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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A EXAME MODELO 4 Todos os materiais do MathSuccess são escritos utilizando a ortografia anterior ao Acordo Ortográfico de 990 Site: Facebook: EXAME MODELO N.º 4 JULHO DE 08 Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

2 CADERNO Neste grupo a utilização de calculadora gráfica é permitida. Na resposta aos itens de escolha múltipla, seleccione a opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos itens de resposta aberta apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto..... P00/00 PMC05.. De um dado viciado, com as faces numeradas de a 6, sabe-se que lançando-o quatro vezes, a probabilidade de sair face com o número exactamente duas vezes é 8 7. Lança-se este dado dez vezes. Qual é a probabilidade, arredondada às milésimas, de sair face com o número exactamente cinco vezes? A 0,09 B 0,099 C 0,7 D 0,575.. Na figura está representado o triângulo escaleno ABC. C cos A B Sabe-se que é a amplitude, em radianos, do ângulo ABC, AB, BC e AC cos. Qual é o valor de, arredondado às milésimas? A 0,680 B 0,98 C,0 D,47 Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

3 . Num referencial o.n. Oxyz, não representado na figura, considere um sólido constituído por um prisma e uma pirâmide, ambos hexagonais regulares. D E A B C Sabe-se que: A,,0 e B é o ponto de intersecção do plano ABC com o eixo Oz uma equação cartesiana do plano ABC é x y z o prisma e a pirâmide têm a mesma altura o volume do sólido é 08.. Determine o valor de AE BD... Escreva uma equação cartesiana do plano ABD... Estão disponíveis dez cores (amarelo, azul, encarnado, preto, branco, verde, roxo, laranja, rosa e castanho) para colorir o sólido. Pretende-se que cada face fique colorida com apenas uma cor de modo que: nas faces do prisma não haja cores repetidas as faces da pirâmide fiquem coloridas com as cores amarelo, azul, preto, branco, verde e rosa, com a cor preta e a cor branca em faces consecutivas De quantas maneiras se pode colorir o sólido nas condições do enunciado? A B C D Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

4 . Numa empresa sabe-se que: 40% dos funcionários são homens 8 dos funcionários do sexo masculino são licenciados entre os funcionários licenciados, três em cada quatro são mulheres.. Escolhe-se ao acaso um funcionário desta empresa. Qual é a probabilidade de não ser licenciado ou ser do sexo masculino? Apresente o resultado na forma de percentagem... A empresa tem 0 funcionários dos quais se escolhem quatro, simultaneamente e ao acaso. Considere os acontecimentos: X : «Os quatro funcionários escolhidos são do sexo masculino» Y : «Pelo menos três dos funcionários escolhidos são licenciados» Sem recorrer à fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor de PY X. Comece por interpretar o significado de PY X no contexto da situação descrita. Apresente o resultado na forma de dízima com quatro casas decimais. Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 4

5 4. Numa experiência científica foi utilizada uma cultura de bactérias. O número de bactérias nessa cultura, em milhares, t horas após o início da experiência é dado, aproximadamente, por: 0e, com t 0 0,8t f t Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o instante correspondente à abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f e interprete o resultado no contexto da situação descrita. Na sua resposta deve: equacionar o problema reproduzir o(s) gráfico(s) que considerar necessário(s) para a resolução do problema bem como a(s) coordenada(s) de algum (ou alguns) ponto(s) relevante(s) apresentar o instante pedido em horas e minutos, minutos arredondados às unidades interpretar o resultado no contexto da situação descrita No caso de fazer algum arredondamento intermédio utilize, no mínimo, três casas decimais., com 0,. 5. Em, conjunto dos números complexos, seja z cos sen isen Sabe-se que: o afixo de z pertence ao terceiro quadrante z é uma das raízes de índice n, com n, do número complexo 8 Qual das seguintes opções é a correcta? A 0 B C 0 D Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 5

6 6. Sejam u n e n v duas sucessões tais que: n u é uma progressão aritmética e u u8 6 n 6 e a soma dos seus seis primeiros é 090 vn u 8 n Mostre que u 0. Sugestão: determine a razão da progressão aritmética n u e mostre que a sucessão v é uma progressão geométrica. n 7. Na figura estão representadas em referencial o.n. xoy, uma circunferência, centrada no ponto A e tangente aos eixos coordenados, e as rectas r e t. y r A O t x Sabe-se que: uma equação vectorial da recta r é x, y 0, k 8,4, k as rectas r e t são perpendiculares e intersectam-se no ponto A Qual é a equação reduzida da recta t? A y x 6 B C y x 9 D y x 9 y x FIM DO CADERNO Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 6

7 CADERNO Neste grupo a utilização de calculadora gráfica não é permitida. Na resposta aos itens de escolha múltipla, seleccione a opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos itens de resposta aberta apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto P00/00 PMC Num referencial o.n. Oxyz, considere, para ab, \ 0 : a recta r definida por x z y 4 a a ax o plano definido por y bz A recta r está contida no plano. Quais são os valores de a e de b? A a b B a 6 e b 6 C a 6 e b 6 D ab Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 7

8 8.. Na figura está representado em referencial o.n. o movimento de um oscilador harmónico. x O t Tal como a figura sugere a função x, que dá a abcissa deste oscilador harmónico em função do tempo t, em segundos, tem um máximo em 9 t e um mínimo em 8 45 t. 8 Sejam e, respectivamente, a pulsação e a fase deste oscilador. Quais são os valores de e de? A e B 4 5 e 4 C 5 e D 4 e 4 9. Em, conjunto dos números complexos, considere z cos isen e z i 5 i z 5, com 0,. Determine os valores que para os quais o afixo de z pertence à região do plano complexo definida pela condição: z i Arg Arg 6 Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 8

9 P00/00 PMC Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio e desvio padrão tal que: P X 4 0, Qual das seguintes afirmações é falsa? B A P X 0 0% C P X 4 X 0 60% D P X X 0 4 5% 0.. Na figura estão representados num referencial o.n. xoy uma elipse de focos A e B e o triângulo ABC. y C A O B x Sabe-se que: o ponto C pertence à elipse e tem ordenada em relação ao triângulo ABC a sua área é 6 e o seu perímetro é 4 Qual das seguintes é a equação reduzida da elipse da figura? A x y B 6 8 x y 5 8 C x y x y D Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 9

10 . Na figura estão representados num referencial o.n. xoy a circunferência trigonométrica e o quadrilátero OABC. y O E x A D C B Sabe-se que: o ponto C desloca-se sobre a circunferência, no quarto quadrante (eixo Oy não incluído). O ponto A acompanha o movimento de C, de modo que o segmento de recta AC é sempre paralelo a Ox o ponto pertence ao eixo Oy e o arco de circunferência BC está centrado no ponto D, ponto médio de AC Sejam a amplitude, em radianos, do ângulo EOC, com,0 OABC em função de. e f a função que dá a área do quadrilátero.. Mostre que f sen cos... Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e indique o valor máximo da área do quadrilátero OABC. Sugestão: para determinar o valor máximo do quadrilátero OABC tenha em conta que cos cos. Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 0

11 . Considere as funções g e h, de domínios e, respectivamente, definidas por:.. Seja n ln e h x g x x x x x k x x e g x x x a sucessão definida por x n e n Qual é o valor de lim h x? n n. e se se x, com k A B 0 C D.. Determine o valor de k de modo que a função h seja contínua... Estude a função g quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão do seu gráfico. Itens extra: a) Escreva a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa e.. b) Determine o conjunto solução da inequação g x ln x ln8 x ln x. Seja h uma função de domínio tal que a recta de equação yx 4 é assimptota do gráfico de h. Qual é o valor de lim x log hx h x log x x? A B 4 C 4 D Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

12 4. Sejam f e g duas funções de domínio tais que: f é contínua e estritamente monótona o gráfico de f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa e o eixo Oy num ponto de ordenada positiva x x g x e f x x a, com 0a Mostre que a equação g x f tem pelo menos uma solução no intervalo 0,. FIM DO CADERNO FIM DO EXAME MODELO 4 Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

13 Cotações Caderno. 8 pontos... 0 pontos.. 0 pontos.. 8 pontos... pontos.. pontos 4. pontos 5. 8 pontos 6. pontos 7. 8 pontos Total Caderno 00 pontos Caderno 8. 8 pontos 9. pontos 0. 8 pontos... 0 pontos.. pontos... 8 pontos.. pontos.. pontos. 8 pontos 4. 0 pontos Total Caderno 00 pontos Total Caderno Caderno 00 pontos Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

14 Solucionário Caderno.. C.. B x y z 4.. C.. 85 %.. 0, t,878, que corresponde a, aproximadamente duas horas e 5 minutos. Passadas, aproximadamente, duas horas e 5 minutos, a taxa de crescimento do número de bactérias começa a diminuir. 5. D 7. A Caderno 8.. B 8.. C C 0.. D.. A função g é decrescente em,0 8 e é crescente em, 8. Tem um máximo absoluto em e um mínimo relativo 8 em 0. O valor máximo da área do quadrilátero OABC é g. 8.. B.. k e.. O gráfico da função g tem a concavidade voltada para baixo em ponto de inflexão em x. e I.E. a) y x e 4 I.E. b),,4 0, e, tem a concavidade voltada para cima em, e e tem. A Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 4

15 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A EXAME MODELO 4 Site: Facebook: EXAME MODELO N.º 4 JULHO DE 08 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 5

16 CADERNO... Seja X a variável aleatória «número de vezes que sai face com o número em quatro lançamentos do dado». Assim, X é uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros n 4 (quatro provas repetidas) e seja p, com 0 p, a probabilidade de sucesso, isto é, a probabilidade de sair face com o número em cada um dos lançamentos. Logo, como 8 P X, vem que: P X 7 C p p 7 p p 7 p p 6 7 p p 8 Como p p 0, tem-se que p p Seja Y a variável aleatória «número de vezes que sai face com o número em dez lançamentos do dado». Assim, Y é uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros n 0 (dez provas repetidas) e probabilidade de sucesso igual a p, pelo que a probabilidade pedida é dada por: P Y C 5 p p C 5 p p C 5 0,7 9 5 Resposta: C.. Pela lei dos co-senos tem-se que: AC AB BC AB BC cos cos cos 9cos 4cos 5 0 Fazendo y cos, vem que y 4y 5 0 y y y 9 9 Mas como cos 0, pois AC 0 e AC cos, vem que 5 5 cos arccos 0, Resposta: B Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 6

17 ... Tem-se que AE AB BE e BD BA AD, pelo que: AE BD AB BE BA AD AB BA AB AD BE BA BE AD 0; AB AD 0; BEBA ABBA AB AB BA cos 80º 0 0 AD AD AB AD AD AB AD BE Assim: o ponto B pertence ao eixo Oz, pelo que as suas coordenadas são da forma B0,0, z B. Como o ponto B pertence ao plano ABC, vem que: 0 0 z z B0,0,, pelo que: AB B B para determinar o valor de AD, vamos escrever o volume do sólido em função de AD. Como o prisma e a pirâmide têm a mesma altura, cuja medida do comprimento é igual a AD e como a base de ambos é um hexágono regular de lado, vem que: Ahexágono AD 4Ahexágono AD Vsólido Vprisma Vpirâmide Ahexágono AD Representando o hexágono da base do sólido: O A Q B O triângulo AOB é equilátero, visto que o hexágono é regular, pelo que a amplitude do ângulo BOA é. Assim OA AB, pelo que sen OQ OQ OQ. Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 7

18 AB OQ 7 Logo, a área do hexágono é igual a 6 A 6 AB OQ e portanto: AOB 7 4A 4 hexágono AD AD 7 AD AD 08 AD 6 AE BD AD AB Tem-se que: um vector normal do plano ABC : x y z é,, n, sendo que este vector é colinear com AD. ABC AB B A 0,0,,,0,, Assim, os vectores nabd n ABC e AB são dois vectores não colineares paralelos ao plano ABD, pelo que, sendo a, b, c, um vector normal a ABD, vem que: abc nabd nabc 0,,,, 0 a b c 0 b c b c 0 nabd AB 0 abc,,,, 0 a b c 0 a b c Portanto, n b, b,b, com \ 0 ABD 4b 4c b c 0 6b c c b c b a b c a b c a b b a b b, pelo que, fazendo Assim, como B 0,0,, pertence ao plano ABD, uma sua equação cartesiana é: b, vem que,, n. x 0 y 0 z 0 x y z 4 0 x y z 4 ABD.. Designando por,,, 4, 5 e 6 as seis faces da pirâmide, tem-se que as cores pretas e brancas podem ocupar seis posições: e ; e ; e 4; 4 e 5; 5 e 6; 6 e. Para cada uma destas maneiras, as cores preta e branca permutam de! nas duas posições escolhidas e as restantes quatro cores permutam de! nas restantes quatro posições. Logo, as faces da pirâmide podem ser pintadas de 6! 4! maneiras distintas. Para as faces do prisma começamos por escolher sete das dez dores disponíveis. O número de maneiras de o fazer é 0 C. Para cada uma destas maneiras as sete cores escolhidas permutam de! nas sete faces do prisma, pelo que o 7 prisma pode ser pintado de C 7! A Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 8

19 Assim, para cada uma das 6! 4! maneiras distintas de pintar as faces da pirâmide, existem 0 A 7 maneiras distintas de pintar as faces do prisma, pelo que, o número de maneiras de pintar o sólido é: 0 6! 4! A Resposta: C.. Sejam M e L os acontecimentos: M : «O funcionário escolhido é do sexo masculino» e L : «O funcionário escolhido é licenciado» Pelo enunciado, tem-se que: PM PM 40% 0,4 0,6 P L M P L M PL M PM PL M 0,4 PL M 0,05 8 P M P M L P M L 0,75 P M L 0,75 P L 4 P L Pretende-se determinar o valor de PL M PM PLM. Tem-se que: PM PL M PL P L M P L P M P L M P L P M Mas como PL PL M PL M, vem que: 0,05 P L P L M P L M P L 0,05 0,75 P L P L 0,75 P L 0,05 Portanto, PL M PL 0,05 0,5 PL 0,05 PL PL 0, 0,5 0,05 0, 0,05 0,85 85%. Nota: este item poderia ser resolvido recorrendo a uma tabela ou a um diagrama em árvore. Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 9

20 .. PY X é a probabilidade de pelo menos três dos quatro funcionários escolhidos serem licenciados, sabendo que os quatro funcionários escolhidos são do sexo masculino. Tem-se que 40% dos 0 funcionários são do sexo masculino, ou seja, o número destes funcionários é: 0,40 48 Dos funcionários do sexo masculino, um oitavo são licenciados, pelo que o número de funcionários que são licenciados e do sexo masculino é Assim, o número de casos possíveis é 48 C 4, que é o número de maneiras de escolher quatro funcionários do sexo masculino. Para o número de casos favoráveis temos de considerar dois casos: três licenciados e um não licenciado: dos seis funcionários licenciados escolhem-se três e dos restantes 4 não licenciados escolhe-se um. O número de maneiras de o fazer é 6 C 4 C 6 C. 4 quatro licenciados: dos seis funcionários licenciados escolhem-se quatro. O número de maneiras de o fazer é 6 C 4. Portanto, o número de casos favoráveis é 6 C 4 6 C. 4 Logo, pela lei de Laplace, vem que PY X C 4 C 0, C4 4. A função f é duas vezes derivável no seu domínio, pelo que na abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f a. segunda derivada é nula. Assim, pretende-se determinar t de modo que f t 0 Mas como a função f é duas vezes derivável, no caso de existir um instante em que a primeira derivada atinge um máximo (ou um mínimo), a segunda derivada é nula, pelo que, recorrendo à calculadora gráfica vamos determinar o(s) maximizante(s) (ou minimizante(s)) da primeira derivada de f. Comecemos então por determinar a expressão de f : t e t e 0,8t 0,8t 0,8t 0,8t 0e 0e 0 0e 0 0,8t e ft 0,8 0, ,8 e 4e 0,8t 0,8t 0,8t 0,8t 0e 0e Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 0

21 Utilizando as capacidades gráficas da calculadora, define-se na janela 0,0 0, y f t : y f O a,878 t Portanto, a função f tem máximo absoluto no ponto de abcissa a, com a,878. Nesse ponto a sua derivada, que corresponde à segunda derivada de f é nula, isto é, f a 0 que o gráfico de f tem um ponto de inflexão em x a, com a,878., além de que f a 0 e f a 0, pelo Como 0, , vem que passadas, aproximadamente, duas horas e 5 minutos, a taxa de crescimento do número de bactérias começa a diminuir. 5. Tem-se que z i i e cos sen sen cos sen cos i e i. Como z é uma raiz de índice n de 8, vem que raiz de índice 7 de 8. z n n n n 7, pelo que z é uma Determinando então as raízes sétimas de 8, vem: k k i i 7 7 i e 8 e e, k 0,,,, 4,5,6 Assim: e 7 se k 0 i ; o seu afixo não pertence ao.ºq se k e i 7 ; o seu afixo não pertence ao.ºq se 5 7 k e i ; o seu afixo não pertence ao.ºq se k e i ; o seu afixo não pertence ao.ºq se 9 7 k 4 e i ; o seu afixo pertence ao.ºq se 7 k 5 e i ; o seu afixo não pertence ao.ºq se 7 k 6 e i ; o seu afixo não pertence ao.ºq Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

22 Logo, como i e 9 7 é a única raiz sétima de 8 que pertence ao.ºq, vem que: 9 i i e e k k, k 7 4 pelo que: se 9 5 k ; , 4 se 9 k 0 ; 9 0, 4 4 se 9 k ; 0, Resposta: D 6. Tem-se que: u n é uma progressão aritmética, pelo que, sendo r a sua razão, com r, vem que u n u n r, n. Assim, u u r u u8 6 6r 0 6 6r 6r 6 r u u, n n uu86 n 4 n n 4n 6 4n6un v n u n u n 6 u. Vejamos que a sucessão n n 8 v é uma progressão geométrica: v v n n 4n 6un 4n6un 4n 46un 4n 6u n 6u n un un un 4 Assim, v n é uma progressão geométrica de razão 4 e a soma dos seus seis primeiros termos é dada por: v v v v 4 v v Portanto, como a soma dos seis primeiros termos de v é 090, vem que: n 65v v v Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

23 4 6u 6u Assim, como v, vem que: 6u 6 u 89 6u 6u u u r u 89 u ur r u u u 0 u 0 7. Tem-se que: um vector director da recta r é r 8,4, pelo que o seu declive, m r, é igual a 4 mr. 8 as rectas r e s são perpendiculares, pelo que o declive de s, m s, é dado por ms m r, pelo que ms. Logo s : y x b a circunferência é tangente aos eixos coordenados, pelo que o ponto A, que é o seu centro, pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares (recta de equação y x ) e portanto, as suas coordenadas são da forma Ax, x. A A Como o ponto A pertence à recta r, substituindo na sua equação, vem: x A k xa k xa k x xa A 4 xa 4k 8k 4k 4k k k 4 4 x, y 0, k 8,4 A, A A Mas o ponto A também pertence à recta s, pelo que, substituindo na sua equação, vem b b 6. s : y x 6 Resposta: A Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

24 CADERNO 8. Tem-se que: x k x ak x ak a x z r : y 4 y 4 y 4 0k y 4 0k, k a a z k z ak z ak a Portanto, um vector director da recta r é r a a, que é colinear com o vector,0, também é um vector director de r. Um ponto da recta r é P,4,. r,0,, pois a 0, pelo que r ax a Por outro lado um vector normal do plano : y bz é n,, b. Assim, como a recta r está contida no plano, vem que: os vectores r e n são perpendiculares, pelo que r n 0 e portanto, a a r n 0,0,,, b 0 0b 0 a b 0 b a o ponto P,4, pertence ao plano, pelo que, a a 4 b 4 a a 8 a a 6 a 6 b 6 ba ba a 6 e b 6 Resposta: B Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 4

25 8.. Tem-se que xt Acost oscilador, com A 0, 0, onde A, e são, respectivamente, a amplitude, a pulsação e a fase deste e 0,. Seja T o período deste oscilador e considere-se a seguinte figura: x T T A O t T 45 9 T 6 T 9 Assim tem-se que T T 9 T. Assim, como T, vem que: T Portanto, xt Acos t, pelo que, como 9 x A, vem que: 8 x 9 8 A A 9 cos 8 A cos 0 k k, k Assim: se k 0 ; 0, se k ; 0, se k 4 ; 0, e 5 4 Resposta: C Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 5

26 9. Tem-se que: i i i i i i i i i i z cos isen e, pelo que i 5 5 i i 5 e portanto z e e z e. Assim: z 5 i i i i 4i i i 5 i5 i5 i5 i z i e i i e i e i 5 5i 5i i e i i e i5 i5 i5 i5 i5 4i 5 e e e e e sendo um argumento de 6 i, tem-se que: tg 6, com 4.º Q, pelo que. Logo, Arg z Arg 6 i Arg z Assim, o afixo de z pertence à região do plano complexo definida pela condição dada se e somente se o seu argumento for da forma k, k. Portanto: Assim: 5 k 5 k 5 k 5 k, k se k 0 ; 0, se k ; 0, se k ; 0, se k ; 0, Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 6

27 Consideremos a seguinte figura: 0, 0, 0, 0, 0 4 Tem-se que: P X 0,687 pelo que, como P X 0 4 0, 0,6, vem que: 4 4 Logo, a afirmação da opção A é verdadeira. P X P X P X 0 0 0,5 0, 0, 0% 0, Logo, a afirmação da opção B é verdadeira. P X X P X 4 X 0 P 0 X 4 0, 0, % P X 0 P 0 X P X 0, 0,5 0,8 4 Logo, a afirmação da opção C é falsa. P X X P X 0 X 4 P X 0 0, 0, 0 4 5% P X 4 P X P X 4 0, 0,5 0,8 4 Logo, a afirmação da opção D é verdadeira. Resposta: C Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 7

28 0.. Tem-se que: AB yc c AB c (distância focal), pelo que A c 6 c ABC AC BC a (eixo maior), pelo que: P AB AC BC c a a a a a c6 ABC a b c 6 b 6 9 b b 7 A equação reduzida da elipse é da forma a 6 e b x a y b 7, a equação reduzida da elipse da figura é... Tem-se que A A OABC OBC, sendo a o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor. Assim, como x y. 6 7 Resposta: D OB CD OD BD CD. OB OD BD Mas como o arco BC está centrado no ponto D vem que CD BD, pelo que: A OD BD CD OD CD CD OABC Por outro lado tem-se que Ccos,sen, com cos 0 e sen 0, pelo que OD sen e CD cos. Assim, A OD CD CD sen cos cos cos sen cos OABC g sen cos sen sencos cos cos sen Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 8

29 .. Tem-se que: cos cos cos cos sen cos g sen sencos cos sen cos k 0 sen cos 0 sen cos k, k 4 8 g Outra resolução: tem-se que: sen g 0 sen cos 0 sen cos tg cos k k k k, k Assim, como,0, vem que. 8 Recorrendo a uma tabela de variação do sinal de g, vem: 0 8 g 0 0 g máx. mín. Logo, a função g é decrescente em,0 8 e é crescente em, 8. Tem um máximo absoluto em 8 e um mínimo relativo 0 OABC é:. Portanto, o valor máximo da área do quadrilátero sen 8 g cos 8 8 i) cos cos, para, vem que: 8 i) Como cos cos cos cos cos cos Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 9

30 * Nota: tem-se que, 4 8 e sen cos sen cos 0 sen cos 0 ; tem-se que 0,0 8 sen 0 cos 0 sen 0 cos 0 0 sen 0 cos 0 0. e... Tem-se que: n n e e n n lim xn lim n e lim n e lim n lim n lim n n n e lim n Limite notável Portanto, hx hx g x xln x ln x ln x ln x lim n lim lim lim lim lim lim 0 0 x x x x x x x x x x x Limite notável. Resposta: B.. Tem-se que: para x, h é contínua por ser o quociente, a composição e a soma entre funções contínuas no seu domínio (funções polinomiais e exponenciais). para x, h é contínua por ser o produto, a composição e quociente entre funções contínuas no seu domínio (funções polinomiais e logarítmicas). para x, h é contínua se e somente se lim h x lim h x h x x. Assim: gx xln x ln 0 e h lim h x lim lim 0 x x x x x g 0 ln 0 Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 0

31 x x x x x x lim h x lim k k lim k lim e e e e ee x x x x x ii) x x 0 0 x x 4 4 k lim lim k k k k x x x e x e e e e e e lim x x x x0 Limite notável Portanto, a função h é contínua em x se e somente se k 0 k e e. A função h é contínua se e somente se k. e ii) Como 4 x x 0 x x x, vem que x x x x.. Tem-se que: g x x ln x x ln x ln x x ln x ln x ln x x ln x x ln x ln x ln x ln x g x ln x ln x ln x x x x x x x ln x g x 0 0 ln x 0 x 0 ln x x 0 x e x 0 x Recorrendo a uma tabela de variação do sinal de g, vem: x 0 e e ln x n.d. 0 x 0 x g n.d. 0 Gráfico de g n.d. n.d. O gráfico da função g tem a concavidade voltada para baixo em 0, e, tem a concavidade voltada para cima em, e e tem ponto de inflexão em x. e Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

32 Itens extra: a) Seja t a recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa e. Assim, o declive, m t, da recta t e dado por Portanto, m ge e e t ln ln, pelo que a equação reduzida da recta t é do tipo Como as coordenadas do ponto de tangência são e, g e e g e eln e e e g e. y x b., substituindo na equação reduzida da recta t, vem: e e b b e t : y x e b) Tem-se que g x ln x ln x, pelo que: g x ln x ln 8 x ln x ln x ln x ln x ln8 x ln x ln x ln8 x ln x D x : x 0 8 x 0 x 0 x : x 0 x 4 x x : x 4,4 Neste domínio, tem-se: ln x ln 8 x ln x ln x ln 8 x x ln x ln 8x 8 x x x x x x x Cálculo auxiliar: x 0x 8 0 x x x x x x Assim, como a função y x x solução da inequação x 0x é quadrática e o seu gráfico (que é uma parábola) tem a concavidade voltada para cima, o conjunto 4 é,, : y x x x Como o domínio de validade da inequação é,4, fazendo a intersecção vem: O conjunto solução da inequação é,,, 4,, 4. Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

33 . Tem-se que y x 4 y x 4 y x. Assim, como a recta de equação y x é assimptota oblíqua do gráfico de h, quando x, vem que: lim x e hx h x x lim x x Portanto, h x h x lim log log log log x h x log x h x log x x lim lim lim x hx x h x x hx x lim hx x x x x x h x log lim x x log log log Resposta: A 4. Tem-se que o gráfico da função f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa e o eixo Oy num ponto de ordenada positiva. Logo, como f é estritamente monótona, vem que: f é estritamente crescente. f 0, sendo o único zero de f, e f 0 0. Assim, vem que g x f, ou seja a equação dada é equivalente à equação g x f f 0 g x f. Portanto: a função g é contínua em pois é o produto e a composição entre funções contínuas em (funções exponenciais, polinomiais e a função f, que é contínua em ). Logo, g é contínua em 0,. Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08

34 0 g 0 e 0 f 00 a e 0 f 0a f 0a a f 0 Como 0a, vem que f 00 a a f 0 f 0. Por outro lado, a função af 0 é estritamente crescente, pelo que como 0, vem que f 0 f g 0 a f 0 f 0 f g 0 f g e f a e 0 f a f a a f 0 Como a 0, vem que a 0 a. Mas f f f 0 0 0, pelo que: g a a f f g f Portanto, como g 0 f g e como g é contínua em existe pelo menos um c 0, tal que g c f intervalo 0,., pelo que: 0,, pelo corolário do teorema de Bolzano-Cauchy, pelo que a equação dada tem pelo menos uma solução no FIM Matemática A Exame Nacional do Ensino Secundário Exame Modelo 4 Junho de 08 4