PROVA DE MATEMÁTICA DA UNICAMP VESTIBULAR a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

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1 PROVA DE MATEMÁTIA DA UNIAMP VESTIULAR a Fase Profa Maria Antônia Gouveia QUESTÃO 1 Recentemente, um órgão governamental de pesquisa divulgou que, entre 006 e 009, cerca de 5, milhões de brasileiros saíram da condição de indigência Nesse mesmo período, 8, milhões de brasileiros deixaram a condição de pobreza Observe que a faixa de pobreza inclui os indigentes O gráfico abaixo mostra os percentuais da população brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 006 e 009 Após determinar a população brasileira em 006 e em 009, resolvendo um sistema linear, verifica-se que a) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0 milhões, em 006, para 13,3 milhões, em 009 b) 1,9 milhões de brasileiros eram indigentes em 009 c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 006 d) entre 006 e 009, o total de brasileiros incluídos nas faixas de pobreza e de indigência passou de 36% para 8% da população Número da população brasileira: Ano de 006 x milhões de habitantes Ano de 009 y milhões de habitantes 0,6x 0,1y = 8, 6x 1y = 80 0,10x 0,07y = 5, 10x 7y = 50 x = 185 x = 185 x = y = 50 7y = 1330 y = 190 6x 1y = 80 30x 1y = 1560 x = 70 x = 185 ( L L ) 1 Número de indigentes em 006: 0, milhões = 18,5 milhões Número de indigentes em 009: 0, milhões = 13,3 milhões RESPOSTA: Alternativa c 1

2 QUESTÃO onsidere três modelos de televisores de tela plana, cujas dimensões aproximadas são fornecidas na tabela abaixo, acompanhadas dos preços dos aparelhos Modelo Largura (cm) Altura (cm) Preço (R$) 3 '' ,00 3 '' ,00 0 '' ,00 om base na tabela, pode-se afirmar que o preço por unidade de área da tela a) aumenta à medida que as dimensões dos aparelhos aumentam b) permanece constante do primeiro para o segundo modelo, e aumenta do segundo para o terceiro c) aumenta do primeiro para o segundo modelo, e permanece constante do segundo para o terceiro d) permanece constante álculo dos preços, em reais, por unidade de área da tela: modelo de 3 '' modelo de 3 '' modelo de 0 '' 750,00 p = 100,00 1 = 0,50 p 0, = ,00 = p 0, = = onclusão: Os três preços permanecem constantes Resposta: Alternativa d QUESTÃO 3 Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro A altura do cone formado pela areia era igual a a) 3/ da altura do cilindro c) /3 da altura do cilindro b) 1/ da altura do cilindro d) 1/3 da altura do cilindro onsiderando o diâmetro do cilindro R = a, o diâmetro do cone será R = a Do enunciado tem-se a figura:

3 omo o cone foi formado com toda a areia que preenchia o cilindro: π a π a h H = H = 3 Resposta: Alternativa a QUESTÃO h 3 h = 3H h = 3H O sangue humano costuma ser classificado em diversos grupos, sendo os sistemas AO e Rh os métodos mais comuns de classificação A primeira tabela abaixo fornece o percentual da população brasileira com cada combinação de tipo sanguíneo e fator Rh Já a segunda tabela indica o tipo de aglutinina e de aglutinogênio presentes em cada grupo sanguíneo Tipo Fator Rh + A 3% 8% 8% % A,5% 0,5% O 36% 9% Tipo Aglutinogênios Aglutininas A A Anti- Anti-A A A e Nenhuma O Nenhum Anti-A e Anti- Em um teste sanguíneo realizado no rasil, detectou-se, no sangue de um indivíduo, a presença de aglutinogênio A Nesse caso, a probabilidade de que o indivíduo tenha sangue A+ é de cerca de a) 76% c) 81% b) 3% d) 39% O teste, em questão, detectou no sangue de um indivíduo a presença de aglutinogênio A, é porque ele ter sangue tipo A ou tipo A onsiderando este evento como evento M n(m) = 3% + 8% +,5% + 0,5% = 5% onsiderando como evento N a possibilidade desse indivíduo ter sangue A+, o n(n) = 3% Assim, a probabilidade tendo sido detectada, a presença de aglutinogênio A esse indivíduo ter sangue A+ n(n) 3% é de cerca de p = = = 0,75555 = 76% n(m) 5% Resposta: Alternativa a QUESTÃO 5 Um determinado cidadão recebe um salário bruto de R$ 500,00 por mês, e gasta cerca de R$ 1800,00 por mês com escola, supermercado, plano de saúde, etc Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa com esse perfil tem seu salário bruto tributado em 13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dos produtos e serviços que consome Nesse caso, o percentual total do salário mensal gasto com tributos é de cerca de a) 0% c) 5% b) 1% d) 36% O total de tributos pagos por uma pessoa com o perfil apresentado na questão, será igual a 13,3% de 500 (salário bruto) acrescido de 31,5% de 1800 (produtos e serviços), isto é: 0, ,00 + 0, ,00 = 333, ,00 = 899,50 899,50 O percentual de 899,50 reais em relação a 500,00 é: = 0,3598 = 36% 500,00 Resposta: Alternativa d 3

4 QUESTÃO 6 No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou ladrilhos cinza Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura abaixo, que mostra apenas a parte central do mosaico Observando a figura, podemos concluir que a 10 a camada de ladrilhos cinza contém a) 76 ladrilhos c) 11 ladrilhos b) 156 ladrilhos d) 18 ladrilhos Os números de ladrilhos cinzas nas diversas camadas se sucedem da seguinte forma: amada 1 amada 6 + = (6 + ) = 10 =0 amada = (10 +8) = 18 = 36 amada = (1 + 1) = 6 = 5 amada = ( ) = 3 = 68 Analisando a sequência dos números de cada camada percebe-se que eles formam a PA (, 0, 36, 5, ), na qual o primeiro termo é e a razão é 16 e cujo termo geral é a n = + (n 1) 16 Logo a camada 10 de ladrilhos cinzas tem n( 10 ) = + (10 1) 16 = + 1 = 18 Resposta: Alternativa d QUESTÃO 7 Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel Somados, os homens despendem R$ 00,00 O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 6,00 a menos que cada homem Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite encontrar tal valor é: a) 00x = (00 + 6x)(0 x) b) 00(0 x) = (00 6x)x c) 00x = (00 6x)(0 x) d) 00(0 x) = (00 + 6x)x Sendo 0 o número de pessoas em excursão e considerando como x o número de homens, o número de mulheres será representado por 0 x

5 Os grupos dos homens e das mulheres gastaram igualmente R$ 00,00, então cada homem pagou reais e cada mulher x 0 x reais omo cada mulher pagou R$ 6,00 a menos que cada homem: = 6 00x = 00( 0 x) 6x( 0 x) 00x = ( 00 6x)( 0 x) 0 x x Resposta: Alternativa c Texto para as questões 8 e 9 A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano Nessa cidade, a Avenida rasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores QUESTÃO 8 Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de a) 1500 m c) 1000 m b) 500 5m d) ( )m 5

6 omo a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, o lado de cada quadrado é de 50m Então a distância real entre a catedral e o ponto A é de 1000 m e entre o ponto A e a câmara é de 500m Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triãngulo retângulo (câmara, ponto A, catedral); d = = d = 5 d = 15 5 = Resposta: Alternativa b QUESTÃO 9 7 O ponto de interseção das avenidas rasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por a) (x ) + (y 6) 1 b) (x 1) + (y 5) c) x ]1, 3[, y ], 6[ d) x =, y [5, 7] A figura acima resulta do enunciado, em que a Avenida Juscelino Kubitschek está representada pela reta DM, mediatriz do segmento O ponto D representa a intersecção das avenidas rasil e Juscelino Kubitschek A reta DM passa por M, ponto médio do segmento Sendo = (3, 1) e = (5, 3), então M =, = (,) y y x x O coeficiente angular da equação da reta é, então o da reta DM é x x y y 6

7 x y 3 5 ( x ) = (y ) x + = y y = x omo a Avenida rasil é representada pela reta x =, D = (, y) Logo, a equação reduzida da reta DM é dada pela relação: ( x x ) = (y y ) Substituindo x por na equação y = x + 6, tem-se: y = + 6, ou seja, y = D = (, ) Finalmente substituindo os valores das coordenadas de D nas alternativas oferecidas, a única que é satisfeita é a alternativa b, o que mostra que o ponto D pertence à região determinada pela desigualdade (x 1) + (y 5), pois, ( 1) + ( 5) (VERDADE) Resposta: Alternativa b QUESTÃO 30 Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café A curva abaixo representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado Pelo gráfico, podemos concluir que x y M M ( t / 75) (5 t / 50) a) M(t) = c) M(t) = ( t / 50) b) M(t) = (5 t /150) d) M(t) = A função exponencial M(t) pode ser representada pela equação e seu gráfico passa pelos pontos (0, 16) e (150, ) t m+ n M (t) = com m N e n N* m M(0) = = 16 = m = m Logo pode-se escrever: M(150) = Assim n = t 75 M (t) = Resposta: Alternativa a t + n M (t) = n = = n = n 150 n = 75 n 7