Apresentação de Dados em Tabelas e Gráficos

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1 Apresentação de Dados em Tabelas e Gráficos Os dados devem ser apresentados em tabelas construídas de acordo com as normas técnicas ditadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (Fundação IBGE). A Fundação IBGE também dita normas para a construção de gráficos. Todo gráfico deve apresentar título e escala. O título pode ser colocado tanto acima como abaixo do gráfico. As escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de baixo para cima. As legendas explicativas devem ser colocadas, de preferência, à direita do gráfico. Componentes das Tabelas As tabelas têm título, corpo, cabeçalho e coluna indicadora. O título explica o que a tabela contém. O corpo é formado pelas linhas e colunas de dados. O cabeçalho especifica o conteúdo das colunas, e a coluna indicadora especifica o conteúdo das linhas. Como exemplo, veja a tabela a seguir. Tabela : Casos registrados de intoxicação humana, segundo a causa determinante. Brasil, Causa Acidente 2961 Abuso 264 Suicídio 7965 Profissional 3735 Outras 1959 Ignoradas 113 Fonte:MS/FIOCRUZ/SINITOX Na tabela acima, o título é Casos registrados de intoxicação humana, segundo a causa determinante. Brasil, O cabeçalho é constituído pelas palavras Causa e Freqüência. A coluna indicadora é mostrada abaixo: E Nemer 1 / 2

2 Acidente Abuso Suicídio Profissional Outras Ignoradas O corpo da tabela é formado pelos números abaixo A tabela deve ser delimitada por traços horizontais. Podem ser feitos traços verticais para separar as colunas, mas não devem ser feitos traços verticais para delimitar a tabela. O cabeçalho é separado do corpo por um traço horizontal. As tabelas podem apresentar, além das freqüências, as freqüências relativas e o total. Para obter a freqüência relativa de uma dada categoria, divide-se a freqüência dessa categoria pela soma das freqüências. O resultado, multiplicado por 1, é uma porcentagem. O total da coluna é escrito entre dois traços horizontais. Veja a tabela abaixo: Tabela : Casos registrados de intoxicação humana, segundo a causa determinante. Brasil, Causa Freqüência relativa Acidente ,3 Abuso 264 5,54 Suicídio ,96 Profissional ,95 Outras ,17 Ignoradas 113 2,35 Total , Fonte:MS/FIOCRUZ/SINITOX Nota: Casos ocorridos no ano de registro E Nemer 2 / 2

3 Como visto na tabela anterior, as tabelas podem conter fonte, notas e chamadas. A fonte dá indicação da entidade, ou do pesquisador, ou dos pesquisadores que publicaram ou forneceram os dados. No nosso exemplo, a fonte é MS/FIOCRUZ/SINITOX, que publicou os dados. As notas devem esclarecer aspectos relevantes do levantamento dos dados ou da apuração. No nosso exemplo, a nota informa que só foram apurados os casos ocorridos no ano de registro. As chamadas dão esclarecimentos sobre os dados. Devem ser feitas através de algarismos arábicos escritos entre parênteses, e colocadas à direita da coluna. Tabelas de Contingência Muitas vezes os elementos da amostra ou da população são classificados de acordo com dois fatores. Os dados devem, então, ser apresentados em tabelas de contingência, isto é, em tabelas de dupla entrada, cada entrada relativa a um dos fatores, como mostrado na tabela a seguir, que apresenta o número de nascidos vivos registrados. Note que eles estão classificados segundo dois fatores: o ano de registro e o sexo. Tabela : Nascidos vivos registrados segundo o ano de registro e o sexo. Ano de registro Sexo Total Masculino Feminino Fonte:IBGE(1988) Nota: Nascimentos ocorridos no ano de registro As tabelas de contingência podem apresentar freqüências relativas, além de freqüências. As freqüências relativas dão estimativas de riscos, isto é, dão estimativas das probabilidades de dano, conforme mostrado na tabela a seguir. E Nemer 3 / 2

4 Tabela : Recém-nascidos segundo a época do ataque de rubéola na gestante e a condição de normal ou defeituoso. Época do ataque Condição Total Freq. Relativa de defeituosos Normal Defeituoso Até o 3 o mês ,% Depois do 3 o mês ,6% Fonte:HILL et alii(1958) As freqüências relativas apresentadas na tabela anterior estimam o risco de um recém-nascido ser defeituoso em função da época em que a gestante foi atacada de rubéola. Note que a freqüência relativa de defeituosos (risco) é maior quando a gestante foi atacada de rubéola no primeiro trimestre de gestação. Diz-se, então, que a época do ataque de rubéola é um fator de risco na ocorrência de recém-nascidos defeituosos. Tabelas de Distribuição de s As tabelas com grande número de dados são cansativas e não dão ao leitor visão rápida e global do fenômeno. Para isso, é preciso que os dados estejam organizados em uma tabela de distribuição de freqüências. Nesta seção estudaremos, passo a passo, a construção desse tipo de tabela usando os dados da tabela abaixo. Tabela 2.6 Peso ao nascer de nascidos vivos, em quilogramas 2,522 3,2 1,9 4,1 4,6 3,4 2,72 3,72 3,6 2,4 1,72 3,4 3,125 2,8 3,2 2,7 2,75 1,57 2,25 2,9 3,3 2,45 4,2 3,8 3,22 2,95 2,9 3,4 2,1 2,7 3, 2,48 2,5 2,4 4,45 2,9 3,725 3,8 3,6 3,12 2,9 3,7 2,89 2,5 2,5 3,4 2,92 2,12 3,11 3,55 2,3 3,2 2,72 3,15 3,52 3, 2,95 2,7 2,9 2,4 3,1 4,1 3, 3,15 2, 3,45 3,2 3,2 3,75 2,8 2,72 3,12 2,78 3,45 3,15 2,7 2,48 2,12 3,155 3,1 3,2 3,3 3,9 2,45 2,15 3,15 2,5 3,2 2,5 2,7 3,3 2,8 2,9 3,2 2,48 3,25 2,9 3,2 2,8 2,45 E Nemer 4 / 2

5 Imagine que, para dar uma idéia geral sobre peso ao nascer de nascidos vivos, o pesquisador irá apresentar não os pesos observados, mas o número de nascidos vivos por faixas de peso. Deve, então, construir uma tabela de distribuição de freqüências. Primeiro, é preciso definir as faixas de peso que recebem, tecnicamente, o nome de classes. Observe os dados apresentados na tabela anterior. Primeiro devemos identificar o maior e o menor valores. Olhando a tabela, fica um pouco difícil buscar esses valores. Portanto, a sugestão é construir o rol que nada mais é do que os dados em ordem crescente ou decrescente. Arrumando os dados, temos a seguinte tabela: Rol da tabela 2.6 1,57 2,48 2,78 3, 3,2 3,55 1,72 2,48 2,8 3, 3,2 3,6 1,9 2,5 2,8 3,1 3,2 3,6 2, 2,5 2,8 3,1 3,2 3,7 2,1 2,5 2,8 3,11 3,2 3,72 2,12 2,5 2,89 3,12 3,22 3,725 2,12 2,5 2,9 3,12 3,25 3,75 2,15 2,522 2,9 3,125 3,3 3,8 2,25 2,7 2,9 3,15 3,3 3,8 2,3 2,7 2,9 3,15 3,3 3,9 2,4 2,7 2,9 3,15 3,4 4,1 2,4 2,7 2,9 3,15 3,4 4,1 2,4 2,7 2,9 3,155 3,4 4,2 2,45 2,72 2,92 3,2 3,4 4,45 2,45 2,72 2,95 3,2 3,45 4,6 2,45 2,72 2,95 3,2 3,45 2,48 2,75 3, 3,2 3,52 Construído o rol (dados em ordem crescente), fica mais fácil identificar o menor valor,1,57kg, e o maior valor, 4,6kg. Podem, então, ser definidas classes de 1,5 a 2,kg, de 2, a 2,5kg, e assim por diante, como mostra o esquema dado a seguir: 1,5 -- 2, 2, -- 2,5 2,5 -- 3, 3, -- 3,5 3,5 -- 4, 4, -- 4,5 4,5 -- 5, E Nemer 5 / 2

6 Na classe de 1,5 a menos de 2,kg são colocados desde nascidos com 1,5kg até os que nasceram com 1,999kg; na classe de 2, a menos de 2,5kg são colocados desde nascidos com 2,kg até os que nasceram com 2,499kg, e assim por diante. Logo, cada classe cobre um intervalo de,5kg, ou seja, cada intervalo de classe é de,5kg. É mais fácil trabalhar com intervalos de classe iguais. A distribuição das freqüências, obtida a partir da tabela anterior é dada a seguir. Classe Freqüência 1,5 -- 2, 3 2, -- 2,5 16 2,5 -- 3, 31 3, -- 3,5 34 3,5 -- 4, 11 4, -- 4,5 4 4,5 -- 5, 1 Denominam-se extremos de classe os limites dos intervalos de classe. Deve ficar muito claro se os valores iguais aos extremos devem ou não ser incluídos na classe. Recomenda-se adotar a notação 1,5 -- 2, etc. Isto significa que o intervalo é fechado à esquerda, isto é, pertencem à classe os valores iguais ao extremo inferior (por exemplo, 1,5 na primeira classe). Também significa que o intervalo é aberto à direita, isto é, não pertencem à classe os valores iguais ao extremo superior (por exemplo, 2, na primeira classe). Numa tabela de distribuição de freqüências também podem ser apresentados os pontos médios de classe. O ponto médio é dado pela soma dos extremos da classe, dividida por 2. Para a classe 1,5 -- 2, o ponto médio é: 1,5 + 2, 2 = 1,75 Uma tabela típica de distribuição de freqüências tem, então, três colunas: a da esquerda, onde estão escritas as classes; a do meio, onde estão escritos os pontos médios; e a da direita, onde estão escritas as freqüências, isto é, o número de elementos de cada classe, conforme mostrado na tabela abaixo: E Nemer 6 / 2

7 Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em quilogramas Classe Ponto médio Freqüência 1,5 -- 2, 1,75 3 2, -- 2,5 2, ,5 -- 3, 2, , -- 3,5 3, ,5 -- 4, 3, , -- 4,5 4,25 4 4,5 -- 5, 4,75 1 Nem sempre estão definidos o extremo inferior da primeira classe ou o extremo superior da última classe. Observe a tabela abaixo. O extremo superior da última classe não está definido. Esta tabela também exemplifica o uso de intervalos de classes diferentes. Mulheres com 3 anos de idade segundo a pressão sanguínea sistólica, em milímetros de mercúrio. Classe Ponto médio , , , , , , , , e mais... 1 As tabelas de distribuição de freqüências mostram a distribuição da variável, mas perdem em exatidão. Isto porque todos os dados passam a ser representados pelo ponto médio da classe a que pertencem. Por exemplo, a tabela anterior mostra que seis mulheres apresentaram pressão sanguínea sistólica com o ponto médio igual a 95, mas não dá informação exata sobre a pressão de cada uma delas. O número de classes deve ser escolhido pelo pesquisador, em função do que ele quer mostrar. Em geral, convém estabelecer de 5 a 2 classes. Se o número de classes for demasiado pequeno (por exemplo, 3), perde-se muita informação. Se o número de classes for grande (por exemplo, 3), têm-se pormenores desnecessários. Mas não existe um número ideal de classes, embora existam até fórmulas para estabelecer quantas classes devem ser construídas. Uma dessas fórmulas é a seguinte: E Nemer 7 / 2

8 k = 1 + 3,222 log n Onde n é o número de dados. O número de classes é um inteiro próximo de k. Para entender como se aplica esta fórmula, veja a tabela 2.6. Como n=1, tem-se que: k ( ) 7, 444 = 1 + 3,222 log 1 k = Ou seja, deveriam ter sido construídas 7 ou 8 classes. É importante deixar claro, aqui, que o resultado obtido por esta fórmula pode ser usado como referência, mas cabe ao pesquisador determinar o número de classes que pretende organizar. Finalmente, quando se constrói uma tabela de distribuição de freqüências, é melhor usar, como extremos de classes números fáceis de trabalhar. No caso do peso ao nascer dos nascidos vivos, foram definidas 7 classes e foram estabelecidos extremos com valores fáceis, como 1,5 e 2,. Para exemplificar melhor, vamos construir uma tabela de distribuição de freqüências das idades dos funcionários de uma amostra de 5 elementos selecionados de uma determinada empresa. A tabela com as 5 idades é apresentada abaixo: Idades de 5 funcionários (colocados em ordem crescente) Para a montagem da tabela de distribuição de freqüências são necessários três passos iniciais que são os seguintes: o Passo 1: Construir o Rol (dados em ordem crescente) e determinar a Amplitude total (R). Observe na tabela anterior que os dados já estão arrumados em ordem crescente. Logo, já temos o Rol. Portanto, falta calcular a Amplitude que é dada por: E Nemer 8 / 2

9 R = Maior medida Menor medida R = R = 47 o Passo 2: Cálculo do número de classes (K). Pode-se utilizar intervalos com tamanhos iguais ou desiguais. Geralmente, escolhem-se classes com tamanhos iguais. Há vários critérios para a escolha do número de classes. Um critério é escolher o número de classes de acordo com a tabela abaixo: No de elementos que se deseja representar No de classes Menor do que 25 5 ou 6 Entre 25 e 5 De 7 a 14 Maior que 5 De 15 a 2 Um segundo critério é usar a fórmula de Sturges dada abaixo: k = 1 + 3,222 log n Onde n é o número de elementos que se deseja representar. Para o nosso caso, temos que n = 5. Logo: k ( 5) 7 = 1 + 3,222 log k O que significa que deveremos ter 7 classes. o Passo 3: Cálculo do intervalo das classes (h). Para o cálculo do tamanho dos intervalos das classes h temos: h = R K Para o nosso caso, temos que: h = R K h = 47 7 h 7 O que significa que o tamanho de cada classe será de 7 idades. E Nemer 9 / 2

10 Obs: Quanto ao limite das classes, utilizaremos o seguinte critério: a -- b Serão incluídos todos os elementos menores do que b Serão incluídos todos os elementos maiores ou iguais a a Para a montagem da tabela de distribuição de freqüências será necessário calcular a quantidade de elementos que pertencem a uma determinada classe. A essa quantidade de elementos daremos o nome de freqüência absoluta de elementos da classe i e a denotaremos por F i. Denominaremos f i a freqüência relativa de elementos da classe i e que será determinada da seguinte forma: f i = Fi n Como a variável de estudo é agrupada em classes, temos interesse em determinar os pontos médios das classes x i calculados pela média aritmética entre os limites inferior e superior da classe i. Também podem ser determinadas as freqüências absolutas acumuladas F ac e as freqüências relativas acumuladas f ac. Logo, voltando ao nosso exemplo, para montar a tabela de distribuição de freqüências para o nosso caso, temos que: k = número de classes = 7 h = tamanho do intervalo das classes = 7 Menor medida = 18 anos Maior medida = 65 anos Logo, a primeira classe conterá todas as idades maiores ou iguais a 18 e menores do que 25, pois os limites da 1 a classe são: E Nemer 1 / 2

11 Assim, a tabela de distribuição de freqüências das idades ficará da seguinte forma: F i f i 1 Fi n F f 1 ac ac n Classes Intervalos F i f i f i % F ac f ac f ac % x i , , , ,2 2 16, , , , , , , , , , , ,1 1 48, , , , 1 63,5 Somas n Conforme os objetivos da Estatística Descritiva, a tabela de distribuição de freqüências sintetiza e organiza uma coleção de dados, facilitando a compreensão e análise da variável sob estudo. Dentre outras considerações sobre as idades dos 5 funcionários que estamos analisando, podemos fazer algumas observações a partir da tabela. o A maior quantidade de funcionários tem idade entre 32 e 38 anos. o Apenas 4% dos funcionários possuem idades iguais ou superiores a 6 anos, sendo 65 anos a maior idade do grupo. o 58% dos funcionários da amostra têm idades inferiores a 38 anos, sendo 18 anos a menor idade do grupo. Gráfico de Barras O gráfico de barras é usado para apresentar variáveis qualitativas ou ordinais. Para fazer um gráfico de barras, primeiro se traça o sistema de eixos cartesianos. Depois colocam-se, no eixo das abscissas (ou das ordenadas) as categorias da variável em estudo. Em seguida, constroem-se barras retangulares com base no eixo das abscissas (ou das ordenadas) e altura (ou comprimento) igual à freqüência. Como exemplo observe a tabela abaixo: E Nemer 11 / 2

12 Internações em estabelecimentos de saúde por espécie de clínica Espécie de clínica relativa (%) Médica ,51 Ginecologia e Obstetrícia ,73 Cirurgia ,26 Pediatria ,82 Outras ,69 O gráfico de barras correspondente é apresentado abaixo: Internações em estabelecimentos de saúde Outras Pediatria Cirurgia Ginecologia e Obstetrícia Médica relativa Gráfico de Setores O gráfico de setores também é usado para apresentar variáveis qualitativas ou ordinais. Para fazer um gráfico de setores, primeiro se traça uma circunferência que, como se sabe, tem 36 o. Essa circunferência representa o total, ou seja, 1%. Dentro dessa circunferência devem ser representadas as categorias da variável em estudo. Para isso, toma-se a freqüência relativa de cada categoria e calcula-se o ângulo central, da seguinte maneira: se 1% correspondem a 36 o, uma categoria com freqüência relativa de f% terá um ângulo central x, tal que: 1 36 f x E Nemer 12 / 2

13 E o valor do ângulo central x será de : 36 x = 1 f Os ângulos centrais das demais categorias são obtidos da mesma maneira. Para fazer o gráfico de setores, marcam-se, na circunferência, os ângulos calculados, separando-os com o traçado dos raios. O gráfico de setores para a tabela anterior ficaria da seguinte forma: Internações em estabelecimentos de saúde por espécie de clínica Médica Ginecologia e Obstetrícia Cirurgia Pediatria Outras Histograma A quantidade de informação fornecida por uma amostra é tanto maior quanto maior é a quantidade de dados. Fica, porém, difícil captar a informação contida em uma tabela muito longa. Para dar visão rápida e objetiva da questão, existe uma ferramenta: é o histograma. Os dados apresentados em tabelas de distribuição de freqüências são apresentados graficamente em histogramas. Para construir um histograma, primeiro se traça o sistema de eixos cartesianos. Depois, se os intervalos de classe são iguais, traçam-se barras retangulares com bases iguais, correspondendo aos intervalos de classe, e com alturas determinadas pelas respectivas freqüências. E Nemer 13 / 2

14 Abaixo são apresentados uma tabela de distribuição de freqüências e seu respectivo histograma. Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em quilogramas Classe Ponto médio 1, , ,5 2, , , ,5 3, , , ,5 4,25 4 4, ,75 1 Nascidos vivos segundo o peso (kg) ,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 Peso ao nascer Um outro exemplo para um histograma é apresentado abaixo: Classe Ponto médio relativa 1,5 -- 1,55 1, % 1, ,6 1, % 1,6 -- 1,65 1, % 1, ,7 1, % 1,7 -- 1,75 1, % 1, ,8 1, % Total 5 1% E Nemer 14 / 2

15 Histograma ,525 1,575 1,625 1,675 1,725 1,775 Ponto médio Como se interpreta um histograma? A simples observação da forma do histograma permite algumas conclusões. Observe a figura abaixo. A média dos dados está no centro do desenho. As freqüências mais altas também estão no centro da figura. Nos processos industriais, esta é a forma desejável. Histograma E Nemer 15 / 2

16 Agora observe a figura abaixo. Ela apresenta um histograma com assimetria positiva. A média dos dados está localizada à esquerda do centro da figura e a cauda à direita é alongada. Esta forma ocorre quando o limite inferior é controlado ou quando não podem ocorrer valores abaixo de determinado limite. Histograma com assimetria positiva Já a figura abaixo apresenta um histograma com assimetria negativa. A média dos dados está localizada à direita do centro da figura e a cauda à esquerda é alongada. Esta forma ocorre quando o limite superior é controlado ou quando não podem ocorrer valores acima de determinado limite. Histograma com assimetria negativa E Nemer 16 / 2

17 A figura abaixo mostra um histograma em plateau, isto é, com exceção das primeiras e das últimas classes, todas as outras têm freqüências quase iguais. Essa forma ocorre quando se misturam várias distribuições com diferentes médias. Histograma em plateau A figura abaixo mostra um histograma com dois picos, ou duas modas. As freqüências são baixas no centro da figura, mas existem dois picos fora do centro. Esta forma ocorre quando duas distribuições com médias bem diferentes se misturam. Podem estar misturados, por exemplo, os produtos de dois turnos de trabalho. Histograma com dois picos E Nemer 17 / 2

18 Os histogramas também mostram o grau de dispersão da variável. Veja a figura abaixo. Histograma - baixa dispersão Histograma - grande dispersão Os limites da especificação Os limites de especificação devem ser traçados no histograma. Veja a figura abaixo. Os limites de especificação inferior e superior estão indicados por LIE e LSE, respectivamente. Note que existem espaços entre os limites e a figura, isto é, existe folga. Então, a probabilidade de ocorrer um valor fora dos limites é baixa. Se o histograma que você desenhou tem esta configuração, procure manter a situação. Histograma - com folga E Nemer LIE 18 / 2 LSE

19 Veja agora a figura abaixo. O começo e o fim do histograma estão sobre os limites de especificação. Então, convém diminuir a variabilidade. Quando não existe folga, isto é, uma margem de segurança, qualquer ação que aumente a variabilidade determina a ocorrência de valores fora dos limites de especificação. Histograma sem folga LIE LSE Existem casos em que o histograma não está no centro dos limites de especificação. Veja a figura abaixo. É preciso centralizar o processo, pois estão ocorrendo muitos refugos. Histograma com perdas LIE E Nemer 19 / 2 LSE

20 A figura abaixo mostra um histograma que ultrapassa os limites de especificação. Nesse caso, é preciso reduzir a variabilidade para diminuir o volume de perdas. Histograma com perdas LIE LSE Em resumo, o histograma revela a quantidade de variação que todo processo traz dentro de si. Ao observar um histograma, note, especificamente: o A forma, que deve ser simétrica. o A dispersão, que deve ser pequena. o A centralização, que deve estar na média. E Nemer 2 / 2