Capítulo Gradiente e hessiana

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1 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Capítulo - Gradiente e hessiana - Nova notação 4 - O gradiente e as curvas de nível - Gradiente e hessiana 5 - Interpretação econômica do gradiente - Significado do gradiente Vimos nos últimos dois capítulos como calcular derivadas de primeira e de segunda ordens de ordens superiores, também de funções de duas ou mais variáveis reais Veremos agora como organizar essas derivadas, em termos do vetor gradiente e da matriz hessiana, de um modo que será útil na maimização ou minimização dessas funções Veremos também o significado do vetor gradiente - Nova notação Quando tratamos da derivada de funções de uma variável real, eistem dois tipos de notação, usadas de df acordo com a comodidade e da preferência da pessoa que as usa: a notação de Leibniz,, e a notação de d Newton, f A primeira enfatiza o fato da derivada ser um limite de uma taa de variação e a segunda ressalta o fato da derivada ser uma função Até o momento, temos usado uma notação mais ao estilo de Leibniz f para derivadas parciais: Veremos agora uma notação mais ao estilo de Newton i Primeiro, não podemos utilizar a notação f, pois temos que especificar com relação a qual variável estamos derivando A solução é escrever f f e f f Note que a notação utiliza um como subscrito letra menor, colocada um pouco abaio da base da letra f para designar a derivada parcial com relação a e um subscrito para designar a derivada com relação a Eemplo : calcule as derivadas parciais da função f, Solução: escrevendo f, /, calculamos f / e f / Essa notação também é facilmente generalizada para o caso de funções com mais de duas variáveis, como no eemplo a seguir Eemplo : calcule as derivadas parciais da função f,,z ln z Solução: as derivadas parciais ficam f ln ln z, f z e f z z A notação para derivadas parciais de segunda ordem é dada a seguir: f f f, f f f, f f f, f f f

2 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Eemplo : calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f, Solução: utilizando as derivadas parciais calculadas no eemplo escritas sob a forma de potências: f / e f /, temos f / + f f f / / / 9 4 /, / /, / / / A notação para as derivadas parciais de funções de mais de duas variáveis, ou a notação de derivadas parciais de ordens superiores a dois, pode ser facilmente deduzida a partir daí - Gradiente e hessiana Agora introduziremos dois conceitos que nos serão úteis quando formos trabalhar em otimização: os de gradiente e hessiana O gradiente de uma função de duas variáveis reais é um vetor matriz definido como f, f f, e a hessiana é a matriz f f Hf f f Eemplo : calcule o gradiente e a hessiana da função f, + Solução: o gradiente e a hessiana ficam f f, + f, Hf f f f f Esses dois conceitos podem ser generalizados para funções de n variáveis reais, como veremos a seguir para n f,,z f f f z, Hf f f f z f f f z f z f z f zz Eemplo : calcule o gradiente e a hessiana da função f, lnz Solução: temos f,, z f f f z lnz / /z, Hf f f f z f f f z f z f z f zz / /z / / /z /z O gradiente e a hessiana podem ser calculados em pontos específicos, como mostra o eemplo a seguir

3 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Eemplo : calcule o gradiente e a hessiana da função f, + em,, Solução: dados o gradiente e a hessiana calculados no eemplo, temos f, +, Hf Podemos nos perguntar, com toda a razão, quais são os significados do gradiente e da hessiana A resposta para o gradiente é dada a seguir Para a hessiana, teremos que esperar mais um pouco - Significado do gradiente O gradiente tem uma característica muito importante, que será mostrada nos eemplos a seguir Eemplo : calcule o gradiente de f, + em,,,,,,,, e,, e desenhe esses vetores sobre as curvas de nível da função Solução: o gradiente de f, + fica f, f f Calculado nos pontos desejados, temos f,, f,, f,, f, Note que cada gradiente é um vetor, onde a primeira linha é a sua primeira componente e a segunda linha é a sua segunda componente Por eemplo, f, é um vetor que, a partir do ponto,, se desloca duas unidades à direita; o vetor f, se desloca duas unidades para cima a partir do ponto, A seguir, representamos cada um desses vetores sobre as curvas de nível da função A função em três dimensões um parabolóide, com os vetores gradientes, é mostrada na última figura a seguir z

4 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 4 Note que os vetores gradiente sempre idicam a direção onde a função aumenta mais rapidamente e que, no ponto onde a função é mínima, o vetor gradiente se anula Vamos verificar esse comportamento em uma outra função Eemplo : calcule o gradiente de f, em,,,,,,,, e,, e desenhe esses vetores sobre as curvas de nível da função Solução: o gradiente de f, fica f + + f, f + + Calculado nos pontos desejados, temos f,, f,, f,, f, A seguir, representamos cada um desses vetores sobre as curvas de nível da função A função em três dimensões um parabolóide elíptico, com os vetores gradientes é mostrada na última figura a seguir z Como no eemplo, os vetores gradiente seguem sempre a direção para onde a função cresce mais rapidamente a partir do ponto dado Outra característica é que o vetor gradiente em um determinado ponto sempre segue uma reta perpendicular à curva de nível naquele ponto Um eemplo pode facilitar a compreensão da utilidade do gradiente: consideremos um aplpinista míope que quer subri uma montanha Ele só energa claramente até dois metros de distância e não tem como energar mais longe que isso Como ele fará para subir a montanha? Uma resposta é que ele pode, dentro de seu campo de visão, identificar para onde o terreno tem um maior aclive sobe mais rapidamente e subir um pouco naquela direção e sentido Depois, ele pára e verifica novamente o terreno em torno de onde ele está Segue novamente a direção para onde o terreno for mai íngreme e repete o processo até que o terreno não tenha mais para onde subir Essa tática pode ou não funcionar, pois o alpinista, caso não se defronte com algum abismo pelo caminho, pode acabar chegando a um pico máimo local, achando que já chegou ao poco da montanha, quando ainda

5 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 5 está bem longe dela A figura a seguir ilustra dois caminhos obtidos usando o gradiente como guia: no primeiro caminho em vermelho, chega-se ao topo do maior dos dois picos; no segundo azul, chega-se apenas a um máimo local Concluindo esta seção, o gradiente é um vetor que dá a direção de maior crescimento da função a partir de um determinado ponto Isto será muito útil na maimização ou minimização de uma função a Leitura Complementar 5 traz um método numérico utilizando o gradiente para determinar máimos e mínimos de funções de diversas variáveis A hessiana servirá mais tarde para verificar se um determinado ponto crítico é um máimo, um mínimo ou um ponto de infleão ponto se sela A demonstração disto necessita do conceito de derivada direcional e será feita em uma leitura complementar do Módulo deste curso 4 - O gradiente e as curvas de nível Algo que pode ser notado nas figuras dos eemplos da seção anterior é que o vetor gradiente é sempre perpendicular à curva de nível da qual ele parte Isto será provado agora, utilizando a regra da cadeia, aprendida no Capítulo 8 A regra da cadeia para uma função f,, ou seja, uma função f : Df R R, onde t e t, é dada por df f t dt,d dt t + f,d dt t Se considerarmos uma curva que seja a imagem de uma função vetorial γ t, t, podemos escrever f γt d e γ d t t, dt dt t, de modo que a mesma epressão para a regra da cadeia possa ser escrita df dt γt f γt,γ t, isto porque f γt,γ t, o produto interno do gradiente pela derivada da função vetorial γt, é dado por f γt,γ t f f d,,, d, t, dt dt t f,d f t + dt,d dt t Consideremos agora uma curva de nível da função f,, que pode ser dada pela equação f, f γt c, onde c é uma constante Se derivarmos ambos os lados dessa epressão com relação a t, obtemos f γt c df dt γt Substituindo agora a derivada da esquerda pela epressão compacta da regra da cadeia, ficamos com f γt,γ t,

6 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 6 de modo que f γt é perpendicular ao vetor γ t Na figura ao lado, fazemos o gráfico de uma curva de nível e de um vetor γ t, que é sempre tangente a essa curva de nível de acordo com o Capítulo 6 Se o gradiente é perpendicular a γ t, então ele será perpendicular à curva de nível no ponto t, que é o que queríamos demonstrar Esse resultado é, na verdade, bem geral, e pode ser aplicado às superfícies de nível de funções de três variáveis reais ou às hipersuperfícies de nível de funções de mias de três variáveis O vetor gradiente será sempre perpendicular a essas superfícies ou hipersuperfícies de nível γ t γt f t, t A demonstração de que o gradiente é o vetor que indica a direção e o sentido de maior crescimento de uma função necessita do conceito de derivada direcional e não serrá feita no teto principal deste capítulo Essa demonstração é feita na Leitura Complementar Um método numérico de busca pelo máimo ou mínimo local de uma função utilizando o gradiente é eplicado na Leitura Complementar A seção a seguir mostra um significado econômico para o gradiente 5 - Interpretação econômica do gradiente O vetor gradiente pode ser aplicado em áreas econômicas e administrativas indicando que atitudes tomar quando se quer aumentar o valor de uma função como a produção, a utilidade ou o lucro em diminuí-la como na diminuição de custos Mais especificamente, no caso de uma função de produção PK,L em termos do capital K investido e do trabalho L, o gradiente pode nos dar a proproção em que novos investimentos devem ser feitos em cada uma dessas áreas, como mostra o eemplo a seguir Eemplo : um industrial tem que decidir onde investir R$ e estima que a produção de sua empresa possa ser modelada pela função PK,L,K,5 L,75, onde o capital investido K e o trabalho L são medidos em milhões de reais No momento, o capital investido é de 7 milhões de reais e o gasto em trabalho é de 6 milhões de reais Determine o quanto do dinheiro tem que ser usado em cada uma dessas áreas de modo a maimizar a produção da empresa Solução: o vetor gradiente, calculado a partir do ponto 7, 6, correspondente ao nível atual de investimento 7 milhões em capital e 6 milhões em trabalho determina a direção de maior crescimento da produção Portanto, podemos começar calculando o gradiente da função nesse ponto: PK, L, 75K,75 L,75, 85K,5 L,5 P7, 6, 75 7,75 6,75, 85 7,5 6,5, 45, 857, 45 Portanto, de modo a aumentar a produção ao máimo, deve-se usar uma proporção de entre o capital e, 857 o trabalho Escrevendo o dinheiro disponível em termos de milhões de reais, isto significa que deve-se investir I K, 45, 45 +, 857,,, I, 857 L,, 78,, 45 +, 857 isto é, deve-se investir R$ em capital e deve-se gastar R$ 78 em trabalho

7 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 7 Eemplo : considere que o industrial do eemplo anterior tenha investido R$ em capital e tenha gasto R$ 78 em trabalho Agora ele tem mais R$ para investir Onde esse dinheiro deve ser investido? Solução: no momento, temos K 7 +, 7, e L 6 +, 78 6, 78, medidos em milhões de reais O vetor gradiente já foi calculado no eemplo anterior, de modo que só temos que calculá-lo para K 7, e L 6, 78: PK, L, 75K,75 L,75, 85K,5 L,5 P7,, 6, 78 Para aumentar a produção ao máimo, deve-se usar uma proporção de significa que deve-se investir I K, 75 7,,75 6, 78,75, 85 7,,5 6, 78,5, 6, 6 +, 88,, 4, I, 88 L,, 76,, 6 +, 88 isto é, deve-se investir R$ 4 em capital e deve-se gastar R$ 76 em trabalho, 6, 88, 6 entre o capital e o trabalho Isto, 88 Note que as proproções de quanto deve ser investido em capital ou trabalho mudam de acordo com o nível prévio de investimento No segundo eemplo, o investimento em trabalho não foi tão grande quanto no primeiro Isto porque, de acordo com a função de produção escolhida, investimentos em capital e trabalho trazem resultados cada vez menores em termos de produção conforme estes aumentam a patamares cada vez maiores Terminamos esta eposição por aqui Mais algumas aplicações do gradiente podem ser vistas na leitura complementar deste capítulo e nos eercícios Aplicações para a matriz hessian serão vistas mais tarde Resumo Gradiente: o gradiente de uma função f, é o vetor f f, f O vetor gradiente, quando calculado em um ponto, dá a direção de maior variação da função naquele ponto e é perpendicular à curva de nível no mesmo ponto Hessiana: a hessiana de uma função f, é a matriz f f Hf f Significado do gradiente: o gradiente dá, a cada ponto do domínio de uma função, a direção de maior crescimento da função a partir daquele ponto Além disso, ele é sempre perpendicular à curva de nível no ponto onde é calculado Todas as definições podem ser generalizadas para funções de n variáveis reais f

8 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 8 Leitura Complementar - Derivada direcional e o vetor gradiente Como já vimos antes, o gradiente dá as derivadas de uma função f com relação a suas variáveis Mais especificamente para uma f,, ele fornece as derivadas parciais dessa função com relação às variáveis e Como as derivadas parciais representam uma aproimação das taas de variação da função com relação a suas variáveis, podemos escrever f, f f f/ f/ [f +, f,] / [f, + f,] / Isto significa que o gradiente dá, aproimadamente, a variação da função f, em duas direções diferentes: uma com relação ao eio e a outra com relação ao eio Mas e se quisermos saber como a função varia com relação a alguma outra direção? Como podemos medir tal variação? Voltemos, agora, ao eemplo prático de uma função de produção de Cobb-Douglas: PK,L AK α L α Podemos calcular, usando derivadas parciais, boas aproimações para a produtividade marginal do capital, dada pela taa de variação de P com relação a K, e para a produtividade marginal do trabalho, dada pela taa de variação de P com relação a L, respectivamente dadas por P K PK + K,L PK,L K P K e P L PK,L + L PK,L L P L E se quisermos agora calcular a variação da produção quando fazemos uma variação K no capital investido e uma variação L no gasto com o trabalho? Podemos escrever essa variação como P PK + K,L + L PK,L O problema de como aproimar essa variação por meio de derivadas parciais é semelhante ao problema de determinar a variação de uma função em uma determinada direção A solução para isso é definir uma derivada direcional a A derivada direcional A definição de uma derivada direcional é dada a seguir Definição - Dada uma função f,, n, a sua derivada direcional com relação a uma direção u dada pelo vetor u é definida como u quando esse limite eistir D u f, lim h f + hu, + hu f, h,

9 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 9 Eemplo : calcule a derivada direcional de f, na direção u Solução: pela definição, temos f + hu, + hu f, D f, lim h h + h + h + h h lim h h + 4h + 4h h h h h + 4 lim h h h + h h + 8h lim lim + h h h h Uma forma mais simples de se calcular uma derivada direcional é dada pelo teorema a seguir Teorema 5 - Dada uma função f, diferenciável em e em e um vetor u u u, então D u f, f,u + f,u f + hu Demonstração:, + hu f, considere a derivada direcional D u f, lim Se definirmos a h h função g f + hu, + hu, então teremos g gh g f + hu, + hu f, lim lim D u, h h h h Escrevendo agora + hu e ȳ + hu, temos gh f, ȳ e, pela regra da cadeia, Para h, teremos, ȳ e g h dg dh f, ȳ d dh + f ȳ, ȳ dȳ dh f u + fȳu g f, u + f, u Comparando agora as duas epressões para g, concluímos que D u, f, u + f, u Eemplo : calcule a derivada direcional de f, na direção u Solução: pelo teorema, temos D f, f u + f u Eemplo : calcule a derivada direcional de f, ln na direção u Solução: pelo teorema, temos D f, f u + f u + O eemplo a seguir mostra os cálculos das derivadas direcionais de uma função a partir de um ponto ao longo de três vetores distintos

10 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Eemplo 4: calcule a derivada direcional de f, no ponto, ao longo dos vetores u, v e w Solução: primeiro, calculamos f e f : f 4 + e f + + Calculadas no ponto,, temos f, e f, Agora, fica fácil calcular as derivadas direcionais pedidas: D u f, 4 + 4, D v, 4 + 4, D w, b Derivada direcional e o vetor gradiente O conceito de derivada direcional serve, ainda, para provar que o vetor gradiente indica a direção de maior crescimento de uma função A demonstração parte do fato de que, usando o vetor gradiente, podemos definir a derivada direcional de forma matricial: D u f u u f f No entanto, a demonstração envolve o conceito de produto escalar entre vetores, que é aprendido em cursos de álgebra vetorial e será visto aqui de modo pragmático Podemos definir o produto escalar entre dois vetores u e v, escrito u v, de duas formas distintas: u v tr v t u, onde v t é a transposta do vetor v e v é o traço soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz, ou u v u v cos θ, onde u e v são os módulos dos vetores u e v, respectivamente, e θ é o ângulo entre esses dois vetores Cada uma dessas definições é útil, dependendo da forma como os dados do problema são fornecidos, como mostram os dois eemplos a seguir Eemplo : calcule u v, onde u Solução: u v trv t u tr 4 4 e v tr Eemplo : calcule u v, onde u, v e o ângulo entre eles é θ 6 o Solução: u v u v cosθ cos6 o 6 De acordo com a primeira definição de produto escalar, podemos escrever a definição da derivada direcional como D u f f u u tr f u, f onde f f u e u Alternativamente, poderíamos escrever essa mesma definição do seguinte modo: f u D u f f u cos θ, onde θ é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor u Da segunda definição, podemos ver que a derivada direcional é maior quando cos θ é maior O valor máimo que cos θ pode ter é, o que ocorre quando θ o Portanto, o vetor gradiente e o vetor u devem ter a mesma direção e sentido se quisermos maimizar a derivada direcional D u f Daí, conclui-se que a direção e o sentido

11 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana de maior valor da derivada direcional D u f, que é a direção e o sentido de maior crescimento da função f, é ao longo do gradiente Teorema 6 - Dada uma função f, diferenciável em e em e um vetor u D u f, é máima se u f, u u, então Eemplo : determine a direção de maior crescimento da função f, ln no ponto, Solução: a direção de maior cresciment é dada pelo vetor gradiente nesse ponto, isto é, f ln f,, de modo que f, ln f / / 6

12 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Leitura Complementar - Método de busca por gradiente Veremos agora um método bastante eficiente para encontrar máimos e mínimos de funções envolvendo mais de uma variável real Esse método é baseado no fato do gradiente sempre apontar a direção e o sentido de maior crescimento de uma função a cada ponto do domínio desta Faremos esse estudo por meio de alguns eemplos A teoria será eposta conforme a necessidade de cada eemplo Problema : Mínimo de uma parabolóide Comecemos com um problema bem simples, que é determinar o ponto mínimo do parabolóide dado pela função f, + partindo do ponto, O método de busca por gradiente segue o seguinte algoritmo: Calcula-se o gradiente f, Escolhe-se um ponto inicial pertencente ao domínio da função A partir desse ponto, calculamos o próimo ponto, dado por + λ f, onde o vetor gradiente dá a direção de maior variação da função e λ é um parâmetro que indica o sentido a ser seguido e o módulo da variação a ser feita Determina-se o valor de λ que maimiza ou minimiza a função objetivo, dependendo do problema ser um de maimização ou de minimização Calcula-se usando o valor de λ determinado anteriormente Se < ǫ, onde ǫ é um parâmetro dado pelo problema que indica qual o grau de precisão desejado, então o problema termina por aí Senão, repete-se todo o processo Apliquemos esse procedimento ao problema em questão Primeiro, calculamos o gradiente da função f, : f f, O ponto inicial já foi escolhido pelo problema: f f Calculando o gradiente, temos Determinamos então um novo ponto : + λ f + λ + λ + λ Substituindo esse ponto na função objetivo, temos f + λ + + λ + 4λ + λ + + 4λ + λ + 8λ + 8λ Note que a função só depende agora do parâmetro λ, de modo que podemos escrevê-la como fλ + 8λ + 8λ

13 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Essa função tem um ponto crítico quando f λ 8 + 6λ 6λ 8 λ Para determinamos se esse ponto crítico é um mínimo da função, calculamos a segunda derivada desta: f 6 Como esse valor é positivo, a concavidade da função é sempre para cima e λ Substituindo o valor de λ encontrado, temos + + é um ponto de mínimo O gradiente de fica, então, f O fato do vetor gradiente ser nulo indica que atingimos a solução ótima Se quiséssemos calcular um novo ponto, teríamos + λ f + λ Portanto, não há mais como melhorar a solução e o ponto que minimiza a função é Problema : Função eponencial Vamos usar o método de busca por gradiente para maimizar a função f, e +4 Começamos calculando o gradiente da função f,: As derivadas parciais são dadas por f, f f f e +4 [ + 4] 4 + 4e +4, f e +4 4 e +4, de modo que o gradiente fica 4 + 4e +4 f, 4 e +4 Escolhamos o ponto inicial como sendo: Calculando o gradiente, temos 4 + 4e +4 f 96e 6 4 e +4 Determinamos então um novo ponto : + λ f 96e 6 + λ 96e 6 λ

14 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 4 Substituindo esse ponto na função objetivo, temos f e 96 e 6 λ+4 e 96 e 6 λ+4 A função agora só dependedo parâmetro λ, de modo que podemos escrevê-la como Derivando a função com relação a λ, temos fλ e 96 e 6 λ+4 f λ e 96 e 6 λ+4 [ 96e 6 λ e 6] 4e 6 96e 6 λ + 4e 96 e 6 λ+4 Essa função tem um ponto crítico quando f λ 4e 6 96e 6 λ + 4e 96 e 6 λ+4 96e 6 λ e 6 λ 4 λ 4 e6 Para determinamos se esse ponto crítico é um mínimo da função, calculamos a segunda derivada desta: f 4e 6 96e 6 e 96 e 6 λ+4 + 4e 6 96e 6 λ + 4e 96 e 6 λ+4 [ 96e 6 λ e 6] 84e e 96 e 6 λ e 96e 6 λ + 4 e 96 e 6 λ+4 Substituindo o valor de λ encontrado, temos e f 6 84e e 96 e 6 e e 6 e6 96e e 96 e 6 e e e e e e e e e 84e Como esse valor é negativo, a concavidade da função nesse ponto é para baio e λ e6 4 é um ponto de máimo Substituindo o valor de λ encontrado, temos 96e 6 e Calculando o gradiente para esse ponto, temos e 4+4 f 4 e 4+4 Como o gradiente é nulo, corresponde ao máimo da função f, Problema 4: Localização de um armazém Vamos, agora, resolver um problema mais prático envolvendo a minimização de uma função Um novo armazém de uma indústria de pesticidas deve ser instalado na região que compreende as cidades de Besourinhos, Formigas e Cupinzal A cidade de Besourinhos tem 4 habitantes; a cidade de Formigas, localizada km a leste de Besourinhos, tem uma população de 5; a cidade de Cupinzal tem 4 habitantes e fica a km a leste de Besourinhos e a km ao norte dessa cidade a Formule um problema de pesquisa operacional que minimize as distâncias do novo armazém às três cidades que serão servidas por ele b Resolva esse problema usando busca por gradiente c Modifique o problema anterior de modo que a função-objetivo seja proporcional à população de cada cidade

15 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 5 d Resolva o problema modificado usando busca por gradiente Solução: a O problema consiste em determinar onde deve ser construído um armazém que sirva às três cidades indicadas de modo a minimizar a distância deste às cidades Podemos localizar as cidades em um eio cartesiano de coordenadas estabelecendo Besourinhos na origem,, a cidade formigas no ponto, e a cidade de Cupinzal em, No gráfico indicamos coordenadas arbitrárias para a localização do armazém que deverão ser determinadas pelo problema C, B F As variáveis de decisão do problema são, coordenadas do armazém A função-objetivo é minimizar a soma das distâncias do armazém aos três centros urbanos As distâncias do armazém até Besourinhos, Formigas e Cupinzal são dadas, respectivamente, por Portanto, o problema fica d B + +, d F + +, d C + min d, O problema não tem restrições, pois as variáveis e podem assumir quaisquer valores reais b Para resolver o problema por meio de busca por gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais d e d da função-objetivo: d d + / + [ + ] / + + [ + ] / + / + [ + ] / [ + + ] /, d d + / + [ + ] / [ + + ] / + / + [ + ] / + [ + ] / O gradiente fica d, d d onde d e d são dados pelas equações anteriores Para iniciarmos a busca, escolheremos um ponto inicial apropriado Quanto mais próimo do ponto ótimo estiver esse ponto inicial, melhores serão as chances da busca terminar logo Observando o gráfico que mostra as posições das cidades, vemos que elas são simétricas com relação a Portanto, podemos partir, por eemplo, do ponto Calculando o gradiente, temos d,

16 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 6 Determinamos então um novo ponto : + λ d Substituindo esse ponto na função objetivo, temos + λ λ d + λ + + λ + + λ + λ + + λ + λ + + λ + λ + dλ A presença do módulo mostra que, à direita ou à esquerda do ponto λ + λ, podemos escrever essa função como { + λ dλ λ, λ < ; + λ + λ +, λ Para λ < a derivada dessa função fica Para λ >, temos d λ + λ / λ λ + λ / d λ + λ / λ + λ + λ / + Note que a derivada não é definida em λ Essa função tem pontos críticos quando d λ ou quando d λ não eiste Portanto, ela tem um ponto crítico em λ, que é onde ela não é definida Para λ <, temos d λ λ + λ / λ + λ / λ + λ / 4λ + λ 4λ + λ λ λ λ ± Só que tanto λ quanto λ são maiores que, o que indica que para λ < não há pontos críticos Para λ >, d λ λ + λ / + λ + λ / λ + λ / 4λ + λ 4λ + λ λ λ λ ± No entanto, d, d, o que mostra que λ não é um ponto crítico Portanto, os pontos críticos da função d, são dados por λ e λ Para determinamos se algum desses pontos críticos são um mínimo da função, calculamos a segunda derivada desta Para λ >, que é o único caso fora λ onde ocorrem pontos críticos, temos d λ + λ / + + λ / λ + λ / λ + λ / Substituindo λ, temos d,4 Portanto, λ é um ponto de mínimo Resta ainda analisar o ponto λ, que não pode ser analisado usando derivadas Tomando valores próimos a ele, vemos que d, 8,56 e d 9,9 8,4 Já que d 8,84, este não é um

17 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 7 ponto de mínimo nem de máimo da função, mas apenas uma cúspide Concluímos, então, que λ é o único ponto de mínimo da função dλ Para que visualizemos melhor a situação, segue um gráfico da função dλ dλ λ Substituindo o valor de λ encontrado, temos O gradiente de fica, então, d O fato do vetor gradiente ser nulo indica que atingimos a solução ótima Portanto, não há mais como melhorar a solução e o ponto que minimiza a função é 5,774 O valor mínimo da função-objetivo é d 7, A seguir, fazemos uma descrição gráfica dos passos feitos pelo problema: C B F c O problema agora consiste em determinar onde deve ser construído um armazém que sirva às três cidades indicadas de forma proporcional às suas populações Podemos fazer isto dando um peso a cada distância

18 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 8 da função-objetivo que seja proprocional à população de cada cidade Usando como variáveis de decisão do problema, coordenadas do armazém, temos, então, min d, d O gradiente é dado por onde d, d d d d 4 + / + 5 [ + ] / + +4 [ + ] / 4 + / + 5 [ + ] / [ ] /, d d 4 + / + 5 [ + ] / + +4 [ + ] / 4 + / + 5 [ + ] / + 4 [ + ] / Para iniciarmos a busca, escolheremos um ponto inicial apropriado Partiremos novamente do ponto inicial Calculando o gradiente, temos d 5 4, Determinamos então um novo ponto : + λ d 5 + λ 4 + 5λ 4λ Substituindo esse ponto na função objetivo, temos d 4 + 5λ + 4λ λ + 4λ λ + 4λ 4 + λ + 5λ + 96λ + 5 λ + 5λ + 96λ λ + + 8λ + 96λ dλ 4 + λ + 4λ + 5 λ + 4λ λ + 4λ dλ Calculando a derivada da função, ficamos com d λ + 84λ + λ + 4λ / λ λ + 4λ / λ + 8λ + 4λ / Teremos que usar um método numérico método de Newton para encontrar as raízes dessa derivada Para isso, precisamos calcular sua derivada segunda: d λ λ + 4λ / 6,5 + 84λ λ + 4λ / λ + 4λ / 6,5 + 84λ λ + 4λ / λ + 4λ / λ + 8λ + 4λ /

19 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 9 Usando o algoritmo de Newton, temos, então, partindo de λ, λ λ d λ d λ d d 4 965,, λ, d, d, λ, d, d,, 465, ,,, 897,9 5698,865, Como d, 5698,865, que é positivo, este é um mínimo da função Para visualizarmos melhor essa função, ela está representada no gráfico a seguir dλ ,,,, λ Substituindo o valor de λ encontrado, temos 7,8 O gradiente de fica, então, d 7,49 7, 964 Precisamos fazer uma nova iteração para encontrar um resultado melhor Determinamos então um novo ponto : + λ d 7 7, ,49λ + λ,8 7, 964,8 + 7,964λ Substituindo esse ponto na função objetivo, temos d ,49λ +,8 + 7,964λ ,49λ +,8 + 7,964λ ,49λ + 7, + 7,964λ Usando novamente um método numérico, descobrimos que esta função tem um mínimo em λ, Substituindo novamente na epressão para, temos 4,586,45 O gradiente fica Construímos, então, o ponto : A função-objetivo fica d 79,48 78, 66 4, ,48λ,45 78,66λ d 4 4, ,48λ +,45 78,66λ , ,48λ +,45 78,66λ , ,48λ + 9,575 78,66λ

20 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Usando um método numérico, descobrimos que esta função tem um mínimo em λ, Portanto,,6,6 Repetindo o mesmo processo, chegamos ao ponto 4,76,6 A tabela a seguir mostra todos passos do método, que vão até que a precisão de três casas decimais seja alcançada i i i i i i 6, 97, 7 7,8 7, 65, 57 4, 586, 45 8, 8, 8, 6, 6 9, 7, 7 4, 76, 6, 84, 5, 4, 84, 7, 4 6, 79, 4, 54, 7 7, 4, 59, 45, 5 8,, 54 4,, 4 9, 9, 5 5, 7, 9, 7, 6, 9,, 6, 7, 6, 5, 469, 66 8, 8,, 9, 6 9, 7, 4, 5, 4, 4, 44 5, 55, 88,, 86 Nas últimas duas linhas foram usadas mais casas decimais para evitar singularidades nas derivadas primeira e segunda da função d, Pode-se ver que a solução ótima, com precisão de duas casas decimais, é, isto é, o armazém deve ser construído na cidade de Besourinhos Uma descrição gráfica dos passos feitos pelo problema é feita a seguir: C B F Note o comportamento em zigue-zague da busca, típica do método de busca por gradiente, que torna a busca difícil e lenta quando nos aproimamos da solução do problema

21 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Eercícios - Capítulo Nível Gradiente Eemplo : calcule o gradiente da função f,, z cosz Solução: temos f f cosz, f f z sen z, f z f z sen z Portanto, f f f f z cosz z sen z senz E Calcule os gradientes das seguintes funções: a f,, b f, + cos, c f,,z 4z 8, d f,,z 8 e z Eemplo : calcule o vetor que dá a direção e sentido de maior crescimento da função f,,z cosz no ponto,, Solução: o gradiente da função, calculado no eemplo, é dado por f cosz z sen z sen z O vetor gradiente calculado no ponto desejado dá a direção e o sentido de maior variação da função Portanto, em,,, temos cos f,, sen cos sen sen E Calcule os vetores que dão as direções e sentidos de maior crescimento das funções abaio nos pontos indicados: a f,,,; b f, + cos,,π; c f,,z 4z 8,,4,; d f,,z 8 e z,,, Hessiana Eemplo : calcule a hessiana da função f,, z cosz Solução: as derivadas parciais de segunda ordem já foram calculadas no eemplo A partir delas, temos Hf f f f z z sen z sen z f f f z z sen z z cosz sen z z cosz f z f z f zz senz senz z cosz cosz E Calcule as hessianas das seguintes funções:

22 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana a f,, b f, + cos, c f,,z 4z 8, d f,,z 8 e z Nível E As figuras a seguir ilustram algumas curvas de nível das funções f, +, g e h, Desenhe sobre essas curvas de nível os vetores gradiente normalizados dessas funções nos pontos,,,,, e, com origem nos pontos dados 4 4 f, + g, h, E Considerando os dados a seguir, calcule, aproimadamente, um vetor que dê a direção e o sentido do gradiente no ponto, /,,,9,8,,9,7,7,6,8,6,4,,4,6,4,6,4,7,6,6,8,7,8, E O laplaciano de uma função f, é definido como f f + f Dada f, +, prove que f f E4 Determine em qual direção e sentido uma função f decresce mais rapidamente E5 Determine todos os pontos para os quais a direção de maior mudança da função f, + é dada por E6 Um industrial tem que decidir onde investir R$ 5 e estima que a produção de sua empresa possa ser modelada pela função PK,L,K,45 L,55, onde o capital investido K e o trabalho L são medidos em milhões de reais No momento, o capital investido é de 5 milhões de reais e o gasto em trabalho é de 4 milhões de reais Determine o quanto do dinheiro tem que ser usado em cada uma dessas áreas de modo a maimizar a produção da empresa use uma precisão de um milhar de reais na resposta Nível E Calcule a reta normal e a reta tangente à elipse 4 + no ponto, seguindo as seguintes instruções:

23 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana a Considere que a elipse é uma curva de nível da função f, 4 + e calcule o gradiente dessa função no ponto, b Usando o fato do gradiente ser perpendicular à curva de nível para calcular um ponto da reta normal à elipse no ponto dado c Utilize o ponto, e o novo ponto dado para calcular a equação da reta normal à elipse naquele ponto d Use o fato da reta tangente ser perpendicular à reta normal calculada para repetir o processo considerando agora a reta normal como uma isoquanta de uma função adequada e calcular a equação da reta tangente e Desenhe em um mesmo gráfico a elipse dada, o ponto, e as retas normal e tangente a essa curva nesse ponto E Calcule a reta normal e a reta tangente à curva 5 no ponto, E Um industrial estima que a produção de sua empresa possa ser modelada pela função de produção de Cobb-Douglas PK,L,K,6 L,4, onde o capital investido K e o trabalho L são medidos em milhões de reais No momento, o capital investido é de 5 milhões de reais e o gasto em trabalho é de 4 milhões de reais Ele pretende, nos próimos 6 meses, investir R$ todo mês Determine uma estratégia de investimentos para o industrial para os próimos 6 meses de modo a maimizar a sua produção Assuma nos seus cálculos que ele sempre invista em unidades de milhares de reais E4 Use busca por gradiente com precisão de duas casas decimais para maimizar a função f, 4 + partindo do ponto, E5 Use busca por gradiente com precisão de duas casas decimais para maimizar a função f, 4 + partindo do ponto, Respostas Nível E a f E a f,, b f E a Hf 6 d Hf sen, b f, π 4 4, c f, b Hf cos / e z 4z 6 4, c f, 4,, d f , c Hf 8 4/ e z, d f,, 4 6 4, 8 8 Nível E 4 4 f, + g, h,

24 Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana 4 E E f f + f E4 Na direção dada por f E5 Para os pontos, e, + + / + + / + / + / f E6 Ele deve investir R$ 978 em captial e usar R$ em trabalho Nível E a f, b, c d + e E A reta normal é dada por, +, 6 A reta tangente é dada por + E A estratégia de investimentos é dada pela tabela a seguir Os investimentos são dados em milhares de reais E4 a e, 5, f 7, 5 uma iteração E5 a, e, 67, f 5, iterações Mês K L