LISTA 4 = PIRÂMIDES E CONES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA Professores: Luis Mazzei e Mariana Duro Acadêmicos: Marcos Vinícius e Diego Martinelli LISTA 4 = PIRÂMIDES E CONES 1) Primeiramente, acha-se o raio do círculo circunscrito à pirâmide quadrangular. Para tanto, utiliza-se o Teorema de Pitágoras: r² = ()² + ()² r² = 18 r = 18 cm Agora, pode-se utilizar a seguinte relação para encontrar a altura: a² = r² + h² h² = a² - r² h² = ( 4 )² - ( 18 )² h² = 16 h = 4 cm S base = 6 * 6 = 6 cm² Como o volume de uma pirâmide é dada por, temos que V pirâmide = 6 * 4 = 48 cm³ ) A, B e E S base = ( )² = 18 u² r² = r² = 9 r = u a² = r² + h² h² = a² - r² h² = 16 9 h = 7 u m = l g² = h² + m² + = u g² = ( 7 )² + S lateral = S lateral = l * g 4* * 4* S lateral = 6 u² V pirâmide = = 18 7 V paralelepípedo = 18 7 = 1 *18 7 = 6 7 u³ = 18 7 = V pirâmide Altura da pirâmide geratriz = altura de suas faces 7. g² = g² = 46 4 = g = u

2 ) Uma vez que a base da pirâmide é quadrada, a área da sua base é dada por S base = l*l, ou seja, * = 9. Já a fórmula do volume da pirâmide é dada por V =. Logo, substituindo os valores que a questão nos fornece, temos que o V = 9*4 = 6 = 1 m³. 4) Sendo o perímetro da base é igual a 48 m, temos que cada aresta vale 1 m. Assim, a altura h = * a = * (1) = 4 m. Sendo l = a = aresta da base e m = l, temos que m = 6 m. S base = Superfície da um quadrado com lado medindo 1 m S base = (1) * (1) = 144 m² Para a superfície lateral, tem-se de encontrar a geratriz, pois S latera l = 4 * S face = 4 * g² = h² + m² g² = (4)² + (6)² g² = g² = 61 g = 6 17 m S lateral = 4 * (1 * 6 ) S lateral = 4 * 6 17 S lateral = m² l * g. S total = S base + S lateral S total = m² 5) V pirâmide = V pirâmide = (0)²*147 V pirâmide = m³ 100 *100*100 6) A pirâmide a ser construída possuía volume de m³. Se 54 dias levam para construir 1000m³, a taxa *100* da construção é de dias/m³. O tempo em dias será: m³ x dias/m³. Vão levar, portanto, dias ou 50 anos. Ou Temos V = S base * h * 1

3 A área da base de nossa pirâmide é (100)² = m². Logo, o seu volume é * 100 = esse valor por 1000 obtemos 1000 m³. Para achar o n de dias devemos multiplicar isso por 54. Logo, obtemos =18000 dias. Dividindo isso por 60, achamos que esse valor corresponde a 50 anos. m³. Dividindo 7) Girando em torno do cateto menor, obteremos um cone, cuja geratriz mede 5 cm, raio 4 cm e altura cm. Assim, π *4²* obtém-se o volume substituindo os valores em = = 16π cm³. 8) S lateral = π r² Dado no exercício, S lateral = 18π. Igualando à fórmula, temos que: 18π = π r². Isso só ocorre quando r =. π * r³* Dessa forma, V = = 9π dm³ 9) V = Agora, conforme o problema, a área de base dos dois cones retos é igual, diferindo a altura de um em relação ao outro (o segundo tem o triplo da altura do outro), ou seja: V 1 = Volume do cone 1 V = Volume do cone V 1 = Possui altura x V = Possui altura x * x V1 = * V = S x base = S * base x * x V1 V = S * x = 1 base 10) Sabemos que o perímetro da circunferência é dado por C = π r, e, segundo o exercício, o comprimento é 6π. Com isso, conseguimos encontrar o raio do cone. 6*π = *π * r 6 * π * π = r r = cm D = 6 cm, em que D é o diâmetro da base, ou seja, D = R. Como sua altura é do diâmetro; isso nos leva à uma altura de valor 4 cm. Agora temos de encontrar a sua área lateral, que é dada por S lateral = π *r*g, em que g é a geratriz. g² = r² + h²

4 g² = ()² + (4)² g = 5 cm Continuando as contas: S lateral = π **5 S lateral = 15π cm² 11) Se completarmos a circunferência de raio 6 cm e notarmos que o ângulo central da planificação do cone é 60. Sabendo que, numa circunferência, que a sua área é dada por S setor circular = π R² S setor circular = π (6)² S setor circular = 6π cm² Considerando que a circunferência toda é 60, podemos fazer uma regra de três simples ou simplesmente podemos notar que 60 é 1/6 da circunferência toda, ou seja, basta dividir por 6 o resultado encontrado, o que nos leva à S setor circular = 6π cm². 1) Como sabemos o silo é a união de dois sólidos: entre um cone e um cilindro e que o volume do cilindro é dado por V cilindro = S base * h S base = π * r² S base = 9π m² e h cilindro = m V cilindro = 9π * V cilindro = 18π m³ Se notarmos o raio do cone é o mesmo raio do cilindro e sua altura é a diferença entre a altura total e a altura do cilindro, nos levando a uma altura de 4 m. V cone é volume do cone e h cone volume do cone e sua área de base são a mesma V cone = (9*4* π ) V cone = 1π m³ V total = V cilindro + V cone V total = 18π + 1π V total = 0π m³ 1) Como sabemos o volume do cone é dado por V = fornece, que é 18π Sb * h, basta igualar essa fórmula ao valor que o exercício nos cm³, para encontrar o raio. Assim, descobrimos que r = cm e S base = 9 cm², pois S base de um cone =π * r². Agora, substituimos na equação para encontrarmos sua altura. 18π = 9 π * h *18π = h 9π h = 6 cm 14) O perímetro da base do cone vale C = *π * r = *π * (4) = 8π. R = g = h² + r² = ² + 4² = 5 = 5 cm. Logo, o setor possui raio r = 5 cm. O comprimento do arco do setor vale o produto do raio r pelo ângulo em radianos: l = r *θ l = C = 8π

5 8π = 5 *θ θ = 8 π = 88º 5 15) Sabemos que a geratriz do cone mede 1 cm e que seu diâmetro mede 10 cm. Como temos que o diâmetro é o dobro do raio, a medida do raio é igual a 5 cm. Agora queremos encontrar a sua área lateral e o seu volume, mas temos de encontrar, primeiramente, a altura h do cone para encontrar o volume do sólido. g² = h² + r² 1² = h² + 5² h = 1 cm S lateral =π * r * g S lateral = π *5*1 S lateral = 75π cm² S base = π r² S base = 5π cm² S total = S base + S lateral S total = 5π + 75π S total = 90π cm² Volume = Volume = Sb * h 5 π *1 Volume = 100π cm³ 16) Temos o volume do cone que é 4π e, sabendo que a sua altura vale cm, queremos encontrar seu diâmetro. Basta aplicar somente a fórmula para encontrar seu volume. π r²* h V = π r²* h 4π = r = cm Como temos que o diâmetro é o dobro do raio temos diâmetro igual a 4 cm. 17) Como podemos notar no desenho o valor do diâmetro do cone (que é formato da taça) é igual a 10 cm (5 cm de raio) e a altura de 0 cm. Para facilitar nossas contas, podemos notar que, como é pedido no problema, o π dever ser substituído por. Temos que 1L = 1dm³ e, com isso, vamos passar nossas medidas para dm para já encontrarmos o resultado sem a necessidade de transformação posterior. 5 cm = 0,5 dm e 0 cm = dm. (( *0,5² ) * ) V = V = 0,5 dm³ = 1 volume, pois a cada 1000ml = 1L. dm³. Sabendo que 1 dm³ ocupa 1L, logo a metade disso irá ocupar 0,5L, ou seja, teremos 500ml em 18)Temos que o diâmetro da base é igual a sua geratriz.isso nos leva a g = R e temos g² = r² + h² 4r² = r² + h² h² = r²

6 h = r cm S lateral = π rg S lateral = π *r*r S lateral = r²π cm² S base = π r² S total = S base + S lateral S total = r²π + π r² S total = r²π cm² Stotal = π r ² S lateral π r² Stotal S = lateral