TESTE QUI - QUADRADO DE UMA AMOSTRA (também chamado TESTE DE ADERÊNCIA ou TESTE DE EFICIÊNCIA DE AJUSTE)

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1 TESTE QUI - QUADRADO DE UMA AMOSTRA (também chamado TESTE DE ADERÊNCIA ou TESTE DE EFICIÊNCIA DE AJUSTE) O Teste Qui-quadrado de uma amostra é utilizado em pesquisa de marketing para verificar se a distribuição de freqüência absoluta observada em uma variável numa amostra é significativamente diferente da distribuição de freqüência absoluta esperada (teórica ou conhecida). Exemplo: Sabendo-se qual tem sido a distribuição de preferência dos consumidores em relação aos quatro tamanhos de embalagem de determinado produto, verificar se a distribuição da preferência observada numa amostra, nos tamanhos de embalagem, para uma nova marca do produto a ser lançada, difere significativamente da distribuição conhecida. Condições para utilização: 1) Exclusivamente para variáveis qualitativas (nominais ou ordinais). 2) Observações independentes. 3) Não pode ser utilizado, se mais do que 20% das freqüências absolutas forem inferiores a 5 ou se qualquer freqüência for inferior a 1. Nestes casos a solução para tornar a utilização do teste possível é a de agrupar células até terem as condições atendidas. Procedimento: 1) Formular as hipóteses H 0 : Não existe diferença entre a distribuição de freqüência observada (O i ) e a esperada (E i ). Ha: Existe diferença entre a distribuição de freqüência observada (O i ) e a esperada (E i ). 2) Calcular a estatística de teste χ 2 k ( O i - E i ) 2 χ 2 = i = 1 E i onde, k = nº de categorias da variável qualitativa O i = freqüência observada para a categoria i ou nº de observações classificadas na categoria i. 1

2 E i = freqüência esperada para a categoria i ou nº de casos na categoria i, sob H 0. 3) Determinar o valor crítico do teste : qui-quadrado tabelado χ 2 α encontra-se na tabela da distribuição qui-quadrado na linha k 1 e na coluna α. 4) Regra de rejeição: Se χ 2 calculado > χ 2 α, rejeitar H 0 ; caso contrário, não rejeitar. 5) Interpretação: na linguagem do problema. Ex.: Para α = 0,05, pode-se afirmar que a distribuição da preferência observada numa amostra, nos tamanhos de embalagem, para uma nova marca do produto a ser lançada, difere significativamente da distribuição conhecida. APLICAÇÕES DO TESTE QUI-QUADRADO 1) Um gerente de produto quis verificar se a posição que o produto ocupa na prateleira dos supermercados tem influência sobre a quantidade vendida através de um experimento. Um supermercado possui, geralmente, prateleiras com sete divisões verticais, sendo a posição 1 correspondente à mais próxima do piso. Para a realização do experimento, o gerente conseguiu que, durante um dia, todas as posições verticais da prateleira fossem ocupadas pelo seu produto. Ao final do dia, a tabulação das vendas por posição foram as seguintes: Vendas (unidades) O i Vendas (unidades) E i Posição Total Com base nesses dados, o gerente quer saber se as diferenças verificadas são significativas, a ponto de poder montar, com sucesso, um plano para induzir os supermercadistas a colocar o seu produto em determinadas posições ou são meramente casuais. Estabelecer o nível de significância α = 0,05. Procedimento para o teste: 2

3 1) Hipóteses H 0 : Não há diferenças significativas entre as proporções das posições ou p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = p 7 = 1/7. Ha: As diferenças observadas para as proporções das posições são significativamente diferentes das proporções das populações. 2) Estatística de Teste Se não houver diferenças entre as posições, a distribuição de freqüências esperada será de 18 unidades por posição, conforme a tabela acima. (O i E i ) 2 = (10-18) 2 + (11-18) 2 + (15-18) 2 + (25-18) 2 + (29-18) 2 + (19-18) 2 + (17-18) 2 = 294 χ 2 = 294 / 18 = 16,3333 3) Valor Crítico χ 2 α = 12,5916 ( encontra-se na tabela da distribuição qui-quadrado, na linha (n- 1) = (7-1) = 6 e na coluna α = 0,05 ). 4) Conclusão Como χ 2 calculado > χ 2 α, rejeita-se H 0. 5) Interpretação Para α = 0,05, pode-se afirmar que há diferença significativa para as posições nas prateleiras dos supermercados e, por isso, o gerente deve realizar o plano promocional. A proporção predominante é a da posição 5 e a que incide menos é a posição 1. 2) Considere a avaliação de ações de mercado realizada pela Scott Marketing Research. Durante o ano passado as ações de mercado estabilizaram-se em 30% para a companhia A, 50% para a companhia B, e 20% para a companhia C. Recentemente a companhia C desenvolveu um produto novo e melhorado que substitui o atual no mercado. A Scott Marketing Research tem sido consultada pela companhia C para determinar se o novo produto vai alterar as ações de mercado. Neste exemplo, cada cliente da população de interesse é classificado como comprador da companhia A, B ou C. Vamos usar as notações p A, p B e p C, 3

4 respectivamente, para as proporções de ação de mercado para a companhia A, B e C. A Scott Marketing Research vai realizar um levantamento amostral e vai computar a proporção de preferência de cada produto das companhias. Um teste de hipóteses será então realizado para ver se o novo produto causou uma mudança nas ações de mercado. Vamos considerar que a empresa de pesquisa de mercado usou um painel de consumidor de 200 consumidores para o estudo. Pediu-se a cada um dos indivíduos para especificar uma preferência de compra entre as três alternativas: produto da companhia A, produto da companhia B, e o novo produto da companhia C. As 200 respostas estão resumidas a seguir: Freqüência Observada Produto da Companhia A Produto da Companhia B Produto da Companhia C Podemos agora realizar um teste de eficiência de ajuste que determinará se a amostra das preferências de compra dos 200 consumidores é coerente com a hipótese nula., isto é, vamos comparar a amostra de resultados observados com os resultados esperados sob a suposição de que a hipótese nula é verdadeira. Procedimento para o teste: a) Hipóteses H 0 : p A = 0,30, p B = 0,50, e p C = 0,20. Ha: As proporções das populações não são p A = 0,30, p B = 0,50, e p C = 0,20. b) Estatística de Teste Freqüência Esperada Produto da Companhia A: 200(0,30) = 60 Produto da Companhia B: 200(0,50) = 100 Produto da Companhia C: 200(0,20) = 40 χ 2 = (O i E i ) 2 / E i = (48-60) 2 / 60 + (98-100) 2 / (54-40) 2 / 40 χ 2 = 7,34. c) Valor Crítico χ 2 α = 5,99 ( encontra-se na tabela da distribuição qui-quadrado, na linha (n-1) = (3-1) = 2 e na coluna α = 0,05 ). d) Conclusão Como χ 2 calculado > χ 2 α, rejeita-se H 0. 4

5 e) Interpretação Para α = 0,05, pode-se afirmar que a introdução de um novo produto pela companhia C alterará a estrutura atual das ações de mercado. Considerando a Companhia C, concluímos que a freqüência observada de 54 é maior do que a freqüência esperada de 40. Como a freqüência esperada foi baseada em ações de mercado atuais, a freqüência observada maior sugere que o novo produto terá um efeito positivo no mercado de ações da Companhia C. Comparações das freqüências observadas e esperadas das outras duas Companhias indicam que o ganho na ação de mercado da Companhia C afetará mais a Companhia A do que a Companhia B. ESCOLA SUPERIOR DE PROPAGANDA E MARKETING CURSO DE PUBLICIDADE E PROPAGANDA MÉTODOS QUANTITATIVOS II PROFª ANA MARIA REOLON FONSECA /PROFª ROSSANA FRAGA BENITES LISTA 11 2º BIMESTRE 5

6 TESTE QUI-QUADRADO PARA UMA AMOSTRA 1. Teste a hipótese a seguir usando o teste de eficiência do ajuste de: H o : P A = 0,40; P B = 0,40, e P C = 0,20 H a : as proporções da população não são P A = 0,40; P B = 0,40, e P C = 0,20 Uma amostra de 200 resultou em 60 na categoria A, 120 na categoria B e 20 na categoria C. Use α de 0, Suponha que tenhamos uma população com quatro categorias: A,B,C e D. A hipótese nula é que a proporção de itens é a mesma em todas as categorias. A hipótese nula é: H o : P A =P B =P C =P D = 0,25 Uma amostra de 300 forneceu os números seguintes em cada categoria: A:85 B:95 C:50 D:70 Use α = 0,05 e teste a eficiência de ajuste de χ 2 para determinar se H o deve ser rejeitada. 3. Durante as treze primeiras semanas da temporada na televisão, registraram-se as proporções de audiências das noites de sábado, entre 20h e 21h, nas emissoras ABC 29%, CBS 28%, NBC 25% e independentes 18%. Uma amostra de 300 casas, duas semanas após uma revisão da programação das noites de sábado forneceu os seguintes dados de audiência: ABC 95 casas, CBS 70 casas, NBC 89 casas e independentes 46 casas. Faça um teste com α = 0,05 para determinar se as proporções de audiência mudaram. 4. A M&M/MARS, fabricantes dos chocolates M&M, realizou uma pesquisa de opinião nacional na qual mais de dez milhões de pessoas indicaram sua preferência por uma nova cor. O registro desta pesquisa de opinião resultou na substituição de M&Ms de cor de mel por uma nova cor azul. No folheto Colors, fornecido pelo serviço de atendimento ao consumidor da M&M/MARS, a distribuição de cores dos chocolates é a seguinte: Marrom Amarelo Vermelho Laranja Verde Azul 30% 20% 20% 10% 10% 10% Em um estudo realizado na Chance (no.4,1996), amostras de embalagens de meio quilo foram usadas para determinar se as porcentagens relatadas eram realmente válidas. Os resultados seguintes foram obtidos para uma amostra de 506 unidades de chocolate: Marrom Amarelo Vermelho Laranja Verde Azul Use α = 0,05 para determinar se esses dados apóiam as porcentagens relatadas pela companhia. 5. Uma das questões da Pesquisa entre Assinantes de 1966 da Business Week foi: Ao fazer investimentos, você utiliza corretoras de serviço completo ou desconto? Os resultados do levantamento mostraram que 264 entrevistados usam apenas corretoras de serviço completo, 255 dos entrevistados utilizam apenas corretoras de desconto e 229 usam ambas as corretoras, de serviço completo e de desconto. Use α = 0,10 para determinar se há quaisquer diferenças na preferência entre as escolhas dos três serviços. 6

7 6. Apelos negativos têm sido reconhecidos como um método efetivo de persuasão em comerciais.um estudo em The Journal of Advertising (verão 1997) relatou os resultados de uma análise de conteúdo de anúncios de culpa em 24 revistas. O número de anúncios com apelos de culpa que apareceram nos tipos selecionados de revista vêm a seguir: Tipo de revista Número de anúncios com apelo de culpa Notícias e opinião Editoria geral Orientada à família Negócios/finanças Orientada à mulher Afroamericana Usando α = 0,10, faça um teste para determinar quaisquer diferenças na proporção de anúncios com apelos de culpa entre os seis tipos de revista. 7. As preferências do painel do consumidor para três mostradores da loja propostos vêm a seguir: Mostrador A Mostrador B Mostrador C Use α = 0,05 e faça um teste para determinar qualquer diferença na preferência entre os três projetos de mostradores. 8. As diretrizes de distribuição de notas para o curso de estatística de uma grande universidade são: 10% A, 30% B, 40% C,15% D e 5% F.Uma amostra de 120 notas de estatística no final de um semestre mostrou 18 As, 30 Bs, 40 Cs, 22 Ds e 10 Fs. Use α = 0,05 e teste se as notas atuais desviam significativamente das diretrizes de distribuição de notas. Respostas 1.χ 2 = 35; χ 2 0,01 = 9,21034; rejeitar Ho, as proporções da população não são como as enunciadas em Ho 2. χ 2 = 15,33 ; χ 2 0,05 = 7,81473; rejeitar Ho ; as proporções da população não são como as enunciadas em Ho. 3. χ 2 = 6,87 ; χ 2 0,05 = 7,81473; não rejeitar Ho, não há mudança significativa nas proporções de audiência. 4. χ 2 = 29,51 ; χ 2 0,05 = 11,0705 ; rejeitar Ho, os valores de proporção mudaram ; predominam confeitos marrons e o que menos ocorre é o verde. 5. χ 2 = 2,65 ; χ 2 0,10 = 4,60517 ; não rejeitar Ho 6. χ 2 = 10,69 ; χ 2 0,10 = 9,23635; rejeitar Ho 7. χ 2 = 2,31 ; χ 2 0,05 = 5,99147 ; não rejeitar Ho 8. χ 2 = 8,89 ; χ 2 0,05 = 9,48773; não rejeitar H 0. 7