Revisão: Geometria Espacial MATEMÁTICA

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1 Professor: Revisão: Geometria Espacial ARGENTINO o ano DATA: 6 / 10 / 015 MATEMÁTICA 1. (Unisc 015) Um reservatório cúbico de 60 cm de 1 de água e precisa ser totalmente esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de a) 7, litros. b) 7 litros. c) 1,6 litros. d) 16 litros. e) 5 litros. profundidade está com. (Unesp 015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 1 metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura ). 5. (Fgv 015) Determinada marca de ervilhas vende o produto em embalagens com a forma de cilindros circulares retos. Uma delas tem raio da base cm. A outra, é uma ampliação perfeita da embalagem menor, com raio da base 5cm. O preço do produto vendido na embalagem menor é de R$,00. A embalagem maior dá um desconto, por ml de ervilha, de 10% em relação ao preço por ml de ervilha da embalagem menor. Nas condições dadas, o preço do produto na embalagem maior é de, aproximadamente, a) R$,51. b) R$,6. c) R$,1. d) R$,81. e) R$,5. 6. (Uemg 015) Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta igual a 10 metros. Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere π ) a) 5,76 m. b), m. c) 6,8 m. d) 8,7 m. 7. (Pucrs 015) Uma casquinha de sorvete na forma de cone foi colocada em um suporte com formato de um cilindro, cujo raio da base e a altura medem a cm, conforme a figura. Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a 18 m, então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a a),5. b),75. c),50. d),50. e),00.. (Uel 015) Na molécula do Metano (CH ), o átomo de carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio. O volume da parte da casquinha que está no interior do cilindro, em cm, é a) Considerando que as arestas l do tetraedro regular medem 1 6 cm e que a altura mede h = l 6, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro. a) cm b) 18 cm c) 18 cm d) 6 cm e) 5 cm. (Uece 015) A medida da aresta de um tetraedro regular com altura igual a 5 metros é a) 5,5 m. b) 5 1,5 m. c) 1,5 m. d),5 m. πa b) πa c) πa d) π a e) π a 6 8. (Imed 015) Após a limpeza de um aquário, que tem o formato de um paralelepípedo, com dimensões internas de 1,0 m de comprimento, 1m de largura e 50 cm de profundidade, constatou-se que o nível da água atingiu 80% de sua altura máxima. Nessa situação, a quantidade de água que falta para encher completamente o aquário, em litros, corresponde a: a) 80. b) 100. c) 10. d) 0. e) 80. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o texto e as figuras para responder a(s) questão(ões). O circo é uma expressão artística, parte da cultura popular, que traz diversão e entretenimento. É um lugar onde as pessoas tem a oportunidade de ver apresentações de vários artistas como mágicos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e 1

2 muito mais. Mas antes que a magia desse mundo se realize, há muito trabalho na montagem da estrutura do circo. A tenda de um circo deve ser montada em um terreno plano e para isso deve ser construída uma estrutura, conforme a sequência de figuras. Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 5% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 1,% b) 0% c),0% d) 6,0% e) 6,0% 11. (Enem PPL 01) Um agricultor possui em sua fazenda um silo para armazenar sua produção de milho. O silo, que na época da colheita é utilizado em sua capacidade máxima, tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, com os lados da base medindo L metros e altura igual a h metros. O agricultor deseja duplicar a sua produção para o próximo ano e, para isso, irá comprar um novo silo, no mesmo formato e com o dobro da capacidade do atual. O fornecedor de silos enviou uma lista com os tipos disponíveis e cujas dimensões são apresentadas na tabela: Nas figuras, considere que: - foram colocadas 8 estacas congruentes perpendiculares ao plano do chão; - cada estaca tem m acima do solo; - as estacas estão igualmente distribuídas, sendo que suas bases formam um octógono regular; - os topos das estacas consecutivas estão ligados por varas de 1m de comprimento; - para imobilizar as estacas, do topo de cada uma delas até o chão há um único cabo esticado que forma um ângulo de 5 com o solo (a figura mostra apenas alguns desses cabos). Todos os cabos têm a mesma medida; - no centro do octógono regular é colocado o mastro central da estrutura, que é vertical; - do topo de cada estaca até o topo do mastro é colocada uma outra vara. Todas essas varas têm a mesma medida; - na estrutura superior, são formados triângulos isósceles congruentes entre si; e - em cada um desses triângulos isósceles, a altura relativa à base é de 15m. 9. (G1 - cps 015) A cobertura e as laterais da tenda descrita serão totalmente revestidas por lona. Para que isso ocorra, a quantidade mínima de lona que deverá ser usada é, em metros quadrados, igual a a) 18. b) 8. c) 70. d) 110. e) (Enem 01) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura. Tipo de silo Lado Altura (em metros) (em metros) I L h II L h III L h IV L h V L h Para atender às suas necessidades, o agricultor deverá escolher o silo de tipo a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 1. (Enem 01) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1:100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a cm, 1cm e cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. b) 600. c) d) e) (Acafe 01) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de comprimento, metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de concreto. O nível da água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até da altura. O volume de água deslocado (em litros) foi de: a) 500. b) c) d) (Uepa 01) A natureza é uma fonte inesgotável de comunicação de saberes necessários à sobrevivência da espécie humana, por exemplo, estudos de apicultores americanos comprovam que as abelhas constituem uma sociedade organizada e que elas sabem qual o formato do alvéolo que comporta a maior quantidade de mel. Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida ª Ed. rev. São Paulo: Editora Livraria da Física, 011.

3 Um professor de matemática, durante uma aula de geometria, apresentou aos alunos pedaços de cartolina, cada um medindo 6 cm de largura e 1 cm de comprimento, divididos em partes iguais, conforme figuras abaixo: Dobrando os pedaços de cartolina nas posições indicadas, obtemos representações de prismas retos com as mesmas áreas laterais e base triangular, quadrangular e hexagonal. Sendo V o volume do prisma de base triangular, V o volume do prisma de base quadrangular e V 6 o volume do prisma de base hexagonal, é correto afirmar que: Adote: = 1,7. a) 6 V < V < V. b) 6 V < V < V. c) 6 V < V < V. d) 6 V < V < V. e) 6 V < V < V. 15. (Ufpr 01) As figuras abaixo apresentam um bloco retangular de base quadrada, uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero, e algumas de suas medidas. 18. (Enem PPL 01) A caixa-d'água de uma casa tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui dimensões externas (comprimento, largura e altura) de, respectivamente,,0 m,,0 m e,5 m. É necessária a impermeabilização de todas as faces externas dessa caixa, incluindo a tampa. O fornecedor do impermeabilizante informou ao dono da casa que seu produto é fornecido em galões, de capacidade igual a,0 litros. Informou, ainda, que cada litro impermeabiliza uma área de cm e são necessárias demãos de produto para garantir um bom resultado. Com essas informações, para obter um bom resultado no trabalho de impermeabilização, o dono da casa precisará comprar um número mínimo de galões para a execução desse serviço igual a a) 9. b) 1. c) 19. d) 5. e) (Enem 01) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo. a) Calcule o volume do bloco retangular e a área da base da pirâmide. b) Qual deve ser a altura da pirâmide, para que seu volume seja igual ao do bloco retangular? 16. (Enem PPL 01) Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes que serão distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma dada pela figura. Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas? a) 10 b) 1 c) 1 d) 15 e) (Fgv 01) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de m. Ela é preenchida com água a uma vazão de litros por hora. Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 5cm b) 7,5cm c) 0 cm d),5 cm e) 5 cm Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito? a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e). 0. (Enem PPL 01) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 0 cm de comprimento, 15 cm de largura e 0 cm de altura. Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm cada, que ficarão totalmente submersas no aquário. Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6cm do topo do aquário. O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a a) 8. b) 7. c) 8. d) 10. e) (Ucs 01) O volume de um prisma reto, cuja base é um retângulo com lados de medidas m e 6m, é igual a 10 m. Qual será o volume, em m, do prisma reto que tem como base o polígono com vértices nos pontos médios da base do prisma anterior e que tem o triplo da altura do prisma anterior? a) 0 b) 60 c) 10 d) 180 e) 00

4 . (Espm 01) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6cm e 10cm, respectivamente. a) 6m b) 7m c) 8m d) 9m e) 10 m 6. (Upe 01) Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: Considere π O volume desse sólido é de: a) 8 cm b) 10 cm c) 1 cm d) 16 cm e) cm. (Enem PPL 01) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma caixa com as seguintes dimensões: 5 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm de profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 15 caixas dispostas conforme a figura. Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras? a).750 cm b) cm c) cm d) cm e)..750 cm. (Mackenzie 01) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos afirmar que a) a altura é igual a m. b) a altura é igual a 6m. c) a altura é igual a,5 m. d) o volume é igual a e) o volume é igual a 18 m. 7 m. 5. (Unifor 01) Um posto de combustível inaugurado recentemente em Fortaleza usa tanque subterrâneo que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical como mostra a figura abaixo. O tanque está completamente cheio com m de gasolina e 0 m de álcool. Considerando que a altura do tanque é de 1 metros, a altura da camada de gasolina é: Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos? a) 5,16 10 b) 7, 10 c) 5,8 10 d) 8, 10 e) 5, (Enem 01) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use como valor aproximado para π. A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a a) 168. b) 0. c) 06. d) 78. e) (Acafe 01) Um tubo cilíndrico reto de volume 18π cm, contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes entre si e tangentes externamente. Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c). d) (Enem 01) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura. Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.

5 Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma? a) π d b) π d c) π d d) 5π d e) 10π d 0. (Cefet MG 01) Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta de volume total V constituída de uma semiesfera de raio cm e de um cone reto, com raio e altura cm, comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com a figura abaixo. da base mede metade do raio da base do depósito e altura 1 da altura do depósito. Quantas viagens o caminhão deverá fazer para esvaziar completamente o depósito, se para cada viagem a capacidade do tanque é preenchida? a) b) c) d) 5 e) 6. (Enem 01) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo? Para seu funcionamento, o artesão depositará na ampulheta areia que corresponda a 5% de V. Portanto o volume de areia, em cm, é a) 16 π. b) 6 π. c) π. d) 18 π. e) 6 π. 1. (Fgv 01) Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio cm e um cone circular reto (casquinha), também com cm de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha completa e exatamente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando está congelado. Calcule a altura da casquinha.. (Enem PPL 01) Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura cm, conforme Figura. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro. a) b) c) d) e) 5. (Uepb 01) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede m, tem capacidade igual a: a).000 litros b) litros c) litros d).000 litros e) litros 6. (Fgvrj 01) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir: O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada. Por simplicidade, aproxime π para. A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é a) 5. b) 8. c) 7. d) 90. e) 99.. (Unifor 01) Um depósito cheio de combustível tem a forma de um cone circular reto. O combustível deve ser transportado por um único caminhão no qual o tanque transportador tem a forma de um cilindro circular reto, cujo raio O volume, em dm, da caixa assim obtida é a) 80x 6x + x b) 80x + 6x + x c) 80x 18x + x d) 80x + 18x + x e) 0x 9x + x 7. (Pucrs 01) Uma piscina na forma retangular tem 1 metros de comprimento, 6 metros de largura e metros de profundidade. Bombeia-se água para a piscina até atingir 75% de sua altura. A quantidade de água para encher esta piscina até a altura indicada é de litros. a) 5 b) 108 c) 5000 d) e)

6 8. (Ufsm 01) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm, dessa embalagem? a) 150. b) c) 900. d) e) (Ufrgs 01) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices, P e Q, sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo. A área dessa peça é de cm. a) 10π b) 16π c) 0π d) 8π e) 0π 5. (Uftm 01) Sem perda do volume original, um ourives pretende transformar um cubo de ouro de 1 cm em uma placa na forma de um paralelepípedo reto-retângulo. Adotando a medida da aresta do cubo como largura da placa e 50% da medida da aresta do cubo como altura da placa, a medida, em centímetros, do comprimento dessa placa resultará em a) 1,. b) 1,5. c) 1,8. d),0. e),. 6. (Ucs 01) Uma caixa aberta é confeccionada a partir de um pedaço de cartolina em forma de um retângulo, do qual se retiraram pequenos quadrados nos vértices, conforme a figura abaixo. O volume desse sólido é a) 6. b) 18. c) 56. d) 51. e) (Ufpe 01) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas? 1. (Espm 01) Um cilindro circular reto de raio da base igual a cm contém água até uma certa altura. Um objeto é colocado no seu interior, ficando totalmente submerso. Se o nível da água no cilindro subiu cm, podemos afirmar que o volume desse objeto é de, aproximadamente: a) 17 cm b) 16 cm c) 16 cm d) 18 cm e) 151 cm. (Ueg 01) Uma coluna de sustentação de determinada ponte é um cilindro circular reto. Sabendo-se que na maquete que representa essa ponte, construída na escala 1:100, a base da coluna possui cm de diâmetro e 9cm de altura, o volume, em m de concreto utilizado na coluna, é: (Use π =,1) a),86 b) 8,6 c) 8,6 d) 86. (Uern 01) Uma esfera e um cilindro possuem volumes e raios iguais. O raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro. A altura do cilindro, em unidades, é a). b). c). d) 8.. (Pucrs 01) Um desafio matemático construído pelos alunos do Curso de Matemática tem as peças no formato de um cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas. Conhecido o valor de x, a expressão que permite calcular o volume da caixa, levando em consideração os dados da figura, é a) ( x 108x + 70) x. b) ( x + 70) x. c) ( x + 70) x. d) ( x 5x+ 70) x. e) ( x + 5x+ 70) x. 7. (G1 - ifsp 01) Fernando pretende abrir um aquário para visitação pública. Para tanto, pretende construí-lo com a forma de um bloco retangular com m de comprimento, 1,5 m de largura e m de altura. Assim sendo, o volume desse aquário será de a) 6,5 m. b) 7,0 m. c) 8,5 m. d) 9,0 m. e) 10 m. 8. (Uftm 01) A figura 1 representa um prisma obtido após a secção do paralelepípedo reto-retângulo ADFCGJLI representado na figura. Sendo que AB = BC = DE = EF e HI = KL = JL = JG = AG = x, o volume do prisma representado na figura 1 é 5x x x 5x x a). b). c). d). e)

7 9. (Uerj 01) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a m. Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba. 50. (Enem 01) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 00 cm? a) O nível subiria 0, cm, fazendo a água ficar com 0, cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 1 cm de altura. c) O nível subiria cm, fazendo a água ficar com cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 0 cm, fazendo a água transbordar. 51. (Uftm 01) A altura, em centímetros, do nível da água armazenada em um reservatório com a forma de um prisma reto de base retangular é igual a x, conforme mostra a figura. Usando todo esse volume de água armazenado, pode-se encher completamente uma quantidade exata de recipientes com capacidade de 0 litros cada, ou uma quantidade exata de h recipientes com capacidade de 50 litros cada. Se x =, onde h é a altura do reservatório, então a menor capacidade, em litros, desse reservatório cheio é a) 00. b) 00. c) 00. d) 500. e) (Uern 01) Uma livraria recebeu caixas cúbicas contendo duas pilhas de livros cada, que preenchem totalmente o espaço no seu interior. Se o total de caixas é igual a 5 e cada livro possui 1 cm de largura e cm de espessura, então o total de livros recebidos é a) 50. b) 50. c) 810. d) (Enem 01) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 5. (Ucs 01) Um cilindro circular reto tem por secção meridiana um retângulo ABCD, o qual, representado no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, tem como vértices os pontos A(,8), B(,8), C(,0) e D(,0). Sendo o eixo do cilindro paralelo ao segmento DA e as medidas do cilindro dadas em centímetros, a área lateral do cilindro é, em cm, igual a a) 8 π. b) 16 π. c) π. d) 10 π. e) 18 π. 55. (Unisc 01) Uma indústria de tonéis produz 000 unidades mensais. Estes tonéis são cilindros equiláteros de 1 metro de altura. Para pintar a superfície lateral desses cilindros, é utilizada uma tinta cujo rendimento é de 00 gramas por Calculando a quantidade de tinta consumida a cada mês, encontramos um valor próximo de π Pi =,1 Observação: Utilize o valor da constante ( ) a) kg. b) kg. c) kg. d), toneladas. e),5 toneladas. m. 56. (Uftm 01) Em um laboratório, um reservatório, que contém um medicamento líquido, tem a forma de um cilindro circular reto, com medidas internas de diâmetro D e comprimento L iguais a 80 cm e 100 cm, respectivamente. O reservatório repousa sobre uma superfície plana e horizontal. Diariamente, um funcionário verifica a quantidade de medicamento no reservatório usando uma régua, que é inserida verticalmente até atingir a extremidade inferior do tanque, como mostra a figura. Nessas condições, determine: a) a capacidade total aproximada, em litros, desse reservatório. b) a medida, em centímetros, da corda AB, representada na figura, indicando o nível horizontal do medicamento em relação à superfície. 57. (Acafe 01) Um posto de combustíveis abastece mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas medidas estão indicadas no esquema a seguir. Considerando que o reservatório esteja vazio e que será abastecido com 80% de sua capacidade por um caminhão 7

8 tanque, a uma vazão de 10 L por segundo, em aproximadamente quantos minutos o reservatório será abastecido? a) 59 min. b) 51 min. c) 7 min. d) 8 min. 58. (Uern 01) A figura representa um sorvete de casquinha, no qual todo o volume interno está preenchido por sorvete e a parte externa apresenta um volume de meia bola de sorvete. a) Calcule o volume da figura I. b) Calcule a área da superfície da figura II. 6. (Ufpe 011) Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície 6 cm. Indique o volume do octaedro, em cm. Considerando que o cone tem 1 cm de altura e raio 6 cm, então o volume total de sorvete é a) 16 π cm. b) 60 π cm. c) 88 π cm. d) 6 π cm. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 6. (G1 - ifal 011) Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 0 cm, então o volume do objeto é: 59. (Pucrs 01) A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Quer-se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo. A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 0 cm necessárias para fazer esse telhado é a) 10 b) 5 10 c) 5.10 d) 5.10 e) (Ufrgs 011) O paralelepípedo reto A, com dimensões de 8,5 cm,,5 cm e cm, é a reprodução em escala 1:10 do paralelepípedo B. Então, o volume do paralelepípedo B, em cm, é a) 85. b) 850. c) d) e) (Ueg 011) Considere um cubo com cm de aresta, subdividido em cubos menores, cada um com 1cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e um cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do cubo. a) 1.000π b).000π c).000π d).000π e) 5.000π 6. (Ufrgs 011) Um tipo de descarga de água para vaso sanitário é formado por um cilindro com altura de m e diâmetro interno de 8 cm. Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do cilindro é a) 7L. b) 8L. c) 9L. d) 10L. e) 11L. 65. (Cesgranrio 011) Um sólido totalmente maciço é composto pela união de dois cilindros circulares retos de mesmo diâmetro. As densidades do cilindro menor e do cilindro maior valem, respectivamente, kg m e.700 kg m. Considerando-se π=, a massa desse sólido, em toneladas, vale a) 97, b) 11,5 c) 1,6 d) 10,8 e) 0, 66. (Enem 011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. 8

9 Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. 67. (Unicamp 011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 8,6m, considerando π,1, a altura h será igual a a) m. b) m. c) 5 m. d) 9 m. e) 16 m. A altura do cone formado pela areia era igual a a) da altura do cilindro. b) 1 da altura do cilindro. c) da altura do cilindro. d) 1 da altura do cilindro. 68. (Enem 010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem cm de largura, 18 cm de comprimento e cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 1 cm. d) cm. e) 5 cm. 69. (Enem ª aplicação 010) Uma empresa de refrigerantes, que funciona sem interrupções, produz um volume constante de cm de líquido por dia. A máquina de encher garrafas apresentou um defeito durante horas. O inspetor de produção percebeu que o líquido chegou apenas à altura de 1 cm dos 0 cm previstos em cada garrafa. A parte inferior da garrafa em que foi depositado o líquido tem forma cilíndrica com raio da base de cm. Por questões de higiene, o líquido já engarrafado não será reutilizado. Utilizando π, no período em que a máquina apresentou defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas? a) 555 b) 5555 c) 1 d) 1 e) (Enem ª aplicação 010) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura 9

10 Gabarito: Resposta da questão 1: O volume de água no reservatório é igual a = = 7000cm = 7dm = 7 L. Resposta da questão : Sabendo que (1 x) x = 18 m, vem x 6x + 9 = 0 (x ) = 0 x = m. Resposta da questão : O volume do tetraedro regular de aresta l = 6cm é dado por 6 18 cm = =. l 1 1 Resposta da questão : Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta l é dada 6 por h = l, temos l = l = 6 l = l = l = 5 1,5 m. Resposta da questão 5: A razão de semelhança entre os cilindros é 5. Logo, se V é o volume da embalagem maior e v é o volume da embalagem V 5 15 menor, então 15 = =, implicando em V = v. v 6 6 Sabendo que o preço por ml de ervilha na embalagem menor é R$,00, e que foi dado um desconto de 10% na embalagem 15 maior, tem-se que a reposta é 0,9 R$,5. 6 Resposta da questão 6: O volume de água no reservatório cônico é igual a m. π Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico será 10 h = 576 h = 5,76 m. Resposta da questão 7: O volume pedido corresponde ao volume de um cone cujo raio da base mede acm e cuja altura é acm. Portanto, o resultado é π 1 a π a a = cm. Resposta da questão 8: Sendo a profundidade igual a altura máxima do aquário, o nível total preenchido de água foi: 0,5 80% = 0,0 m, ou seja, restam apenas 0,10 m = 10 cm não preenchidos. Calculando-se o volume do espaço a ser preenchido de água, tem-se: 0,1 1 1,0 = 0,1 m Sendo 1m = 1000L, então Resposta da questão 9: O resultado pedido é dado por = 110 m. Resposta da questão 10: 0,1 m = 10 L. Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a Hcm. Agora, sabendo que as dimensões da nova lata são 5% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova lata, temos 5 16 h = H h = H h = 6% H, isto é, a 5 altura da lata atual deve ser reduzida em 100% 6% = 6%. Resposta da questão 11: O volume do silo que o agricultor possui é igual a Lhm. Desse modo, o silo a ser comprado deverá ter volume igual a L h m. 10

11 Portanto, dentre as opções apresentadas pelo fornecedor, a única que apresenta a capacidade desejada é o silo I. Resposta da questão 1: Seja V o volume real do armário. O volume do armário, no projeto, é temos 6 1 = V = cm. V 100 Resposta da questão 1: 1 = 6cm. Logo, Como = 0,75, segue-se que o resultado pedido é 1 5 (0,75 0,6) = 1,5 m = 1500 L. Resposta da questão 1: Tem-se que V = 6 0,8cm, e V6 = 6 61,cm. Portanto, conclui-se que V < V < V 6. Resposta da questão 15: a) O volume do bloco retangular é igual a 8 = 18u.v. A área da base da pirâmide é dada por 8 = 16 u.a. b) Para que o volume da pirâmide seja igual ao do bloco retangular, sua altura h deve ser tal que 1 16 h = 18 h = Resposta da questão 16: h = 8 u.c. O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo, o número de arestas é igual a 5 = 15. O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a, = litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que 10 5 h = 17,5 h = 0,5 m = 5cm. Resposta da questão 18: A área que deverá ser impermeabilizada corresponde a ( +,5 +,5) = 59 m = cm. Portanto, o número mínimo de galões para a execução do serviço é igual a = Resposta da questão 19: Sendo l a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de baixo mede. l Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar ( l ) = l unidades de volume, então ela levará l + l 8 = 10 minutos para encher completamente o l restante do depósito. Resposta da questão 0: Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo submerso, segue que o número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a 0 15 (10 6) = Resposta da questão 1: Seja h a altura do prisma retangular. Desde que 6 h = 10, e sabendo que o polígono com vértices nos pontos médios dos lados do retângulo é um losango, concluímos que o resultado é igual 6 h = 10 = 180 m. Resposta da questão : Temos Resposta da questão 17: 11

12 (ABCD) = AB BC AB = 6 e AB = cm (BCFE) = BC BE BE = 10 BE = 5cm. Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE = cm. Por conseguinte, o resultado pedido é AB AE BC = = 1cm. Resposta da questão : O volume pedido é dado por = cm. Resposta da questão : A altura do tetraedro regular é igual a m, = e seu volume é 6 18 m. 1 = Resposta da questão 5: Seja h a altura da camada de gasolina. Assim, como a altura de cada líquido é proporcional ao volume, temos h = h= 7m Resposta da questão 6: 1 O volume do cone retirado é dado por 6 5cm, π enquanto que o volume do cilindro é π 10 70cm. Portanto, o volume da aproximado da peça é igual a = 16cm =,16 10 mm. Resposta da questão 7: O volume de uma pílula de raio r, em milímetros cúbicos, é dado por π r 10+ π r r (15+ r). Portanto, o resultado pedido é igual a 5 (15 + 5) (15 + ) = = 51mm. Resposta da questão 8: Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que πr 16r = 18π r = cm. O volume ocupado pelas bolinhas é igual a π 56π 8 = cm. Portanto, o resultado pedido é 56π 100% 67%. 18π Resposta da questão 9: O lado da folha de papel corresponde ao quíntuplo do comprimento da base do cilindro, ou seja, 5π d. Resposta da questão 0: O resultado pedido é dado por 1 π 1 1 0,5 + π = 6π = 16πcm. Resposta da questão 1: Seja h a altura que o sorvete derretido atinge na casquinha. Tem-se que 1 80 π π h= h= 9,6cm. 100 Resposta da questão : A quantidade de madeira descartada corresponde ao volume do cilindro subtraído dos volumes da semiesfera e do cone. Portanto, o resultado é π 7 π (7 ) π = 99cm. Resposta da questão : Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do depósito. 1

13 O resultado pedido é dado por 1 π (r) h r = =. π r h r Resposta da questão : Lembrando que a superfície lateral de um cone é obtida a partir de um setor circular, segue-se que o objetivo do responsável pelo adesivo será alcançado se ele fizer o corte indicado na figura abaixo. O sólido indicado é um prisma reto triangular, cujo volume é igual a 88 8= 56. Resposta da questão 0: Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro. Como h= r = 8r, segue que o volume do cilindro é igual a πr 8r = 8πr. Sabendo que o raio de cada esfera mede r, podemos concluir que o volume de uma esfera é π r πr =. 6 Portanto, o número de esferas obtidas é dado por 8πr = 8. πr 6 Resposta da questão 1: Resposta da questão 5: Seja a a aresta do cubo. Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a, temos a =. Portanto, como o volume do cubo é igual a = 8m, segue que a sua capacidade é de = litros. Resposta da questão 6: O volume da caixa é dado por x (8 x) (10 x) = x (80 16x 0x + x ) Resposta da questão 7: = 80x 6x + x. O volume da piscina é igual a 1 6 = 1 m. Logo, a quantidade de água a ser bombeada, em litros, para que o nível da piscina atinja 75% de sua altura, é = Resposta da questão 8: O volume da embalagem é dado por cm =. Resposta da questão 9: Pelo Princípio de Arquimedes, o volume do objeto corresponde ao volume de um cilindro circular reto de raio da base igual a cm e altura cm, ou seja, π, cm. Resposta da questão : O volume da coluna na maquete é dado por 6 π 9,1 1 9 = 8,6cm = 8,6 10 m. Como a escala da maquete é de 1:100, segue que o volume pedido é tal que Resposta da questão : 6 8, = V = 8,6 m. V 100 Sabendo que o cilindro e a esfera possuem volumes iguais e raios iguais, temos π r h= π r h= r, com h sendo a altura do cilindro. Além disso, como o raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro, vem 1

14 r = r r (r ) = 0 r = u.c. Portanto, h= = u.c. Resposta da questão : A área pedida corresponde à soma das áreas de um círculo de diâmetro cm e de um setor circular de raio 6cm e ângulo central igual a 10. Portanto, a área da peça, em cm, é igual a 10 π π 6 π 1π + = + 60 = 16 π. Resposta da questão 5: Seja c o comprimento da placa. Sabendo que o volume do cubo é 1cm, segue que sua aresta mede 1= 1cm. Portanto, como não houve perda na transformação, vem 1 1= 1 c c = cm. Resposta da questão 6: O volume da caixa é dado pela expressão (0 x)( x)x = (x 108x + 70) x. Resposta da questão 7: O volume do prisma é dado por: x x + AB + GH x x 5x AG JG = =. Resposta da questão 9: Seja a a aresta da base da caçamba. Sabendo que a altura da caçamba mede 1m, temos que a sua capacidade é dada por a 1= a. Desse modo, como a diagonal do paralelepípedo mede m e a diagonal da base mede a, vem = (a ) + 1 a = 8 Resposta da questão 50: a = m. 00 O nível da água subiria 0 0 = cm, fazendo a água ficar com = cm de altura. Resposta da questão 51: O volume de água armazenado é dado por A h, em que A é a área da base do reservatório. Se é possível encher completamente recipientes de 0 e 50 litros cada, então o volume de água no reservatório deve é tal que mmc(0, 50) = 100 litros. Portanto, como a capacidade do reservatório é dada por A h, h vem A = 100 A h= 00L. Resposta da questão 5: Sabendo que cada livro possui 1 cm de largura, e que as caixas terão duas pilhas de livros, segue que as arestas das caixas medem 1 = cm. Logo, como a espessura de cada livro é cm, temos que cada pilha terá = 8 livros e, portanto, cada caixa conterá 8 = 16 livros. Desse modo, o número de livros recebidos pela livraria é 5 16 = 70. Resposta da questão 5: V = 1,5 = 9 m. Resposta da questão 8: De acordo com as planificações, Maria poderá obter, da esquerda para a direita, um cilindro, um prisma de base pentagonal e uma pirâmide triangular. Resposta da questão 5: O diâmetro da base do cilindro é igual a 1

15 x x cm, y y 8 0 8cm. C D = = e sua altura mede A D = = Portanto, o resultado pedido é igual a π 8 = 16πcm. Resposta da questão 55: A área total a ser pintada é dada por π 1 000,1 m. 1 Portanto, como o rendimento da tinta é 00 g m = kg m, 5 segue que o consumo mensal de tinta é 1 000,1 =.51kg,5 ton. 5 Resposta da questão 56: a) Sabendo que o diâmetro da base do cilindro mede 80cm = 8dm e que a altura do mesmo é 100cm = 10dm, temos que a capacidade total aproximada é dada por 8 π r h,1 10 = 1, 16 = 50, dm = 50, L. b) Seja PQ o diâmetro da base do cilindro que é perpendicular à corda AB. A capacidade do reservatório é dada por 9 π 5,1 5 = 5,5 m = 55 L. Sabendo que o reservatório será abastecido com 80% de sua capacidade, segue que o caminhão tanque despejará 0,8 55 = 8.60 litros no cilindro e, portanto, levará 860 =.86 segundos ou 86 7 minutos para realizar o abastecimento. Resposta da questão 58: O volume total de sorvete é dado pela soma do volume da semiesfera de raio 6cm com o volume da casquinha, ou seja, 1 π 6 + π 6 1= 1π+ 1π Resposta da questão 59: = 88πcm. Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a= 5m. Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5m 0m serão cobertas por telhas, segue que o resultado pedido é dado por =. 10 Resposta da questão 60: Temos que o volume V A do paralelepípedo A é dado por VA = 8,5,5 = 85cm. Por outro lado, como o paralelepípedo A é a reprodução em escala 1:10 do paralelepípedo B, segue que o volume V B do paralelepípedo B é tal que B VA 1 = VB = = cm. V 10 Se M é o ponto de interseção de PQ com a corda AB, então M é o ponto médio de AB. Daí, AB AM = MB = e, assim, AB AB AB = MQ MP = 60 0 Resposta da questão 57: AB = 10 AB = 0 cm. Resposta da questão 61: a) O volume de um cubo de aresta cm é igual a = 7cm, e o volume de um cubo de aresta 1cm é 1 = 1cm. Logo, como foram retirados 7 cubos do cubo maior, o resultado pedido é 7 7 = 0cm. b) A área da superfície do sólido corresponde à área da face de um cubo de aresta 1cm multiplicada por 65 = 0, ou seja, 1 0 = 0cm. Resposta da questão 6: Sabendo que a área total de um octaedro regular é dada por a, em que a é a aresta do octaedro, segue que 15

16 6 a = 6 a = cm. Portanto, o volume do octaedro é dado por 6 a = = 6cm. Resposta da questão 6: O volume do objeto é dado por 0 π 10 = 1.000πcm. Resposta da questão 6: dado por π 1 9 1= cm. Portanto, o número aproximado de garrafas utilizadas foi de Resposta da questão 70: Se a área a ser iluminada mede circular iluminada, então 8,6 m e r é o raio da área 8,6 π r = 8,6 r r m.,1 Portanto, como g= 5m e r = m, segue que h= m. Se a altura do cilindro mede m= 0dm e o diâmetro 8cm = 0,8 dm, então a capacidade do cilindro é dada por 0,8 π 0,1 0,16 0 = 10,08 dm 10 L. Resposta da questão 65: O volume do cilindro menor é π = m e o do maior π = 6m. Portanto, como a massa é o produto do volume pela densidade, segue que: = kg = 10,8 ton. Resposta da questão 66: A expressão superfície de revolução garante que a figura represente a superfície lateral de um cone. Resposta da questão 67: Como o volume de areia é o mesmo, segue que: 1 1 π r h =π r h (R) h = R h hcon = h cil. con con cil cil con cil Resposta da questão 68: Sendo a a aresta do cubo, temos: a =.18. a = 16 a = 6 Resposta da questão 69: O volume de refrigerante em uma garrafa parcialmente cheia é 16