Resolver equações: como e para quê? (reflexões e reminiscências)

Transcrição

1 Resolver equações: como e para quê? (reflexões e reminiscências) Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada

2 Resolver equações para quê? No mundo real: Para resolver problemas concretos. Para descobrir nova matemática.

3 Resolver equações para quê? No mundo real: Para resolver problemas concretos. Para descobrir nova matemática. Na sala de aula: Para quê mesmo?

4 Resolver equações para quê? No mundo real: Para resolver problemas concretos. Para descobrir nova matemática. Na sala de aula: Para quê mesmo? Objetivo de formação: capacitação do aluno para abordar problemas concretos. Oportunidade didática: caminho para a aprendizagem de conceitos matemáticos. Reminiscência: Na escola, resolver equações era a maior diversão!

5 Resolver equações como? Por meio de fórmulas. Por meio de algoritmos (numéricos).

6 Resolver equações como? Por meio de fórmulas. Por meio de algoritmos (numéricos). No mundo real: Praticamente todas as equações resultantes de problemas concretos são resolvidas por métodos numéricos.

7 Resolver equações como? Por meio de fórmulas. Por meio de algoritmos (numéricos). No mundo real: Praticamente todas as equações resultantes de problemas concretos são resolvidas por métodos numéricos. Na sala de aula: Fórmulas são priorizadas. Métodos numéricos estão praticamente ausentes.

8 Resolver equações como? Por meio de fórmulas. Por meio de algoritmos (numéricos). No mundo real: Praticamente todas as equações resultantes de problemas concretos são resolvidas por métodos numéricos. Na sala de aula: Fórmulas são priorizadas. Métodos numéricos estão praticamente ausentes. Análise crítica: Fórmulas são mais exatas (pelo menos, é o que dizem). Fórmulas são mais fáceis de usar (sem precisar pensar). Algoritmos obrigam, em certa medida, a entender o assunto. Algoritmos obrigam a entender outras coisas.

9 Sistemas de equações lineares Como se resolve um sistema de equações deste tipo? a 1 x +b 1 y +c 2 z = d 1 a 2 x +b 2 y +c 2 z = d 2 a 3 x +b 3 y +c 3 z = d 3

10 Sistemas de equações lineares Como se resolve um sistema de equações deste tipo? a 1 x +b 1 y +c 2 z = d 1 a 2 x +b 2 y +c 2 z = d 2 a 3 x +b 3 y +c 3 z = d 3 Na sala de aula: pela Regra de Cramer! d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 x = y = z = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

11 Sistemas de equações lineares Análise crítica: A Regra de Cramer é a pior maneira que existe para resolver um sistema de equações lineares (custo computacional). Ela é importante do ponto de vista conceitual (teórico) como um aplicação do conceito de determinante. Mas as razões disso estão, geralmente, fora do escopo da disciplina, mesmo na licenciatura. Assim, o uso da Regra de Cramer em sala de aula tende a ser muito pobre do ponto de vista didático.

12 Equação de grau 2 Como se resolve uma equação deste tipo? ax 2 +bx +c = 0, a 0

13 Equação de grau 2 Como se resolve uma equação deste tipo? ax 2 +bx +c = 0, a 0 Na sala de aula: usando a Fórmula Resolvente! x = b ± b 2 4ac 2a

14 Equação de grau 2 Análise crítica: A resposta está certa: essa é a melhor maneira de resolver esta equação. A Fórmula Resolvente tem enorme importância conceitual. Ela pode ser bem explorada em sala de aula, por exemplo, na análise do gráfico da função f(x) = ax 2 +bx +c. Mas, na prática, o seu uso em sala de aula tende a ser muito pobre. Além disso, ela é muito limitadora, uma vez que este tipo de abordagem só pode ser usado em situações muito particulares (equações polinomiais de graus 2, 3 ou 4). Reminiscência: No Ensino Médio, fiquei achando as equações polinomiais de grau 5 objetos extremamente misteriosos.

15 Métodos alternativas Para a maioria das equações (não polinomiais), por exemplo, cosx = x não é razoável esperar que exista algo semelhante à Fórmula Resolvente da equação de grau 2. No entanto, tais equações podem ser muito fáceis de resolver.

16 A equação cosx = x cos ± =

17 A equação cosx = x cos ± =

18 A equação cosx = x cos ± =

19 A equação cosx = x cos ± =

20 A equação cosx = x cos ± =

21 A equação cosx = x cos ± =

22 A equação cosx = x cos ± =

23 A equação cosx = x cos ± =

24 A equação cosx = x cos ± =

25 A equação cosx = x cos ± =

26 A equação cosx = x cos ± =

27 A equação cosx = x cos ± =

28 A equação cosx = x cos ± =

29 A equação cosx = x cos ± =

30 A equação cosx = x cos ± =

31 A equação cosx = x cos ± =

32 A equação cosx = x cos ± =

33 A equação cosx = x cos ± =

34 Resolvendo cosx = x

35 Entendendo o método iterativo Para desenvolver: Claro que não basta verificar que este método funciona em alguns exemplos. É necessário compreender por que funciona ou, melhor, em que condições funciona.

36 Entendendo o método iterativo Para desenvolver: Claro que não basta verificar que este método funciona em alguns exemplos. É necessário compreender por que funciona ou, melhor, em que condições funciona. Teorema Suponha que f (ponto fixo) < 1 (ou seja, que a inclinação do gráfico de f é menor que 45 o, para cima ou para baixo). Dizemos que se trata de um ponto fixo atrator. Então a sequência dos iterados converge para o ponto fixo, desde que o valor inicial esteja suficientemente próximo.

37 Entendendo o método iterativo Para desenvolver: Claro que não basta verificar que este método funciona em alguns exemplos. É necessário compreender por que funciona ou, melhor, em que condições funciona. Teorema Suponha que f (ponto fixo) < 1 (ou seja, que a inclinação do gráfico de f é menor que 45 o, para cima ou para baixo). Dizemos que se trata de um ponto fixo atrator. Então a sequência dos iterados converge para o ponto fixo, desde que o valor inicial esteja suficientemente próximo. Este enunciado pode ser descoberto experimentalmente (Geogebra etc) O aluno pode ser conduzido a demonstrar o enunciado, usando fatos conhecidos sobre sequências.

38 Método iterativo de Newton O método de Newton permite reduzir uma equação geral φ(x) = 0 a uma equação de ponto fixo: consideramos a função f(x) = x φ(x) φ (x)

39 Método iterativo de Newton O método de Newton permite reduzir uma equação geral φ(x) = 0 a uma equação de ponto fixo: consideramos a função f(x) = x φ(x) φ (x) Exemplo: No caso da equação cosx x = 0 encontramos a função f(x) = x + cosx x senx +1 Podemos (re)encontrar a solução da equação φ(x) = 0 iterando a transformação f.

40 A equação cosx = x f ± =

41 A equação cosx = x f ± =

42 A equação cosx = x f ± =

43 A equação cosx = x f ± =

44 A equação cosx = x f ± =

45 A equação cosx = x f ± =

46 A equação cosx = x f ± =

47 Método iterativo de Newton Para desenvolver: Porque o método de Newton funciona tão rapidamente? Teorema Qualquer solução da equação φ(x) = 0 é um ponto fixo super atrator da transformação f(x). Neste caso f (ponto fixo) = 0, ou seja o gráfico de f é horizontal no ponto fixo. Isto tem a grande vantagem de fazer com que a convergência seja muito rápida.

48 Método para resolver qualquer equação polinomial Ideia: a partir de um polinômio p 0 (x) = x n +a 1 x n 1 + +a 1 x +a 0 com raízes x 1,...,x n construímos outro polinômio p 1 (y) = y n +b 1 y n 1 + +b n 1 y +b n cujas raízes são x 2 1,...,x2 n.

49 Método para resolver qualquer equação polinomial Ideia: a partir de um polinômio p 0 (x) = x n +a 1 x n 1 + +a 1 x +a 0 com raízes x 1,...,x n construímos outro polinômio p 1 (y) = y n +b 1 y n 1 + +b n 1 y +b n cujas raízes são x 2 1,...,x2 n. Tal polinômio está dado por ou, em termos dos coeficientes, p 1 (x 2 ) = ( 1) n p 0 (x)p 0 ( x) k 1 b k = ( 1) k ak 2 +2 ( 1) j a j a 2kj. j=0

50 Método para resolver qualquer equação polinomial Iterando este procedimento, obtemos p 0 (x) com raízes x 1,...,x n p 1 (x) com raízes x 2 1,...,x 2 n p 2 (x) com raízes x 4 1,...,x 4 n p m (x) com raízes x1 2m,...,xn 2m

51 Método para resolver qualquer equação polinomial Iterando este procedimento, obtemos p 0 (x) com raízes x 1,...,x n p 1 (x) com raízes x 2 1,...,x 2 n p 2 (x) com raízes x 4 1,...,x 4 n p m (x) com raízes x1 2m,...,xn 2m Suponha que as raízes são reais e distintas: x 1 > > x n. Então, escrevendo p m (x) = x n +a m,1 x n 1 + +a m,n 1 x +a m,n, a m,1 = x 2m 1 + +x 2m n x 2m 1.

52 Método para resolver qualquer equação polinomial Iterando este procedimento, obtemos p 0 (x) com raízes x 1,...,x n p 1 (x) com raízes x 2 1,...,x 2 n p 2 (x) com raízes x 4 1,...,x 4 n p m (x) com raízes x1 2m,...,xn 2m Suponha que as raízes são reais e distintas: x 1 > > x n. Então, escrevendo p m (x) = x n +a m,1 x n 1 + +a m,n 1 x +a m,n, a m,1 = x 2m 1 + +x 2m n x 2m 1. Desta forma podemos obter aproximações tão boas quanto se queira da maior raíz de p 0 (x).

53 Método para resolver qualquer equação polinomial É possível estender esta ideia para calcular todas as raízes e também para tratar os casos em que existem raízes múltiplas e/ou raízes complexas.

54 Método para resolver qualquer equação polinomial É possível estender esta ideia para calcular todas as raízes e também para tratar os casos em que existem raízes múltiplas e/ou raízes complexas. Reminiscência: Tomei conhecimento deste método (chamado de Dandelin-Graeffe) nos textos do Prof. José Sebastião e Silva para o Ensino Médio (Portugal). Ele me fez sentir muito poderoso!

55 Obrigado! Boa viagem, até o próximo Simpósio!