Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de Lista 2 Funçoes

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1 Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 204 Lista 2 Funçoes Salvo seja indicado o contrário, todas as funções nesta lista de eercícios estão definidas no seu dominio natural. Eercício. Um homem de,80 metros de altura está parado, ao nível da rua, perto de um poste de iluminação de 4,50 metros que está aceso. Eprima o comprimento de sua sombra como função da distância que ele está do poste. Eercício 2. Um tanque, com água, tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baio. O raio da base do cone é igual a 9 metros e sua altura é de 27 metros. Eprima o volume da água no tanque como função de sua profundidade. Eercício 3. Um objeto é lançado, verticalmente, e sabe-se que no instante t segundos sua altura é dada por h(t) = 4t t 2 quilômetros, 0 t 4. a) esboce o gráfico de h = h(t). b) Qual a altura máima atingida pelo objeto? Em que instante essa altura é atingida? Eercício 4. Os lados iguais de um triângulo isósceles têm medida 2. Se é a base, eprese a área como função de. Eercício 5. Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, e estes tomam a forma de uma circunferência e de um quadrado. Se é o lado do quadrado, epresse a área total A englobada pelas duas figuras como função de. Qual o domínio de A? Eercício 6. Pela queima de combustíveis fósseis o homem libera 200 milhões de toneladas métricas de monóido de carbono (CO) venenoso na atmosfera, cada ano. Apesar disso, a concentração de CO mantem-se entre 0,04 e 0,09 ppm ( partes por milhão ) no ar ambiental. A principal razão é que microorganismos do solo absorvem CO rapidamente e convertem em dióido de carbono e/ou metano. Em uma eperiência com 0 litros de ar e um pouco de solo, g de CO foram reduzidas a g no prazo de 3 horas. O decr scimo foi linear. Desenhar o resultado em um sistema de coordenadas retangulares e determinar a equação para o decréscimo de massa de CO. Eercício 7. Desde o começo do ano, o preço dos pães integrais em um supermercado local tem aumentado a uma taa constante de 2 centavos por mês. Em primeiro de novembro, o preço atingiu,06 reais por unidade. Epresse o preço do pão em função do tempo e determine o preço no começo do ano. Eercício 8. O valor do imposto de renda retido na fonte é apresentado na seguinte tabela

2 Base de Cálculo Alíquota até R$ 900,00 isento de R$ 900,00 a R$ 800,00 5% acima de R$ 800,00 25% Baseado na tabel acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função do rendimento. Eercício 9. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços Número de cópias de um mesmo original Preço por cópia de a 9 R$ 0,0 de 20 a 49 R$ 0,08 de 50 ou mais R$ 0,06 a) Esboce o gráfico da função que associa a cada natural n o custo de N cópias de um mesmo original. b) O uso da tabela acima provoca distorções. Aponte-as e sugira uma tabela de preços mais razoável. Eercício 0. A e B são locadoras de um automóvel. A locadora A cobra real por quilômetro rodado mais uma taa fia de 00 reais. A locadora B cobra 80 centavos por quilômetro rodado mais uma taa fia de 200 reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou de B sobre A em função do número de quilômetros a serem rodados. Eercício. Uma caia sem tampa será feita recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha de estanho medindo 20 cm por 20 cm e dobrando-se os lados para cima. Se os quadrados nos cantos do papel possuem lado cm, escreva o volume total da caia em função de. De V é tal função, qual é o seu domínio? Eercício 2. Você opera um serviço de ecursões que pratica os seguintes preços (i) R$ 200,00 por pessoa, se 50 pessoas ( o número mínimo necessário para fechar um grupo ) participarem da ecursão; (ii) Para cada pessoa a mais, até um máimo de 80 pessoas, o preço é reduzido em R$ 2,00. Para realizar uma ecursão há um custo fio de R$ 6000,00 mais R$ 32,00 por pessoa. Escreva o seu lucro em função do número de pessoas. Eercício 3. Determine o domínio das seguintes funções a)f () = ( )( + 2) b)f () = 2 4 c)f () = d)f () = 2 4 e)f () = f )f () = (2 )( 2) g)f () = h)f () = j)f () = l)f () = 3 i)f () = m)f () =

3 Eercício 4. Mostre que + 2 = O que voçê acha que ocorre com a diferença + 2 à medida que cresce? f ( + h) f () Eercício 5. Simplifique, com h 0, sendo f () igual a : h (i) f () = 5, (ii) f () = 3 2, (iii) f () = 3, (iv) f () = sen(), (v) f () =, (vi) f () = (vii) f () = Eercício 6. Seja d a distância de (0,0) a (, ). Epresse d em função de, sabendo que (, ) é um ponto do gráfico de =. Eercício 7. Uma função f é linear se f (u + v) = f (u) + f (v) e f (αu) = αf (u) para todo u, v e α. Quais das seguintes funções são lineares? (i) f () = 2, (ii) f () = (iii) f () =, (iv)f () = 2. Mostre que se f é linear então f (0) = 0. Eercício 8. Estude o sinal das seguintes funções: a) = b) = c) = d) = Eercício 9. Se f () = achar resultado geometricamente. f (a + h) f (a), com h 0 e interprete o h Eercício 20. Simplifique a epressão f ( 0 + h) f ( 0 ), h 0, para as seguintes h funções: a)f () = 2 c)f () = 3 b)f () = d)f () = sen () Eercício 2. Determine a imagem das funções: a)f () = 0 b)f () = c)f () = 3 d)f () = clasificação de funções Eercício 22. Mostre que 2 [f () + f ( )] é par e 2 [f () f ( )] é ímpar. Mostre, então, que toda função pode ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar. Eercício 23. Verifique se as funções são pares, ímpares ou nem pares, nem ímpares (i) f () = (ii) f () = (iii) f () = cos(3 + 7 ). 3

4 2 gráficos Eercício 24. Esboce o gráfico das seguintes funções a) f () = b) f () = 2 c) f () = d) f () = + e) f () = 5 f ) f () = 2 6 g) f () = sen (/) h) f () = sen (/) i) f () = 2 sen (/) + 2, j) f () = 3 e 2 k) f () = 3, < l) f () = , Eercício 25. [] denota o maior inteiro menor ou igual que. Esboçe o gráfico das seguintes funções a) f () = [] b) f () = [] c) f () = [] d) f () = [] + [] e) f () = [/] g) f () = [/] Eercício 26. Esboce o gráfico da função f () = ( ) []. 3 funções bijetoras, injetoras, sobrejetoras Eercício 27. Classifique as seguintes funções quanto a serem injetoras, sobrejetoras, bijetoras, limitadas, monótonas ou periódicas. a) g : R R; g() = 2 b) h : R R + ; h() = c) n : R Z; n() = [] d) f : R R; f () = 2 + e) f : R R; f () = 2 sen (2π) Eercício 28. Classifique as seguintes funções quanto a serem injetoras, sobrejetoras, bijetoras, limitadas, monótonas ou periódicas: a) g : R R; g() = 2 ; b) n : R Z; n() = []; c) f : ( π/2 π/2 R; f () = tg(); d) g : R R + ; h() = ; e)f : [0, 3π 2 ] [, ]; f () = cos() f) g : R R; g() = 2 sen(2π). 4 funções inversas Eercício 29. Faça um estudo (verificar se são monótonas, limitadas, periódicas e determinar o domínio e a imagem) sobre as funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante, cotangente. É possível definir as funções inversas dessas funções trigonométricas para alguns valores do domínio? Se for possível descreva o domínio e o gráfico dessas funções. 4

5 Eercício 30. Encontre a fórmula para a função inversa, f, de cada uma das seguintes funções: (i) 3, (ii), (iii) 2 com dominio (, 0], (iv) 2 com dominio (0, ), (v) 2 com dominio [0, 2 ], (vi) 2 com dominio [ : 0], e ( + )(3 ). 5 composição de funções Eercício 3. Seja 2 se f () = se > (i) Determine f f. (ii) Esboce o gráfico de f f. Eercício 32. Se f : R R e g : [, ) R são dadas por f () = e g() = +, é possível definir f g e g f? Análogo para f : R (0, ] e g : (0, ] [, ), dadas por f () = + 2 e g() =. Eercício 33. Suponha que g = h f. (i) Mostre que se f () = f () então g() = g(). (ii) No sentido oposto, suponha que f e g são duas funções tais que g() = g() sempre e quando f () = f (). (iii) Mostre que g = h f para uma função dada h. Respostas 3. a) R, b) (, 2), c) R \ {, }, f) R, g) R \ {, 5}, h) R +, i) ( inf t, 2) [3, ) sen() 2π π 0 π 2π sen 2 () 2π π 0 π 2π 5

6 []

7 [ 2 6] sen(/) sen ( ) sen ( )

8 25. 0 [ ] 0 [] 26. ( ) []