É permitido o uso de calculadora.

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1 EXAME TIPO. O ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Caderno : 75 minutos. Tolerância: 5 minutos. É permitido o uso de calculadora. Utiliza apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro e transferidor. Só é permitido o uso de calculadora no Caderno. Não é permitido o uso de corretor. Risca aquilo que pretendes que não seja classificado. Apresenta as tuas respostas de forma legível. Apresenta apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens de cada caderno encontram-se no final do respetivo caderno. Na resposta aos itens de escolha múltipla, seleciona a opção correta. Escreve, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato. Página

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3 . Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item. integra-se nos Programas de, de 0º, º e º anos, homologados em 00 e 00 (P00/00). O item. integra-se no Programa e Metas Curriculares de, homologado em 05 (PMC05). Responde apenas a um dos dois itens. Na tua folha de respostas, identifica claramente o item selecionado. P00/00. Seja o espaço de resultados associado a uma determinada experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos independentes desse espaço de resultados. Sabe-se que PA 0, e PB 0,7. Qual é o valor de PA B? (A) (B) 0,79 (C) 0, (D) 0 PMC05. Na figura ao lado, está representado o triângulo ABC, em que AB,, BC 4, e ABC ˆ 00º. Qual é o valor de AC, arredondado às décimas? (A) 5,7 (B) 5,6 (C) 4,8 (D) 4,7. Dos alunos de uma escola, sabe-se que: metade se desloca para a escola de autocarro; um quarto habita a menos de dez quilómetros da escola; metade dos que habitam a menos de dez quilómetros da escola desloca-se para a escola de autocarro. Determina a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso, não se deslocar de autocarro para a escola e não habitar a menos de dez quilómetros da escola. Apresenta o resultado em percentagem. Página

4 . A soma de todos os elementos de uma linha do triângulo de Pascal é 04. Qual é o quinto elemento da linha seguinte? (A) 0 (B) 5 (C) 0 (D) Na figura ao lado, está representado, em referencial ortonormado do espaço, o prisma reto ABCDEFGH, de bases quadradas paralelas ao plano xoy. As coordenadas dos vértices A, B e G são, respetivamente,, 0, 0,, 6, 0 e, 6,. 4.. Obtém uma equação cartesiana do plano mediador do segmento de reta AG. Apresenta essa equação na forma ax by cz d Seja r a reta de equação xyz,,,, k, 4,6 k e seja P o ponto de interseção da reta r com o plano FBC. Determina o volume da esfera com centro no ponto P e cuja superfície contém o ponto B. Apresenta o valor pedido na forma de dízima, arredondado às décimas. Em cálculos intermédios, utiliza valores exatos. 4.. Escolhem-se, aleatoriamente, dois vértices do prisma. Determina a probabilidade de esses vértices serem extremos de uma diagonal de uma face do prisma. Apresenta o valor pedido na forma de dízima, arredondado às milésimas. 5. Considera, em, conjunto dos números complexos, o número zcos isin 7 7. Qual é o valor, arredondado às décimas, de Imz? (A) 0,8 (B) 0, (C) 0, (D) 0,8 Página 4

5 hx e e x. x 6. Seja h a função, de domínio, definida por 6.. Seja a um número real positivo. Qual é o valor de ln (A) 4a (B) 6a (C) aa 6 h a? (D) aa Estuda a função h quanto à monotonia e determina, caso existam, os respetivos extremos relativos. Apresenta os valores de eventuais extremos relativos na forma 6.. Na figura seguinte, estão representados, em referencial ortonormado do plano: parte do gráfico da função h ; t as retas verticais de equações xt e x, sendo t 0 ; o trapézio ABCD, em que A e B são os pontos de interseção das retas verticais com o gráfico da função h e C e D são os pontos de interseção dessas retas com o eixo Ox. ab c. Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de t para o qual a área do trapézio ABCD é igual a 0,, sabendo-se que esse valor existe e é único. Não justifiques a validade do resultado obtido na calculadora. Na tua resposta: - mostra que a área do trapézio ABCD é dada, em função de t, por t t t ee ; - equaciona o problema; - reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que te permite(m) resolver a equação; - apresenta o valor de t arredondado às centésimas. Página 5

6 FIM DO CADERNO Item Subtotal Cotação Página 6

7 EXAME TIPO. O ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Caderno : 75 minutos. Tolerância: 5 minutos. Não é permitido o uso de calculadora. Página 7

8 7. Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 7. integra-se nos Programas de, de 0º, º e º anos, homologados em 00 e 00 (P00/00). O item 7. integra-se no Programa e Metas Curriculares de, homologado em 05 (PMC05). Responde apenas a um dos dois itens. Na tua folha de respostas, identifica claramente o item selecionado. P00/00 7. Considera, relativamente a um referencial ortonormado Oxyz, a reta r e o plano definidos como se segue: r : x y z 4 e : xyz Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A reta r é estritamente paralela ao plano. (B) A reta r é concorrente e oblíqua ao plano. (C) A reta r é perpendicular ao plano. (D) A reta r está contida no plano. PMC05 7. Qual é o valor de n n lim n? (A) e (B) (C) e (D) 8. Em, conjunto dos números complexos, considera os números complexos z e w tais que: z i (com ) e wcos tisin t 5 5 (com 0,0 t ) Determina para que valores de t o afixo de zw pertence ao º quadrante. Página 8

9 9. Seja f a função, de domínio,, definida por fx x cos x se x 0 sin 0 sex0 x e sex 0 ln x 9. Averigua se a função f é contínua em x Estuda a função f quanto à existência de assíntotas não verticais ao seu gráfico. Em caso de existência, escreve, para cada assíntota, uma equação que a defina. 9. Seja g a função, de domínio,, definida por gx x Qual é o valor de g f? 4. (A) (B) (C) (D) 4 0. Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 0. integra-se nos Programas de, de 0.º,.º e.º anos, homologados em 00 e 00 (P00/00). O item 0. integra-se no Programa e Metas Curriculares de, homologado em 05 (PMC05). Responde apenas a um dos dois itens. Na tua folha de respostas, identifica claramente o item selecionado. P00/00 0. Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição normal de valor médio 0. Admite que PX 0,6. Qual é o valor de P8 X? (A) 0, (B) 0,4 (C) 0,687 (D) 0,9545 Página 9

10 PMC05 0. Um ponto oscila, ao longo de uma reta numérica, com movimento harmónico simples dado pelo seguinte modelo: em que xt 7cos4t 4 xt é a abcissa do ponto em cada instante 0, t (em segundos). Qual é o número de oscilações por segundo, ou seja, a frequência, deste oscilador harmónico? (A) (B) (C) 4 (D) 4. Sejam f uma função, de domínio, duas vezes diferenciável, g a função polinomial definida por gx hx fx gx. Sabe-se que: x e h a função, de domínio, definida por ; a função f tem um extremo relativo em xk k e fk 0 o gráfico da função h tem um ponto de inflexão de abcissa k. Determina o valor de k.. A soma dos seis primeiros termos de uma progressão geométrica de razão é G G 0. Qual é o terceiro termo dessa progressão? (A) 4G (B) 8 G (C) 4G 6 (D) 8 G 6 Página 0

11 . Seja f a função, de domínio, definida por fx sin x. Sabe-se que lim xc fx fc fx fc, em que c,. Determina o valor de c. FIM Item Subtotal Cotação Total (Caderno + Caderno ): 00 pontos Página

12 PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO: Exame tipo. O ano de escolaridade. PA BPA PB PA B Sendo A e B dois acontecimentos independentes, tem-se PA BPA PB. Assim, tem-se: PAB PA PB PA PB 0, 0,7 0, 0,7 0,79 Opção correta: (B). Aplicando o teorema de Carnot, tem-se: AC AB BC ABBC cosabc ˆ AC, 4,,4, cos00º AC, 4,,4, cos00º AC 5, 6 Opção correta: (B). Consideremos os seguintes acontecimentos e as respetivas probabilidades: A - aluno da escola que se desloca de autocarro B - aluno da escola que habita a menos de dez quilómetros da escola 4 PAB PA, PB e A probabilidade pedida é dada por PA B e tem-se: PAB PAB PAB PA PB PAB PA PB PAB PB Substituindo os valores dados, obtém-se: PA PB PAB PB PAB Assim, a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso, não se deslocar de autocarro para a escola e não habitar a menos de dez quilómetros da escola é 7,5%. Página 9 Propostas de resolução -

13 . A soma de todos os elementos da linha de ordem n do triângulo de Pascal é n. n Como 04 nlog 04 n 0, trata-se da linha de ordem 0. O quinto elemento da linha seguinte é C4 0. Opção correta: (C) 4. Sejam,, Pxyz um ponto genérico do plano mediador do segmento de reta AG e 06 0 M o ponto médio de AG. As coordenadas de M são,,, ou seja, 0,,6. Os vetores AG e MP são perpendiculares, logo AG MP 0. AG G A tem coordenadas 6, 6,. MP P M tem coordenadas xy,, z 6. AG MP 0 6, 6, x, y, z 6 0 6x 6y 8 z 7 0 xy z As coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano FBC ficam determinadas pela conjunção das condições que definem estes conjuntos de pontos. O plano FBC define-se por y 6. xyz,,,,k,4,6 x,6, z,,k,4,6 y 6 y 6 xk xk x5 6 4k k k z 6k z 6k z 8 y 6 y 6 y 6 O centro da superfície esférica é P 5,6,8. O raio da superfície esférica é igual a PB. PB O volume da esfera com centro no ponto P e cuja superfície contém o ponto B é 4 igual a 68, cujo valor arredondado às décimas é 48,8. Página 9 Propostas de resolução -

14 4. O número de casos possíveis para a escolha de dois vértices do prisma é dado por 8 C. Os casos favoráveis a esses vértices serem extremos de uma diagonal de uma face do prisma é igual ao número total de diagonais das faces do prisma, ou seja, 6. 6 A probabilidade pedida é dada por 8, cujo valor arredondado às milésimas é C 0,49. i 7 5. z cos isin e 7 7 i 7 ze i 7 ze Im z sin 0,8 7 Opção correta: (A) a a lna 6. h ln a e e ae a 8a Opção correta: (D) ln ln 6. hx e e x e x e 0 x x 0 x x 0 x 0 x 0 hx e e e e e e x e x ln xln xln x ln h 0 h Máx. Rel. Página 9 Propostas de resolução -

15 h é crescente em h é decrescente em,ln. ln,. ln ln ln h ln e e e é o máximo relativo de h (também absoluto). 6. Os comprimentos das bases do trapézio ABCD são dados por t t ht e e t t t t t h e e e e A altura do trapézio ABCD é dado por t t t t t t 0 A área de ABCD é dada, em função de t, por t t t t t eeee t t t ee. O problema pode ser resolvido através da determinação da solução da equação t ee t t 0,, no intervalo, 0. Página 4 9 Propostas de resolução -

16 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, obtém-se: O valor de t para o qual a área do trapézio ABCD é igual a 0, é aproximadamente 0, Um vetor diretor da reta r tem coordenadas 4,,. Um vetor normal ao plano tem coordenadas,,. O produto escalar destes vetores é nulo 4 0, pelo que são perpendiculares; assim, a reta r é (estritamente) paralela ao plano ou está contida nesse plano. O ponto de coordendas,, pertence à reta, mas não pertence ao plano, logo a reta r é estritamente paralela ao plano. Opção correta: (A) 7. n n e n lim lim n n e Opção correta: (A) 8. Sendo i, tem-se z i i e ; logo, o afixo de zw é a imagem do afixo de w pela rotação de centro na origem e amplitude, composta com a homotetia de centro na origem e razão. Assim, para que o afixo de zw pertença ao º quadrante, o afixo de w tem de pertencer ao º quadrante, ou seja, k t k k. 5 Página 5 9 Propostas de resolução -

17 5 k t k 0k t 50k k 5 Como t 0,0 Por outro processo:, resulta 5 t 5. i z e, 5 it we e i t 5 zw e. Para que o afixo de zw pertença ao º quadrante, tem-se: k t k k k t k k kt kk Como t 0,0, resulta 5 t A função f é contínua em x 0 se tiver limite nesse ponto, ou seja, se: fx f lim fx lim 0 x 0 x 0 0 cos x 0 cos xsin x sin x cos x lim fx lim lim lim sin x sinxcosx sinxcosx x 0 x 0 x 0 x 0 sin x sinx 0 lim lim 0 x 0 sinxcosx x 0 cosx x 0 e x 0 x e lim lim lim x e x fx lim lim * ln x ln x x ln x x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Cálculos auxiliares: x y e e lim lim x y x 0 y x y 0 x 0 y 0 y 0 x e y xe y y x e e lim lim lim ln x ylnx y y y Página 6 9 Propostas de resolução -

18 x e x * lim lim x 0 x x 0 lnx Como lim fx lim fx x 0 x 0 é contínua nesse ponto., a função f não tem limite em x 0 e, portanto, não 9. O gráfico da função f apenas pode ter uma assíntota não vertical, já que o seu domínio é apenas ilimitado à direita. Verifiquemos se, a existir, se trata de uma assíntota horizontal. x e 0 lim fx lim 0 x ln x x Conclui-se que o gráfico da função f tem uma assíntota horizontal de equação y g f g f 4 4 cos 0 f 4 sin ygx yx yx x y gx x x, 4 4 g f g f g (Em alternativa, pode ser resolvida a equação Opção correta: (C) gx, em,.) Página 7 9 Propostas de resolução -

19 0. Se PX 0,6, então PX 0,4 e, também, PX 8 0,4 (tendo em conta que X é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal de valor médio 0). Assim, tem-se: P 8 X PX PX 8 0, 4 0, Opção correta: (A) 0. O período deste oscilador harmónico é por f, é. T Opção correta: (B) T ; logo, a frequência, sendo dada 4. Como f tem um extremo relativo em xk e admite derivada no seu domínio, temse fk 0. Como o gráfico da função h tem um ponto de inflexão de abcissa k e é duas vezes diferenciável em (produto de duas funções duas vezes diferenciável em ), tem-se hk 0. Sabe-se ainda que fk 0. Determinemos a segunda derivada de h : x fx hx fx gx fx gx fx gx fx hx fx x fx fx x fx fx x 4fx fx A conjugação destas informações, permite-nos obter o valor de k : hk 0 fk k 4fk 0 fk k 40 0 Página 8 9 Propostas de resolução -

20 Como fk 0, obtém-se: fk k0 k 0 k. A soma dos seis primeiros termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo u e razão, é dada por Assim, tem-se: 6 u G u G u G u. 6 O terceiro termo da progressão é dado por Opção correta: (C) uu G 4G lim xc fx fc fx fc fx fc lim lim xc xc xc fc fx fc xc fx fc fx fc fc lim xc xc xc sin cos fx x x cos 4sin fx x x c fc cos tan c fc 4sin c tan c Como c,, tem-se c, e: tan c c c c 6 6 FIM Página 9 9 Propostas de resolução -