Esforço Cortante e Momento Fletor

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Lúcia Valverde Alvarenga
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1 Esforço Cortante e Momento Fletor

2 Esforços internos

3 Esforços internos Devem atender a Terceira Lei de Newton (Ação e Reação)

4 Esforços internos (a) (c) flexão positiva cisalhamento positivo (b) (d) flexão negativa cisalhamento negativo

5 Método das seções

6 1 Passo: Diagrama de corpo livre Método das seções

7 2 Passo: Reações nos apoios Método das seções

8 Método das seções F x = 0 A x + 0 = 0 A x = 0 F y = 0 A y + B y P P = 0 A y + B y = 2P

9 Método das seções C D P L 3 M A = 0 B y = P P 2L 3 + B yl = 0 F y = 0 A y + B y 2P =0 A y + P = 2P A y = P A x = 0 B y = P A y = P

10 Método das seções 3 Passo: Funções de V e M F = 0 P V = 0 V = P M = 0 (a) flexão positiva (b) flexão negativa M Px = 0 (c) (d) M = Px cisalhamento positivo cisalhamento negativo

11 Método das seções F = 0 P P V = 0 V = 0 M = 0 M + P x L 3 Px = 0 M = P L 3

12 Método das seções F = 0 P P P V = 0 V = P M = 0 M + P x L 3 P x 2L 3 Px = 0 M = Px + PL

13 Diagrama de esforços

14 Diagrama de esforços A C D B V = P V = 0 V = P M = Px M = P L 3 M = Px + PL

15 Diagrama de esforços A C D B B Trecho AC: V = P M = Px Trecho CD: V = 0 M = P L 3 Trecho DB: V = P M = Px + PL

16 Relação entre força cortante e momento

17 Esforços internos

18 Esforços internos Vy(x) FY 0 Vy(x) q(x) x Vy(x) Vy(x) 0 q(x) x dv y (x) dx = q(x) V y x = q x dx + c V y x = q x dx V y x = q x dx

19 Esforços internos M z = 0 V y x x M z x q(x) x x 2 + M z x + M z x = 0 M z (x) x = Vy(x) M z x = V y x dx M z x = V y x dx dm z (x) dx = V y (x) M z x = V y x dx + c

20 Esforços internos dv y (x) dx = q(x) V y x = q x dx + c Ay = F Dy = F V y x = q x dx dm z (x) dx = V y (x) M z x = V y x dx + c M z x = V y x dx

21 Esforços internos Observe: Há singularidades onde há carregamentos concentrados. As condições de contorno devem ser satisfeitas. As reações de apoio devem aparecer no gráfico. A força cortante é a derivada do momento fletor. Convenção de sinais? (a) (c) flexão positiva cisalhamento positivo (b) (d) flexão negativa cisalhamento negativo

22 Exemplo Petrobras

23 Exemplo Uma viga biapoiada ABC está sujeita à ação de uma força concentrada F em sua extremidade, conforme mostrado na figura abaixo. Apostila - Pág. 55 F A B C a b

24 Exemplo Desprezando-se o peso próprio da viga, a força F produz, na seção B, um(a) a) momento fletor igual a 2Fa. b) momento fletor igual a 2Fb. c) momento fletor igual a zero. d) força cisalhante igual a F se a = b. e) força cisalhante igual a 2F se a = b F A B C a b

25 Exemplo F y = 0 Ay By A y + B y F = 0 M A = 0 B y. a F(a + b) = 0 (a + b) B y = F a A y + B y F = 0 A y = F F (a+b) a A y = F b a

26 Exemplo (a + b) B y = F a A y = F b a x M Ay By Ay V A y V = 0 M A y. x = 0 V = A y = F b a M = A y. x M = F b a. x

27 Exemplo Desprezando-se o peso próprio da viga, a força F produz, na seção B, um(a) a) momento fletor igual a 2Fa. b) momento fletor igual a 2Fb. c) momento fletor igual a zero. d) força cisalhante igual a F se a = b. A B e) força cisalhante igual a 2F se a = b a b F C Em B: M = F b. x = Fb a V = F b a = F Em módulo V é igual a F

28 Exemplo Petrobras

29 O diagrama que representa a distribuição dos momentos fletores atuantes ao longo da viga biapoiada, mostrada na figura, é: Exemplo

30 Exemplo F A y Pelo diagrama de corpo livre: B y A x = 0 Diagrama de força cortante A y < 0 A y B y > 0 Diagrama de momento fletor

31 Exemplo Petrobras

32 Exemplo A figura abaixo representa o diagrama de Momento Fletor (M) para uma viga homogênea, de comprimento L, submetida a determinado carregamento, e a convenção utilizada para os sinais do Momento Fletor e Esforço Cortante (C). O diagrama de Esforço Cortante para essa viga está representado em M1 M Apostila - Pág M + M + C + C x1 x2 L x Mmax

33 Exemplo

34 Exemplo

35 Exemplo Petrobras

36 A figura abaixo representa o diagrama dos momentos fletores de uma viga biapoiada nos pontos de apoio A e B. Desprezando-se o peso próprio da viga, assinale a opção correta. Exemplo

37 Exemplo a) O esforço cortante no ponto A, em módulo, é superior a 4 kgf. b) A força na viga corresponde a uma carga distribuída de valor igual a 4 kgf/m que atua em um ponto do vão situado a 2 m a partir do ponto B. c) A reação do apoio no ponto B é, em módulo, igual a +2 kgf. d) No ponto do vão da viga, que está a 2 m do ponto B, o diagrama de esforço cortante apresenta uma descontinuidade de 6 kgf, em módulo. e) Na seção transversal da viga correspondente ao do ponto C, o esforço cortante é igual a - 4 kgf.

38 Exemplo Sabemos que: dm z (x) dx = V y (x) Chamando de D o ponto onde o momento fletor é igual a 8 kgf.m, temos o seguinte: Trecho AD: V y x = M z x = 8 kgf. m 0 4 m = 2 kgf Trecho DB: V y x = M z x = 0 8 kgf. m 2 m = 4 kgf Agora vamos julgar as alternativas:

39 Exemplo V AD x V DB x = 2 kgf = 4 kgf a) O esforço cortante no ponto A, em módulo, é superior a 4 kgf. b) A força na viga corresponde a uma carga distribuída de valor igual a 4 kgf/m que atua em um ponto do vão situado a 2 m a partir do ponto B. c) A reação do apoio no ponto B é, em módulo, igual a +2 kgf. d) No ponto do vão da viga, que está a 2 m do ponto B, o diagrama de esforço cortante apresenta uma descontinuidade de 6 kgf, em módulo. Resposta: O módulo da descontinuidade é igual a -4-2=-6kgf. Ou seja, há uma força concentrada no ponto D, de módulo igual a 6 kgf. a) Na seção transversal da viga correspondente ao do ponto C, o esforço cortante é igual a - 4 kgf.

40 Exemplo Petrobras

41 Exemplo Uma haste de comprimento L = 1,5 m e massa M = 10 kg sustenta um bloco de massa M = 5,0 kg, como mostra a figura. O momento fletor, em N.m, e a força cortante, em N, no ponto A, de contato com a parede, são, respectivamente: (Dado: aceleração da gravidade g = 10 m/s 2 ) (A) 50 e 100 (B) 150 e 150 (C) 150 e 50 (D) 100 e 150 (E) 100 e 50

42 Exemplo M A V A M M A = 0 F y = 0 M A M g L 2 Mg L = 0 V A M g Mg = 0 M A = gl M 2 + M M A = 10 1, M A = 150 N. m V A = g(m + M) V A = 10(10 + 5) V A = 150 N

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