Plano de Aulas. Matemática. Módulo 19 Poliedros

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1 Plano de ulas Matemática Módulo 19 Poliedros

2 Resolução dos exercícios propostos Retomada dos conceitos PÍTULO a) Não-convexo. b) onvexo. c) onvexo. b Sob cada vértice do cubo formam-se faces trianulares, portanto, 8 faces trianulares, e nas próprias faces do cubo formam-se faces quadranulares, portanto, 6 faces quadranulares. O número de faces do poliedro é , em que 8 faces são trianulares, loo (8 ) lados, e 6 faces são octoonais, portanto (6 8) 8 lados. ssim, o número de arestas é dado por plicando a relação de uler, temos o número de vértices: V 1 F 1 ] ] V ] ] V. essa forma, o poliedro tem vértices. b o enunciado, temos que o sólido possui faces sendo: trianulares ] 1 lados 6 exaonais ] lados essa forma, o total de arestas é dado por arestas. a relação de uler, temos: V 1 F 1 ] ] V F 1 ] ] V 1 ] ] V 16 vértices. 7 Um poliedro reular de faces pentaonais tem 1 faces (dodecaedro). omo foram retiradas, restaram 9. O poliedro completo tina 0 arestas ( 1 ). Incidem arestas em cada vértice e foram retiradas ; loo, restaram 7 arestas. Pela relação de uler, no poliedro completo avia: V F 1 ] V ] ] V 0 vértices omo foi retirado 1, restaram 19 vértices. Loo, a superfície poliédrica que restou tem 7, F 9 e V Vértices (V F 1 ) Poliedros Faces restas Tetraedro reular ubo (exaedro reular) Octaedro reular odecaedro reular Icosaedro reular a a fiura, temos que o sólido possui 1 faces, sendo: 6 quadranulares ] 6 lados 8 trianulares ] 8 lados essa forma, o total de arestas é dado por 1 arestas. a relação de uler, temos: V 1 F 1 ] V F 1 ] ] V 1 1 ] V 1 vértices. 9

3 b Inicialmente, tínamos um icosaedro reular, portanto, um sólido com 0 faces, todas trianulares. essa forma, o número de arestas é iual a 0 (0 ). pós todo o processo, notamos que cada aresta foi dividida ao meio, portanto, temos aora 0 60 arestas, porém, para cada face, suriram mais arestas, formadas pelos pontos médios de cada face. omo temos um total de 0 faces, suriu o total de 0 60 arestas. Portanto, o total de arestas dessa nova estrutura é ( ). PÍTULO 1 total ab 1 ac 1 bc ] ] total (ab 1 ac 1 bc) ] ] total ( ) ] ] total ( ) ] ] total 60 ] total 1.00 cm ] ] total 0,1 m Loo, será necessário 0,1 m de papelão. Sabemos que: base 1 dll a base 1 a lateral ] a base base a dll ] 1 dll a dll ] ] dll a dll ] a dll dll ] ] a 8 ] a dll ] dll lateral 6 a ] lateral 6 dll dll ] ] lateral 96 cm paralelepípedo (ab 1 ac 1 bc) cubo 6x (ab 1 ac 1 bc) 6x ] ] ( ) 6x ] ] x ] x 71 ] x d lll 71 d cubo x dll ] d cubo dlll 71 dll dll ] ] d cubo dlll 71 u.c. c única face não adjacente à face de número 1 é a de número. Portanto, c Observando a fiura, desejamos obter a medida do semento MN, que é a distância do ponto M ao centro do quadrado. essa forma, no S: 1 ] a ] a dll Portanto, no SMN: MN N 1 M ] a dll # ] MN a 1 a ] MN a dll 7n d n n a # ] 6 Um cubo de aresta cm é composto por 6 cubinos com arestas de 1 cm. onsideremos um paralelepípedo de dimensões a, b e c for- c b a mado por esses 6 cubinos. Os divisores de 6 (possíveis valores de a, b e c) são: 1,,, 8, 16, e 6. omo a b c 6, á somente sete paralelepípedos formados pelos 6 cubinos, cujas dimensões e área total ( total ) são dadas na tabela: 7 M a b 1 8 c total a) O paralelepípedo de menor área tem dimensões cm, cm e cm. b) O paralelepípedo de maior área tem dimensões 1 cm, 1 cm e 6 cm. d d llllllllllllllll (7n) 1 (n) 1 (n) ] ] d dllllllllllllll 9n 1 n 1 9n ] d dlllll 6 n ] d n dlll 6 u.c. H N F G

4 8 d cubo a dll ] a dll dll dll (a ) Portanto, a aresta do cubo diminui cm. 9 a b c 6 ] a b ] a b b c 6 ] c 6b ] c b d paral. dllllllllll a 1 b 1 c ] dllllllllll a 1 b 1 c ] ] a 1 b 1 c 1. ] b # 1 b 1 (b) 1. ] ] b 9 1 b 1 b 1. ] ] b 1 9b 1 6b 1. 9 ] ] 9b 1. 9 ] b d lllllll ] ] b 7 ] b 1 Portanto: a b ] a 1 ] a e c b ] ] c 1 ] c 0 Loo, as dimensões do paralelepípedo reto- -retânulo são cm, 1 cm e 0 cm. a 6 cm 7 cm 1 cm 1 cm a ] a dlllllll ] a dlll 8 cm base 1 1 ] base 8 cm lateral a ] lateral dlll 8 6 ] ] lateral dlll 8 cm total base 1 lateral ] ] total 8 1 dlll 8 ] ] 7 1 dlll 8 # cm 11 e superfície a ser forrada é formada por retânulos de medidas cm por 0 cm e pelo fundo que é um quadrado de lado cm. medida da área dessa superfície é.6 cm. O tecido é vendido com 0 cm de larura e será necessário 1,1 m de tecido para obter essa área. 1 a função que representa a área da fola de papelão pode ser expressa por: 1 e S(x) (180 1 x)(70 1 x) ] ] S(x) x 1 x ase maior: ase menor: ltura: 1 # 1 ] dll # ] 1 ] ] 1 dll ] dll omo os triânulos IF e I são semelantes com razão 1, temos que GH GI, mas como GI F, conclui-se que GH dll. ssim: JH GH 1 JG ] dll ] JH ] JH dll ] JH dll # 1 1 ] essa forma: ( 1 ) JH dll 1 dll # dll dll dll ] ] 9 ] ] 9 8 J G H I F 11

5 PÍTULO 1 a b c ] d dllllllllll a 1 b 1 c ] ] d dlll 9 ] a b ] a b b c ] c b ] a 1 b 1 c 16 9 ] ] a 1 b 1 c 6 ] b # 1 b b # 6 ] ] b 9 1 b 1 16 b 6 ] 9 ] b 1 9b 1 16b 6 9 ] ] 9b 6 9 ] b ] ] b dllll 1 ] b 1 cm Portanto: a 1 ] a 8 cm e c 1 ] c 16 cm paralelepípedo (ab 1 ac 1 bc) ] ] paralelepípedo ( ) ] ] paralelepípedo 8 cm V paralelepípedo a b c ] ] ] V paralelepípedo 1.6 cm Sabemos que: V prisma dll cm cm V prisma base # ] dll base ] ] base dll ] base dll cm omo, base a dll ] dll a dll ] a dll 8 dll ] ] a dlll 16 ] a cm a) V cubo a 8 ] V cubo 8 cm b) cubo 6 a 6 ] cubo cm c) V cubo a, se dobrar a medida da aresta: V cubo (a) 8 a, então, o volume aumenta 8 vezes. d) cubo 6 a, se dobrar a medida da aresta: cubo 6 (a) 6 a a, então, a área aumenta vezes. 1 a) Se a medida x da aresta aumentar em 0%, a nova medida ficará com 0% da antia mais 0%. 0 0 x 1 0 x x 1 0,x 1,x 0 b) V cubo antes x c) V cubo depois (1,x) 1,78x x 0% 1,78x y ] ] y 1,78x 0% 17,8% x 0% (Volume anterior) 1 7,8% (umento no volume do cubo) Loo, o volume desse cubo aumenta em 7,8%. ubo de aresta a p V a ubo de aresta x p V x x a ] x dlll a ] x a dll 6 b V orifício base ltura ] V orifício 80L V bloco vazado 80 V orifício ] ] V bloco vazado L omo V bloco vazado V orifício, temos: 80L L ] 160L ] ] L.00 ] L 0 dll cm 7 cubo 6 a 96 ] a 96 6 ] ] a dlll 16 ] a m V cubo (a 1 x) 1 ] ( 1 x) ] ] 1 x ] x ] x 1 m Portanto, a aresta deve ser aumentada em 1 m. 8 V cubo a ] a 1.78 ] a dlllll 1.78 ] ] a dlllll 6 ] a ] a 1 cm d cubo a dll ] d cubo 1 dll cm 9 a quantidade de áua contida no copo, sem ter sido inclinado, é dada por: V áua 0,8 ] ] V áua 18 cm x x a cm a

6 t a x ] x t a quantidade de áua no copo quando este é inclinado sobre um ânulo a deve ser a mesma e, nessa confiuração, pode ser calculada por: V áua base ( x) 1 base x ] ] V áua 16 ( t a) 1 16 t a ] ] V áua t a 1 t a ] ] V áua 160 t a Portanto, como os volumes devem ser iuais: t a ] t a ] ] t a 1 ] a w O prisma tem como base um triânulo equilátero, assim: base a dll ] ] base dll ] 6 ] base dll cm 60 o álculo da altura : sen 60w 6 ] dll 6 ] 6 dll ] ] dll cm V prisma base ] V prisma dll dll ] ] V prisma 6 cm 11 a) base 6 a dll ] base 6 dll ] ] base 7, dll cm V prisma base ] V prisma 7, dll ] ] V prisma 7 dll cm b) x 1 cos w ] x 0 1 # ] ] x 0 1 ] x dlll 7 ] x dll área da secção é dada por: x ] dll ] 0 dll Loo, a área da secção é 0 dll cm. 1 d O volume total da peça é 8.0 cm ( # 18 # 18). Peso da peça oriinal: 7. (8.0 # 0,9). Peso a ser retirado com os cubos: 90 ( ). Peso a ser retirado por cubo: 116, (90 8). Volume de cada cubo: 1 cm (116, 0,9). resta de cada cubo: dllll 1. PÍTULO 1 = 8 m = = 1 m ] 1 ] dlllll ] ] cm lateral 8 ] lateral 8 ] ] lateral 80 cm total ] total 1 cm Portanto: base 6 cm, lateral 80 cm e total 1 cm base a ] a 6 ] a dlll 6 ] a 8 cm omo todas as arestas são conruentes, temos: 8 base a ] ] base 8 ] ] base 6 cm x 0 x ] ] dll cm 1

7 lateral 8 dll ] lateral 6 dll cm total dll ] total 1 1 dll # cm 7 Para resolver esse problema, recomenda-se que se faça um esboço. dll cm dll # ] base cm V pirâmide 1 dll ] V pirâmide 0 dll cm R Q M S N O P 8 m 1 H # ] ] ] 6 ] dll 8 ] dll cm 0 ( t ) 1 6 ] t 8 cm V tronco 1 dllllll b 1 b # ] ] V tronco 0 1 dllllll # ] ] V tronco 8 ( ) ] ] V tronco 1.66 cm 8 ] 1 cm H # ] b 1 9 ] b cm V nova pirâmide 1 b ] ] V nova pirâmide 1 ] ] V nova pirâmide O volume da nova pirâmide é cm. t 8 t 6 omo o lado do quadrado mede 8 m, seu apótema mede m e RM mede m, pois M é ponto médio de OR. lém disso, R, pois R divide o semento ao meio. plicando o teorema de Pitáoras no SMR, podemos determinar M. M MR 1 R ] M 1 ] ] M dll Iremos calcular a medida do lado da base, aplicando o teorema de Pitáoras no SMQP. M c Q O c c N P c MP MQ 1 QP ] ] c 1 c ] ] c 16 ] c dll altura da face lateral da pirâmide será calculada aplicando o teorema de Pitáoras no SMS. omo o lado do quadrado mede dll, MS mede dll. dll # dll # ] ] 0 1 ] dll M Q S N P área da superfície da pirâmide é a soma da área da base quadrada com a soma das quatro áreas das faces trianulares (como essa pirâmide é reular, os triânulos das faces são conruentes). Área da base quadrada: quadrado c ] dll # 8 Área das faces trianulares: triânulo c ] triânulo dll dll 6 Portanto, a área da superfície da pirâmide é iual a m (8 1 6). (Pode-se cear a esse resultado também subtraindo-se os triânulos brancos do quadrado 8 # 8).

8 8 b O volume dessa pirâmide é: V m ada parte da pirâmide equivale a m, portanto, o número de partes da pirâmide é: P $ Para construir cada uma das partes, eram astos dias. O número total de dias astos é: onsiderando o ano de 60 dias: b Observe o esboço da pirâmide: No SV, calcula-se o quadrado do cateto V: V V S 0 m m 11 m 11 m No SSV, calcula-se o cateto SV, que é a altura da pirâmide: S V 11 1 ] ] ] ] 11 dll O volume da pirâmide é: V 0 11 dll ] V 0 dll m 6 a) 8 cm b) 8 cm Observe o esboço da pirâmide: álculo de : ] área total de vidro a ser asto corresponde às quatro faces trianulares e à base: total ] total 8 cm O volume de areia é: V areia 1 8 ] V areia 8 cm 1 cm 8 cm V S 1 cm xercícios de interação 1 faces trianulares ] ( ) 0 lados faces pentaonais ] ( ) 0 lados O número de arestas ] (0 1 0) 0 V 1 F 1 ] V 1 F ] ] V ] V Loo, o número de vértices é. ada diaonal é composta por vértices. ssim:,! 1! 0! 1 1 Os vértices são extremidades de 1 sementos, dos quais 0 são arestas e 0 são diaonais das faces pentaonais ( ). Número de diaonais: Loo, esse poliedro convexo tem 11 diaonais. 1

9 16 base 96 dll cm ] 6 c dll 96 dll ] ] c 96 dll ] c dlll 6 ] c 8 cm 6 dll pótema da base: m 8 ] m dlllllll 6 16 ] ] m dlll 8 ] m dll cm m dll cm lateral 6 c 6 8 dll lateral 19 dll cm x c dll ] 0 dll c dll ] c 0 dll dll ] ] c dll 6 cm V paralelepípedo base ] ] V dll 6 # 60 ] ] V paralelepípedo cm total 8 a dll ] total 8 dll ] ] total 00 dll cm 60 o m = = 60 cm 1 ] ] dllllllll 0 ] ] dlll 7 ] ] dll dll # ] ] ] ] dlll 0 ] ] dll cm O octaedro é formado por duas pirâmides quadranulares reulares. V 1 0 dll # ] ] V octaedro dll cm t 60w 60 x ] ] x 60 dll ] ] x 0 dll cm e Se todas as faces são trianulares, temos que F, ou seja, F. ssim, pela relação de uler, temos: V 1 F 1 ] F F 0 1 ] ] F 18 ] F 6 6 Os dados do enunciado permitem escrever: a, b e c estão em uma PG: b a c (I) d dllllllllll a 1 b 1 c ] a 1 b 1 c 91 (II) a 1b 1c ] a 1 b 1 c 1 (III) e (III) a 1 c 1 b, elevando os dois membros ao quadrado: (a 1 c) (1 b) ] ] a 1 c 1 ac 1 1 b 6b (IV) e (II) a 1 c 91 b Substituindo (I) e (II) em (IV): 91 b 1 ac b 6b 91 b 1 b b 6b 6b 78 0 ] b V a b c V b b ] V b ] V 7 cm 7 H # ] b ] b 8 0 ] 16 ] b cm V áua 1 b ] V áua 1 8 ] ] V áua 00 cm 8 c Seja V o número de vértices, o de arestas e F o de faces, além disso, x o número de faces trianulares e y o número de faces quadranulares. x 1 y V F x 1 y essa forma, temos que a P é (y, x, x 1 y). a propriedade da P, temos: y 1 x 1 y x ] x y (I) a relação de uler, temos: V 1 F 1 ] V 1 F ] x 1 y ] 1 x 1 y ] ] 0 x y 1 x 1 y ] Substituindo (I) ] 0 6y y 1 y 1 y ] ] y 16 ] y x 1 y Portanto, x 8 e: ] 0

10 9 V base ] V 8 ] V 0 cm a 0, b e c 6 1, 9 papel % da área do embrulo 1, papel 1, ( ) ] 11 Perímetro da base 60 m. c 60 ] c 1 m base 1 m m V reservatório base ] 1 ] V reservatório 7.87 m 60% de m Loo, restam para encer.10 m (7.87.7). cm cm y sen 60w dll ] y dll 6 x cos 60w dll ] x dll 1 a) b) M, 1,7 m em 1, m e ] papel, ( ) ] Portanto: 1,7 1, 1 ] 0,8 m ] papel, 90 ] papel.17 cm 60 o x y N M 1 6 m M=N m m = Seja V o volume do sólido F, temos que: V F V prisma 1 V pirâmide ] ] V F 1 ] V F 8 1 d câmara é um paralelepípedo reto de base retanular com dimensões 00 m e 17 m, cuja altura é a distância entre o nível do rio e o nível da jusante, ou seja, 0 m. Portanto seu volume é m. omo a vazão é de aproximadamente.00 m por minuto, temos que a embarcação leva cerca de 16 minutos para descer ( :.00). m M m 6 x x o x dll 6 dll # ] ] 10 0 ] ] 0 ] V paralelepípedo base ] ] V paralelepípedo 0 Portanto, o volume do paralelepípedo é de 0 cm. 1 a maior aresta lateral da pirâmide é PG We a menor é P. Pela fiura, temos: P 1 8 cm G dll cm plicando o teorema de Pitáoras no SPG, temos: PG G 1 P ] PG ] ] PG dlll 8 cm 16 a V pirâmide 1 ] V pirâmide, u.v. Área da base ltura V sólido V cubo V pirâmide ] ] V sólido 6, ] V sólido 198 u.v. 17

11 Gabarito Retomada dos conceitos PÍTULO 1 1 a) não-convexo. b) convexo. c) convexo. om cuidado, monte mentalmente a fiura até se certificar de ter encontrado o que se pede. b vértices b 6 resposta deve ser uma composição com triânulos, quadriláteros e 1 pentáono. 7 7, F 9 e V n dlll 6 u.c. 18 Poliedros Faces restas Vértices Tetraedro reular 6 ubo (exaedro reular) a b Octaedro reular odecaedro reular Icosaedro reular PÍTULO 1 0,1 m de papelão lateral 96 cm dlll 71 u.c. c c 6 a) cm, cm e cm b) 1 cm, 1 cm e 6 cm 8 aresta do cubo diminui cm. 9 cm, 1 cm e 0 cm total (7 1 dlll 8 ) cm 11 e 1 a 1 e PÍTULO 1 paralelepípedo 8 cm V paralelepípedo 1.6 cm a cm a) V cubo 8 cm b) cubo cm c) O volume aumenta 8 vezes. d) área aumenta vezes. a) 1,x b) ntes: x ; depois: 1,78x c) umenta em 7,8%. x a dll 6 b 7 aresta deve ser aumentada em 1 m. 8 a 1 cm d cubo 1 dll cm 9 a V prisma 6 cm 11 a) V prisma 7 dll cm b) secção 0 dll cm 1 d

12 PÍTULO 1 base 6 cm, lateral 80 cm e total 1 cm lateral 6 dll cm total 1 1 dll # cm V pirâmide 0 dll cm dll cm V tronco 1.66 cm 6 cm 7 x m 8 b 9 b a) 8 cm b) 8 cm xercícios de interação 1 11 diaonais lateral 19 dll cm V paralelepípedo cm total 00 dll cm e V octaedro dll cm 6 7 cm 7 V áua 00 cm 8 c 9 V 0 cm papel.17 cm m 1 0 cm 1 a) 0,8 m b) 8 1 d 1 a 16 a 19