Métodos Matemáticos I. Primitivas. Nos capítulos anteriores interessámos-nos por problemas do tipo:dada uma função, determinar a sua derivada.

Transcrição

1 Métodos Matemáticos I Capítulo 3 Primitivas 2006/2007 Nos capítulos anteriores interessámos-nos por problemas do tipo:dada uma função, determinar a sua derivada. Ao longo deste capítulo daremos ênfase ao problema inverso, ou seja, determinar uma função sendo conhecida a sua derivada. Em suma, iremos desenvolver a operação inversa da diferenciação, conhecida por primitivação ou integração. 1 2 Suponha que se pretende encontrar uma função F cuja derivada é f (x) =2x. Dos conhecimentos de derivadas, provavelmente dir-se-á que: F (x) =x 2 porque d [ x 2 ] =2x dx A função F (x) é uma primitiva ( ou antiderivada ) de f (x) Seja f uma função definida de I IR em que I é um intervalo de IR. Chama-se primitiva ou antiderivada de f atodaafunção F diferenciável em I tal que F (x) =f (x), para todo o x I Resultadadefinição anterior que toda a primitiva de uma função é uma função contínua.(pq?) 3 4

2 Notas... Se f admite uma primitiva dizemos que f é uma função primitivável. Existem funções que não são primitiváveis. Relativamente ao exemplo apresentado, note-se que F é chamada uma primitiva de f enão a primitiva de f. De facto, também F 1 (x) =x 2 F 2 (x) =x 2 +5 F 3 (x) =x 2 3 Sejam f : I IR uma função e F e G duas primitivas de f. Então existe C IR tal que, G (x) =F (x)+c, para todo o x I. Deste teorema resulta que se F é uma primitiva de f,então toda a primitiva de f se pode exprimir na forma F (x)+c, comc IR. são todas primitivas de f. 5 6 Sabendo que d [ dx x 3 ] =3x 2, pode-se representar a família de todas as primitivas de f (x) =3x 2 por G(x) =x 3 + C. Esta família de funções G éasolução geral da equação diferencial G (x) =3x 2. Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas de uma função incógnita. Uma função f éumasolução de uma equação diferencial se verifica a equação. 7 Chama-se integral indefinido da função f (x), e denota-se por f (x)dx, atodaaexpressão da forma F (x)+c,com C IR,em que F (x) é uma primitiva de f (x). Assim f (x)dx = F (x)+c se F (x) =f (x) No integral f (x)dx, diz-se que f é a função integranda e x avariável de integração. Podemos denotar a primitiva de uma função f (x) porpf (x) ou f (x)dx. O processo que permite determinar a primitiva de uma função chama-se primitivação ou integração. Os integrais indefinidos são úteis para a resolução de certas equações diferenciais. 8

3 Encontre a solução geral da equação diferencial y = 2 Em primeiro lugar procurar-se-á uma função cuja derivada seja 2. Uma tal função poderá sery = 2x. Como a família de primitivas éasolução geral da equação diferencial conclui-se que a solução geral da equação diferencial dada é y = 2x + C Determine a família de primitivas de f (x) =cos(x). A família de primitivas da função f (x) =cos(x) é cos(x)dx =sin(x)+c, com C IR, porque (sin(x)+c) =cos(x), para todo o x IR dx = x + C, com C IR 2. af (x)dx = a f (x)dx, onde a é uma constante. 3. Sejam f e g duas funções definidas em I e α e β duas constantes reais. Se f e g são funções primitiváveis, então αf + βg é primitivável e (αf (x)+βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx)dx. Determine a família de primitivas de f (x) =3sin(x)+2x Afamília de primitivas da função f é (3 sin(x)+ 2x)dx = 3 sin(x)dx +2 xdx = 3cos(x)+x 2 +C 11 12

4 A maneira mais simples de calcular a primitiva de uma função f é procurar na tabela de derivadas, uma função F tal que F (x) =f (x) Nesta secção serão apresentadas as primitivas de certas funções elementares, conhecidas por primitivas imediatas, que se obtêm (de imediato) por inversão das regras de diferenciação. Sejam f uma função diferenciável e C uma constante real. 1. f f p dx = f p+1 + C, p 1. p +1 f 2. dx = ln f + C. f 3. f e f dx = e f + C. 4. f a f dx = af + C, a constante. ln(a) 5. f sin(f )dx = cos(f )+C. 6. f cos(f )dx =sin(f )+C (cont.) 7. f tan(f )dx = ln cos(f ) + C. 8. f cot(f )dx = ln sin(f ) + C. 9. f sec 2 (f )dx =tan(f )+C. 10. f cosec 2 (f )dx = cot(f )+C. 11. f sec(f )tan(f )dx = sec(f )+C. 12. f cosec 2 (f )cot(f )dx = cosec(f )+C. (cont.) 13. f sec(f )dx = ln sec(f )+tan(f) + C. 14. f cosec(f )dx = ln cosec(f )+cot(f ) + C. Note-se que os resultados do teorema anterior podem ser demonstrados por derivação, ou seja, ao derivar o membro da direita tem que se obter a função a integrar

5 Determine (3x +1) 4 dx. Considerando f =3x +1ep = 4, vem que f = 3. Para se aplicar oprimeirocasodoteoremaanterioré necessário multiplicar e dividir a função integranda por 3, (3x +1) 4 dx = 1 3 3(3x +1) 4 dx com C IR = 1 (3x+1) C = (3x+1) C Determine sin(1 2x)dx. Apliquemos o caso 5 do teorema anterior e considere-se f =1 2x. Comof = 2 é necessário multiplicar e dividir a função integranda por 2, sin(1 2x)dx = 1 3 2sin(1 2x)dx com C IR = 1 3 cos(1 2x)+C 17 18