a função do integrando a uma função mais simples que nos permita encontrar de forma mais rápida a integral. Existem alguns métodos que nos ajudam a reduzir a função do integrando a funções mais simples, um desses métodos é a integração por partes. Em relação a esse método julgue os itens que seguem. I - A técnica de integração por partes é usada para simplificar integrais que tenham a forma II - Para integrarmos uma função por partes temos que utilizar a seguinte fórmula III - Para resolvermos a integral partes e chamamos de Assinale a alternativa correta. usamos a integração por

14 4 Atividades Resolução - Questão 2

15 4 Atividades Questão 3 Quando trabalhamos com superfícies circulares usamos coordenadas polares para nos auxiliar nos cálculos. Considerando as propriedades envolvendo coordenadas polares classifique os itens que segue em verdadeiros (V) ou falsos (F). ( ) As coordenadas retangulares estão relacionadas com as polares pelas equações x 2 + y 2 = 1 e x = r senθ. ( ) Dada a expressão a expressão polar correspondente é ( ) Dada a expressão a expressão polar correspondente é r. Assinale a alternativa que contém a sequência correta.

16 4 Atividades Resolução - Questão 3

17 4 Atividades Questão 4 Não existem regras de integração diretas para todas as funções que podemos vir a querer integrar, mas existem métodos que nos permitem usar recursos matemáticos para simplificar a expressão e chegar em regras conhecidas. Um desses métodos é chamado de regra da substituição trigonométrica. Analise e resolva a integral a seguir:

18 4 Atividades Resolução - Questão 4

19 4 Atividades Questão 5 Calcule o volume gerado pela parábola y = x 2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].

20 4 Atividades Resolução - Questão 5 Seção plana parábola girando em y.