s3 0, s3 6,968039

Transcrição

1 APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 5 (b) A função f () sen é contínua em [, p]. Uma vez que f () cos, temos f () quando cos, e isso ocorre quando ou 5. Os valores de f nesses números críticos são f p p sen p p s,68485 e f 5p 5p sen 5p 5p s 6,9689 Os valores de f nas etremidades são f e f p p 6,8 Comparando esses quatro números e usando o Método do Intervalo Fechado, vemos que o valor mínimo absoluto é f s e o valor máimo absoluto é f 5 5 s. Os valores da parte (a) servem como uma verificação de nosso trabalho. EXEMPLO O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 4 abril de 99 pelo ônibus espacial Discover. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t até a ejeção do foguete auiliar em t 6 s, é dado por v t,968t,75t 7,96t,997 (em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores máimo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auiliar. SOLUÇÃO São pedidos os valores etremos não da função de velocidade dada, mas da função de aceleração. Assim, precisamos primeiro derivar para encontrar a aceleração: a t v t d dt,968t,75t 7,96t,997 NASA,9 4t,554t 7,96 Vamos aplicar agora o Método do Intervalo Fechado à função contínua a no intervalo t 6. Sua derivada é a t,88t,554 O único número crítico ocorre quando a (t) : t,554,,88 Calculando a(t) no número crítico e nas etremidades, temos a 7,96 a t 6,56 a 6 9,6 Assim, a aceleração máima é cerca de 9,6 m/s, e a aceleração mínima é cerca de 6,56 m/s. 4. Eercícios. Eplique a diferença entre mínimo local e mínimo absoluto.. Suponha que f seja uma função contínua definida no intervalo fechado [a, b]. (a) Que teorema garante a eistência de valores máimo e mínimo absolutos para f? (b) Quais as etapas que você deve seguir para encontrar esses valores máimo e mínimo? 4 Para cada um dos números a, b, c, d, r e s, diga se a função cujo gráfico é dado tem um máimo ou mínimo absoluto, máimo ou mínimo local, ou nem máimo nem mínimo. ; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

2 54 CÁLCULO. 4. a b c d r s a b c d r s. f() sen,. f t cos t, t. f ln, f f s 6. f e 5 6 Use o gráfico para dizer quais os valores máimos e mínimos locais e absolutos da função. 7. f 4 se se = 8. f 4 se se 7 Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [, 5] e tenha as propriedades dadas. 7. Máimo absoluto em, mínimo absoluto em, mínimo local em Máimo absoluto em 5, mínimo absoluto em, máimo local em e mínimo local em Máimo absoluto em 5, mínimo absoluto em, máimo local em e mínimo local em e 4.. f não tem máimos ou mínimos locais, mas e 4 são números críticos.. (a) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máimo local em e seja derivável em. (b) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máimo local em e seja contínua, mas não derivável em. (c) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máimo local em e não seja contínua em.. (a) Esboce o gráfico de uma função em [, ] que tenha máimo absoluto, mas não tenha máimo local. (b) Esboce o gráfico de uma função em [, ] que tenha um máimo local, mas não tenha máimo absoluto.. (a) Esboce o gráfico de uma função em [, ] que tenha um máimo absoluto, mas não tenha mínimo absoluto. (b) Esboce o gráfico de uma função em [, ] que seja descontínua, mas tenha tanto máimo absoluto como mínimo absoluto. 4. (a) Esboce o gráfico de uma função que tenha dois máimos locais e um mínimo local, mas nenhum mínimo absoluto. (b) Esboce o gráfico de uma função que tenha três mínimos locais, dois máimos locais e sete números críticos. 5 8 Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máimos e mínimos locais e absolutos de f. (Use os gráficos e as transformações das Seções. e..) 5. f, 6. f, 7. f, 8. f, 9. f() sen, 6. f tg,, 4. f() sen, =ƒ 9 44 Encontre os números críticos da função. 9. f 5 4. f. f 6. f. t t t 4 t t 4. t t t 4 5. t 6. h p p p 4 7. h t t 4 t 4 8. t 9. F t u 4u tg u 4. f u cos u sen u 4. h t t arcsen t 4. f e 44. f ln ; É dada uma fórmula para a derivada de uma função f. Quantos números críticos f tem? 45. f 5e, sen Encontre os valores máimo e mínimo absolutos de f no intervalo dado. 47. f 5, 48. f, 49. f, 5. f 6 5, 5. f 4 4, 5. f, 5. f,,; f,, 55. f t ts4 t, 56. f t s t 8 t, 57. f t cos t sen t, 58. f t t cotg t, 59. f e 8,, 4 6. f ln, [,] 6., 8 f ln,,,,,, 5, 4, 7 4, f cos,,

3 APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO Se a e b são números positivos, ache o valor máimo de f a b,. ; 64. Use um gráfico para estimar os números críticos de f com precisão de uma casa decimal. ; (a) Use um gráfico para estimar os valores máimo e mínimo absolutos da função com precisão de duas casas decimais. (b) Use o cálculo para encontrar os valores máimo e mínimo eatos f 5, f e e, f s f cos, 69. Entre ºC e ºC, o volume V (em centímetros cúbicos) de kg de água a uma temperatura T é aproimadamente dado pela fórmula V 999,87,646T,854T,679T Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máima. 7. Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo u com o plano, então a intensidade da força é mmt F m sen u cos u onde m é uma constante positiva chamada coeficiente de atrito e onde. Mostre que F é minimizada quando tg u m. 7. Um modelo para o preço médio norte-americano para o açúcar refinado entre 99 e é dado pela função S t,7t 5,97t 4,8956t,69t,4458t,474 onde t é medido em anos desde agosto de 99. Estime os instantes nos quais o açúcar esteve mais barato e mais caro entre 99 e. ; 7. Em 7 de maio de 99, o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS-49, cujo objetivo era instalar um novo motor de arranque no satélite de comunicação Intelsat. A tabela dá os dados de velocidade para o ônibus espacial entre a partida e a ejeção dos foguetes auiliares. Evento Tempo (s) Velocidade (m s) Lançamento Começo da manobra de inclinação 56,4 Fim da manobra de inclinação 5 97, Regulador de combustível a 89% 6, Regulador de combustível a 67% 6, Regulador de combustível a 4% 59 4,9 Pressão dinâmica máima 6 44,4 Separação do foguete auiliar 5.65, (a) Use uma calculadora gráfica ou computador para encontrar o polinômio cúbico que melhor modele a velocidade do ônibus para o intervalo de tempo t, 5. Faça então o gráfico desse polinômio. (b) Encontre um modelo para a aceleração do ônibus e use-o para estimar os valores máimo e mínimo da aceleração durante os primeiros 5 segundos. 7. Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um aumento na pressão dos pulmões. Isso é acompanhado por uma contração da traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde passa o ar epelido. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fio, é preciso que ele se mova mais rápido através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho. O uso de raios X mostra que o raio do tubo circular da traqueia se contrai para cerca de / de seu raio normal durante a tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade v está relacionada ao raio r da traqueia pela equação v r k r r r r r r em que k é uma constante e r, o raio normal da traqueia. A restrição sobre r deve-se ao fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que r (de outra forma, a pessoa ficaria sufocada). (a) Determine o valor de r no intervalo [ r, r ] no qual v tenha um máimo absoluto. Como isso se compara com a evidência eperimental? (b) Qual é o valor máimo absoluto de v no intervalo? (c) Esboce o gráfico de v no intervalo, r. 74. Mostre que 5 é um número crítico da função t 5 mas t não tem um valor etremo local em Demonstre que a função f 5 não tem um local máimo nem um local mínimo. 76. Se f tem um valor mínimo local em c, mostre que a função t() f () tem um valor máimo em c. 77. Demonstre o Teorema de Fermat para o caso em que f tem um mínimo local em c. 78. Uma função cúbica é um polinômio de grau, isto é, tem a forma f () a b c d, onde a. (a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum número(s) crítico(s). Dê eemplos e faça esboços para ilustrar as três possibilidades. (b) Quantos valores etremos locais uma função cúbica pode ter?

4 APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 69 =e / 4 = ponto de infleão = FIGURA (a) Esboço preliminar (b) Esboço acabado (c) Confirmação computacional _ 4. Eercícios Usar o gráfico dado de f para encontrar o seguinte: (a) Os intervalos abertos nos quais f é crescente. (b) Os intervalos abertos nos quais f é decrescente. (c) Os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima. (d) Os intervalos abertos nos quais f é côncava para baio. (e) As coordenadas dos pontos de infleão.... Suponha que lhe foi dada uma fórmula para uma função f. (a) Como você determina onde f é crescente ou decrescente? (b) Como você determina onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baio? (c) Como você localiza os pontos de infleão? 4. (a) Enuncie o Teste da Primeira Derivada. (b) Enuncie o Teste da Segunda Derivada. Em que circunstância ele é inconclusivo? O que você faz se ele falha? 5-6 O gráfico da derivada f de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de a função f tem um mínimo ou máimo local? =fª() Em cada item, indique as coordenadas dos pontos de infleão de f. Dê razões para suas escolhas. (a) Esta curva é o gráfico de f. (b) Esta curva é o gráfico de f. (c) Esta curva é o gráfico de f. =fª() O gráfico da primeira derivada f de uma função f está mostrado. (a) Em que intervalos f está crescendo? Eplique. (b) Em que valores de a função f tem um mínimo ou máimo local? Eplique. (c) Em que intervalos f é côncava para cima ou para baio? Eplique. (d) Quais são as coordenadas dos pontos de infleão de f? Por quê? =fª() (a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente. (b) Encontre os valores máimo e mínimo locais de f. (c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de infleão f 6 f 4 6 f 4. f. f sen cos, p 4. f cos sen, 5. f e e 6. f ln 7. f ln 8. f s e 9 Encontre os valores máimo e mínimo locais de f usando os Testes da Primeira e da Segunda Derivadas. Qual método você prefere? ; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

5 7 CÁLCULO 9. f f s s 4 f. =fª(). (a) Encontre os números críticos de f () 4 ( ). (b) O que o Teste da Segunda Derivada mostra para você sobre o comportamento de f nesses números críticos? (c) O que mostra o Teste da Primeira Derivada?. Suponha que f seja contínua em,. (a) Se f () e f () 5, o que podemos dizer sobre f? (b) Se f (6) e f (6), o que podemos dizer sobre f? 4 9 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas. 4. Assíntota vertical, f se, f se, f se, f se 5. f f f 4, f se ou 4, f se ou 4, f se, f se ou 6. f f, f se, f se, f se, f se, ponto de infleão, 7. f se, f se, f, lim, f se 8. f se, f se, f, lim f, f f, l f se, f se 9. f e f para todo. Suponha que f, f e f () e f () para todo. (a) Esboce um gráfico possível de f. (b) Quantas soluções a equação f () tem? Por quê? (c) É possível que f? Por quê? O gráfico da derivada f de uma função contínua f está mostrado. (a) Em que intervalos f está crescendo? E decrescendo? (b) Em que valores de a função f tem um máimo local? E no mínimo local? (c) Em que intervalos f é côncava para cima? E côncava para baio? (d) Diga as coordenadas dos pontos de infleão. (e) Supondo que f (), esboce o gráfico de f _ l f =fª() _ (a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente. (b) Encontre os valores máimos ou mínimos locais. (c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de infleão. (d) Use as informações das partes (a) (c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.. f 4. f 5. f 4 6. t h h F s6 4. G C 4 4. f ln f cos cos, 44. S sen, (a) Encontre as assíntotas verticais e horizontais. (b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. (c) Encontre os valores máimos e mínimos locais. (d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de infleão. (e) Use a informação das partes (a) (d) para esboçar o gráfico de f. 45. f f s 48. f f 4 4 e e 49. f e 5. f 6 ln 5. f ln ln 5. f e arctg 5. Suponha que a derivada da função f seja f Em qual intervalo f está crescendo? 54. Use os métodos desta seção para esboçar a curva a a, onde a é uma constante positiva. O que os membros desta família de curvas têm em comum? Como eles diferem entre si? ; (a) Use um gráfico de f para estimar os valores máimo e mínimo. Então, encontre os valores eatos. (b) Estime o valor de em que f cresce mais rapidamente. Então, encontre o valor eato.

6 APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 7 ; 55. f 56. f e s (a) Use um gráfico de f para estimar aproimadamente os intervalos de concavidade e as coordenadas dos pontos de infleão. (b) Use um gráfico de f para dar uma estimativa melhor. 57. f cos cos, 58. f 4 SCA 59-6 Estime os intervalos de concavidade com precisão de uma casa decimal usando um sistema de computação algébrica para calcular e fazer o gráfico de f. 59. f 4 6. s 6. É dado o seguinte gráfico de uma população de células de levedo em uma nova cultura de laboratório em função do tempo. (a) Descreva como varia a taa de crescimento populacional. (b) Quanto a taa é mais alta? (c) Em quais intervalos a função população é côncava para cima ou para baio? (d) Estime as coordenadas do ponto de infleão. Número de células de levedo f tg Tempo (em horas) 6. Seja f(t) a temperatura no instante t onde você mora e suponha que no instante t você se sinta desconfortavelmente quente. Como você se sente em relação às informações dadas em cada caso? (a) f (), f () 4 (b) f (), f () 4 (c) f (), f () 4 (d) f (), f () 4 6. Seja K(t) uma medida do conhecimento adquirido por você estudando t horas para um teste. Qual será maior: K(8) K(7) ou K() K()? O gráfico de K é côncavo para cima ou para baio? Por quê? 64. A caneca mostrada na figura está sendo enchida com café a uma taa constante (medida em volume por unidade de tempo). Esboce um gráfico da profundidade do café na caneca como uma função do tempo. Forneça uma eplicação para o formato do gráfico em termos de concavidade. Qual o significado do ponto de infleão? 65. Uma curva dose-resposta descreve o nível de medicamento na corrente sanguínea depois de uma droga ser administrada. Uma função onda S t At p e kt é usada frequentemente para modelar a curva de resposta, refletindo uma oscilação inicial acentuada no nível da droga e então um declínio gradual. Se, para uma droga específica, A,, p 4, k,7 e t for medido em minutos, estime o tempo correspondente aos pontos de infleão e eplique seu significado. Se você tiver uma ferramenta gráfica, use-a para traçar a curva de resposta à droga. 66. A família das curvas em forma de sino s e ocorre em probabilidade e estatística, nas quais ela é chamada função densidade normal. A constante m é denominada média, e a constante positiva s é conhecida como desvio padrão. Por simplicidade, mudamos a escala da função de forma a remover o fator ( s ) e vamos analisar o caso especial onde m. Logo, estudamos a função f e (a) Encontre a assíntota, o valor máimo e os pontos de infleão de f. (b) Que papel desempenha s no formato da curva? ; (c) Ilustre, fazendo o gráfico de quatro membros dessa família sobre a mesma tela. 67. Encontre uma função cúbica f () a b c d que tenha um valor máimo local em e um valor mínimo local em. 68. Para quais valores dos números a e b a função f ae b tem o valor máimo de f ()? 69. (a) Se a função f () a b tem o valor mínimo local de 9 s em s, quais são os valores de a e b? (b) Qual das tangentes à curva na parte (a) tem a menor inclinação? 7. Para que valores de a e b é (;,5) um ponto de infleão da curva a b? Quais pontos de infleão adicionais a curva tem? 7. Mostre que a curva ( )/( ) tem três pontos de infleão e todos ficam sobre uma mesma reta.

7 7 CÁLCULO 7. Mostre que as curvas e e e tocam a curva e sen em seu ponto de infleão. 7. Mostre que os pontos de infleão da curva sen estão sobre a curva ( 4) Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que as segundas derivadas nunca sejam nulas. 74. (a) Se f e t forem côncavas para cima em I, mostre que f t é côncavo para cima em I. (b) Se f for positiva e côncava para cima em I, mostre que a função t f é côncava para cima em I. 75. (a) Se f e g forem funções positivas, crescentes e côncavas para cima em I, mostre que a função produto ft é côncava para cima em I. (b) Mostre que a parte (a) permanece verdadeira mesmo que f e t sejam ambas decrescentes. (c) Suponha que f seja crescente e t, decrescente. Mostre, dando três eemplos, que ft pode ser côncava para cima, côncava para baio ou linear. Por que os argumentos usados nas partes (a) e (b) não podem ser usados neste caso? 76. Suponha que f e t sejam ambas côncavas para cima em,. Sob que condições em f a função composta h f t será côncava para cima? 77. Mostre que tg > para p/. [Dica: Mostre que f () tg é crescente em (, p/).] 78. (a) Mostre que e para. (b) Deduza que e para. (c) Use a indução matemática para demonstrar que para e qualquer inteiro positivo n, e! n n! 79. Mostre que uma função cúbica (um polinômio de terceiro grau) sempre tem eatamente um ponto de infleão. Se seu gráfico tem três intersecções com o eio,, e, mostre que a coordenada do ponto de infleão é. ; 8. Para quais valores de c o polinômio P() 4 c tem dois pontos de infleão? E um ponto de infleão? E nenhum? Ilustre traçando o gráfico de P para vários valores de c. Como o gráfico muda quando c decresce? 8. Demonstre que se (c, f (c)) for um ponto de infleão do gráfico de f e f eistir em um intervalo aberto contendo c, então f (c). [Dica: Aplique o Teste da Primeira Derivada e o Teorema de Fermat à função t f.] 8. Mostre que se f () 4, então f (), mas (, ) não é um ponto de infleão do gráfico de f. t 8. Mostre que a função tem um ponto de infleão em (, ), mas t não eiste. 84. Suponha que f seja contínua e f (c) f (c), mas f (c). A função f tem um mínimo ou máimo local em c? A função f apresenta um ponto de infleão em c? 85. Suponha que f seja derivável em um intervalo I e f () para todos os números em I, eceto para um único número c. Prove que f é crescente em todo o intervalo I. 86. Para quais valores de c a função f c é crescente,? 87. Os três casos no Teste da Primeira Derivada cobrem as situações encontradas usualmente, mas não esgotam todas as possibilidades. Considere as função f, t e h cujos valores em são todos e, para, f, t 4 sen 4 sen h 4 sen (a) Mostre que é um número crítico de todas as três funções, mas suas derivadas mudam de sinal infinitas vezes em ambos os lados de. (b) Mostre que f não tem um máimo nem um mínimo local em, que t tem um mínimo local e que h tem um máimo local. 4.4 Formas Indeterminadas e Regra de l Hôspital Suponha que estejamos tentando analisar o comportamento da função F ln Apesar de F não estar definida em, precisamos saber como F se comporta próimo a. Em particular, gostaríamos de saber o valor do limite lim l ln No cálculo desse limite não podemos aplicar a Propriedade 5 dos Limites (o limite de um quociente é o quociente dos limites; veja a Seção.), pois o limite do denominador é. De fato, embora o limite em eista, seu valor não é óbvio, porque tanto o numerador como o denominador tendem a e não está definido. Em geral, se tivermos um limite da forma lim l a f t

8 APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 99 EXEMPLO 6 Uma loja tem vendido aparelhos reprodutores de Blu-ra por semana a $ 5 cada. Uma pesquisa de mercado indicou que para cada $ de desconto oferecido aos compradores, o número de unidades vendidas aumenta por semana. Encontre a função demanda e a função receita. Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maimizar sua receita? SOLUÇÃO Se for o número de reprodutores de Blu-ra vendidos por semana, então o aumento semanal nas vendas será. Para cada aumento de unidades vendidas, o preço cai em $. Portanto, para cada unidade adicional vendida, o decréscimo no preço será e a função demanda será A função receita é p 5 45 R p 45 Como R 45, vemos que R quando 45. Este valor de dá um máimo absoluto pelo Teste da Primeira Derivada (ou simplesmente observando que o gráfico de R é uma parábola que abre para baio). O preço correspondente é p e o desconto é Portanto, para maimizar a receita, a loja deveria oferecer um desconto de $ 5. A variedade é muito grande. Escolha alguns das primeiras páginas. Se tiver tempo, delicie-se com o resto. 4.7 Eercícios. Considere o seguinte problema: encontre dois números cuja soma seja e cujo produto seja máimo. (a) Faça uma tabela de valores, como a mostrada a seguir, tal que a soma dos números nas duas primeiras colunas seja sempre. Com base na evidência mostrada em sua tabela, estime a resposta para o problema. Primeiro número Segundo número Produto (b) Use o cálculo para resolver o problema e compare com sua resposta da parte (a).. Encontre dois números cuja diferença seja e cujo produto seja mínimo.. Encontre dois números positivos cujo produto seja e cuja soma seja mínima. 4. A soma de dois números positivos é 6. Qual é o menor valor possível para a soma de seus quadrados? 5. Qual é a distância vertical máima entre a reta e a parábola para? 6. Qual é a distância vertical mínima entre as parábolas e? 7. Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de m cuja área seja a maior possível. 8. Encontre as dimensões de um retângulo com área de. m cujo perímetro seja o menor possível. 9. Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio N no solo (medido em unidades apropriadas) é Y kn N onde k é uma constante positiva. Que nível de nitrogênio dá a melhor produção?. A taa (em mg de carbono/m /h) na qual a fotossíntese ocorre para uma espécie de fitoplâncton é modelada pela função P I I I 4 em que I é a intensidade da luz (medida em milhares de velas). Para qual intensidade de luz P é máimo?. Considere o seguinte problema: um fazendeiro com m de cerca quer cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a maior área total possível das quatro partes? ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

9 CÁLCULO (a) Faça vários diagramas ilustrando a situação, alguns com divisões rasas e largas e alguns com divisões profundas e estreitas. Encontre as áreas totais dessas configurações. Parece que eiste uma área máima? Se a resposta for sim, estime-a. (b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza uma notação e marque no diagrama seus símbolos. (c) Escreva uma epressão para a área total. (d) Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis. (e) Use a parte (d) para escrever a área total como uma função de uma variável. (f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua estimativa da parte (a).. Considere o seguinte problema: uma caia sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior volume que essa caia poderá ter. (a) Faça vários diagramas para ilustrar a situação, algumas caias baias com bases grandes e outras altas com base pequena. Encontre os volumes de várias dessas caias. Parece eistir um volume máimo? Se a resposta for sim, estime-o. (b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza uma notação e marque no diagrama seus símbolos. (c) Escreva uma epressão para o volume. (d) Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis. (e) Use a parte (d) para escrever o volume como uma função de uma só variável. (f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua estimativa da parte (a).. Um fazendeiro quer cercar uma área de 5 m em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize o custo da cerca? 4. Uma caia com uma base quadrada e sem tampa tem volume de cm. Encontre as dimensões da caia que minimizam a quantidade de material usado. 5. Se cm de material estiverem disponíveis para fazer uma caia com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caia. 6. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de m. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa $ por metro quadrado. O material para os lados custa $ 6 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres. 7. Faça o Eercício 6 supondo que o contêiner tenha uma tampa feita do mesmo material usado nos lados. 8. (a) Mostre que, de todos os retângulos com uma dada área, aquele com a menor área é um quadrado. (b) Mostre que, de todos os retângulos com um dado perímetro, aquele com a maior área é um quadrado. 9. Encontre o ponto sobre a reta que está mais próimo da origem.. Encontre o ponto sobre a curva s que está mais próimo do ponto (, ).. Encontre os pontos sobre a elipse 4 4 que estão mais distantes do ponto (, ). ;. Encontre, com precisão de duas casas decimais, as coordenadas do ponto na curva sen que está mais próimo do ponto (4, ).. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r. 4. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse a b. 5. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado L se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo. 6. Encontre a área do maior trapézio que pode ser inscrito num círculo com raio e cuja base é o diâmetro do círculo. 7. Encontre as dimensões do triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r. 8. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimentos e 4 cm, se dois lados do retângulo estiverem sobre os catetos. 9. Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r. Encontre o maior volume possível para este cilindro.. Um cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura h e raio da base r. Encontre o maior volume possível para este cilindro.. Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r. Encontre o maior superfície possível para este cilindro.. Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo. (O diâmetro do semicírculo é igual à largura do retângulo. Veja o Eercício 6.) Se o perímetro da janela for m, encontre as dimensões da janela que deiam passar a maior quantidade possível de luz.. As margens superiores e inferiores de um pôster têm 6 cm e cada margem lateral tem 4 cm. Se a área do material impresso no pôster é de 84 cm, encontre as dimensões do pôster com a menor área. 4. Um pôster deve ter uma área de 9 cm com uma margem de cm na base e nos lados, e uma margem de 5 cm em cima. Que dimensões darão a maior área impressa? 5. Um pedaço de fio com m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja: (a) máima? (b) mínima? 6. Responda o Eercício 5 se um pedaço estiver dobrado no formato de um quadrado e o outro no formato de um círculo. 7. Uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber V cm de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata. 8. Uma cerca de m de altura corre paralela a um edifício alto, a uma distância de m do edifício. Qual o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio, por cima da cerca? 9. Um copo com formato cônico é feito de um pedaço circular de papel de raio R cortando fora um setor e juntando os lados CA e CB. Encontre a capacidade máima de tal copo.

10 APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO A C 4. Um copo de papel em forma de cone é feito de maneira a conter 7 cm de água. Ache a altura e o raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel. 4. Um cone com altura h está inscrito em outro cone maior com altura H, de forma que seu vértice esteja no centro da base do cone maior. Mostre que o cone interno tem seu volume máimo quando h H. 4. Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo u com o plano, então a intensidade da força é mmt F m sen u cos u onde m é uma constante chamada coeficiente de atrito. Para qual valor de u é F menor? 4. Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resistência interna de r ohms, então a potência (em watts) no resistor eterno é P E R R r Se E e r forem fiados, mas R variar, qual é o valor mínimo da potência? 44. Para um peie nadando a uma velocidade v em relação à água, a energia gasta por unidade de tempo é proporcional a v. Acredita- -se que os peies migratórios tentam minimizar a energia total necessária para nadar uma distância fia. Se o peie estiver nadando contra uma corrente u u v, então o tempo necessário para nadar a uma distância L é L v u e a energia total E requerida para nadar a distância é dada por L E v av v u onde a é uma constante de proporcionalidade. (a) Determine o valor de v que minimiza E. (b) Esboce o gráfico de E. Observação: Esse resultado foi verificado eperimentalmente; peies migratórios nadam contra a corrente a uma velocidade 5% maior que a velocidade da corrente. 45. Em uma colmeia, cada alvéolo é um prisma heagonal regular, aberto em uma etremidade com um ângulo triédrico na outra etremidade. Acredita-se que as abelhas formam esses alvéolos de modo a minimizar a área da superfície, usando assim uma quantidade mínima de cera na construção. O eame desses alvéolos mostrou que a medida do ângulo do ápice u é surpreendentemente consistente. Baseado na geometria do alvéolo, pode ser mostrado que a área da superfície S é dada por R S 6sh s cotg u (s s ) cossec u, onde s, o comprimento dos lados do heágono, e h, a altura, são constantes. B (a) Calcule ds d. (b) Que ângulo as abelhas deveriam preferir? (c) Determine a área da superfície mínima do alvéolo (em termos de s e h). Observação: Medidas reais do ângulo u em colmeias foram feitas, e as medidas desses ângulos raramente diferem do valor calculado em mais que º. ângulo parte posterior triedral do alvéolo 46. Um barco deia as docas às 4 h e viaja para o sul com velocidade de km/h. Outro barco estava rumando leste a 5 km/h e alcança a mesma doca às 5 h. Em que momento os dois botes estavam mais próimos um do outro? 47. Resolva o problema no Eemplo 4 se o rio tiver 5 km de largura e o ponto B estiver somente a 5 km de A rio abaio. 48. Uma mulher em um ponto A na praia de um lago circular com raio de km quer chegar no ponto C diametralmente oposto a A do outro lado do lago no menor tempo possível. Ela pode andar a uma taa de 6 km/h e remar um bote a km/h. Como ela deve proceder? A 49. Uma refinaria de petróleo está localizada na margem norte de um rio reto que tem km de largura. Um oleoduto deve ser construído da refinaria até um tanque de armazenamento localizado na margem sul do rio, 6 km a leste da refinaria. O custo de construção do oleoduto é $ 4./km sobre a terra, até um ponto P na margem norte e $ 8./km sob o rio até o tanque. Onde P deveria estar localizado para minimizar o custo do oleoduto? ; 5. Suponha que a refinaria do Eercício 49 esteja localizada km ao norte do rio. Onde P deveria estar situado? b 5. A iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente proporcional à potência da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte. Se duas fontes de luz, uma três vezes mais forte que a outra, são colocadas a 4 m de distância, onde deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as fontes de forma a receber o mínimo de iluminação? 5. Encontre uma equação da reta que passa pelo ponto (, 5) e que delimita a menor área do primeiro quadrante. 5. Sejam a e b números positivos. Ache o comprimento do menor segmento de reta que é cortado pelo primeiro quadrante e passa pelo ponto (a, b). s h B parte anterior do alvéolo C

11 CÁLCULO SCA 54. Em quais pontos da curva 4 5 a reta tangente tem a sua maior inclinação? 55. Qual é o menor comprimento de um segmento de reta que é cortado pelo primeiro quadrante e é tangente à curva / em algum ponto? 56. Qual é a menor área de um triângulo que é cortado pelo primeiro quadrante e cuja hipotenusa é tangente à parábola 4 em algum ponto? 57. (a) Se C() for o custo para produzir unidades de uma mercadoria, então o custo médio por unidade é c() C()/. Mostre que se o custo médio for mínimo, então o custo marginal é igual ao custo médio. (b) Se C() 6 4 /, em dólares, encontre (i) o custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção de unidades; (ii) o nível de produção que minimizará o custo médio; e (iii) o custo médio mínimo. 58. (a) Mostre que se o lucro P() for máimo, então a receita marginal é igual ao custo marginal. (b) Se C() 6 5,6,4 for a função custo e p() 7 7 a função demanda, encontre o nível de produção que maimiza o lucro. 59. Um time de beisebol joga em um estádio com capacidade para 55 espectadores. Com o preço do ingresso a $, a média de público tem sido de 7. Quando os ingressos abaiaram para $ 8, a média de público subiu para. (a) Encontre a função demanda, supondo que ela seja linear. (b) Qual deveria ser o preço dos ingressos para maimizar a receita? 6. Durante os meses de verão, Terr faz e vende colares na praia. No verão passado, ele vendeu os colares por $ cada e suas vendas eram em média de por dia. Quando ele aumentou o preço $, descobriu que a média diminuiu em duas vendas por dia. (a) Encontre a função de demanda, supondo que ela seja linear. (b) Se o material de cada colar custa a Terr $ 6, qual deveria ser o preço de venda para maimizar seu lucro? 6. Um fabricante tem vendido aparelhos de televisão de tela plana por semana, a $ 45 cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada $ de desconto oferecido ao comprador, o número de aparelhos vendidos aumenta por semana. (a) Encontre a função demanda. (b) Que desconto a companhia deveria oferecer ao comprador para maimizar sua receita? (c) Se sua função custo semanal for C() 68 5, como o fabricante deveria escolher o tamanho do desconto para maimizar seu lucro? 6. O gerente de um compleo de apartamentos com unidades sabe, a partir da eperiência, que todas as unidades estarão ocupadas se o aluguel for $ 8 por mês. Uma pesquisa de mercado sugere que, em média, uma unidade adicional permanecerá vazia para cada $ de aumento no aluguel. Qual o aluguel que o gerente deveria cobrar para maimizar a receita? 6. Mostre que, de todos os triângulos isósceles com um dado perímetro, aquele que tem a maior área é o equilátero. 64. A moldura para uma pipa é feita com seis pedaços de madeira. Os quatro pedaços eternos foram cortados com os comprimentos indicados na figura. Para maimizar a área da pipa, de que tamanho devem ser os pedaços diagonais? ; 65. Um ponto P precisa ser localizado em algum ponto sobre a reta AD de forma que o comprimento total L de fios ligando P aos pontos A, B e C seja minimizado (veja a figura). Epresse L como uma função de AP e use os gráficos de L e dl d para estimar o valor mínimo de L. B a a m D A P m 66. O gráfico mostra o consumo de combustível c de um carro (medido em litros/hora) como uma função da velocidade v do carro. Em velocidade muito baia, o motor não rende bem; assim, inicialmente c decresce à medida que a velocidade cresce. Mas em alta velocidade o consumo cresce. Você pode ver que c v é minimizado para esse carro quando v 48 km/h. Porém, para a eficiência do combustível, o que deve ser minimizado não é o consumo em litros/hora, mas, em vez disso, o consumo de combustível em litros por quilômetro. Vamos chamar esse consumo de G. Usando o gráfico, estime a velocidade na qual G tem seu valor mínimo. c Seja v a velocidade da luz no ar e v a velocidade da luz na água. De acordo com o Princípio de Fermat, um raio de luz viajará de um ponto A no ar para um ponto B na água por um caminho ACB que minimiza o tempo gasto. Mostre que sen u v sen u v onde (o ângulo de incidência) e (o ângulo de refração) são conforme mostrados. Essa equação é conhecida como a Lei de Snell. A 68. Dois postes verticais PQ e ST são amarrados por uma corda PRS que vai do topo do primeiro poste para um ponto R no chão entre os postes e então até o topo do segundo poste, como na figura. Mostre que o menor comprimento de tal corda ocorre quando. b b C C 5m B

12 APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO P S B P Q R T A O canto superior direito de um pedaço de papel com cm de largura por cm de comprimento é dobrado sobre o lado direito, como na figura. Como você dobraria de forma a minimizar o comprimento da dobra? Em outras palavras, como você escolheria para minimizar? 74. Uma pintura em uma galeria de arte tem altura h e está pendurada de forma que o lado de baio está a uma distância d acima do olho de um observador (como na figura). A que distância da parede deve ficar o observador para obter a melhor visão? (Em outras palavras, onde deve ficar o observador de forma a maimizar o ângulo u subentendido em seu olho pela pintura?) h d 7. Um cano de metal está sendo carregado através de um corredor com m de largura. No fim do corredor há uma curva em ângulo reto, passando-se para um corredor com m de largura. Qual é o comprimento do cano mais longo que pode ser carregado horizontalmente em torno do canto? 75. Encontre a área máima do retângulo que pode ser circunscrito em torno de um dado retângulo com comprimento L e largura W. [Dica: Epresse a área como uma função do ângulo u.] 76. O sistema vascular sanguíneo consiste em vasos sanguíneos (artérias, arteríolas, capilares e veias) que transportam o sangue do coração para os órgãos e de volta para o coração. Esse sistema deve trabalhar de forma a minimizar a energia despendida pelo coração no bombeamento do sangue. Em particular, essa energia é reduzida quando a resistência do sangue diminui. Uma das Leis de Poiseuille dá a resistência R do sangue como 7. Um observador permanece em um ponto P, distante uma unidade de uma pista. Dois corredores iniciam no ponto S da figura e correm ao longo da pista. Um corredor corre três vezes mais rápido que o outro. Encontre o valor máimo do ângulo de visão do observador entre os corredores. [Dica: Maimize tg.] 7. Uma calha deve ser construída com uma folha de metal de largura cm dobrando-se para cima / da folha de cada lado, fazendo um ângulo u com a horizontal. Como u deve ser escolhido para que a calha carregue a maior quantidade de água possível? P S cm cm cm 7. Como deve ser escolhido o ponto P sobre o segmento AB de forma a maimizar o ângulo u? onde L é o comprimento do vaso sanguíneo; r, o raio; e C é uma constante positiva determinada pela viscosidade do sangue. (Poiseuille estabeleceu essa lei eperimentalmente, mas também seguiu a Equação 8.4..) A figura mostra um vaso sanguíneo principal de raio r ramificado em um ângulo u em um vaso menor de raio r. A ramificação vascular r B R C L r 4 (a) Use a Lei de Poiseuille para mostrar que a resistência total do sangue ao longo do caminho ABC é a b cotg u R C 4 r b cossec u r 4 onde a e b são as distâncias mostradas na figura. (b) Demonstre que essa resistência é minimizada quando a r C b

13 A7 CÁLCULO 89. (a) v t t ; a t 6t (b) t ; t (c) (d) a. (a) (b) (e) t ; t 9. 4 kg/m 9. (a),4 t (b) 4 (c) 5 9 bactéria h (d) ln 5 ln,4, h (a) C e kt (b) h 97. cm min s666 4,5 m s. 4 pés/h. (a) L ; s ; s,, (b),5,4 5. p 6,7 cm PROBLEMAS QUENTES. ( 5.. (, 5 s, 4 ) s 4 ). (a) 4 s s rad s (b) 4(cos u s8 cos u) cm (c) 48p sen u ( cos u s8 cos u) cm s 7. T,, T,, N (, 5 ), N ( 5,) 9. (b) (i) 5 (ou 7 ) (ii) 6 (ou 7 ). R aproima-se do ponto médio do raio AO.. sen a 5. se 9. (, ), (, ). s p,4 cm min CAPÍTULO 4 EXERCÍCIOS 4. Abreviações: abs, absoluto; loc, local; ma., máimo; min., mínimo. Min. abs: menor valor da função em todo o domínio da função; Min. loc em c: menor valor da função quando está próimo c. Ma. abs em s, Min. abs em r, Ma. loc em c, Min. loc em b e r, nem um ma. nem um min. em a e d 5. Ma. abs f (4) 5, Ma. loc f (4) 5 e f (6) 4, Min. loc f () e f () f (5) (a) (b) (c) v t posição _ 5. Ma. abs f () 4 7. Ma. abs f () 9. Min. abs f (). Ma. abs f (p/) ; Min. abs f ( p/). Ma. abs f () ln 5. Ma. abs f () 7. Ma. abs f () 9. 5.,. 5., 7., 4 9., 8 9 7,4 4. n/p (n um inteiro) 4., f () 5, f () f ( ) 8, f () 9 5. f ( ), f ( ) 5. f (,) 5,, f () 55. f (s), f s 57. f 6 s, f 59. f se, f s 8 e 6. f ln, f ( ) ln 4 6. f a a b 65. (a),9,,8 (b), 5 s 5 s (a),,, (b) 6 s, 69.,9665 C 7. Mais barato, t,855 (junho de 994); mais caro, t 4,68 (março de 998) 7. (a) (b) v 4 r r 7 kr (c) 4 7 kr# _ a a b b a b a b r r r 6 6 EXERCÍCIOS f não é derivável em (,) 7.,,, 6, 9.. ln[ 6 ( e 6 )]. 5. f não é contínua em Não. Não EXERCÍCIOS 4. Abreviações: cres., crescente; decres., decrescente; CC, côncava para cima; CB, côncava para baio; AH, assíntota horizontal; AV, assíntota vertical; PI, ponto(s) de infleão. (a) (, ), (4, 6) (b) (, ), (, 4) (c) (, ) (d) (, 4), (4, 6) (e) (, ). (a) Teste C/D (b) Teste da Concavidade (c) Encontre os pontos em que a concavidade muda. 5. (a) Cres. em (, 5); decres. em (, ) e (5, 6) (b) Ma. loc em 5, Min. loc em 7. (a), 5 (b), 4, 6 (c), 7 9. (a) Cres. em,,, ; decres. em (, ) (b) Ma. loc f 8; Min. loc f () 44 (c) CC em, ; CB em (, ) ; PI, 7. (a) Cres. em (, ),, ; decres. em,,, (b) Ma. loc f ; Min. loc f (c) CC em (, s ), (s, ) ;

14 APÊNDICES A7 CB em ( s, s ) ; PI ( s,. (a) Cres. em, 4, 5 4, ; decres. em 4, 5 4 (b) Ma. loc f 4 s; Min. loc f 5 4 s (c) CC em 4, 7 4 ; CB em, 4, 7 4, ; PI 4,, 7 4, 5. (a) Cres. em ( ; decres. em (, ln, ) ln ) (b) Min. loc f ( ln ) (c) CC em, 7. (a) Cres. em, ; decres. em (, ) (b) Min. loc f () (c) CC em, ; Sem PI 9. Ma. loc f ( ) 7, Min. loc f (). Min. loc f ( 6 ) 4. (a) f tem um máimo local em. (b) f tem uma tangente horizontal em ) 7. (a) Cres. em,,, ; decres. em, (b) Ma. loc em h 7; Min. loc h (c) CC em, ; CB em, ; PI (, ) (d) Veja o gráfico à direita. 9. (a) Cres. em, 4 ; decres. em (4, 6) (b) Ma. loc em f(4) 4s (c) CC em, 6 ; Sem PI (d) Veja o gráfico à direita. (_, 7) (_, ) _ 7 { 4, 4œ } (, _) (a) Cres. em, ; decres. em, (b) Min. loc C (c) CC em,,, ; CB em (,); PI,, (, 6s) (d) Veja o gráfico à direita. _4 (_, _) {, 6 Œ } 9. _ =. (a) Cres. em (, ), (4, 6), 8, ; decres. em (, 4), (6, 8) (b) Ma. loc em, 6; Min. loc em 4, 8 (c) CC em (, 6), 6, ; CB em (,) (d) (e) Veja o gráfico à direita. _. (a) Cres. em,,, ; decres. em (, ) (b) Ma. loc em f 7; f (c) CC em (, ) ; CB em (, ; PI (, ) ) (d) (_, 7) (a) Cres. em, ; decres. em, (b) Min. loc f (c) CC em, 5 ; CB em,, 5, ; PI (, 5 4)(5,, 5 4) (d) Veja o gráfico à direita. 45. (a) AV ; AH (b) Cres. em (, ); decres. em,,, (c) Ma. loc f() 5 4 (d) CC em, ; CB em,, (, ); PI (, 9 ) (e) Veja o gráfico à direita. 47. (a) AH (b) Decres. em, (c) Nenhum (d) CC em, (e) Veja o gráfico à direita. π π _ (π, _) = π 5, 4 5π 5, 4 (, 5/4), _ (, _) 5. (a) Cres. em,,, ; decres. em,,, (b) Ma. loc em f, f ; Min. loc f (c) CC em ( s, s) ; CB em (, s), s, ) ; PI ( s, 9 ); (d) Veja o gráfico à direita. _, œ 9 (_, ), œ 9 (, ) 49. (a) AH (b) Cres. em,, decres., (c) Ma. loc f () (d) CC em, s, ( s, ), CB em s, s) ; PI s, e / ) (e) Veja o gráfico à direita. _

15 A74 CÁLCULO 5. (a) AV, e (b) Decres. em (, e) (c) Nenhum (d) CC em (, ), CB (, e), PI (, ) (e) Veja o gráfico à direita. 5., 55. (a) Ma. loc e abs f s, sem min (b) 4 ( s7) 57. (b) CC em (,94;,57), (,7; 5,5); CB em (;,94), (,57;,7), (5,5; p); PI (,94;,44), (,57;,6) (,7;,6), (5,5;,44) 59. CC em ;,6,,; ; CB em (,6;,) 6. (a) A taa de crescimento inicialmente é muito pequena; cresce a um máimo em t 8h, e, então, decresce para. (b) Quando t 8 (c) CC em (, 8); CB em (8, 8) (d) (8, 5) 6. K K ; CB 65. 8,57 min., quando a taa de aumento do nível medicamentoso na corrente sanguínea é maior; 85,7 min., quando a taa de decrescimento é maior 67. f (a) a, b (b) em (, ) EXERCÍCIOS 4.4. (a) Indeterminado (b) (c) (d),, ou não eiste (e) Indeterminado. (a) (b) Indeterminado (c) /ln a a e 59. /e e e se f tem um mínimo absoluto para c. À medida que c aumenta, os pontos mínimos se afastam mais da origem (a) 9 a EXERCÍCIOS 4.5 Abreviação: int., intersecção; AO, assíntota oblíqua. A. B. int. ; int., C. Em relação a (, ) D. Nenhuma E. Cres. em, F. Nenhum G. CC em, ; CB em, ; PI (, ) H. Veja o gráfico à direita.. A. B. int.. ; int.., (7 s5) C. Nenhuma D. Nenhuma E. Cres. em (, 5); decres. em,, 5, F. Min. loc f 5; Ma. loc f 5 7 G. CC em, ; CB em, ; PI (, ) H. Veja o gráfico à direita. = (, ) =e (5, 7) (, _5) 5. A. B. int.. ; int., 4 C. Nenhuma D. Nenhuma E. Cres. em, ; decres. em, F. Min. loc f () 7 G. CC em,, 4, ; CB em (, 4); PI (, 6), (4, ) H. Veja o gráfico à direita. 7. A. B. int. ; int. C. Em relação a (, ) D. Nenhuma E. Cres. em, F. Nenhum G. CC em (, ),, ; CB em,, (, ); PI (, 56, (, ), (, 56 5 ) 5 ) H. Veja o gráfico à direita. 9. A. B. int. ; int. C. Nenhuma D. AV, AH E. Decres. em,,, F. Nenhum G. CC em, ; CB em, H. Veja o gráfico à direita.. A.,,, B. int. ; int. C. Nenhuma D. AH ; AV E. Cres. em,,,,, F. Nenhum G. CC em,, (, ); CB em, H. Veja o gráfico à direita. A. B. int. 9 C. Em relação ao eio D. AV, AH E. Cres. em,,, ; decres. em (, ),, F. Ma. loc f 9 G. CC em,,, ; CB em, H. Veja o gráfico à direita. 5. A. B. int. ; int. C. Em relação a (, ) D. AH E. Cres. em, ; decres. em,,, F. Min. loc f 6; Ma. loc f 6; G. CC em ( s, ), (s, ) ; CB em (, s), (, s) ; PI (, ), ( s, s ) H. Veja o gráfico à direita. 56 {_, _ 5 } =_ (4, ) (, _7) _, _ 6 (, _6) (, ) (, ), 6 = 56 {, 5 }

16 APÊNDICES A79 EXERCÍCIOS 4.7. (a), (b),5,,5., m por 5 m 9. N. (a) (b) m@ 4 m@ 5 (c) A (d) 5 (e) A 5 5 (f) 5 m. m por 5 m 5. 4 cm 7. $9,8 9. ( 6 5, 5 ). (, 4 s). Quadrado, lado sr 5. L, s L 4 7. Base sr, altura r 9. 4 r (s). r ( s5). 4 cm, 6 cm 5. (a) Use todo o fio para o quadrado (b) 4s (9 4s) m para o quadrado 7. Altura raio s V p cm 9. V R (9s) 4. E 4r 45. (a) s cossec u cossec u s cotg u (b) cos ( s) 55 (c) 6s[h s (s)] 47. Reme diretamente para B 49. 4,85 km a leste da refinaria 5. 4s ( s) m da fonte mais forte 5. a b 55. s6 57. (b) (i) $ 4,49; $ 4/unidade; $ 9/unidade (ii) 4 (iii) $ /unidade 59. (a) p 9 (b) $9,5 6. (a) p 55 (b) $75 (c) $ 65. 9,5 m cm 7. p/6 7. À distância 5 s5 de A 75. L W 77. (a) Cerca de 5, km de B (b) C está próimo a B; C está próimo a D; W L s5, onde BC (c),7; não há tal valor (d) s4 4,6 EXERCÍCIOS 4.8. (a),, (b) Não a, b, c 7.,785 9.,5.,8564.,756 5., ,67958,,8665,, ,49,,574.,6474.,9888,,997997,9975,, , ,9668,, (b), (a),97,,447,,57854 (b), 7. (,59855,,6964) 9. (,445,,478) 4.,7686% EXERCÍCIOS 4.9. F C. F C 5. F C 7. F C 9. F s C. F 4 C m@ 5. F ln C se 5 ln C se 5. G t t / t / 5t 5 C 7. H(u) cos u tg u C n em (np p, np p ), n um inteiro 9.. F 5e senh C F ln C. F f () 5 4 C D 7. 8 C D 9. f (t) sen t Ct Dt E. f () / 5. f (t) 4 arctg t p 5. sen t tg t 4 s 7. se ; 5 se sen u cos u 5u 4 4. f () cos 47. ln ln ln b 5. F s t cos t sen t s t t t t s t sen t cos t 6 p t 65. (a) s t 45 4,9t (b) s45 4,9 9,58 s (c) 9,8s45 4,9 9,9 m s (d) Cerca de 9,9 s 69. 8,6 m 7. $74,8 7.,8 s m s km h 4,8 m s 79. (a) 6 96 km (b) km (c) min s (d) km CAPÍTULO 4 REVISÃO Teste Verdadeiro-Falso. Falso. Falso 5. Verdadeiro 7. Falso 9. Verdadeiro. Verdadeiro. Falso 5. Verdadeiro 7. Verdadeiro 9. Verdadeiro Eercícios. Ma abs f 4 5, Min. abs e loc f. Ma abs f 5, Min. abs e loc f ( ) 9 5. Ma abs. loc f(p 6) p 6 s, min. abs f( p) p, Min. loc f(5p 6) 5p 6 s _ (, ) (, ) =6 (, ) 9 _π F π