TÓPICOS. Exercícios. Determinando a matriz escalonada reduzida equivalente

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1 Note bem: a leitra destes apontamentos não dispensa de modo algm a leitra atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo alno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem conslta prévia das solções propostas, análise comparativa entre as sas resposta e a respostas propostas, e posterior eposição jnto do docente de todas as dúvidas associadas. ÓPICOS Eercícios. AULA 8 8. Eercícios. DEERMINAR UMA BASE PARA O ESPAÇO DAS LINHAS DE UMA MARIZ. Como das matrizes eqivalentes por linhas têm o mesmo espaço linha, para determinar ma base do espaço linha de ma matriz basta seleccionar as linhas não nlas da matriz escalonada eqivalente 8.. Determinar ma base para o espaço linha da matriz A Determinando a matriz escalonada redzida eqivalente >> A[ ; - -;- - ; -]; >> Lrref(A) L -, temos Prof. José Amaral ALGA A8-9--9

2 Prof. José Amaral ALGA A L A ~ Seleccionando as linhas não nlas da matriz L, temos m conjnto de vectores [ ], [ ] e [ ] qe formam ma base do espaço linha de A. Assim, )) dim(lin( A. DEERMINAR UMA BASE PARA O ESPAÇO DAS COLUNAS DE UMA MARIZ. Dado qe ) lin( ) col( A A, para determinar ma base do espaço colna de ma matriz A basta determinar ma base do espaço linha da sa matriz transposta, seleccionando as linhas não nlas da matriz escalonada eqivalente a A. 8.. Determinar ma base para o espaço colna da matriz A do eemplo anterior. Sendo a matriz transposta A, determinando a matriz escalonada redzida eqivalente à matriz transposta >> Crref(A') C, temos A C ~ Seleccionando as linhas não nlas da matriz C, temos m conjnto de vectores [ ], [ ] e [ ]

3 qe formam ma base do espaço colna de A. Logo, dim(col( A )). A dimensão do espaço colna é sempre igal à dimensão do espaço linha, e igal à característica da matriz, dim(lin( A )) dim(col( A)) car( A). Caso tenhamos escalonado a matriz A, podemos determinar ma base do espaço colna da matriz, seleccionando as colnas de A correspondentes às colnas com pivot da sa matriz escalonada. Como vimos no eemplo anterior A ~ L A matriz L tem pivots na a, a e a colnas, seleccionando as colnas respectivas da matriz A temos m conjnto de vectores [ ], [ ] e [ ] qe formam ma base do espaço colna de A. Podemos verificar qe se trata de ma combinação linear dos vectores determinados a partir da matriz transposta >> rref([ - ; - ; - ]) ans DEERMINAR UMA BASE PARA O NÚCLEO DE UMA MARIZ. Para determinar ma base para o núcleo de ma matriz procramos as solções do sistema homogéneo A. 8.. Determinar ma base para o núcleo da matriz A dos eemplos anteriores. Dada a matriz, procramos a matriz escalonada redzida eqivalente. Como vimos, temos A, sendo e as variáveis livres, temos ~ Prof. José Amaral ALGA A8-9--9

4 Prof. José Amaral ALGA A , pelo qe, os vectores [ ], e [ ] formam ma base do núcleo de A. emos )) dim(ker( ) nl( A A, e n + ) nl( ) car( A A. DEERMINAR UMA BASE PARA O NÚCLEO À ESQUERDA DE UMA MARIZ. Para determinar ma base para o núcleo à esqerda de ma matriz procramos as solções do sistema homogéneo A. 8.. Determinar ma base para o núcleo à esqerda da matriz A dos eemplos anteriores. Dada a matriz, procramos a matriz escalonada redzida eqivalente à matriz transposta. Como vimos, temos ~ A, sendo ma variável livre, temos pelo qe o vector [ ] forma ma base do núcleo à esqerda de A. emos )) dim(ker( ) nl( A A, e m + ) nl( ) car( A A.

5 RELAÇÃO ENRE OS ESPAÇOS FUNDAMENAIS DE UMA MARIZ. 8.. Podemos verificar qe o espaço linha da matriz A dos eemplos anteriores corresponde ao complemento ortogonal, em R, do núcleo da matriz (e vice-versa) Ker( A) (lin( A )) >> [ -]'; >> [ ]'; >> [ ]'; >> [- - ]'; >> [ - - ]'; >> C[ ]; >> N[ ]; >> C'*N ans Verificamos qe o espaço colna da matriz corresponde ao complemento ortogonal, em R, do núcleo à esqerda de A, o seja do núcleo de A (e vice-versa) >> [ - ]'; >> [ - ]'; >> [ - ]'; >> Ne[ - - ]'; >> L[ ]; >> L'*Ne ans Ker( A ) (col( A )) DEERMINAÇÃO DOS ESPAÇOS FUNDAMENAIS DE UMA MARIZ COM O MALAB. 8.. O MatLab tem fnções predefinidas qe permitem o cálclo imediato dos espaços de ma matriz. As fnções colspace(a) e nll(a) determinam ma base do espaço colna e do núcleo de ma matriz, qando definida simbolicamente. As fnções orth(a) e nll(a) determinam ma base ortonormada do espaço colna e do núcleo de ma matriz qando definida nmericamente. Prof. José Amaral ALGA A8-9--9

6 Dada a matriz A dos eemplos anteriores, a determinação dos ses espaços linha e colna é trivial. >> A[ ; - -;- - ; -]; >> Asym(A); >> colspace(a) ans [,, ] [,, ] [,, ] [,, ] >> colspace(a') ans [,, ] [,, ] [,, ] [,, ] [ -,, ] >> nll(a) ans [ -, ] [ -, -] [, ] [, -] [, ] >> nll(a') ans - -, confirmando as dedções feitas anteriormente. Recorrendo às fnções orth(a) e nll(a) podemos determinar os versores dos espaços fndamentais da matriz >> A[ ; - -;- - ; -]; >> orth(a) % versores do espaço colna ans Prof. José Amaral ALGA A8-9--9

7 >> orth(a') % versores do espaço linha ans >> nll(a) % versores do núcleo ans >> nll(a') % versores do núcleo à esqerda ans DEERMINAR UMA BASE PARA O COMPLEMENO OROGONAL DE UM SUBESPAÇO. Podemos determinar ma base para o complemento ortogonal de m sbespaço recorrendo às relações entre os espaços fndamentais de ma matriz Sendo W o sbespaço de R gerado pelos vectores [ ], [ ] e [ ] determinar ma base para o complemento ortogonal de W. Colocando os vectores,, e nas linhas de ma matriz A, ao núcleo da matriz, Ker( A) (lin( A )). Assim, sendo A, e determinando a matriz escalonada redzida eqivalente >> [ - ]'; >> [ - ]'; >> [ - ]'; >> U[ ]; W corresponde Prof. José Amaral ALGA A

8 >> rref(u') ans temos A ~ Sendo e as variáveis livres, temos.. pelo qe os vectores w [.. ], e w [.. ] formam ma base do complemento ortogonal de W, o qe podemos verificar >> w[.. ]'; >> w[-. -. ]'; >> W[w w]; >> U'*W ans OROGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMID Dado o conjnto de vectores linearmente independentes U {, },, com (,,,), (,,, ), (,,, ), qe constiti ma base de m sbespaço W de R, obter ma base ortonormada para esse sbespaço. Procedendo conforme o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, temos:. v [ ] Prof. José Amaral ALGA A

9 . v v projv v v v [ ] [ ]. v v v v v projv projv v v v v [ ] [ ] [ ] / e, finalmente, normalizando cada m dos vectores obtidos, temos v q, v >> [ ]'; >> [ ]'; >> [ ]'; >> v; v q, e q v v v >> v-('*v)/(v'*v)*v; >> v-('*v)/(v'*v)*v-('*v)/(v'*v)*v; >> qv/norm(v); >> qv/norm(v); >> qv/norm(v); >> [v v v] Prof. José Amaral ALGA A

10 ans >> [q q q] ans , o simplesmente, recorrendo à fnção orth(a) >> [ ]'; >> [ ]'; >> [ ]'; >> orth([ ]) ans Nota : A fnção orth não tiliza o algoritmo de Gram-Schmidt para obter os U,, pelo qe os versores são diferentes. versores do sbespaço gerado por { }, MISCELÂNEA Em R, com o prodto interno sal, considere os vectores [ ] v [ ]. Determine: a) O ânglo entre e v. b) A projecção ortogonal de sobre v. c) k R tal qe o vector [ k ] seja ortogonal a. e d) odos os vectores perpendiclares a v. e) Um vector nitário simltaneamente perpendiclar aos vectores e v. f) Seja W L( v, ). Indiqe, jstificando, f.) Uma base ortonormada de W. f.) Uma base ortonormada de W. Prof. José Amaral ALGA A8-9--9

11 f.) Uma base ortonormada de R contendo a base indicada em f.. a) Sendo e v vectores não nlos de No caso presente temos: Logo: n R, o ânglo entre eles é v α arccos v v [ ] + [ ] + + v v v [ ] + + v α arccos v arccos arccos b) Sendo e v (não nlo) dois vectores de é proj v n R, a projecção ortogonal de sobre v v v v v v v v No caso presente, atendendo aos cálclos feitos na alínea anterior, temos: c) O vector [ k ] proj v w é ortogonal a sse w. emos então: k k + k [ ] d) O vector [ y z] w R é ortogonal a v sse w v. emos então: y z + y z [ ] Prof. José Amaral ALGA A8-9--9

12 Assim, o conjnto W de todos os vectores perpendiclares a v é { ( yz,, ) R : y z } W + e) ratando-se de vectores de R, m modo simples de calclar m vector nitário simltaneamente perpendiclar aos vectores e v, é recorrer ao cálclo de v. emos e e e v det ( ) e ( ) e + ( ) e [ ] Para obter m vector nitário basta dividir o vector pela sa norma. emos então: w f.) Sendo W L( v, ), para calclar ma base ortonormada de W, podemos, por eemplo, dispor os vectores sobre as linhas de ma matriz, A, e atender a qe W corresponde a lin( A ) e W a Ker(A ). Assim, e atendendo a qe determinamos o núcleo de ma matriz procrando as solções do sistema homogéneo A, temos z A y Uma base de W é então: z y k z z Normalizando o vector temos então qe (,, ) constiti ma base ortonormada de W : { } W L((,, )) k(,, ): k R (nota: poderíamos ter atendido simplesmente à resposta dada na alínea e)). f.) Atendendo aos considerandos e cálclos da alínea anterior, W corresponde a lin( ) A. emos então y k k + z Em geral, poderíamos ter de recorrer ao método de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter ma base ortonormada de W. Note no entanto qe (,,) e (,, ) são ortogonais, pelo qe basta normalizar os vectores. emos então qe Prof. José Amaral ALGA A8-9--9

13 e constitem ma base ortonormada de W. [ ] f.) Para obter ma base ortonormada de bases ortonormadas de W e R basta tão simplesmente considerar as W obtidas nas alíneas anteriores: [ ] 8.. Considere a matriz real A a) Indiqe ma base para o espaço linha de A, lin( A ), e ma base para o espaço nlo de A, ker( A ). b) Diga, jstificadamente, qal é a dimensão de cada m dos espaços fndamentais da matriz A. a) Como das matrizes eqivalentes por linhas têm o mesmo espaço linha, para determinar ma base do espaço linha de A basta seleccionar as linhas não nlas da matriz escalonada eqivalente. emos: A Seleccionando as linhas não nlas da matriz, temos m conjnto de vectores [ ], [ ] qe formam ma base do espaço linha de A. Para determinar ma base para o núcleo de ma matriz procramos as solções do sistema homogéneo A. emos z A y z Assim Prof. José Amaral ALGA A8-9--9

14 z z y z z + w y z z z w w, pelo qe, os vectores [ ], [ ] formam ma base do núcleo de A. b) Dos cálclos da alínea anterior, temos O qe confirma car( A) + nl( A ) n. dim(lin( A )) dim(ker( A )) Dado qe dim(lin( A)) dim(col( A )), temos dim(col( A )) Dado qe dim(col( A)) + dim(ker( A ) m, temos dim(ker( A ) Prof. José Amaral ALGA A8-9--9