b) 2. c) 4. d) 8. e) 3 π. 5. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura h= 1cm e

Transcrição

1 Geometria Espacial 1. (Uerj 015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a mesma capacidade. De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ, perpendicular ao plano horizontal β. b). π c) 4. π d) 8. π e) π.. (Uerj 015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede 4cm, e o raio de sua base mede cm. Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido. Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver H exatamente na metade da altura do funil,, o nível do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na geratriz AB. A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por: a) b) c) d). (Espcex (Aman) 015) Um cone de revolução tem altura 4cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1cm. O volume desse cone (em a) 1. π cm ) é igual a Admitindo π, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por: a) h= 4 t b) h= t c) h= t d) h= 4 t 4. (Uepg 014) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 1, e e sua área total é igual a 198cm. Sobre esse paralelepípedo, assinale o que for correto. 01) Seu volume vale 16cm. 0) As suas dimensões formam uma progressão aritmética. 04) A soma das medidas de todas as suas arestas é 7cm. 08) Sua diagonal é maior que 11cm. 5. (Ita 014) Uma pirâmide de altura h= 1cm e volume V = 50cm tem como base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do Página 1

2 polígono traçam-se n diagonais que o decompõem em n triângulos cujas áreas S, i i= 1,,..., n, constituem uma progressão aritmética na qual S = cm e S6 = cm. Então n é igual a a). b) 4. c) 6. d) 8. e). 6. (Cefet MG 014) No contexto da Geometria Espacial, afirma-se: I. Se uma reta é paralela a um plano, então ela está contida nesse plano. II. Duas retas sem ponto comum são paralelas ou reversas. III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela ao outro. IV. Duas retas distintas paralelas a um plano são paralelas entre si. São corretas apenas as afirmativas a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV. 7. (G1 - cftmg 014) A figura a seguir representa uma cadeira onde o assento é um paralelogramo perpendicular ao encosto. d) (Uepg 014) Em um poliedro convexo só há faces triangulares e quadrangulares e apenas ângulos tetraédricos e pentaédricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 1 vértices, assinale o que for correto. 01) O número de arestas é 50. 0) O número de faces quadrangulares é a metade do número de faces triangulares. 04) O número de ângulos tetraédricos é o dobro do número de ângulos pentaédricos. 08) A soma dos ângulos das faces é igual a 40 retos. 16) O número de ângulos tetraédricos é (Uepb 014) Uma cisterna de formato cúbico cuja área lateral mede 00m tem por volume, aproximadamente: a) 50 m b) c) d) e) 5 m 500 m 5 m 15 m 11. (Ufsc 014) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) No último inverno, nevou em vários municípios de Santa Catarina, sendo possível até montar bonecos de neve. A figura abaixo representa um boneco de neve cuja soma dos raios das esferas que o constituem é igual a 70cm. O raio da esfera menor é obtido descontando 60% da medida do raio da esfera maior. Então, o volume do boneco de neve considerado é igual a 88π dm. A partir dos pontos dados, é correto afirmar que os segmentos de retas a) CD e EF são paralelos. b) BD e FJ são concorrentes. c) AC e CD são coincidentes. d) AB e EI são perpendiculares. 8. (Uece 014) Um poliedro convexo tem faces, sendo 0 hexágonos e 1 pentágonos. O número de vértices deste polígono a) 90. b) 7. c) 60. 0) O MMA é uma modalidade de luta que mistura várias artes marciais. O ringue onde ocorre a luta tem a forma de um prisma octogonal regular. Suas faces laterais são constituídas de uma tela para proteção dos atletas. Se considerarmos a aresta da base com medida igual a 1m e a altura do prisma igual a 1,9m, para cercar esse ringue seriam necessários 18,4m de tela. 04) Para a festa de aniversário de sua filha, Dona Maricota resolveu confeccionar chapéus para as crianças. Para tanto, cortou um molde com a Página

3 forma de semicírculo cujo raio mede 0cm. Ao montar o molde, com o auxílio de um adesivo, gerou um cone cuja área lateral é igual à área do molde. Dessa forma, a altura desse cone é igual a 10 cm. 08) Fatos históricos relatam que o ícone da Renascença, Leonardo da Vinci, no século XV, idealizou uma espécie de paraquedas. O protótipo teria o formato de uma pirâmide regular de base quadrangular, como mostra a figura. Recentemente, recriaram o modelo, construindo uma pirâmide com o mesmo formato, cujas arestas medem 6 m. Portanto, para fechar as laterais, usaram 6 m de material. estudos de apicultores americanos comprovam que as abelhas constituem uma sociedade organizada e que elas sabem qual o formato do alvéolo que comporta a maior quantidade de mel. Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida ª Ed. rev. São Paulo: Editora Livraria da Física, 011. Um professor de matemática, durante uma aula de geometria, apresentou aos alunos pedaços de cartolina, cada um medindo 6 cm de largura e 1 cm de comprimento, divididos em partes iguais, conforme figuras abaixo: 16) A caçamba de um caminhão basculante tem a forma de um paralelepípedo e as dimensões internas da caçamba estão descritas na figura. Uma construtora precisa deslocar 5m de terra de uma obra para outra. Dessa forma, com esse caminhão serão necessárias exatamente 4 viagens para realizar esse deslocamento. Dobrando os pedaços de cartolina nas posições indicadas, obtemos representações de prismas retos com as mesmas áreas laterais e base triangular, quadrangular e hexagonal. Sendo V o volume do prisma de base triangular, V 4 o volume do prisma de base quadrangular e V 6 o volume do prisma de base hexagonal, é correto afirmar que: Adote: = 1,7. a) b) c) 6 4 V < V < V. 4 6 V < V < V. 4 6 V < V < V. 6 4 d) V < V < V. 6 4 e) V < V < V. 1. (Ufrgs 014) Os vértices do hexágono sombreado, na figura abaixo, são pontos médios das arestas de um cubo. 1. (Uepa 014) A natureza é uma fonte inesgotável de comunicação de saberes necessários à sobrevivência da espécie humana, por exemplo, Se o volume do cubo é 16, o perímetro do hexágono é a). Página

4 b) 6. c) 9. d) 1. e) (Ufpr 014) As figuras abaixo apresentam um bloco retangular de base quadrada, uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero, e algumas de suas medidas. a) 1 b) c) d) 1 e) 17. (Espm 014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6cm e 10cm, respectivamente. a) Calcule o volume do bloco retangular e a área da base da pirâmide. b) Qual deve ser a altura da pirâmide, para que seu volume seja igual ao do bloco retangular? 15. (Ufrgs 014) Na figura abaixo, encontra-se representada a planificação de um sólido de base quadrada cujas medidas estão indicadas. O volume desse sólido é de: a) 8 cm b) 10 cm c) 1 cm d) 16 cm e) 4 cm 18. (Udesc 014) Um bloco sólido de pedra com forma de paralelepípedo retângulo de 1 metros de altura, 10 de largura e 4 metros de profundidade é demarcado de forma a ser dividido em 0 paralelepípedos iguais e numerados, conforme mostra a figura. O volume desse sólido é a) 144. b) 180. c) 16. d) 88. e) (Uneb 014) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma superfície de até metros quadrados. Ela tem duas camadas principais: a epiderme, externa, e a derme, interna. (BREWER. 01, p. 7). De acordo com o texto, a superfície máxima coberta pela pele humana é equivalente a de um cubo cuja diagonal, em m, é igual a Se forem extraídos os paralelepípedos de número 7, 9, 1 e 0, então a nova área superficial do bloco será Página 4

5 de: a) 480 m b) 104 m c) 76 m d) 488 m e) 416 m 19. (Ufg 014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo. Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 5cm b) 7,5cm c) 0 cm d),5 cm e) 5 cm. (Upf 014) As quatro faces do tetraedro ABCD são triângulos equiláteros. M é o ponto médio da aresta AB: Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada. 0. (Ufrgs 014) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um sólido sombreado com as alturas indicadas no desenho. O volume do sólido sombreado é a) 00. b) 50. c) 500. d) 600. e) (Fgv 014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de m. Ela é preenchida com água a uma vazão de litros por hora. O triângulo MCD é: a) escaleno. b) retângulo em C. c) equilátero. d) obtusângulo. e) estritamente isósceles.. (Uece 014) Sejam X, Y e Z três pontos fixos distintos e não colineares, e P um ponto do espaço, vértice de uma pirâmide cuja base é o triângulo XYZ e cuja medida do seu volume é m. O conjunto de todos os pontos P que cumprem esta condição é formado por a) duas retas paralelas. b) um plano. c) dois planos. d) exatamente dois pontos. 4. (Uepa 014) As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais de uma das civilizações mais intrigantes da humanidade. Foram construídas para a preservação do corpo do faraó. De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes pirâmides foram construídas de tal modo que a área da face era igual ao quadrado da altura da pirâmide. Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida ª Ed. rev. São Paulo: Editora Livraria da Física, 011. Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado mede a, a altura H e altura da face h, construída segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área da face da pirâmide, então é correto afirmar que: S= a+ h a h. a) ( )( ) b) S= ( h+ a)( h a ). Página 5

6 c) S= ( a+ h ). d) S= ( h a ). e) S= a h. 5. (Ufpr 014) Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo. Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 7 π. a) 1. b). c). d) 5. e) (Uemg 014) Uma empresa de produtos de limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa para seu produto. Foram apresentados dois tipos de embalagens com volumes iguais. A primeira é um cilindro de raio da base igual a cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um paralelepípedo de dimensões iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O metro quadrado do material utilizado na fabricação das embalagens custa R$ 5,00. Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos? 5 a),16 10 b) c) d) e) 4 7, 10 5, , 10 5, (Ufsm 014) Uma alternativa encontrada para a melhoria da circulação em grandes cidades e em rodovias é a construção de túneis. A realização dessas obras envolve muita ciência e tecnologia. Um túnel em formato semicircular, destinado ao transporte rodoviário, tem as dimensões conforme a figura a seguir. Considerando-se π =, o valor da embalagem que terá o menor custo será a) R$ 0,6. b) R$ 0,7. c) R$ 0,54. d) R$ 0, (Upe 014) Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: Considere π Qual é o volume, em a) π. b) 7.00 π. c) π. d) π. e) π. m, no interior desse túnel? 9. (Acafe 014) Um tubo cilíndrico reto de volume 18π cm, contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes entre si e tangentes externamente. Página 6

7 Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c). d) (Uel 014) No Paraná, a situação do saneamento público é preocupante, já que o índice de tratamento de esgoto é de apenas 5%, ou seja, quase metade das residências no Estado ainda joga esgoto em fossas. José possui, em sua residência, uma fossa sanitária de forma cilíndrica, com raio de 1 metro e profundidade de metros. Supondo que José queira aumentar em 40% o volume de sua fossa, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, de quanto o raio deve ser aumentado percentualmente. Dado: 1,4 1,18 = a) 11,8% b) 14,0% c) 18,% d) 60,0% e) 71,% Página 7

8 Resolução das Questões Resposta da questão 1: Volume do cilindro: V Volume do óleo no cone no momento considerado: V i Daí, temos: H V i V = Vi = V H 8 Portanto, o volume que estará no cilindro no instante V 7V considerado será: V =, ou seja, 87,5% do 8 8 volume do cilindro, portanto a alternativa é mais adequada. Resposta da questão : [D] Considerando O o centro da esfera, temos: r h = r =. h 4 8 O volume desse cone é dado por 1 h h V = π h cm Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a 1cm s, segue-se que V = 1 t= tcm, com t em segundos. Em consequência, encontramos h t h 4 tcm. 64 = = Resposta da questão 4: = 15. Sejam a,b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo. Tem-se que a= k a b c = = = k b= k, 1 c = k com k sendo um número real positivo. Desde que a área total é igual a 198cm, vem (ab+ ac+ bc) = 198 k k+ k k+ k k = 99 k = 9 k =. No triângulo AOD, temos: AD + 1 = AD= 8cm ΔADO ΔABC = r = cm 4 r 8 Portanto, o volume V do cone será dado por: π V = π R h= π 4= cm 8 Resposta da questão : Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhante ao cone de altura 4cm e altura cm. Logo, temos Por conseguinte, encontramos a= cm, b= 6cm e c = 9cm. [01] Correto. O volume do paralelepípedo vale a b c = 6 9 = 16cm. [0] Correto. As dimensões formam uma progressão aritmética com primeiro termo igual a e razão igual a. [04] Correto. A soma das medidas de todas as arestas é igual a 4(a+ b+ c) = 4(+ 6+ 9) = 7cm. [08] Correto. A diagonal do paralelepípedo mede Página 8

9 a + b + c = = 16 cm. Portanto, temos 16 cm> 11cm= 11cm. Resposta da questão 5: Se a altura da pirâmide mede 1cm e seu volume 50cm, então a área da base é tal que n n 1 50= S 1 Si = 150cm. i i= 1 i= 1 Além disso, temos S6 = S + r = + r 1 r = cm. Logo, 1 S = S1+ r = S1+ 1 S1 = cm. Por conseguinte, o valor de n é n n 1 1 n Si = [ S 1+ (n ) r] 150 (n ) = + i= 1 (n 1) (n ) = 600 Resposta da questão 6: n n 598= 0 n= 6. [I] Incorreta. Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, eles não têm ponto em comum. [II] Correta. Duas retas distintas sem ponto comum são paralelas ou reversas. [III] Correta. Considerando α e β dois planos distintos paralelos e uma reta r α, segue-se que r β=, o que implica em r β. [IV] Incorreta. Duas retas distintas paralelas a um plano podem ser concorrentes. Resposta da questão 8: F: número de faces A: número de arestas V: número de vértices A = = 90 F = V = + A F V = + 90 V = 60. Resposta da questão 9: = 10. [01] Incorreto. Pela Relação de Euler, temos V+ F= A = A+ A = 5. [0] Correto. Sejam F e F 4, respectivamente, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares. Logo, tem-se F + 4F4 = A e F + F4 = 15. Portanto, como A = 5, segue que F = 10 e F4 = 5, o que implica em F F 4 =. [04] Incorreto. Sabendo que em cada ângulo tetraédrico concorrem 4 arestas, e que em cada ângulo pentaédrico concorrem 5 arestas, temos 4T+ 5P = A e T+ P= 1, sendo T e P, respectivamente, o número de ângulos tetraédricos e o número de ângulos pentaédricos. Desse modo, obtemos T = 10 e P=. Agora, é fácil ver que T = 5P. [08] Correto. Lembrando que a soma dos ângulos internos das faces é igual a (V ) 4r, com V sendo o número de vértices do poliedro e r = 90, temos (1 ) 4r = 40r. [16] Incorreto. Do item [04], sabemos que o número de ângulos tetraédricos é igual a 10. Resposta da questão 10: Considerando a a medida da aresta da cisterna: Resposta da questão 7: Como CDEF é paralelogramo, segue-se que CD EF. Página 9

10 4 a 00 a 50 a 5 m = = = Calculando, agora, o volume V da cisterna, temos: ( ) V = a = 5 = 50 m Resposta da questão 11: = 14. [01] Incorreto. Sendo R o raio da esfera maior e r o raio da esfera menor, temos R+ r = 7dm e r = 0,4 R. Daí, segue que R = 5dm e r = dm. Portanto, o volume do boneco de neve é igual a 4π 5π (5 + ) = dm. [0] Correto. Serão necessários 8 1 1,9 = 18,4m de tela para cercar o ringue. [04] Correto. A área lateral do cone é igual a π 0 = 00πcm. Logo, se r é o raio da base do cone, segue que π r 0 = 00π r = 10cm. Portanto, considerando o triângulo retângulo cujos lados são a geratriz, a altura h e o raio r da base do cone, pelo Teorema de Pitágoras, vem h= 0 10 = 10 cm. [08] Correto. A área lateral da pirâmide é igual a 6 4 = 6 m. 4 5 [16] Incorreto. Serão necessárias 5 1,,5,4 = viagens para realizar o deslocamento. Sendo x a medida da aresta do cubo, temos: x = 16 x = 6. Sendo a o lado do hexágono e P seu perímetro, temos: a = + a= e P= 6a = 18. Resposta da questão 14: a) O volume do bloco retangular é igual a 4 4 8= 18u.v. A área da base da pirâmide é dada por 8 = 16 u.a. 4 b) Para que o volume da pirâmide seja igual ao do bloco retangular, sua altura h deve ser tal que h= 18 h= h= 8 u.c. Resposta da questão 15: Resposta da questão 1: [B] Tem-se que 4 V = 6 40,8cm, 4 e V6 = 6 61,cm. Portanto, conclui-se que V < V4 < V 6. Resposta da questão 1: [E] O sólido formado será um prisma de base triangular. Determinando o valor de x, temos: x + 6 = 10 x = 8. Portanto, o volume V do sólido será dado por: 8 6 V = Ab h= 6= Página 10

11 Resposta da questão 16: [D] Cada um dos 0 paralelepípedos obtidos a partir do bloco tem dimensões iguais a 10 m, 5 = 4m e 1 m, 6 = conforme a figura. Considerando a a medida da aresta do cubo e d a medida de sua diagonal, temos: a = a = a= 1 d= a = = 1m. Resposta da questão 17: Temos (ABCD) = AB BC AB = 6 AB= cm Chamando as áreas das faces de x e de y, segue-se que x = = 4m e y = 4= 8m. Portanto, extraindo-se os paralelepípedos 7, 9, 1 e 0, tem-se que a nova área superficial do bloco será igual a y (8x+ y) = y 8x = = 480m. Resposta da questão 19: A quantidade de água obtida é dada por , (5 18) 1 = 4.105,6m. e (BCFE) = BC BE BE= 10 BE= 5cm. Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE= 4cm. Por conseguinte, o resultado pedido é AB AE 4 BC= = 1cm. Resposta da questão 18: Sendo a= 10m, b= 4m e c = 1m as dimensões do bloco, tem-se que sua área total é At = (a b+ a c+ b c) = ( ) = 416m. Resposta da questão 0: O sólido sombreado é um prisma de base trapezoidal. Portanto, seu volume V será dado por: (7+ ) 10 V = Ab h= 10= 500 Resposta da questão 1: [E] O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a,5 5000= litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que 10 5 h= 17,5 h= 0,5m = 5cm. Resposta da questão : [E] Seja l a medida da aresta do tetraedro ABCD. Página 11

12 Desde que os triângulos ABC e ABD são equiláteros, e M é o ponto médio de AB, tem-se que CM= DM = l. Daí, sendo CD = l, concluímos que l l CD < CM + DM l < + l l <, ou seja, o triângulo MCD é isósceles acutângulo. Resposta da questão : No triângulo retângulo da figura temos: r = 5 x (I) O volume do prisma será dado por π r x = 7π r x = 6 (II) Substituindo ( I ) em ( II ), temos: ( ) 5 x x = 6 x 5x+ 6= 0 Utilizando o teorema das raízes racionais concluímos que uma de suas raízes é 4. Para que o volume permaneça m, as distâncias dos pontos P ao plano(xyz) deverão ser iguais, pois representam as alturas das pirâmides. Portanto, qualquer ponto P deverá pertencer a um dois planos paralelos e equidistantes do plano (XYZ). Resposta da questão 4: [B] De acordo com a lenda de Heródoto, segue que S= H. Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, vem h = H + a h = S+ a S = (h+ a)(h a). Resposta da questão 5: [E] Logo, a equação fatorada será da forma (x 4),(x + 4x 9) = 0 Logo, suas raízes são x = 4, x = + 1 ou x = x = 1. Logo, o maior valor de x é 4. Resposta da questão 6: Área total do cilindro: π + π 10= 48π = 48 = 14cm. Valor da embalagem em forma de cilindro: = R$0, Área total do paralelepípedo: ( ) = 148cm. Valor da embalagem em forma de paralelepípedo: = R$0, O valor da embalagem que terá o menor custo será: R$0,6. Resposta da questão 7: Página 1

13 O volume do cone retirado é dado por cm, π enquanto que o volume do cilindro é π 10 70cm. Portanto, o volume da aproximado da peça é igual a = 16cm =,16 10 mm. Resposta da questão 8: [B] O túnel é um semicilindro de raio 6m e altura 400m. π 6 Volume do túnel: V = 400= 700πm Resposta da questão 9: [D] Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que πr 16r = 18π r = cm. O volume ocupado pelas bolinhas é igual a 4π 56π 8 = cm. Portanto, o resultado pedido é 56π 100% 67%. 18π Resposta da questão 0: De acordo com o enunciado podemos escrever: V II = 1,4V I π R = 1,4π 1 R = 1,4 R= 1,18 Portanto, o raio terá um aumento de 18,%. Página 1