Os números primos de Fermat complementam os nossos números primos, vejamos: Fórmula Geral P = 2 = 5 = 13 = 17 = 29 = 37 = 41 = Fórmula Geral

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1 Os números primos de Fermat complementam os nossos números primos, vejamos: Fórmula Geral P = 2 = 5 = 13 = 17 = 29 = 37 = 41 = Fórmula Geral 4 4

2 = 53 Em que temos a fórmula geral: Exatamente um primo existe em a ou b no numerador. E exatamente um primo existe no denominador, salvo quando os primos forem univitelinos. Exemplo:

3 São primos de Fermat idênticos aos nossos primos, onde em linguagem matemática, são primos da forma e primos da forma 4 p, tal que p sejam idênticos para a, b. Juntando as duas fórmulas, temos a sequência de números primos de Fermat e o nosso, mas não a sequência de todos os números primos, neste quesito a fórmula falha: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 37, 41, 43, 53, Nisto consiste um número primo univitelino. Sendo o número 29 o único primo univitelino dos dois conjuntos de primos segundo a relação das equações dada anteriormente. O que nos leva a pergunta: existem infinitos primos univitelinos? Suponha que existem finitos primos univitelinos. Agora considere o número natural n =. O

4 número n possui um fator primo, que, portanto, deve ser um dos ; mas isso implicaria que p divide 1. O que é um absurdo. Portanto, existem infinitos primos univitelinos. É possível expressar a hipótese de que todos os números primos, isto é, todas as mônadas, podem ser expressas por meio de uma série de frações exatas com denominador 2 para numeradores pares e denominador 3 para numeradores ímpares ( (4 p )

5 3, 13, 17, 19, Comparando toda a série, temos o conjunto de alguns números primos: 4n , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 37, 41, 43, 53, Nesta fórmula está contido o conjunto de todos os números de Fermat e as duas formas que encontramos. Mas ele ainda não revela o conjunto de todos os números primos, faltando alguns, como, por exemplo, 31, 47, 59 e Isso indica que existe pelo menos mais uma fórmula de primos que precisamos encontrar para formar o conjunto de todos os números primos.

6 23, 31, 47, 59, 61 Cada fórmula gera primos distintos uns dos outros com exceção dos primos univitelinos, e as três formas juntas geram o conjunto de todos os números primos p. Agora temos a fórmula: 4n , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, Onde os números anulados em vermelho são todos os primos univitelinos. Em fim agora temos o conjunto de todos os números primos. Percebam que os

7 numeradores são todos números compostos múltiplos de 2 com denominadores todos iguais a 2, então temos um teorema fundamental dos números primos. Cuja fórmula geral é um corolário de que existem infinitos números primos: 4n Ou: 4 Para provar esse teorema devemos mostrar que o enunciado vale para cada n = 1. O segundo passo é mostrar que, se o enunciado vale para n = k, então o mesmo enunciado vale para n = k + 1. Como vimos, o enunciado é verdadeiro para alguns valores iniciais das frações que geram primos, provando que cada fração é

8 válida para o numerador múltiplo de 2. Como ambas as coisas podem ser provadas, então qualquer número primo pode ser obtido através de frações partindo do mesmo processo. Se tivermos uma longa série de frações que geram números primos e pudermos assegurar que infinitas frações geram números primos então o teorema estará provado. Para isso é preciso que nos asseguremos de que a primeira fração gera um número primo, e, sempre que uma fração for substituída, gera-se sempre outra fração que produz um número primo. Então podemos concluir que todos os números primos, isto é, todas as mônadas, podem ser expressas por meio de uma série de frações exatas com denominador 2 para numeradores pares e denominador 3 para numeradores ímpares. Desejamos provar que:

9 Para todos os números primos 2 e 3. Esta é uma fórmula para a soma da série dos números primos de 2. A prova de que todos os números primos, isto é, todas as mônadas, podem ser expressas por meio de uma série de frações exatas com denominador 2 para numeradores pares é seguinte: O primeiro passo é tomar a base da prova; que serão 2. Obviamente, do lado esquerdo da equação fica: E do lado direito da equação fica:

10 Logo o enunciado de que todos os números primos, isto é, todas as mônadas, podem ser expressas por meio de uma série de frações exatas com denominador 2 para numeradores pares é verdadeiro para n = 1 quando n. Desejamos provar que: Para todos os números primos 3. Esta é uma fórmula para a soma da série dos números primos de 3. A prova de que todos os números primos, isto é, todas as mônadas, podem ser expressas por meio de uma série de

11 frações exatas com denominador 3 para numeradores ímpares é a seguinte: O primeiro passo é tomar a base da prova; que serão 3. Obviamente, do lado esquerdo da equação fica: E do lado direito da equação fica: Logo o enunciado de que todos os números primos, isto é, todas as mônadas, podem ser expressas por meio de uma série de frações exatas com denominador 3 para numeradores ímpares é verdadeiro para n = 1 quando n.

12 Comparando com os dígitos binários da diagonalização de Cantor, uma ilustração de que existem infinitos números primos incontáveis na diagonalização de Cantor na base 7 pode ser demonstrada. Existem, pois, dois conjuntos incontáveis: o conjunto dos números reais e o conjunto dos números primos. s1 = ( ) s2 = ( ) s3 = ( ) s4 = ( ) s5 = ( ) s6 = ( ) s7 = ( ) s1 = ( ) s2 = ( )

13 s3 = ( ) s4 = ( ) s5 = ( ) s6 = ( ) s7 = ( )... S = ( ) = 1 p = s p Este é mais um corolário de que existem infinitos números primos. Considere o conjunto T como sendo todas as sequências infinitas de dígitos binários representando cada S um número primo. Desse modo se é qualquer número primo em T, então resta sempre um elemento s de T que não corresponde a nenhum na enumeração dos números primos. Onde os são distintos de T, não sendo contável e não enumerável. A

14 sequência de primos na parte inferior não pode surgir em nenhum lugar em T, sendo, portanto, não enumerável. Como o conjunto das partes infinitesimais do conjunto T tem mais elementos que s, como s é um conjunto infinito, então g (x) é um conjunto incontável. O argumento prova que o conjunto dos números primos é não enumerável. A primeira fórmula dos primos aproximada é: Onde a barra representa a divisibilidade por 2 do número composto em questão na fórmula. Aproximada na medida em que não sabemos que número composto irá satisfazer a fração. Perceba que a série é sempre formada por um numerador composto e um denominador primo. Mas seu defeito está em

15 nem sempre formar primos com todos os numeradores compostos, mas somente com alguns. Em que se distribui em duas formas: Onde todo numerador par é divisível por um denominador 2, e todo numerador ímpar é divisível por um numerador ímpar 3, gerando sempre o próximo número primo. De modo que todos os numeradores que geram números primos são 2 e 3. Seja n = 2, sabemos de imediato que ele é uma mônada, pois é um número primo. Agora suponhamos o mesmo resultado para todo número natural n e vamos provar que a fração vale para todo

16 primo. Observe que, se n é uma mônada = 2, ou seja, um número primo; então nada temos para provar, pois todo número natural n. No entanto, sendo n = 4 um número composto, existem infinitas frações tais que n = xy com todo número natural n. Por hipótese de indução, temos que existem infinitas frações tais que x =... e y =..., logo n = que expressam sempre números primos. Quanto à cardinalidade dos números primos e reais. ( ) ( )... Para provar que a cardinalidade dos números primos é equivalente à cardinalidade dos números reais, organizamos números

17 primos em reais em uma tabela. Cada linha tem frações com números primos em ordem crescente tendendo ao infinito, e cada coluna também tem frações com números primos, compondo assim uma síntese de números primos e reais. ( ) ( )... Porém os dois conjuntos são incontáveis, mesmo sendo possível estabelecer uma bijeção entre eles. Onde cada número inteiro positivo corresponde a exatamente um número primo real e vice e versa, provando que o conjunto dos números primos possui exatamente o mesmo numero de elementos do conjunto dos números reais. Sendo possível estabelecer uma relação de um para um entre os números primos e os números reais.

18 Iniciando na ponta, basta circular uma linha entre cada número primo real, que são números reais formados unicamente por primos, em ordem crescente, que a cada primo corresponde a um número real e vice e versa. Números reais distintos um dos outros, associando cada um deles a um número primo, fazendo uma lista: A pergunta é: será que se fizermos uma lista com todos os números primos real, com exceção do zero, obteremos infinitos primos tal que p + 1? Vamos usar todos os números primos reais que existem, sem restar nenhum? Não, pois tanto o conjunto dos números primos quanto o conjunto dos números reais

19 são incontáveis. Mesmo que nossa lista inclua todos os números primos real ainda sobrarão infinitos números primos reais que não estão inclusos na lista de número primos reais. Para demonstrar isso basta consideramos um número primo real como, por exemplo,. Escrevemos o zero e a vírgula e o primeiro termo após a vírgula deve ser igual a 2, que é o único número primo par, sendo o primeiro termo depois da vírgula no primo real associado ao numero primo 2. Esse número primo real está presente na lista de correspondência com o conjunto de todos os números primos, posto que o algarismo numa posição aleatória n depois da

20 vírgula sempre difere do algarismo da posição 1. c. q. d