Estruturas Discretas
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- Adelino Bacelar Farinha
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1 Estruturas Discretas Marco Molinaro > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 1/27
2 Conteúdo 1 Conceitos Básicos Teorema Lema e Corolário Proposição Axiomas e Definições 2 Quantificadores 3 Exercícios > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 1/27
3 Conceitos Básicos > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 2/27
4 Motivacao Porque? Demonstrar que determinado algoritmo funciona Ex: Algoritmos de ordenacao Algoritmos de criptografia Algoritmos de caminho mais curto (*) (Em Analise de Algoritmos utilizaremos para analizar o quao rapido é um algoritmo) > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 3/27
5 Conceitos Básicos O primeiro passo para a resolução de um problema é defini-lo correta e precisamente. A formulação do problema envolve as seguintes questões: Qual o objeto (ou quais os objetos) em análise? O que se deseja provar? Hoje focaremos precisamente em como formular problemas (Na proxima aula falaremos de provas) > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 4/27
6 Teorema Teorema: proposição (ou resultado) que desejamos demonstrar Um teorema e dividido em duas partes: Hipótese: Apresenta as informações sobre o objeto de prova, o que assumimos. Essas informações são tomadas como verdadeiras Tese: E a parte do teorema que desejamos validar, a partir da hipótese, utilizando uma sequencia de argumentos formais. Hipótese Tese > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 5/27
7 Teorema Ex: Teorema Seja n um número inteiro primo maior que 2. Então n é ímpar. }{{}}{{} Hipotese Tese > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 6/27
8 Teorema Ex: Teorema Seja n um número inteiro primo maior que 2. Então n é ímpar. }{{}}{{} Hipotese Tese Teorema Seja n um número inteiro. Se a soma dos digitos de n é divisivel por 3 }{{} Hipotese Então n é divisivel por 3. }{{} Tese > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 6/27
9 Teorema Obs: Geralmente a hipotese é dada de forma implicita Ex: Teorema A soma dos ângulos internos de um triangulo é 180 graus. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 7/27
10 Teorema Obs: Geralmente a hipotese é dada de forma implicita Ex: Teorema A soma dos ângulos internos de um triangulo é 180 graus. (Hipotese: o objeto da prova é um triangulo; Tese: a soma de seus angulos é 180 graus) > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 7/27
11 Lema e Corolário Em alguma casos teoremas recebem nomes especiais Quando um teorema é utilizado para demonstrar um outro teorema, em geral mais complexo, ele recebe o nome de Lema Quando um teorema é uma consequência imediata de outro ele recebe o nome de Corolário. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 8/27
12 Lema e Corolário Em alguma casos teoremas recebem nomes especiais Quando um teorema é utilizado para demonstrar um outro teorema, em geral mais complexo, ele recebe o nome de Lema Quando um teorema é uma consequência imediata de outro ele recebe o nome de Corolário. Teorema A soma dos ângulos internos de um triangulo é 180 graus. Corolário Cada angulo de um triangulo equilátero vale 60 graus. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 8/27
13 Lema e Corolário Em alguma casos teoremas recebem nomes especiais Quando um teorema é utilizado para demonstrar um outro teorema, em geral mais complexo, ele recebe o nome de Lema Quando um teorema é uma consequência imediata de outro ele recebe o nome de Corolário. Teorema A soma dos ângulos internos de um triangulo é 180 graus. Corolário Cada angulo de um triangulo equilátero vale 60 graus. (Essas distinções não são muito importantes para nós) > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 8/27
14 Proposição Uma proposição pode ser falsa ou verdadeira. Caso seja encontrada uma prova, ela se tornara um teorema Proposição Tudo numero múltiplo de 4 é múltiplo de 3 Proposição Existem infinitas de triplas de naturais (x, y, z) tais que x 2 + y 2 = z 2 Proposição O algoritmo Heapsort realiza no máximo 5n log n comparações para ordenar uma lista de n números > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 9/27
15 Definições Definição é a enumeração das propriedades de um determinado objeto (ou coleção de objetos) Definição Um inteiro p é primo }{{} Objeto se e somente se for divisível por exatamente quatro números: 1, 1, p e p. }{{} Propriedades > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 10/27
16 Definições Definição é a enumeração das propriedades de um determinado objeto (ou coleção de objetos) Definição Um inteiro p é primo }{{} Objeto se e somente se for divisível por exatamente quatro números: 1, 1, p e p. }{{} Propriedades Definição O módulo r de um número real r é r, se r 0, ou r, se r < 0. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 10/27
17 Definições Toda definição é correta. Não há necessidade (ou maneira) de prová-la. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 11/27
18 Definições Toda definição é correta. Não há necessidade (ou maneira) de prová-la. As vezes o mesmo objeto recebe duas diferentes definições. Quando isso ocorre, é necessário provar que as definições se equivalem. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 11/27
19 Definições Toda definição é correta. Não há necessidade (ou maneira) de prová-la. Ex: As vezes o mesmo objeto recebe duas diferentes definições. Quando isso ocorre, é necessário provar que as definições se equivalem. Definição Uma árvore é um grafo conexo cujo número de arestas é igual ao número de nós menos 1 Definição Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 11/27
20 Quantificadores > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 12/27
21 Quantificadores Pergunta: O seguinte teorema é interessante? Porque nao/sim? Teorema O número 5 é primo. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 13/27
22 Quantificadores Pergunta: O seguinte teorema é interessante? Porque nao/sim? Teorema O número 5 é primo. Não é muito interessante: fala apenas de um número específico Para falarmos de múltiplos objetos, precisamos de quantificadores > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 13/27
23 Quantificadores Temos 2 quantificadores: O quantificador todo é representado por, e muitas vezes utilizamos o termo qualquer que seja em seu lugar O quantificador existe é denotado por > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 14/27
24 Quantificadores Temos 2 quantificadores: O quantificador todo é representado por, e muitas vezes utilizamos o termo qualquer que seja em seu lugar O quantificador existe é denotado por Obs: Geralmente utilizamos quantificadores para elementos dentro de uma coleção espcífica de objetos Ex: para todo número inteiro... ; existe uma função... > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 14/27
25 Quantificadores Temos 2 quantificadores: O quantificador todo é representado por, e muitas vezes utilizamos o termo qualquer que seja em seu lugar O quantificador existe é denotado por Obs: Geralmente utilizamos quantificadores para elementos dentro de uma coleção espcífica de objetos Ex: para todo número inteiro... ; existe uma função... Proposição Todo numero primo maior que 2 é impar. Proposição Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 14/27
26 Quantificadores Negacao: Frequentemente precisamos encontrar a negação de uma proposicao. Para isso, é fundamental entender o significado dos quantificadores: Proposição Toda tripla de números inteiros x, y e z é tal que x 2 + y 2 z 2. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 15/27
27 Quantificadores Negacao: Frequentemente precisamos encontrar a negação de uma proposicao. Para isso, é fundamental entender o significado dos quantificadores: Proposição Toda tripla de números inteiros x, y e z é tal que x 2 + y 2 z 2. Proposição (negacao) Existe uma tripla de números inteiros x, y e z tal que x 2 + y 2 = z 2. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 15/27
28 Quantificadores Negacao: Frequentemente precisamos encontrar a negação de uma proposicao. Utilizamos para denotar negacao Proposição Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 16/27
29 Quantificadores Negacao: Frequentemente precisamos encontrar a negação de uma proposicao. Utilizamos para denotar negacao Proposição Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k Proposição (negacao) Existe numero par n, tal que pra todo numero natural k, n 2k > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 16/27
30 Quantificadores Porque negacao: Importante para provar/desprovar proposicao: basta desprovar/provar negacao. Outra perspectiva. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 17/27
31 Quantificadores Porque negacao: Importante para provar/desprovar proposicao: basta desprovar/provar negacao. Outra perspectiva. Exemplo bobo: A seguinte proposicao é verdade? Como provar? Proposição Todo numero primo maior que 2 é par > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 17/27
32 Quantificadores Porque negacao: Importante para provar/desprovar proposicao: basta desprovar/provar negacao. Outra perspectiva. Exemplo bobo: A seguinte proposicao é verdade? Como provar? Proposição Todo numero primo maior que 2 é par Resposta: É falsa: 3 é primo e não par > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 17/27
33 Quantificadores Porque negacao: Importante para provar/desprovar proposicao: basta desprovar/provar negacao. Outra perspectiva. Exemplo bobo: A seguinte proposicao é verdade? Como provar? Proposição Todo numero primo maior que 2 é par Resposta: É falsa: 3 é primo e não par O que voce acabou de mostrar é que a negacao da proposicao é verdadeira (entao a proposicao é falsa) Proposição (negacao) Existe numero primo maior que 2 que é impar > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 17/27
34 Quantificadores Como encontrar a negacao de uma proposicao com quantificadores? 1 Entendendo o significado da proposicao, invertendo-o > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 18/27
35 Quantificadores Como encontrar a negacao de uma proposicao com quantificadores? 1 Entendendo o significado da proposicao, invertendo-o 2 Forma mecanica (recap. logica) > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 18/27
36 Quantificadores Como encontrar a negacao de uma proposicao com quantificadores? 1 Entendendo o significado da proposicao, invertendo-o 2 Forma mecanica (recap. logica) [ x, expressao(x)] vira x, expressao(x) [ x, expressao(x)] vira x, expressao(x) (regras para OU, E, implica ) > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 18/27
37 Quantificadores Exemplo: Aplique a forma mecanica para encontrar a negacao de proposicao abaixo Proposição Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 19/27
38 Quantificadores Exemplo: Aplique a forma mecanica para encontrar a negacao de proposicao abaixo Proposição Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k 1 [Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k] > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 19/27
39 Quantificadores Exemplo: Aplique a forma mecanica para encontrar a negacao de proposicao abaixo Proposição Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k 1 [Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k] 2 Existe numero par n tal que [existe numero natural k tal que n = 2k] > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 19/27
40 Quantificadores Exemplo: Aplique a forma mecanica para encontrar a negacao de proposicao abaixo Proposição Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k 1 [Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k] 2 Existe numero par n tal que [existe numero natural k tal que n = 2k] 3 Existe numero par n tal que para todo numero natural k, [n = 2k] > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 19/27
41 Quantificadores Exemplo: Aplique a forma mecanica para encontrar a negacao de proposicao abaixo Proposição Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k 1 [Para todo numero par n, existe numero natural k tal que n = 2k] 2 Existe numero par n tal que [existe numero natural k tal que n = 2k] 3 Existe numero par n tal que para todo numero natural k, [n = 2k] 4 Existe numero par n tal que para todo numero natural k, n 2k > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 19/27
42 Quantificadores Pergunta: Se trocarmos a ordem dos quantificadores, a proposicao continua a mesma? Isso é, x, y, expressao é o mesmo que y, x, expressao? > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 20/27
43 Quantificadores Pergunta: Se trocarmos a ordem dos quantificadores, a proposicao continua a mesma? Isso é, x, y, expressao é o mesmo que y, x, expressao? Nao! Por exemplo, considere conjuntos A 1 = {4, 5} e A 2 = {5, 6}. A proposicao: Proposição Para todo i {1, 2}, existe numero par n tal que n A i é verdadeira, mas com a ordem trocada é falsa: Proposição (ordem trocada) Existe numero par n tal que para todo i {1, 2}, n A i > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 20/27
44 Quantificadores Ou seja, tem que ter cuidado com a ordem dos quantificadores > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 21/27
45 Quantificadores Ou seja, tem que ter cuidado com a ordem dos quantificadores Na verdade a ordem x, y é mais fraca que y, x : Na primeira podemos pegar um y diferente pra cada x... mas na segunda, o mesmo y tem que funcionar para todos os x > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 21/27
46 Quantificadores Ou seja, tem que ter cuidado com a ordem dos quantificadores Na verdade a ordem x, y é mais fraca que y, x : Na primeira podemos pegar um y diferente pra cada x... mas na segunda, o mesmo y tem que funcionar para todos os x O teorema MINIMAX, essencialmente utilizado por John Nash em teoria de jogos, diz que em um caso especial podemos fazer essa troca > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 21/27
47 Exercícios > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 22/27
48 Exercícios Exercício 1 - Seja I um intervalo, e f : I R uma função contínua. Reescreva as seguintes proposições utilizando quantificadores: a - A função f é constante b - A função f não é constante (sem usar negacao) c - A função f atinge o valor zero > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 23/27
49 Exercícios Exercício 1 (solucao) - Seja I um intervalo, e f : I R uma função contínua. Reescreva as seguintes proposições utilizando quantificadores: a - A função f é constante v R, x I, f (x) = v b - A função f não é constante (sem usar negacao) v R, x I, f (x) v c - A função f atinge o valor zero x I, f (x) = 0 > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 24/27
50 Exercícios Exercício 1 (solucao) - Seja I um intervalo, e f : I R uma função contínua. Reescreva as seguintes proposições utilizando quantificadores: a - A função f é constante v R, x I, f (x) = v b - A função f não é constante (sem usar negacao) v R, x I, f (x) v c - A função f atinge o valor zero x I, f (x) = 0 Pergunta: Na letra (a), obtemos a mesma proposicao se trocarmos a ordem v R, x I, f (x) = v por x I, v R, f (x) = v? > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 24/27
51 Exercícios Exercício 1 (solucao) - Seja I um intervalo, e f : I R uma função contínua. Reescreva as seguintes proposições utilizando quantificadores: a - A função f é constante v R, x I, f (x) = v b - A função f não é constante (sem usar negacao) v R, x I, f (x) v c - A função f atinge o valor zero x I, f (x) = 0 Pergunta: Na letra (a), obtemos a mesma proposicao se trocarmos a ordem v R, x I, f (x) = v por x I, v R, f (x) = v? Nao! A segunda prop. é sempre verdade, nao so quando f é constante. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 24/27
52 Exercícios Exercício 2 - Seja f : R R uma função. Negue as seguintes proposições: a - x R, f (x) 0. b - M > 0, A > 0, x A, f (x) > M. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 25/27
53 Exercícios Exercício 2 (solucoes) - Seja f : R R uma função. Negue as seguintes proposições: a - x R, f (x) 0 x R, f (x) = 0 b - M > 0, A > 0, x A, f (x) > M (pra todo M, eventualmente f fica eternamente maior que M ) M, A > 0, x A, f (x) M (existe M tal que, mesmo olhando o quao longe quiser, existe ponto onde f é no máximo M ) > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 26/27
54 Exercícios Exercício 3 - Determine se cada proposicao é verdadeira ou falsa a - x R, y R, z R, z xy = 0 b - y R, x R, z R, z xy = 0 c - y R, z R, x R, z xy = 0 d - a R, ɛ > 0, a < ɛ e - ɛ > 0, a R, a < ɛ > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 27/27
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