Gabarito da Prova de Oficinas dos Velhos Ano 2008

Transcrição

1 Gabarito da Prova de Oficinas dos Velhos Ano de maio de (a) O objetivo principal da oficina de espectroscopia é que os aprendizes aprendessem, rápido, a interpretar espectros e linhas espectrais, associando a elas uma interpretação física O perfil apresentado na questão - conhecido como Perfil P Cygni - é um perfil de linhas bem característico de um certo tipo de estrela: as que têm perda de massa! Repare que, num espectro com linhas P Cygni, cada linha consiste em duas partes: Uma parte de emissão, centralizada na posição original e alargada, e uma parte de absorção com blue-shift Comecemos interpretando a absorção Em um perfil normal de uma estrela, a luz é produzida nas suas camadas interiores, é inicialmente emitida com uma distribuição de corpo negro, e ganha linhas de absorção quando passa pelas camadas externas, mais frias, que se interpoem entre o núcleo estelar e o observador Se esta linha de absorção aparece deslocada para o azul, significa que esta parte do gás (a parte das camadas externas que vem na direção do observador) se aproximando do observador Na direção do observador, pelo menos, há gás se aproximando Há duas interpretações para isto que parecem fisicamente razoáveis: A primeira é pensar que a estrela inteira está se aproximando Neste caso, teríamos um espectro mais simples: linhas de absorção com blue-shift e só A segunda interpretação (com a qual vamos ficar) é que apenas a camada externa da estrela esteja se afastando do núcleo estelar e se aproximando de nós Neste caso, deveríamos supor que o gás saindo não o faça isso só na direção do observador, mas vá se perdendo para o espaço igualmente em todas as direções Teríamos uma situação como na figura abaixo: O gás na direção do observador, se aproximando, absorve a luz que passa por ele e reemite em todas as direções (incluindo a do próprio observador, claro) Isso faz com que, daquela direção, você receba menos luz na sua direção do que esperaria de um corpo negro - o que chamamos de linha de absorção Por outro lado, o gás que está saindo nas outras direções também absorve a luz que está saindo nestas outras direções e a reemite em qualquer uma delas incluindo também a do observador Destas partes da estrela, o observador recebe mais luz do que esperaria: linhas de emissão Se todo o gás estivesse parado, a contribuição da emissão e da absorção se sobreporiam no valor de cada linha, pra ver qual influência predominaria 1

2 Figura 1: Figura esquemática da estrela com perfil P Cygni Em geral, quando a camada externa de gás é muito grande, muita luz que sai lateralmente é reemitida; nestes casos é comum que apareçam algumas linhas de emissão nos espectros estelares Em estrelas com uma fotosfera normal, fininha, só o efeito da absorção na direção do observador é significativa No caso de perda de massa (ou de estrela se expandido), as duas influências acabam sendo separadas A parte de absorção fica com blue-shift, como já explicamos, e sobra à direita dela uma parte de emissão da linha Mais: parte do gás que sai em direções alheias gera pequenos blue-shifts (seta A 1 ), parte delas gera pequenos redshifts (A 3 ), parte delas fica centralizada (A 2 ) O efeito global: uma linha alargada Ou seja, estrelas cujas camadas externas estão se afastando, se suficientemente grossas, devem gerar linhas com um perfil exatamente do tipo da que mostramos no exercício Para fixar bem a idéia, seria interessante tentar responder à seguinte pergunta: como seria o perfil das linhas de uma estrela se contraindo? É o que costumamos chamar de perfil P Cygni inverso (b) Vamos analisar o espectro linha a linha: i A primeira linha, H ɛ (3970Å), apresenta um λ de 400 Å, portanto o Z calculado por esta linha seria de Z = λ λ = = 0, 101 ii A segunda linha, H δ (4102Å), apresenta um λ também de 400 Å, portanto o Z calculado por esta linha seria de Z = λ λ = = 0,

3 iii A terceira linha, H γ (4340Å), apresenta um λ também de 400 Å, portanto o Z calculado por esta linha seria de Z = λ λ = = 0, Nota-se, então, uma clara incoerência nos valores encontrados, pois acharíamos três velocidades diferentes para a estrela: 0,101c, 0,098c e 0,092c A conclusão é que o espectro está errado, ou que as linhas de absorção não são de hidrogênio, o que seria bastante improvável no caso Não se pode afirmar que houve um redshift, pois o gráfico está deslocado, porém não esticado, assumindo que as linhas são do hidrogênio O propósito da questão era exatamente saber se o aprendiz perceberia a incoerência do gráfico, pois, pelas medidas, era claramente perceptível que o Z variava a cada linha estudada 2 Esta talvez tenha sido a questão mais polêmica da prova de oficinas Alguns professores reclamaram que era uma questão muito difícil, além de muito assustadora, envolvendo muitos conceitos que são aprendidos em cursos de seis meses nas universidades! Em resposta a isso, temos alguns comentários a fazer Em primeiro lugar, para os nossos propósitos, a questão ser assustadora não é um problema - talvez seja uma vantagem É importante que os aprendizes não tenham medo de questões que parecem muito difíceis à primeira vista, enfrentando-as, já que é muito frequente que, por trás dos espinhos, esconda-se um núcleo mole e suave É exatamente o caso desta questão Para fazê-la, era esperado apenas que os alunos conseguissem compreender conceitos ditos em linguagem matemática, desenvolvendo raciocínios logicamente consistentes a partir destes conceitos Por isso, todas as informações necessárias para resolver a questão estão contidas na própria questão Os espaços vetoriais foram definidos e discutidos durante a oficina Baseado nessa discussão, a prova trouxe a definição formal do que é a base de um espaço desse tipo - outra coisa que já tinha sido mencionada na oficina Claro, uma compreensão profunda de todos os conceitos de álgebra linear não é adquirida numa oficina de duas horas, mas leva os seis meses que os cursos universitário sobre isso costumam durar, se não mais tempo Mas não se esperava de ninguém uma tal compreensão O esperado era apenas a compreensão da definição que trazia a prova, na linguagem formal em que estava escrita, e idéias sobre como, a partir daquilo, se poderia demonstrar o pedido Esta questão necessita, para sua resolução, basicamente de conceitos e técnicas de resolução de sistemas de equações lineares, além, é claro, de bastante coragem Sejam as bases {a n } e {b m } de um espaço vetorial V sobre um corpo K, com m > n Partindo da hipótese que tanto os a n quanto os b m formam uma base, podemos escrever os b m como função dos a n : a 1 + A 12 a A 1n a n = b 1 A 21 a 1 + A 22 a A 2n a n = b 2 3

4 A m1 a 1 + A m2 a A mn a n = b m Ao se deparar com tal sistema de equações, o aluno poderia argumentar que um sistema com mais equações que incógnitas (os a n ) ou formam um sistema impossível, que faz com que {a n } e {b m } não possam ser bases simultaneamente ou m n equações são repetidas logo, os b m não seriam base Para resolver sem se restringir ao esses argumentos, podemos usar o método do escalonamento, que consiste em subtrair a primeira equação multiplicada por Ai1 da i-ésima equação, ficando com: a 1 + A 12 a A 1n a n = b 1 A 22a A 2na n = b 2 C 12 b 1 A m2a A mna n = b m C 1m b m Onde A ij = A ij A1jAi1 e C 1i = Ai1 Agora podemos fazer o mesmo, mas com a segunda equação, e assim sucessivamente (note que caso um dos termos A i 1 ii = 0, podemos reordenar as equações, reordenando os b i convenientemente) Após todo o processo, teremos: a 1 + A 12 a A 1n a n = b 1 A 22a A 2n a n = b 2 n 1 C nn a n = b n K in b i C n+1,n a n = b n+1 n K i,n+1 b i (1) Onde os C ii e K ii são os coeficientes resultantes do escalonamento Podemos agora, subtrair a equação de C nn multiplicada por α = Cn+1,n C nn da equação abaixo, ficamos com: ( n 1 ) b n+1 = α b n K in b i ) + n K i,n+1 b i n 1 ( ) b n+1 = b n α + Kn,n+1 + (K i,n+1 K in )b i Logo, caso {a n } forma uma base, então b n+1 pode ser escrito em função dos {b n }, logo, o conjunto {b m } b n+1 satisfaz a condição (i), portanto {b m } 4

5 não forma uma base, pela condição (ii) Podemos renomear o conjunto {b m } b n+1 = {b m }, e fazer o mesmo com {b m }, enquanto m > n Logo todas as bases sobre um mesmo espaço vetorial tem o mesmo numero de vetores (neste caso n, supondo que este seja o menor número possível para descrever todos os vetores do espaço vetorial) 5