O movimento de projéteis

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Yan Felgueiras Borba
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1 respectivamente, o movimento de projéteis, o movimento circular e o movimento cicloidal Como de costume, encontra-se no final da aula uma lista de problemas propostos Nela, você terá de fazer tanto demonstrações de resultados utilizados no texto da aula quanto aplicações numéricas do que foi discutido na mesma Suerimos que você resolva o maior número possível de problemas dessa lista, tarefa que iráajudá-lo a se familiarizar cada vez mais com a notação vetorial O movimento de projéteis Já estudamos anteriormente o movimento vertical de um corpo que está próximoà superfícieterrestree cujas velocidades, duranteseu movimento, são pequenas o suficiente para desprezarmos a resistência do ar Nessas circunstâncias, você aprendeu que qualquer corpo descreve um MRUV, com uma aceleração de módulo iual a 9, 8m/s 2 e apontando sempre para o centro da Terra (esta direção determina a vertical local) Esse tipo de movimento, como vimos na aula 7, é um caso particular do chamado movimento de queda livre Particular porque pode-se (e deve-se) estudar também movimentos de queda livre levando-se em consideração a resistência do ar Nesta seção, iremos analisar movimentos um pouco mais erais do que os de queda livre estudados na aula 7, mas ainda com as restrições de proximidade daterraeresistência do ar desprezível Nossa eneralização consistirá em considerar movimentos não retilíneos, ou seja, movimentos nos quais a partícula possui tanto uma componente vertical de velocidade como uma componente horizontal Ou seja, consideraremos nesta seção movimentos com lançamentos oblíquos, comumente chamados movimentos de projéteis Uma propriedade do movimento que pretendemos estudar, e de qualquer outro cuja aceleração da partícula em estudo seja constante, é que a partícula descreve uma trajetória plana, isto é, seu movimento ocorre sempre num mesmo plano do espaço (no problema 2, você é convidado a demonstrar esse resultado) No movimento de projéteis a ser estudado, a aceleração é iual à aceleração da ravidade, sempre com o mesmo módulo, com a direção vertical e apontando para baixo Por conveniência, vamos escolher os eixos cartesianos de modo que o movimento ocorra no plano OXY 239 CEDERJ

2 Suponha então que uma partículasejalançada do ponto P 0 (x 0,y 0, 0) com uma velocidade de módulo iual a v 0 := v 0 Seja θ 0 oânulo entre a sua velocidade no instante do lançamento (t 0 ) e o vetor unitário u x relativo ao eixo horizontal OX A Fiura 111 ilustra esse lançamento Y v 0 y 0 P 0 θ0 O x 0 X Fi 111: Projétil lançado de um ponto P 0 (x 0,y 0 ) com velocidade v 0 Nosso objetivo aqui é encontrar a função-movimento do projétil, conhecida a sua aceleração, que no caso é constante e dada por a = u y Conseqüentemente, utilizando a equação (1111), obtemos: r = r 0 + v 0 (t t 0 ) 1 2 (t t 0) 2 u y (1113) Substituindo na equação anterior as expressões de r 0 e v 0 em termos de suas componentes cartesianas, r0 = x 0 u x + y 0 u y v 0 = v x0 u x + v y0 u y, (1114) e rearupando convenientemente os termos, obtemos: r = [ (x 0 + v x0 (t t 0 ) ] u x + [y 0 + v y0 (t t 0 ) 1 2 (t t 0) 2 ] u y (1115) Identificamos, então, as componentes cartesianas do vetor posição do projétil num instante enérico: x = x 0 + v x0 (t t 0 ) y = y 0 + v y0 (t t 0 ) 1(t t (1116) 2 0) 2 CEDERJ 240

3 Uma vez que foram dados o módulo da velocidade inicial e o ânulo θ 0 entre v 0 e u x, devemos expressar as componentes v x0 e v y0 em termos dessas quantidades Usando os conceitos de projeção adquiridos na aula 9, temos: v x0 = v 0 cos θ 0 (1117) v y0 = v 0 sen θ 0 Sem perder o caráter eral de nossa discussão, escolheremos t 0 =0s (lembre-se de que podemos zerar o nosso cronômetro no instante que mais nos convier) Com isso, as equações estabelecidas em (1116) são reescritas na forma: x = x 0 + v 0 cos θ 0 t (1118) y = y 0 + v 0 sen θ 0 t 1 2 t2 Desejamos saber aora qual é a trajetória descrita pelo projétil Na verdade, as equações presentes em (1116) já nos dão essa trajetória, uma vez que, dado um instante de tempo t qualquer, elas fornecem as coordenadas do projétil, ou seja, o ponto onde ele se encontra nesse instante Como ambas as coordenadas são escritas em função de um parâmetro (no caso, o tempo t), tais equações são chamadas equações paramétricas da trajetória No entanto, muitas vezes é conveniente relacionar diretamente as coordenadas cartesianas da partícula em movimento, obtendo assim a equação cartesiana de sua trajetória A fim de eliminar o tempo das equações (1116), escrevemos, a partir da primeira delas, a seuinte relação: t = x x 0 v 0 cos θ 0 Subsitutindo essa expressão na seunda equação em (1116), obtemos: y = y 0 + tanθ 0 (x x 0 ) 2v 2 0cos 2 θ 0 (x x 0 ) 2 (1119) Essa é a equação cartesiana da trajetória do projétil Trata-se de uma parábola, de eixo vertical, e que passa pelo ponto P 0 (x 0,y 0, 0) Note ainda que a tanente a essa parábola, passando por P 0, tem a mesma direção de v 0, como era de se esperar (veja o problema 3) É muito comum escolher a oriem dos eixos cartesianos no ponto de lançamento do projétil, principalmente quando ele élançado do solo Nesse caso, a equação cartesiana de sua trajetória se reduz a: y = tanθ 0 x 2v 2 0cos 2 θ 0 x 2 (1120) 241 CEDERJ

4 Caso π/2 <θ 0 <π, o projétil atinirá o solo no ponto de coordenadas x = A e y =0 Vejamos aora como calcular a altura máxima atinida pelo projétil e a que distância do ponto de lançamente ele atine o solo Essa distância é chamada alcance do projétil eserá denotada por A Portanto, se o ânulo de lançamento do projétil for um ânulo audo (θ 0 <π/2), podemos dizer que o projétil atine o solo no ponto de coordenadas x = A e y =0 Com tudo isso em mente, calculemos, inicialmente, o instante em que o projétil atine o ponto mais alto de sua trajetória, instante que denotaremos por t m Por definição, nesse instante, a velocidade vertical do projétil é nula, de modo que: v 0 senθ 0 t m =0 t m = v 0senθ 0 Substituindo esse resultado na seunda equação escrita em (1118), obtemos a altura máxima atinida pelo projétil: y m = v2 0 sen2 θ 0 2 (1121) O alcance pode ser determinado simplesmente calculando-se qual éacoordenada x do projétil no instante em que ele retorna ao solo Do mesmo modo que no movimento de queda livre, aqui também o tempo asto pelo projétil para atinir a altura máxima (tempo de subida) é iual à metade do tempo total de vôo Desse modo, o tempo de vôo é dado por: A demonstração desse resultado é totalmente análoa àquela feita no estudo da queda livre; o tempo de vôo só depende da componente vertical da velocidade no instante do lançamento (v y0 ) e da aceleração da ravidade (), não importando com que rapidez o projétil se movimenta horizontalmente No entanto, é importante mencionar que essa independência dos movimentos horizontal e vertical, em eral, deixa de ser válida nos casos mais realistas, nos quais a resistência do ar influencia o movimento t A =2t m = 2v 0 senθ 0 Substituindo esse resultado na primeira equação escrita em (1118), obtemos A = 2v2 0 senθ 0cosθ 0 = = v2 0 sen(2θ 0), (1122) onde usamos a identidade trionométrica sen(2α) =2senα cosα A partir dessa expressão para o alcance, é imediato concluir que, dentre todos os projéteis lançados com velocidades iniciais de mesmo módulo, mas com ânulos de lançamento diferentes, terá o maior alcance aquele que for lançado com θ 0 = π/4,istoé, com 45 o Isso ocorre simplesmente porque sen(2θ 0 ) tem um máximo em 2θ 0 = π/2 Além disso, como sen(π/2) = 1, o alcance máximo de um projétil lançado com velocidade inicial de módulo v 0 é dado por A m = v0 2/ Para lançamentos feitos com o mesmo valor de v 0,ficatambém evidente que os alcances correspondentes àqueles feitos com ânulos de lançamento complementares são exatamente iuais Em outras palavras, os alcances de projéteis CEDERJ 242

5 > Exemplos de movimentos não-retilíneos lançados com ânulos iniciais de 45 o + α e 45 o α, com0 <α<45 o,são os mesmos, como ilustra a Fiura 112 Demonstre esse resultado! > > Fi 112: Alcance máximo e alcances para ânulos complementares (todos os lançamentos feitos com o mesmo v 0 ) Vale a pena finalizar esta seção comentando que o tipo de movimento que acabamos de analisar aparece em outras situações de interesse em física Por exemplo, partículas carreadas na presença de campos eletrostáticos uniformes sofrem acelerações constantes Inclusive, as condições idealizadas em que supusemos não haver resistência do ar podem se cumprir de uma forma mais riorosa com partículas atômicas ou subatômicas (como os elétrons) do que no caso de projéteis, pois tais partículas podem ser lançadas em reiões de alto vácuo (diminuindo, assim, praticamente a zero a resistência do ar) Justamente movimentos desse tipo estavam presentes nas experiências que levaram JJ Thomson a descobrir o elétron em 1897 JJ Thomson utilizou um aparelho conhecido como tubo de raios catódicos, umaespécie de versão primitiva dos modernos tubos de osciloscópio ou de televisão Revendo o movimento circular Nesta seção, discutiremos novamente o movimento circular já tratado na aula 9, com o objetivo de rever alumas de suas características e aprender aluns aspectos novos a respeito desse movimento Em particular, deduziremos novamente a fórmula para a aceleração centrípeta no caso de um MCU utilizando apenas arumentos eométricos 243 CEDERJ

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