Matemática. Resolução das atividades complementares. M5 Função Polinomial

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M Função Polinomial p. 6 (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$, e cada minuto em ligações locais custa R$,. No plano B, paga-se um valor fio de R$, para até minutos em ligações locais e, a partir de minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é R$,. A: R$ 7, e B: R$, a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de minutos em ligações locais. b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deia de ser mais vantajoso do que o plano A. a partir de 68 min a) Sejam A(t) e B(t) os valores das contas nos planos A e B, em função do tempo (em minutos) em ligações locais. A( t),t se t B( t),( t ) se t Sendo t min, temos: A(), A() R$ 7, B() R$, b) A(t) B(t) t ou,t,(t ) t 68 min O plano B deia de ser mais vantajoso a partir de 68 min em ligações locais.

2 (Vunesp-SP) Um laboratório farmacêutico tem dois depósitos, D e D. Para atender a uma encomenda, deve enviar caias iguais contendo determinado medicamento à drogaria A e caias do mesmo tipo e do mesmo medicamento à drogaria B. Os gastos com transporte, por caia de medicamento, de cada depósito para cada uma das drogarias, estão indicados na tabela. D D A B R$, R$, R$, R$, Seja a quantidade de caias do medicamento do depósito D que deverá ser enviada à drogaria A e y a quantidade de caias do mesmo depósito que deverá ser enviada à drogaria B. a) Epressar: G A 6 ; G B 6 y e G 96 y em função de, o gasto G A com transporte para enviar os medicamentos à drogaria A; em função de y, o gasto G B com transporte para enviar os medicamentos à drogaria B; em função de e y, o gasto total G para atender às duas drogarias. b) Sabe-se que no depósito D eistem eatamente caias do medicamento solicitado e que o gasto total G para atender à encomenda deverá ser de R$ 89,, que é o gasto mínimo nas condições dadas. Com base nisso, determine, separadamente, as quantidades de caias de medicamentos que sairão de cada depósito, D e D, para cada drogaria, A e B, e os gastos G A e G B. a) Para a drogaria A vão caias do depósito D, a R$, cada uma, e caias do depósito D, a R$,. Logo, G A ( ) G A 6. Para a drogaria B vão y caias do depósito D, a R$, cada uma, e y caias do depósito D, a R$,. Logo, G B y ( y) G B 6 y. Daí, vem: G G A G B G 96 y b) Como, para as duas drogarias, os gastos com o depósito D são menores que os gastos com o depósito D, temos y, ou seja, y. De G 89, temos: 96 y ( ) 89 Logo, y y. Assim, temos: (caias de D para A) y (caias de D para B) G A G A G B G B 9 Do depósito D sairão caias para a drogaria A e caias para a drogaria B. Do depósito D sairão caias para a drogaria B e nenhuma para a drogaria A. G A e G B 9

3 (Fameca-SP) Os sistemas de cobrança de dois particulares pesque-pague combinam uma taa de ingresso, fia e individual, com o preço do quilo de peie que o pescador leva para casa. Num deles, o pescador paga um valor equivalente a uma taa de ingresso de R$ 8, mais R$ 6, por quilo de peie que levar. No outro, paga um valor equivalente a uma taa de ingresso de R$, mais R$ 8, por quilo de peie que levar. Nessas condições: a) dê as leis que descrevem os dois sistemas de cobrança e faça os respectivos gráficos, num mesmo sistema de coordenadas, tomando o peso no eio das abscissas e o valor total a ser pago pelo pescador no eio das ordenadas; b) com base nos gráficos, faça uma discussão quanto aos intervalos de peso em que um pesque-pague é mais vantajoso que o outro. preço (R$) a) o ) P () 8 6 o P ) P () 8 () 6 P () 8 peso (kg) b) O o pesque-pague é mais vantajoso para quantidades de peie de a kg. Já o o pesque-pague passa a ser mais vantajoso para quantidades de peie superiores a kg. (Unicamp-SP adaptado) O preço a ser pago por uma corrida de tái inclui uma parcela fia, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$, e cada quilômetro rodado custa R$,86: a) epresse o valor P a ser pago em função da distância (em quilômetros) percorrida; P(),,86 b) calcule o preço de uma corrida de km; R$,9 c) calcule a distância percorrida por um passageiro que pagou R$, pela corrida. km a) P(),,86 b) P(), 9,6 P() R$,9 c) P(),,86,, km

4 Construa, usando o sistema cartesiano ortogonal, o gráfico das funções dadas por: a) f() b) f() c) f() d) f() a) f() b) f() c) f() d) f() y y y y y y y y p. 6 6 (UFOP-MG) Um grupo de pessoas fez um contrato com uma empresa aérea para viajar nas férias. A empresa cobrará R$, por passageiro que embarcar e R$, por passageiro que desistir da viagem. a) Qual a relação entre a quantia de dinheiro que a empresa receberá do grupo e o número de passageiros que irão embarcar? y 6 b) Quantos passageiros deverão embarcar para que a empresa receba R$ 6,? 6 por passageiro que viajar a) pessoas { por passageiro que desistir y quantidade de dinheiro número de passageiros y ( ) y 6 b) passageiros 6 7 Dadas as funções f e g, cujas leis são f() a e g() b, calcule a e b de modo que os gráficos das funções interceptem-se no ponto (, 6). a e b f() a 6 a a g() b 6 b b

5 8 Construa, usando um sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da função f: IR IR dado por, se f( ), se A seguir, dê o conjunto imagem dessa função. y, se y y y, se y Im y IR y ou y 9 (Vunesp-SP) Apresentamos ao lado o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fia de C. Baseado nos dados do gráfico, determine: a) a lei da função apresentada no gráfico; y, b) qual é a massa (em grama) de cm de álcool. g y y volume (cm ) a) massa ( g); y a b ponto (, ): a? b b ponto (, ): a? b Como b, temos: a a. Logo, a lei da função é y,. b) y A massa é g. volume (cm ) (, ) (, ) massa (g) Identifique como crescente ou decrescente as seguintes funções do o grau: a) y c) f( ) crescente crescente b) y decrescente d) f() 8 decrescente a) y c) f( ) crescente, pois a. crescente, pois a b) y d) f() 8 decrescente, pois a, decrescente, pois a,

6 (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: Opção I: R$, de taa de adesão anual, mais R$, por DVD alugado. Opção II: R$, de taa de adesão anual, mais R$, por DVD alugado. Opção III: R$, por DVD alugado, sem taa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 6, no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. Seja o número de DVDs alugados e y o valor pago pelo aluguel. Logo: opção I: y, opção II: y opção III: y Como o cliente escolheu a opção II, temos: DVDs Se o cliente tivesse escolhido a opção I, teria gasto: y,? 8 y,6 y 6,6 Se o cliente tivesse escolhido a opção III, teria gasto: y? 8 y, Portanto, o cliente não escolheu a melhor opção. A melhor opção seria a III. Não. A melhor opção seria a III. Considere a função f() (m ), com m [ IR. a) Calcule m de modo que f seja crescente. m. b) Ache m para que f seja decrescente. m, a) m. m. b) m, m, Escreva a lei da função correspondente ao gráfico. (I) y (II) (III) (I), se < (II) (, ) e (, ) pertencem ao gráfico y a b (III), se > y a b a b, se a b f( ), se,, a b, se a a e b y

7 (UFES) É um fato conhecido que, qualquer que seja a substância, a sua temperatura permanece constante durante a fusão. No processo de aquecimento de uma certa substância, sua temperatura T (em C) variou com o tempo (em minutos) de acordo com a seguinte lei: t, se t T(t) 7, se t t, se t a) Esboce o gráfico de T como função de t. b) Qual a temperatura da substância no início do processo, isto é, quando t? c) Qual a temperatura da substância decorridas horas do início do processo? d) Sabendo-se que houve fusão da substância, em qual intervalo de tempo ela ocorreu? e) Em que intervalo de tempo houve a maior variação da temperatura por minuto? Eplique sua resposta. a) T 7 6 b) t T C c) horas? 6 8 min T t T 6 C d) de a min 7 e) (I) 7 (II) 6 A maior variação ocorre nos primeiros minutos. t p. 67 (Esam-RN) Os valores de que satisfazem a inequação ( ) 7 < correspondem à alternativa: a) S { [ IR } d) S { [ IR } b) S { [ IR } e) S 7 { [ IR } c) S { [ IR } ( ) 7 7 S [ IR { }

8 6 Estude a variação do sinal das seguintes funções do o grau: a) f() c) f() b) y 9 d) y a) a. zero da função: b) a, zero da função: 9 f( ) para f( ) para f( ), para, f( ) para f( ) para, f( ), para c) a, zero da função: y para y, para y, para d) a zero da função: y para y para y, para, 7 Determine o ponto (, y) em que cada gráfico das seguintes funções do o grau corta o eio, sem construir o gráfico. a) f() c) y, ( ) ( ), b) y d) y ( (, ) ), a), ( ) b), ( ) c) (, ) d) (, )

9 8 (FGV-SP) Seja a função f, de IR em IR, dada por f() k t, onde k e t são constantes reais. Se os pontos (, ) e (, ) pertencem ao gráfico de f, então: a) f é crescente, ; [ IR d) f(), se, b) é raiz da equação f() e) f() se c) o ponto (, ) pertence ao gráfico de f f( ) k t k t Como f( ) e f( ), temos: t Logo, k e t. f( ) é uma função decrescente. Raiz: f( ) se 9 (UFPE) Um feirante comprou maçãs por R$, a unidade e as revendeu por R$, a unidade, ficando com uma sobra de maçãs, que foram descartadas. Indique quantas dezenas de maçãs o feirante comprou, sabendo que seu lucro foi de R$,. 9 dezenas Seja n o número de maçãs. Logo:,(n ),n,n 9,n n 9 O número de dezenas é: 9 9 dezenas. p. 68 (UEL-PR) O custo C, em reais, da produção de eemplares de um livro é dado por C(),. Se cada eemplar é vendido por 8 reais, quantos eemplares, no mínimo, devem ser vendidos para que a editora não tenha prejuízo? a) 8 c) e) b) d) 8 >,, > >, Logo, livros.

10 Mário é proprietário de um terreno de forma retangular na cidade de Iapé, cujas dimensões estão especificadas na figura. De acordo com a legislação da Prefeitura Municipal da referida cidade, as edificações devem ocupar o mínimo de % e o máimo de 6% da área total do terreno. Para que o prédio que Mário deseja construir (área azul na figura) se enquadre nas eigências legais, determine todos os valores possíveis de. 7 < < 6 A T 6 m A P f ; ( ) f() 6 f( ) 6 ( I) ( II) (I) (II) 7 6 m m m (I) (II) 7 S { [ IR 7 < < 6} 6 Resolva as inequações: a) ( ) > ( ) { [ IR < } b) ( ) { [ IR < } a) ( ) > ( ) > < S { [ IR < } b) 6 ( ) ( ) S { [ IR }, (FEI-SP) Resolva o sistema de inequações: ( 6) 6 ( ),, ( I) 6 ( II) (I) 6 (II) (I) (II) 6 S { [ IR 6,, } { [ IR 6,, }

11 (Fumec-MG) Um esquálido vira-lata percebe um feroz e robusto pitbull a metros de distância e, imediatamente, enceta, em trajetória retilínea, uma fuga desesperada! Eatamente no mesmo instante, o atento predador parte-lhe atrás... Ocorre que a saúde do primeiro só lhe permite percorrer metros por minuto; já o ecelente condicionamento do segundo possibilita-lhe uma velocidade de 6 m/min. Passados quantos minutos iniciar-se-á a agonia do pobre cão de rua? a) c) b) d) Do enunciado, temos: (metros) As funções horárias do movimento são: pitbull s p 6t vira-lata s v t A agonia começa no instante do encontro. Assim: s p s v 6t t t t min (UFG) Para organizar uma competição esportiva tem-se um custo de R$,. Se a taa de inscrição por participante para essa competição é de R$,, determine a quantidade mínima de inscritos nessa competição, para que o valor arrecadado com a taa de inscrição cubra o custo do evento. 67 participantes Devemos ter n? >, em que n é o número de inscritos. Logo: n? > n > 66,66 Como n é inteiro, a quantidade mínima de inscritos deverá ser de 67 participantes.

12 6 (Unicamp-SP) Uma empresa possui toneladas de grãos em seu armazém e precisa transportá-las ao porto de Santos, que fica a km de distância. O transporte pode ser feito por caminhões ou por trem. Para cada caminhão utilizado paga-se R$, de custo fio, além de R$, por quilômetro rodado. Cada caminhão tem capacidade para transportar toneladas de grãos. Para cada tonelada transportada por trem paga-se R$ 8, de custo fio, além de R$, por quilômetro rodado. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Qual o custo de transporte das toneladas de grãos por caminhões e por trem? b) Para as mesmas toneladas de grãos, qual a distância mínima do armazém ao porto de Santos para que o transporte por trem seja mais vantajoso que o transporte por caminhões? a) Custo com caminhão:,? 7, Número de caminhões: Custo com caminhões:? 7 687, Custo por trem: o enunciado permite duas interpretações distintas o custo pode ser dado por (8,? ) 6, ou? 8,?, b) Seja d a distância, em km, a ser percorrida. O custo, em R$, por caminhão é,d e, com caminhões, é dado por (,d), d. Com o transporte por trem, temos o custo, em R$: pela a interpretação: (8,d) 7,d pela a interpretação:? 8,d,d Vejamos, nos dois casos, em que condições o custo por trem é menor. o caso: 7,d,,d d, 87 d. 7 o caso:,d,,d,8d, 87 d 87,8 7 d ( 7,8) 97 Resposta: a) O custo de transporte por caminhões é R$ 687, e por trem, dependendo da interpretação do enunciado, é R$ 6, ou R$,. b) O transporte por trem será mais vantajoso para qualquer distância maior que 7 km, pela 7 a interpretação, ou maior que km ( 7,8 km) 97, pela a interpretação. Note que, em nenhum caso, podemos falar em distância mínima.

13 7 (Acafe-SC) O gráfico ao lado representa o gasto mensal que uma empreiteira tem com os encargos sociais de seus funcionários, em milhares de reais. Sabendo que o número de funcionários oscila de a, o gasto y que a empreiteira terá num mês, em reais, com funcionários, será: a) 6 c) 96 e) b) 9 d) A função é do o grau. Logo, y a b. 6 b a 6 a y 6 y Portanto, y 6. Se, vem: y 6 y,6 ou y 6 reais p. 7 y 6 8 Resolva as seguintes inequações-produto: a) ( )? ( ) > { [ IR c) ( )? ( )? ( ). } b) ( )? ( ) < IR { [ IR,, ou. } a) ( )? ( ) > f() g() f() g() f() g() b) ( )? ( ) < f() g() { } S [ IR f() g() f() g() S IR c) ( )? ( )? ( ). f() g() h() f() g() h() f() g() h() S { [ IR,, ou. }

14 9 Resolva o sistema: ( ) ( )( ), { [ IR, < } ( ) ( )( ), ( ) > (I) f() g() f() g() f() g() ( ) ( ), (II) h() h() j() j() l() h() j() l() l() (I) (II) (I) (II) S { [ IR, < }

15 Determine o conjunto solução das inequações-quociente: a) { [ IR, ou. } b) { [ IR, < } a) f() g() f() g() f() g() S { [ IR, ou. } b) ( ) f() g() f() g() f() g() S { [ IR, < } Ache o conjunto verdade da inequação ( )( ) { [ IR,, ou. } a) f() f() g() g() h() h() f() g() h() S { [ IR,, ou. }

16 m Determine o conjunto solução da inequação m m. m m m m m m ( ) f() m m m g() m m m f() g() f() g() S {m [ IR m, ou m > } S {m [ IR m, ou m > } (UERN) O conjunto solução da inequação é: a) { [ IR < ou. } c) { [ IR <, } e) { [ IR,, } b) { [ IR < ou > } d) { [ IR < < } ( ) f() g() f() g() f() g() S { [ IR < ou. } (UEL-PR) A soma de todos os números inteiros e positivos que satisfazem a inequação é: a) c) e) impossível de ser calculada b) d) 9 ( ) 8 6 ( ) ( ) f() 8 6 g() ( ) f() g() f() g() Inteiros positivos: e Soma: 6

17 Determine o domínio das seguintes funções: a) y ( ) { [ IR < ou > } b) y { [ IR, ou > } a) ( ) > f() g() f() g() f() g() S { [ IR < ou > } b), com f() g() f() g() f() g() S { [ IR, ou > } 6 (FGV-SP) A solução da inequação é: a) < ou > c), < ou. e) ou b), ou <, d) < 9 g() ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) C.E.: f() { f() g() f() g() S { [ IR, ou <, } 7

18 7 (UFOP-MG) Resolva a inequação em IR. S { [ IR, ou > } C.E.: f() g() f() g() f() g() S { [ IR, ou > } 8 (Esal-MG) Resolva a inequação ( I) ( II) Estudo de (I):, com. { } S [ IR ou 6 Estudo de (II): com, 6 h( ) f( ) g( ) h() g() h() g() 6 6 S II { [ IR, ou > 6} f() g() f() g() { } S I [ IR ou Resumo: (I) (II) (I) (II) S [ IR ou 6 { } 6 6 8

19 9 Determine o domínio, em IR, da função f( ) ( )( ). D IR O domínio da função é IR, pois todo número real possui raiz cúbica real. Logo, D IR. Resolva as seguintes inequações: a) ( ), b) ( ). c) ( 6) 6, { [ IR, } { [ IR } a) ( ), quando:,, ou seja,, S { [ IR, } S [ b) ( ) positivo para:, isto é, S { [ IR } c) ( 6) 6 nunca será,. S [ { } Resolva a inequação ( ) 8 ( ) ( ) 7.. S [ IR,, e a) ( ) 8? ( )? ( ) 7. Vamos estudar por partes: (I) ( ) 8 A epressão (a b) n, com n número par não-nulo, é sempre positiva ou nula. (II) ( ) A epressão (a b) n, com n número ímpar e a,, será positiva quando, b. a (III) ( ) 7 A epressão (a b) n, com n número ímpar e a., será positiva quando b. a (I) (II) (III) (I) (II) (III) { } S [ IR,, e 9

20 p. 7 Observando as seguintes funções quadráticas, diga se a parábola que representa o gráfico da função tem a concavidade voltada para cima ou para baio. Justifique. a) y 6 c) y e) y b) y 6 d) y f) y 6 a) para cima, pois a (a. ) b) para baio, pois a (a, ) c) para cima, pois a (a. ) d) para cima, pois a (a. ) e) para baio, pois a (a, ) f) para baio, pois a (a, ) Determine os zeros das seguintes funções: a) y {, } c) f() {, } b) f() 7 {, } d) y Não eiste raiz real. ou a) ( ) { S {, } b) 7 D S {, } c) 6 S {, } d) D Não eiste raiz real. Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y m passe pelo ponto (, 6). m y m (, 6) y 6 () m 6 m m

21 Calcule a, b e c de modo que o vértice da parábola representativa da função f() a b c seja (, 6) e que seja um zero da função. a, b e c V(, 6) y a b c Substituindo os valores na equação, temos: 6 a() b() c 6 a b c (I) a() b() c 9a b c (II) Temos: b b v b a ( III) a a Substituindo (III) em (I) e (II): 6 a a c 6 a c 9a (a) c 9a 6a c a c a c 6 () a c a c 6 Substituindo em (III): a c b a b 6a 6 a e c a, b, c 6 Determine o ponto V( v, y v ), vértice da parábola que representa o gráfico das seguintes funções: a) y 6 (, ) c) y, e) y 6 (, ) ( ) b) y d) y f) y (, ) (, ), 8 8 a) y 6 b v 6 a yv D 6 a (, ) b) y v 6 yv 6 (, ) c) y v yv (, ) d) y v y v (, ) e) y 6 v y v (, ) f) y y v v, ( ) ( )

22 7 (PUC-RS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de ( t t), t trabalho é dado por f( t). O número de peças produzidas durante a quinta hora de ( t ),, t 8 trabalho é: a) c) e) b) d) A quinta hora é da a hora para a a hora. Logo: t h f() ( ) peças t h f() ( ) peças Logo: f() f() peças 8 (UERJ) Três corredores I, II e III treinam sobre uma pista retilínea. As posições ocupadas por eles, medidas a partir de um mesmo referencial fio, são descritas pelas funções S I t, S II t 9 e S III t t 9. Nessas funções, a posição S é medida em metros e o tempo t é medido em segundos. Durante a corrida, o número de vezes em que a distância entre os corredores I e II é igual à distância entre os corredores II e III corresponde a: a) c) b) d) Devemos ter: S II S I S III S II t 9 (t ) t t 9 (t 9) t 9 t t t 9 t 9 t9 s t t 6 t s ou (não serve) S I S II S II S III t (t 9) t 9 (t t 9) t t 9 t 9 t t 9 t t 6 t9 s t s ou (não serve) Logo, o número de vezes é igual a. 9 Determine o parâmetro real k, de modo que a função f() k tenha: a) dois zeros reais diferentes k, b) um zero real duplo k c) nenhum zero real k. a) D. k. k. k, b) D k k c) D, k, k.

23 (Unifesp-SP) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a cm, porém de áreas diferentes, iguais a cm e 6 cm, respectivamente. cm 6 cm Figura A Figura B A figura C eibe um retângulo de dimensões ( ) cm e cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B. Figura C a) Determine a lei, f(), que epressa a área do retângulo da figura C e eiba os valores de que fornecem a área do retângulo da figura A. f() ( ) e f() ou b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C. 6 cm a) A área de um retângulo de base e altura, com,,, é dada por f() ( )? ( em cm). Essa área é igual a cm se, e somente se: f() ( )? ou b) f() 6 f() ( )? é máimo se, e somente se,. f() ( )? f() 6

24 Determine para que valores reais de é crescente a função: a) f() 6 { [ IR b) f() c) f() } { [ IR > } [ IR a) a (admite um valor mínimo) v f() é crescente para { [ IR }. b) a. (admite um valor mínimo) v f() é crescente para { [ IR > }. c) a, (admite um valor máimo) v f() é crescente para { [ IR }. { } Determine para que valores de é decrescente a função: a) f() { [ IR b) f() c) f() } { [ IR > } [ IR a) a (admite um valor mínimo) v 6 f() é decrescente para { [ IR }. b) a, (admite um valor máimo) v f() é decrescente para { [ IR > }. c) a, (admite um valor máimo) v f() é decrescente para [ IR { }. { }

25 (IBMEC-SP) Em um edifício há condôminos. Dados passados indicam que, se o valor do condomínio é igual a R$,, todos pagam o condomínio. Mas, a cada R$, que o condomínio ultrapassa esse valor, um morador deia de pagar o condomínio. R$ 7, ou R$, a) Determine o valor do condomínio para que sejam arrecadados R$ 8, em determinado mês. b) Determine o valor do condomínio para que a arrecadação em determinado mês seja a maior possível. Qual a porcentagem de inadimplentes neste caso? R$, e % a) Sendo o valor mensal, em R$, do condomínio e p() o número de condôminos pagantes, temos: D p D e, portanto, p() b, em que b é uma constante. De p(), temos: b b [ b Logo, p(). ( ) Para uma arrecadação mensal de R$ 8,, devemos ter: p( ) ou Resposta: R$ 7, ou R$, b) Sendo y? p(), com < <, temos: y ( ) y O gráfico de y em função de é um conjunto de pontos do arco da parábola de equação y, com < <. Sendo v a abscissa do vértice da parábola, temos: y v ( ) Temos p(). Portanto, com o valor do condomínio igual a R$,, a arrecadação mensal é máima e haverá condôminos pagantes. A porcentagem de inadimplentes, neste caso, é %. Resposta: R$, e %

26 (UFSC) As dimensões de um retângulo são dadas, em centímetros, pelas epressões: e ( ), com,,. Determinar, nesse caso, o valor máimo da área, em centímetro quadrado, que esse retângulo pode assumir. cm e ( ),, Área ( ) Área v 8, ( ) Área má?, (,) Área má? 6, Área má cm p. 76 (IME-RJ) Seja f: IR IR uma função quadrática, tal que f() a b c, com a, ; [ IR. Sabendo que e são as raízes e que f() 8, pede-se: a) determinar a, b, c. a ; b ; c b) calcular f(). c) verificar se f() apresenta máimo ou mínimo, justificando a resposta. mínimo, pois a. d) as coordenadas do ponto etremo. (, 9) 9 f() a b c, dados, com a f() 8 8 a b c a) a b c a b c a b c b) f()?? f() c) mínimo, pois a. d) v ( ) yv ( 6 ) 9 (, 9) () 6

27 6 (IBMEC-SP) A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica eposta à radiação ultravioleta, segundo a relação p(t) t,t a) Considerando que p deve ser uma função decrescente variando de a, determine a variação correspondente do tempo t (domínio da função). [, ] b) A cultura não será segura para ser usada se tiver mais de 8% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de eposição que resulta em uma cultura segura. 6 s p(t) a) p(t) t,t p(t),(t t ) De t t, temos t ou t. Considerando que p é uma função decrescente e que < p(t) <, podemos concluir que seu domínio é o intervalo fechado [, ]. Resposta: [, ] b) De p(t) 8, temos:,t t 8 t t t 6 ou t Da condição < t <, temos t 6 s. Como p é decrescente, temos p(t) < 8, para t > 6 (e t < ). t 7 (Uniube-MG) A tabela abaio fornece a profundidade de uma lagoa em relação à distância horizontal tomada a partir de um ponto de sua margem. distância (km) profundidade (m) 8 Se usarmos um polinômio de grau para representar a profundidade como função da distância horizontal, então: a) a profundidade será igual a 8 m quando a distância for km. b) a profundidade será igual a m quando a distância for km. c) a margem oposta do lago estará a 6 km do ponto de origem. d) o polinômio será p() 6. e) a profundidade máima será, m. Representando a profundidade p em função da distância por p() a b c e usando os dados da tabela, temos: p() p() a? b? c c p() 8 p() a? b? a b 8 p() p() a? b? a b De e, vem: a b 8 a b 8 a b ( ) a b 6 a a e b Logo: p(). A profundidade máima ocorrerá quando: y y D y a vértice vértice, m ( ) 7

28 8 (UFES) Determine os possíveis valores reais que a e b podem assumir para que o gráfico da função f: IR IR dada por f() a b encontre o eio O em um único ponto P (, ). a ; b 9 f() a b f() 9a b 9a b b a 9 D [ b ac ( b ) b 9 b b 9 9b b D e b a 9 9 (Fatec-SP) Sejam as funções f e g, de V em V, definidas, respectivamente, por f() = e g() =. Com relação à função g f, definida por (g f) () = g[f()], é verdade que: a) a soma dos quadrados de suas raízes é igual a 6. b) o eio de simetria de seu gráfico é y =. c) o seu valor mínimo é. d) o seu conjunto imagem está contido em [, [. e) (g f) (), se, e somente se,,,. Se f() e g(), então (g f)() g[f()] g[ ] ( ). Sejam e as raízes de g f no plano cartesiano. Assim sendo, o gráfico de g f é: y (g f) () Logo, o valor mínimo de g f é. V 8

29 6 (UFES) No tempo t =, o tanque de um automóvel está com 6 litros de combustível. A partir desse instante, ele é abastecido, e o volume de combustível no tanque aumenta a uma razão constante de litros por minuto, durante minutos. Logo em seguida, o automóvel entra em movimento e leva horas para gastar todo o combustível e parar. Durante essas horas, o volume de combustível no tanque, em litros, é descrito por uma função do o grau do tempo t, em minutos. O gráfico dessa função do o grau é uma parábola com vértice no ponto (9, ). Designando por V(t) o volume de combustível no tanque, em litros, em função do tempo t, em minutos, para < t < 9: a) determine a epressão de V(t) e esboce o seu gráfico; b) determine em quais instantes de tempo t, tem-se V(t) = 9. min ou min a) Como V() 6 e, para < t <, V(t) aumenta a uma taa constante de litros por minuto, então V(t) t 6, para < t <. Como, para < t < 9, V(t) é descrito por uma função quadrática de t, cujo gráfico é uma parábola com vértice em (9, ), então: V(t) a (t 9), sendo a um número real. Como V()? 6 6, então V() a ( 9) 6 e, portanto, a 9. Logo, para < t < 9, V(t) ( ) t 9. Assim, a epressão de V(t) é: 9 t 6, t V(t) ( t 9), t 9 9 V () t (min) b) Para < t <, V(t) 9 se, e somente se, t 6 9, isto é, t. Para < t < 9, V(t) 9 se, e somente se, ( ) t 9 9, isto é, t. Logo, V(t) 9 se, e somente se, t 9 ou t. 9

30 6 (UFV-MG) Uma indústria pode produzir, por dia, até unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de unidades desse produto é dado por: ( ) se C() se, a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, unidades, calcule o custo de produção das unidades. R$ 9, b) Determine a produção que corresponde a um custo máimo. 6 unidades a) O custo para produzir 9 unidades é: C() ( ) C(9) 9( 9) C(9) 7 C(9) reais O custo para produzir unidades é: C() C() C() 7, reais O custo total é de: C() C(9) C() C() 7, C() 9, reais b) O custo máimo para C() ( ) é: C() C() v b v v 6 unidades a O custo máimo é: C(6) (6)? 6 C(6) reais O custo máimo para C(), se, é: C() reais Portanto, a produção que corresponde a um custo máimo é de 6 unidades.

31 6 (FGV-SP) Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$,, verifica-se que freqüentadores comparecem por dia; quando o preço é R$,, comparecem 8 freqüentadores por dia. a) Admitindo que o preço (p) relaciona-se com o número de freqüentadores por dia () através de uma função do o grau, obtenha essa função. p 6 b) Num outro parque B, a relação entre p e é dada por p 8,. Qual o preço que deverá ser cobrado para maimizar a receita diária? R$, a) p a b Par (, ): a b Par (8, ): a 8 b a a ( b b ) 6 Logo, a função é: p 6. b) p 8, A receita diária é dada por: R p? R 8, (I) 8 Receita máima: yv D yv a (,) Voltando a (I): 8, p 8,? p 8 O preço deverá ser de R$,. 6 (UECE) Sejam e as raízes da equação 6 p. Se ( )?, então p é igual a: a) c) b) d) 7 p 6 ; Se ( ), então: 6 p 6 p p

32 6 (Mackenzie-SP) Dada a função f() k 8, o valor de k para que seja raiz da função é: a) c) e) nenhuma das anteriores b) d) Se é raiz, f(). k() 8() k p. 8 6 Estude os sinais das seguintes funções: a) f() c) f() b) f() d) f() 6 9 a) f() D 9 9 e a. Concavidade para cima: c) f() D 9 [ S [ a. Concavidade para cima: f() para { [ IR ou } f(). para { [ IR, ou. } f(), para { [ IR,, } f() ; f() / [ [ IR IR b) f() D 9 e a, Concavidade para baio: d) f() 6 9 D a. Concavidade para cima: f() para { [ IR ou } f(). para { [ IR,, } f(), para { [ IR, ou. } f() para { [ IR } f(), / [ IR f() para { [ IR }

33 66 Determine m de modo que a função f() (m ) m tenha apenas valores positivos para todo real. { m [ IR m, } a D, (m ) ()(m), m, m, S { m [ IR m, } 67 Resolva as seguintes inequações do o grau. a) 8, { [ IR,, } c). b). { [ IR } a) a. 8 9 [ c) a, D 8 S { [ IR,, } S [ b) a. 9 S { [ IR } 68 Ache o conjunto verdade da inequação ( ) ( ) 7 > ( ) ( ). { [ IR < ou > 7} 8 7 > a S { [ IR < ou > 7}

34 69 Resolva as seguintes inequações: a),, 8 b), < S { [ IR,, ou,, } S { [ IR < < } (I) a) 8 ( II) (I),. 9 e (I) b) ( II) (I),, (II), 8, 9 e (II) < 9 e (I) (II) (I) (II) S { [ IR,, ou,, } (I) (II) (I) (II) S { [ IR < < } 7 Dada a função f() k k k, calcule os valores de k para que f() assuma valores negativos para todo real. {k [ IR k, } (I) a, k, (II) D, k (k)(k ), k, [ k, S {k [ IR k, }

35 7 (FGV-SP) A receita mensal (em reais) de uma empresa é R p p, onde p é o preço de venda de cada unidade ( < p < ). a) Qual o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$,? R$, b) Para que valores de p a receita é inferior a R$ 7,? { < p,, ou 7,, p < } R p p < p < (I) a) R p p (: ) p p v p b [ R$, a b) R, 7 p p, 7 (: ) p p 7. p9, e p 7, p,, ou p. 7, (II) (I) (II) (I) (II), 7,, S {p [ IR < p,, ou 7,, p < } 7,, 7, 7 Determine o conjunto solução de: a 9 a, 9 { [ IR, < ou <, } (I) (II) (I) (II) S { [ IR, < ou <, }

36 7 (FGV-SP) Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (, ). Sabe-se que é uma raiz da função. a) Obtenha a epressão da função f. f() b) Para quais valores de tem-se f().? { [ IR, ou. } a) vértice: (, ) b v: b 6a (I) a é raiz, logo, f(). a b c a a c c 8a ( II) yv D yv (b ac) a a a9 (não serve) 6a a 8a 6a a 6a a a b e c [ f() b) f().. 9 e { [ IR, ou. } 7 (PUC-RS) A solução, em IR, da inequação, 8 é: { } c) ; a) ; b) ;, 8 8, Raízes: 8 6 d) ; e) ; { } S [ IR,, 6

37 7 (Vunesp-SP) O gráfico representa uma função f que descreve, aproimadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos), por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eio das abscissas coincidente com a superfície da água. a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a epressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água? f(t) = t e t = s b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada altura (m) por f(t) t 6t 9. Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura O golfinho ficou segundos fora da água, e a altura máima máima, em metros, atingida no salto. atingida foi metros. a) A parte negativa do gráfico de f pode ser representada pela função f(t) at b. f (t) tempo (s) A t (, ) (, ) t Se f() e f(), vem: a? b b a? b a b a a Portanto, nesse intervalo, a função é f(t) t. O golfinho sai da água quando f(t). Logo: t t s. b) As raízes da equação t 6t 9 são e t. f (t) O produto das raízes é c a. Assim: t t t 9 6t 6 t 6 s O golfinho saiu da água no instante s e voltou à água no instante 6 s e, portanto, ficou segundos fora da água. A abscissa do vértice da parábola é. A altura máima atingida é dada por f(): f() 6 9 7

38 76 (UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f() 6 e g(), pode-se dizer que o domínio da função h() ( f g)( ) é: a) { [ IR < ou > } c) [ IR > } e) { [ IR,, } b) { [ IR < } d) { [ IR < < } ( f g) () ( ) 6 h() 9 D h { [ IR < ou > } 77 (Osec-SP) O domínio da função y é: a) [, ] c) ]`, ] [, `[ e) [ b) {, } d) ], [ > 6 e > 6 (I) (II) (I) (II) D {, } 8

39 p Determine o conjunto solução das inequações: a) ( )? ( ), c) ( 9)? ( )? ( ) < b) ( )? ( 6) < a) ( )? ( ), f() 9 f() g() f() g() g() 9 S { [ IR,, ou,, } b) ( )? ( 6) < f() f() g() f() g() 6 g() S { [ IR < < ou > 6} c) ( 9)? ( )? ( ) < f() f() g() g() h() f() g() h() h() 9 S { [ IR < ou < < ou < < } 9

40 79 Resolva as seguintes inequações-quociente: a) 7 c) b) d) a) f() 7 9 e (a. ) g() 9 e (a. ), 8 f() g() f() g() S { [ IR, ou,, ou. } b) f() g() 9 e f() g() f() g() S { [ IR, < ou. } c) 8, 8 6, ( ) f() g() f() g() f() g() S { [ IR, } d) f() 9 e g() 9 e f() g() f() g() S { [ IR, ou,, ou. }

41 8 Resolva as inequações: a) < b). { [ IR < ou < < } [ IR,, ou a) ( ) < f() g() 9 D 9 { } f() g() f() g() S { [ IR < ou < < } b) ( ) ( ). ( ) ( ). f() 9 e f() g() f() g() g() { } S [ IR,, ou 8 (Unitau-SP) Para quais valores de a tem-se a a a a a a a a a a a? a {a [ IR a. } f(a) a a a a g(a) a a a a f(a) g(a) f(a) g(a) S {a [ IR a. }

42 8 (UFRN) Seja f: IR IR uma função definida por f(). O conjunto A { [ IR f() < } é igual a: a) { [ IR < } c) { [ IR > } b) { [ IR > } d) { [ IR < } f() 9, g() assume valores positivos para todo real. f() g() f() g() < ou >, ou seja, > 8 (UFV-MG) O conjunto solução da inequação a) { [ IR, ou,, ou. } b) { [ IR <, ou,, ou. } c) { [ IR < ou > } d) { [ IR, < ou,, ou. } e) { [ IR < < ou < < ou > } f() ( )( 7 ) é: g() f() g() h() h() f() g() h() S { [ IR, < ou,, ou. }

43 8 (Fuvest-SP) O conjunto das soluções, no conjunto IR dos números reais, da inequação a) vazio c) { [ IR, } e) { [ IR, } b) IR d) { [ IR. } é: f() 9 f() g() g() f() g() S { [ IR, } 8 (UERN) As inequações e são satisfeitas simultaneamente se, e somente se: a),, ou. c),, e),, b),, d),, 9 (I) f() g() { f() (I) g() f() g() (II) (II) (I) (II),,

44 86 (UFAL) No universo U IR, o conjunto solução da inequação ( )? ( 6 ) < é: a) [, ] c) ]`, ] [, `[ e) ]`, ] b) [, `[ d) ]`, ] ( )? ( 6 ) < f() f() g() f() g() g() S { [ IR < } ] `, ] 87 (Fuvest-SP) O conjunto solução de ( 7 )? ( ), é: a) [ c) IR e) IR b) [; ] d) [; ] ( 7 )? ( ), f() 7 7 D 9 6, f() g() f() g() g() D, ; [ IR, f()? g(), Logo, S IR.

45 88 (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas estão representadas as funções f() e g(). Com base nos dados, determine: a) as coordenadas do ponto P; (7, ) b) o conjunto solução da inequação g() f(),, f( ). { [ IR, e } f() g() a) 6 9 e 7 f()? ponto (, ) f(7)? 7 ponto (7, ) De acordo com a figura, as coordenadas do ponto P são (7, ). y f() P g() unidades em cm b) g(), f() f(),, com g() 9 e f() f() g() g() f() S { [ IR, e }

46 89 Calcule o domínio das funções: a) y ( )( 8) { [ IR < ou < < } b) f() { } [ IR ou, a) y ( )( 8) ( ) ( 8) f() f() g() g() e f() g() D { [ IR < ou < < } b), sendo f() 6 g() f() g() f() g() { } D [ IR ou, 9 Ache o conjunto verdade da inequação. ( ) ( ) ( )( ), com { [ IR < ou. } f() f() g() g() h() f() g() h() h() D, raiz real S { [ IR < ou. } 6

47 9 (IBMEC-RJ) Seja: ( ). Determine, justificando, o conjunto solução da inequação dada. ( ) S { [ IR < < e } ( ) ( ) numerador: epoente ímpar sinal da base y base: denominador: epoente par sempre positivo denominador S { [ IR < <, } 7

48 9 (UDESC) Sejam f() e g() duas funções, determine: a) o domínio de cada uma dessas funções; D(f) { [ IR} e D(g) { [ IR } b) todos os valores de para os quais a função f() é estritamente menor que g(). { [ IR. } a) D(f) { [ IR} e D(g) { [ IR } b) f(), g(),, ( )( ),,, Raízes: raiz real O quadro quociente é: S { [ IR. } 8