2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DA ELASTICIDADE

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1 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade. CONCITOS FUNDAMNTAIS DA TORIA DA LASTICIDAD. - Introdção No presente capítlo são apresentados de m modo scinto os conceitos básicos da teoria da elasticidade, nomeadamente, de elasticidade, homogeneidade, isotropia, tensão e etensão. É definido o tensor das tensões e o correspondente tensor das etensões. Com base nas eqações de eqilíbrio definido e indefinido são estabelecidas relações entre as componentes do tensor das tensões. As eqações de compatibilidade são definidas a partir das componentes do tensor das etensões. Finalmente são estabelecidas as relações tensão-etensão (leis constittivas do material) para os materiais com elasticidade linear, homogéneos e isotrópicos.. - Conceitos de elasticidade, homogeneidade e isotropia Um corpo tem comportamento elástico se após a retirada das acções qe sobre ele actam retomar a sa forma inicial (ver Figra.). l l l Forma inicial l Forma final FF Força F F α α l Deslocamento Comp. linear Comp. não-linear Figra. - Relação força-deslocamento nma barra à tracção. Joaqim Barros.

2 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Nesta pblicação a matéria qe constiti m corpo considera-se sempre homogénea, de tal forma qe o menor elemento retirado do corpo possi as propriedades físicas específicas desse corpo. Um corpo será também considerado isotrópico, isto é, as sas propriedades elásticas são consideradas igais em todas as direcções. Qando as propriedades elásticas do material são diferentes em direcções distintas, de qe são eemplo a maior parte dos materiais compósitos (Barros 989), o material pode apresentar comportamento ortotrópico o anisotrópico. Os materiais têm comportamento ortotrópico qando as propriedades nm plano são igais, mas distintas das qe ocorrem nma direcção ortogonal a esse plano. Terá comportamento anisotrópico qando as propriedades diferem com a direcção considerada.. - Conceito de tensão nm ponto e de tensor das tensões A noção intitiva de tensão é a de força por nidade de área. A tensão pode variar de ponto para ponto no interior de m corpo, e ainda com a orientação do plano qe passa por esse ponto. Trata-se de m conceito matemático qe permite determinar se esse corpo satisfaz os critérios de segrança eigidos, isto é, se a tensão máima instalada é inferior à qe o material resiste. Se ao corpo em eqilíbrio representado na Figra. for aplicado m sistema de forças eteriores Q i c/ i, 7 desenvolvem-se forças internas entre as possíveis partes em qe o corpo se pode dividir. Q Q 7 Q C C O δa Q 6 S Q Q 5 Q 4 Figra. - Corpo sbmetido a m conjnto de forças eteriores Q i. Considere-se o corpo dividido em das partes, C e C, por intermédio da secção S qe contém o ponto O. Tomando-se, por eemplo, a parte C do corpo, pode-se afirmar qe ela está em eqilíbrio sob a acção das forças eternas Q 5, Q 6 e Q 7 e das forças internas distribídas na secção transversal S, qe representam as acções qe o material da parte C Joaqim Barros.

3 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade do corpo eercia sobre o material da parte C. Admite-se qe as forças internas distribem-se continamente na área S, pelo qe se trata de m conceito de tensão, isto é, Q Tensão t A em qe A é a área da secção transversal S do corpo e Q é a resltante das forças internas distribídas em S. No caso geral da Figra., a tensão não se distribi niformemente em S. Admita-se qe o objectivo é determinar o valor da tensão qe acta nma peqena área δa, pertencente à secção transversal S e contendo o ponto O. As forças qe actam nessa área elementar, devidas à acção do material da parte C sobre o material da parte C, podem ser redzidas a ma resltante δq. Se agora se contrair continamente a área elementar δa, o valor limite da relação δq/ δa dará o valor da tensão qe acta na secção transversal S no ponto O, isto é, t lim δa 0 δq δa. (.) A direcção de t é a direcção de δq. No caso geral, a direcção da tensão é inclinada em relação ao plano sobre o qal acta, podendo, por isso, ser decomposta em das componentes: ma tensão normal,, ortogonal ao plano, e ma tensão de corte, τ, tangencial ao plano, tal como se representa na Figra.. direcção perpendiclar ao plano S τ χ S Figra. - Decomposição da tensão t nma componente normal,, e nma componente tangencial, τ, ao plano S. Considere-se o corpo de volme infinitesimal (mito peqeno) dv, com forma de m paralelipípedo de lados d, d e d e em eqilíbrio, representado na Figra.4. A tensão resltante, t, no ponto A pode ser decomposta nas tensões qe actam nas faces do referido elemento de volme e qe está orientado segndo o sistema ortogonal o. A notação para as componentes de tensão qe actam nas faces deste elemento e os sentidos tomados como positivos são os indicados na Figra.4. Joaqim Barros.

4 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade B F τ τ H A τ τ τ τ d G C d d D dv d d d τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Figra.4 - Tensões qe actam nm paralelepípedo de volme infinitesimal. As tensões estão representadas por m conjnto de dois índices, em qe o primeiro índice indica a direcção da normal ao plano em qe acta a tensão e o segndo índice indica o eio segndo o qal a tensão se eerce (notação de Von Karman). Assim, por eemplo, a tensão qe acta perpendiclarmente às faces BDHF e ACG será indicada por (tensão segndo o eio dos actando nm plano ortogonal a esse eio). As componentes normais,, e serão consideradas positivas qando prodzem tracção e negativas qando prodzem compressão. m cada plano, além da tensão normal, também actam das componentes de tensão de corte. Na notação adoptada, a tensão de corte, τ ij, é a tensão na direcção de j actando nm plano perpendiclar ao eio dos i. Assim, a sperfície BDHF está sbmetida às componentes de tensão, τ e τ, enqanto as sperfícies DCGH e FHG estão sbmetidas às componentes, τ, τ e, τ, τ, respectivamente, pelo qe o estado de tensão no ponto A pode ser obtido a partir da entidade seginte: τ τ τ τ τ τ (.) qe se denomina de tensor das tensões..4 - qações de eqilíbrio definido e indefinido Joaqim Barros.4

5 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Considere-se o elemento de volme infinitesimal dv, de forma paralelepipédica representado na Figra.5. As tensões qe actam nas faces deste corpo estão ilstradas na figra. O operador genérico ij j representa a variação da componente de tensão ij com o incremento segndo o eio j. Para qe o elemento de volme se mantenha em eqilíbrio é necessário qe cmpra as condições de eqilíbrio de forças segndo os eios, e : Σ Σ Σ Q 0 Q 0, (.) Q 0 e as eqações de eqilíbrio de momentos segndo os eios, e. Assim, considerando, por eemplo, a rotação do elemento de volme em relação ao eio baricêntrico paralelo ao eio dos e calclando o momento em relação a esse eio obtém-se (ver Figra.5), τ d d 0 d d τ τ d τ dτ d d d d d τ d d dτ τ d d d d (.4a) tendo-se desprezado as parcelas com infinitésimos de qarta ordem em face das parcelas com infinitésimos de ordem inferior. τ d τ τ d τ d τ τ τ d τ τ d τ τ d τ d τ τ τ τ d d τ d τ d d Figra.5 - lemento de volme com dimensões infinitesimais d, d e d. Procedendo-se de forma análoga em relação a eios baricêntricos paralelos aos eios dos e dos obtém-se: Joaqim Barros.5

6 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade τ τ (.4b) τ τ (.4c) respectivamente. Assim, das nove componentes do tensor das tensões, apenas seis componentes são distintas. As forças eteriores qe actam sobre m corpo podem ser agrpadas nas denominadas forças de sperfície, Q S, e nas forças de massa o de volme Q V. As forças generalizadas (forças e momentos) aplicadas em pontos do contorno corpo o distribídas na sa sperfície fazem parte das forças de sperfície. As forças eercidas por otros corpos, a pressão hidrostática e a pressão do vento são eemplos de forças de sperfície actando sobre determinado corpo. Conforme o nome sgere, as forças de massa o de volme, Q V, são proporcionais à massa o ao volme do corpo. As forças qe se eercem nm determinado corpo devidas à aceleração da gravidade, as forças magnéticas e as forças de inércia (no caso do corpo estar em movimento) são eemplos de forças de massa o de volme. Considere-se então qe o elemento de volme representado na Figra.5 está também sjeito às forças de volme com componentes Q V,, Q V, e Q V, segndo os eios, e, respectivamente. Assim, a eqação de projecção das forças eteriores na direcção do eio condz à seginte epressão: d dτ d dd dd τ d d d dτ τ d d dd τ dd Q V, d d d dd τ dd 0 (.5) resltando: d dτ dτ Q d d d V, 0. (.6a) stabelecendo as eqações de projecção das forças eteriores na direcção dos eios e obtém-se, e dτ d τ Q d d d V, 0 (.6b) dτ dτ d Q d d d V, 0, (.6c) respectivamente. As relações (.6) denominam-se de eqações de eqilíbrio indefinido do corpo, também conhecidas por eqações de Cachy, qe devem ser satisfeitas em cada ponto do interior do corpo. m notação indicial estas eqações resmem-se na seginte: Joaqim Barros.6

7 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade d ji QVi, 0 (.7) d j em qe Q V, i c/ i,, representa as componentes das forças de volme por nidade de volme. Segndo a notação indicial a repetição de m índice nm termo significa m somatório. Assim, em (.7) d / d d / d d / d d / d. Note-se qe se ji j i i i i então e representam tensões de corte, passando a representarem-se por τ e τ, respectivamente. Na sperfície de m corpo actam forças de sperfície Q S com componentes Q S,, Q S, e Q S, segndo os eios, e, conforme se representa na Figra.6a. τ τ Q S, τ τ Q Q S, S, τ τ da b) (a) da cosβ γ dh α β ^n da cosα da cosγ da (b) Figra.6 - Corpo sjeito a forças de sperfície. fectando a projecção na direcção do eio dos das forças eteriores qe actam no tetraedro representado na Figra.6 obtém-se a seginte eqação: QS, da dacosα τ dacosβ τ dacos γ dh da QV, 0. (.8) Diminindo continamente a altra dh do tetraedo obtém-se no limite ( dh 0: ) Q S, cosα τ cosβ τ cosγ 0 Joaqim Barros.7

8 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade o cosα τ cosβ τ cos γ Q S. (.9a), As eqações de projecção das forças eteriores (segndo os eios e ) obtém-se de maneira semelhante: τ γ Q (.9b) cosα cos β τ cos cosα τ cos β cos τ γ Q. (.9c) S, S, As eqações (.9) são as de eqilíbrio defenido do corpo, também conhecidas por eqações de contorno. stas eqações devem ser satisfeitas em cada m dos pontos do contorno do corpo. m notação indicial, as eqações (.8) redzem-se à seginte:. (.0) ji n j Qs, i em qe [ cosα cos β cosγ ] n j define a direcção (em relação ao referencial O versor normal à faceta em qe actam as forças eteriores de sperfície Q. S As eqações (.7) e (.0) definem completamente o estado de tensão do corpo. Significa isto qe, conhecidas as componentes da tensão nm ponto, é possível, em fnção delas, determinar a tensão em qalqer elemento de sperfície considerado nesse ponto, seja qal for a sa orientação. ) do.5 - Deslocamento correspondente e deslocamentos generalizados Os deslocamentos qe ocorrem na maior parte das estrtras sob condições de serviço são peqenos qando comparados com as dimensões das estrtras. Neste trabalho considerar-se-á qe as estrtras sofrem deslocamentos peqenos, i.e., infinitesimais. Na Figra.7 representa-se m corpo sbmetido a m conjnto de forças Q m. m geral estas forças casam deslocamentos em todos os pontos do corpo, ecepto nos qe estão impedidos de se deslocar, por se encontrarem ligados ao eterior, como é o caso dos pontos A, B e C. Joaqim Barros.8

9 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Q j C j Q j j α Q Q 4 B A Q Q Figra.7 - Deslocamentos nm corpo sbmetido a m conjnto de forças Q m. O deslocamento nm determinado ponto i, de coordenadas, i,, i,, i denotar-se-á por i e é constitído pelas segintes componentes no sistema de eios 0 : { } T (.), i, i i, i, i, i, i qe é salmente denominado de vector dos deslocamentos do ponto i. Note-se qe o vector deslocamento do ponto j, j, não tem, em geral, a direcção de Q j (força aplicada no Q ponto j ). A componente de j na direcção de Q j ( j ) obtém-se por intermédio da seginte eqação: Q j cosα, (.) j sendo correntemente denominado de deslocamento correspondente. m qalqer ponto do corpo eiste, em geral, além dos deslocamentos, também rotações θ. No caso de m corpo tridimensional o vector da rotação de determinado ponto tem três componentes de rotação, ma segndo cada eio do referencial 0: T θ { θ θ θ}. (.) Assim, no caso geral, em determinado ponto de m corpo desenvolvem-se três deslocamentos e três rotações: Joaqim Barros.9

10 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade U θ θ θ θ T (.4) U θ { } T θ (.5) em qe U é correntemente denominado de vector dos deslocamentos generalizados..6 - tensões.6. - tensões normais Considere-se m corpo com comportamento nidimensional, como é o caso da barra representada na Figra.8. A A' B B' d B A l d ( d ) d l' Figra.8 - Barra sjeita a tracção niaial. Q Secção Transversal sta barra tem m comprimento inicial l e está sbmetida a ma força Q na sa etremidade direita e encontra-se fia na sa etremidade esqerda. Como a força Q está dirigida segndo o eio da barra, denominado de eio 0, atribi-se a designação de Q à força aplicada. Devido à actação da carga Q, a barra sofre m alongamento segndo o se eio. Por eemplo, a secção A move-se para A ocorrendo m deslocamento A e a secção B move-se para B desenvolvendo m deslocamento B ( d / d ) d. Desta forma, a coordenada atribída à secção A ( A' ) será igal à coordenada atribída à secção A ( A ) mais o deslocamento, isto é, A ' A, enqanto a coordenada atribída à secção B ( B' ) será igal à coordenada atribída à secção B ( B ) mais o deslocamento qe B sofre ao deslocar-se para B, isto é, B ' B ( d / d ) d. O comprimento do elemento de barra entre A' e B', AB ' ', será obtido efectando a diferença entre B' e A' : Joaqim Barros.0

11 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade AB ' ' B' A' ( B B ) A' [( A d ) ( d / d ) d ] ( A ) d ( d / d ) d. (.6) Assim, a etensão normal qe a barra sofre segndo o se eio,, obtém-se por intermédio da seginte relação: amento de comprimento do segmento AB comprimento inicial do segmento AB. (.7a) A' B' AB [ d ( d / d ) d ] d d AB d d Se d d for constante ao longo do comprimento da barra, então, d na etremidade livre na etremidade fia d l ( l' l) 0 l' l l l em qe l' é o comprimento da barra após a sa deformação. Sendo a etensão segndo o eio, qe é o eio da barra, atribi-se a esta etensão a designação de etensão aial, longitdinal, o normal. As componentes de etensão segndo o eio,, e segndo o eio,, determinam-se efectando procedimento semelhante ao descrito, obtendo-se, e d d d d. (.7b) (.7c) As etensões, e designam-se correntemente por etensões normais tensões de corte Considere-se três pontos OAB do corpo descarregado representado na Figra.9a. Admita-se qe esses três pontos definem dois segmentos de recta ortogonais, tal como se representa na Figra.9a. Solicite-se agora esse corpo com m conjnto de forças eteriores. Sob estas acções o corpo deforma-se, passando os pontos OAB para O A B. Da configração indeformada OAB para a configração deformada final O A B pode eistir ma configração deformada intermédia O A B (ver Figra.9b). Nesta configração deformada intermédia podem ocorrer etensões dos segmentos OA e OB mas não haverão distorções, dado qe o segmento O ' A ' mantém-se ortogonal ao segmento O ' B '. Assim, o Joaqim Barros.

12 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade desenvolvimento de distorções o etensões de corte realiza-se drante a passagem da configração O A B para a configração O A B. Configração indeformada Configração deformada Q B' B'' B B O' O'' A'' A' O A O A Q a) Q Figra.9 - Corpo descarregado (configração indeformada), (a), e corpo carregado (configração deformada) (b). b) Pode-se então definir como etensão de corte nm ponto a variação do valor do coseno do ânglo realizado por dois segmentos de recta qe, no estado do corpo indeformado, formam m ânglo recto entre si. Se os pontos O, A e B estiverem inscritos no plano (ver Figra.0), então γ representa a etensão de corte no ponto O do plano. Joaqim Barros.

13 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade X d d d B' B'' d (d / d ) d d B O' θ O'' π _γ θ A'' A' d d d O A d d (d / d ) d Figra.0 - tensão de corte no plano. X Assim, π cos( A '' O'' B'' ) cos γ sinγ. (.8a) Como se admite peqenos deslocamentos e peqenas deformações então sinγ qe: Além disto sabe-se qe: e γ, pelo cos ( A'' O'' B'' ) γ. (.8b) ' '' ' '' ( '' O'' B'' ) cosθ sinθ sinθ θ cos A (.9a) cos ( / ) d ( / ) ' ' d cosθ ; sinθ O'' A'' O'' A'' ( / ) d ( / ) '' '' d sinθ ; cosθ O'' B'' O'' B'' (.9b) Joaqim Barros.

14 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Joaqim Barros.4 pelo qe: ( )( ) γ d d O A O B '' '' '' ''. (.0) Sabe-se ainda qe: '' '' d d d d d A O (.a) dado qe i j / «. Pelo mesmo raciocínio, O B d '' ''. (.b) Sbstitindo (.) em (.0) obtém-se: γ. (.) Se além dos deslocamentos e se se considerar também o deslocamento obtém-se: γ. (.a) Desenvolvendo para os planos e procedimento análogo ao acabado de realizar para o plano obtém-se: γ (.b) para etensão de corte no ponto O no plano e γ (.c) para etensão de corte no ponto O no plano Tensor das etensões Considere-se dois pontos A e B de m corpo sólido tridimensional, sendo ds a distância entre estes dois pontos (ver Figra.).

15 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade X Sólido indeformado Sólido deformado A ds B d d d A' ds' d' B' d' d' X X' X X X X' X X' Figra. - Deformação de m elemento definido por dois pontos (A e B) de m corpo. Ao corpo é aplicado m conjnto de forças qe lhe indzem m estado de deformação. Como resltado, o ponto A move-se para A e o ponto B para B. As coordenadas iniciais dos pontos A e B são,, e d, d, d, respectivamente. Após a deformação as coordenadas destes pontos (A e B ) passam a ser ', ', ' e ' d', ' d', d', respectivamente, conforme se representa na Figra.. O comprimento ds do segmento qe ne os pontos A e B, no corpo indeformado, é obtido por intermédio da seginte relação: ds d d d. (.4) Drante a deformação do corpo, este segmento varia de comprimento e de inclinação. O novo segmento, qe liga os pontos A e B, no corpo deformado, tem comprimento ds' obtido por ds' d' d' d'. (.5) O deslocamento do ponto A para A é caracterizado pelo vector, qe tem as segintes componentes: ' '. (.6) ' De forma similar, o deslocamento do ponto B para B é dado por d, em qe Joaqim Barros.5

16 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Joaqim Barros.6 d d d d d d d d d d d d (.7) constitem as componente do vector d. Sbstitindo (.6) em (.5) obtém-se: ds d d d d d d d d d d d d '. (.8) Considerando a relação (.4), a eqação (.8) redz-se à seginte: ( ) ds ds d d d d d d d d d '. (.9) Sbstitindo (.7) em (.9) obtém-se: ' d d d d d d d d d ds ds. (.0a) Note-se qe ds ds, é nlo se não ocorrer deslocamento relativo entre os pontos A e B qando estes se movem para A e B drante a deformação imposta pelas forças eteriores qe actam no corpo. sta sitação corresponderia a m movimento de corpo rígido. Para ds ds, diferente de valor nlo, o segmento AB mdo de comprimento, i.e., o sólido deforma-se. Assim, ds ds, pode ser escolhido como ma medida apropriada da deformação do sólido. Para definir as componentes de etensão, transforma-se a eqação (.0a) na seginte:

17 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Joaqim Barros ' d d d d d d d d d ds ds (.0b) em qe, (.a) (.b) (.c) γ (.d) γ (.e) γ (.f) qe em notação indicial se converte para: ( ) ik i k k i i k,,,, l l (.) em qe ik, representa a derivada de i em relação a k, i.e., ik i k,. (.) Se as componentes de etensão forem conhecidas, as relações etensão-deslocamento estabelecidas em (.) o (.) constitem m sistema de eqações não lineares de derivadas parciais nas incógnitas deslocamentos. A entidade ik estabelecida em (.) denomina-se de tensor das etensões de Green, apesar de ser salmente considerada como tendo sido introdzida por Green e Saint-Venant. m engenharia tiliza-se, correntemente, em vez de ( ) ik c i k / o γ ik, em qe γ ik ik p i k / (.4) são as etensões de corte.

18 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade m estrtras qe desenvolvam deslocamentos grandes é necessário tilizar o tensor das etensões estabelecido nas eqações (.). No caso de estrtras qe desenvolvam deslocamentos peqenos, os termos infinitesimais de segnda ordem de (.) podem ser desprezados face aos termos de primeira ordem, resltando γ γ γ,,,,,,,,, (.5) o, em notação indicial, ( ) ik i k k i,,. (.6) As componentes de etensão (.) podem ser agrpadas no denominado tensor das etensões de Cachy qe apresenta a constitição seginte: c /, e. (.7) sendo apenas seis as componentes independentes. Note-se qe as eqações (.5) são agora lineares..7 - qações de compatibilidade Apesar de ser necessário conhecer o valor das seis componentes do tensor das etensões, (.7), as eqações (.5) o (.6) contêm apenas três componentes de deslocamento:,,. Assim, este sistema de eqações não possi ma solção única, pelo qe as componentes independentes do tensor das etensões deverão satisfazer algmas condições adicionais. Considere-se, por eemplo, a derivada de γ em relação a e : γ. (.8) Sabe-se qe se f é ma fnção contína então Joaqim Barros.8

19 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade f f (.9) pelo qe, γ. (.40) Como / e / então (.40) redz-se à seginte relação: γ (.4a) o qe significa qe para se obter ma solção única no campo dos deslocamentos as etensões não podem ser independentes entre si. Por raciocínio semelhante obter-se-iam as segintes restantes eqações de compatibilidade: γ (.4b) γ (.4c) γ γ γ (.4d) γ γ γ (.4e) γ γ γ (.4f).8 - Relações tensão-etensão para materiais com elasticidade linear, homogéneos e isotrópicos Considere-se qe a barra representada na Figra. é constitída por m material homogéneo, isotrópico, com comportamento elástico e linear. Joaqim Barros.9

20 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade X X l l l X Figra. - Barra sob estado de tensão niforme. Se nas faces l e 0 for aplicado m estado de tensão niforme, sabe-se, pelas eperiências realizadas por Robert Hooke, qe a barra alongará de ma qantidade l, sofrendo assim ma etensão l l (.4) qe se relaciona com a tensão por intermédio da denominada lei de Hooke: (.4) sendo o módlo de elasticidade longitdinal do material. Sob o estado de tensão, além da etensão, desenvolvem-se etensões nas direcções e, l, l l (.44) l devidas à variação das dimensões da barra nas direcções e, conforme se representa na Figra.. Joaqim Barros.0

21 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade l l l Figra. - Deformações na barra impostas pelo estado de tensão. As etensões e relacionam-se com a etensão por intermédio das segintes relações: υ υ, υ υ (.45) em qe υ é o coeficiente de Poisson. Para os materiais mais tilizados nas estrtras de ngenharia Civil o coeficiente de Poisson e o módlo de elasticidade longitdinal destes materiais é sensivelmente igal em tracção e em compressão. Nos betões correntes o varia entre 5 a 40 GPa, enqanto o υ varia de 0.5 a 0.. Por sa vez o aço apresenta m variando de 90 a 0 GPa e m υ de aproimadamente 0.. Se a barra representada na Figra. estiver sbmetida nas sas faces à acção simltânea de m campo de tensões niforme, e, desenvolvem-se as segintes etensões: [ υ ( )] (.46a) [ υ ( )] (.46b) [ υ ( )] (.46c) em qe se aplico o princípio da sobreposição dos efeitos dado tratar-se de m material com comportamento linear e elástico. Assim, as epressões (.46) podem ser obtidas adicionando os efeitos prodzidos pela actação separada de, e. Sob a actação de desenvolvem-se as segintes componentes de etensão: υ υ ; ;. (.47a) Joaqim Barros.

22 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Sob a acção de ocorrem as segintes componentes de etensão: υ υ ; ;. (.47b) Finalmente, sob a actação de desenvolvem-se as segintes componentes de etensão: υ υ ; ;. (.47c) Adicionando os correspondentes termos de (.47) obtêm-se as epressões (.46). As eqações (.46) definem completamente o estado de deformação de m corpo sjeito às tensões normais, e. Sob estas tensões o corpo sofre apenas etensões normais, e. Assim, se o corpo indeformado for m paralelepípedo, ainda o será após a deformação a qe for sbmetido sob o estado de tensão constitído pelas componentes, e. Pode-se provar qe em corpos constitídos por material isotrópico e com comportamento linear e elástico, as componentes de tensão normal, e apenas prodzem etensões normais, e. Nestes mesmos corpos as componentes de tensão de corte τ, τ e τ apenas indzem etensões de corte γ, γ e γ, qe se relacionam por intermédio das segintes eqações: γ τ τ τ ; γ ; γ (.48) G G G em qe G ( υ) (.49) é o módlo de elasticidade transversal do material. Se o prisma representado na Figra., além de solicitado pela tensão, estiver sbmetido a ma variação de temperatra t desenvolvem-se as segintes etensões: α t υ α t υ α t (.50a) (.50b) (.50c) em qe α é o coeficiente de dilatação térmica do material com valor da ordem de 0-5 para os betões e para os aços. Se o corpo estiver sbmetido, simltaneamente, a tensões, e e à variação de temperatra t desenvolver-se-ão as segintes etensões: Joaqim Barros.

23 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade [ υ ( )] t α, (.5a) [ υ ( )] α t, (.5b) [ υ ( )] α t. (.5c) Um corpo tridimensional sbmetido a tensões normais, e e tensões de corte τ, τ e τ desenvolve etensões normais, e e etensões de corte γ, γ e γ qe em notação matricial se relacionam por intermédio da seginte epressão: γ γ γ ν ν ν ν ν ν ( ν) ( ν) ( ν) τ τ τ (.5a) o em qe C (.5b) { γ γ } T (.5) γ é o vector das componentes de etensão, { τ τ } T (.54) τ é o vector das componentes de tensão e C é a matriz de fleibilidade do elemento. Se além de sbmetido ao estado de tensão caracterizado pelo vector, o corpo estiver também sjeito a ma variação de temperatra de valor t, a epressão (.5b) passará a apresentar a seginte configração: C C t (.55) em qe C α 0 (.56) t t{ 0 0 } T é o vector correspondente à etensão de origem térmica. Invertendo a relação (.5) obtém-se: C D (.57) em qe D é a matriz de elasticidade do material, apresentando a seginte constitição: Joaqim Barros.

24 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade D υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ ( )( ). (.58) υ υ υ υ À relação (.57) também é corrente atribir-se a designação de lei constittiva do material, dado qe D incli as propriedades do material, qe no presente caso se admite ter comportamento linear e elástico. Se o corpo também estiver sbmetido a variação de temperatra t, a sa lei constittiva obtém-se invertendo a eqação (.55), resltando: em qe D D t (.59) α t D { } T t (.60) υ é o vector qe fornece as componentes de tensão de origem térmica. istem estrtras qe, pelo se modo de fncionamento, podem ser consideradas como estando sbmetidas a estado plano de tensão o a estado plano de deformação. As vigas altas e as paredes são eemplos de estrtras sbmetidas a estado plano de tensão, dado qe é nla a tensão normal ao plano da estrtra, 0. Por sa vez, os túneis, as barragens de elevado comprimento longitdinal e os mros de sporte de terras são eemplos de estrtras qe podem ser consideradas sob estado plano de deformação, dado qe é nla a etensão normal ao plano da estrtra, 0. stado Plano de Tensão Uma estrtra é considerada em estado plano de tensão se for geometricamente plana e se for nla a tensão normal ao plano da estrtra. Assim, se a estrtra estiver inscrita, por eemplo, no plano definido pelos eios 0 e 0, então τ τ 0, dado qe as acções qe solicitam essa estrtra actam no plano da estrtra, isto é, no plano. Neste caso as relações (.55) e (.59) passam a apresentar a seginte configração: γ υ 0 υ 0 α t, (.6) 0 0 ( υ) τ 0 Joaqim Barros.4

25 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade υ 0 α υ 0 t υ υ υ τ 0 0 γ. (.6) 0 Note-se qe em estado plano de tensão a etensão pode ser diferente de zero, sendo o se valor obtido atribindo o valor nlo a na eqação (.46c) resltando: ( ) υ. (.6) Se a estrtra estiver sbmetida a ma variação de temperatra t, será adicionado o termo α t a (.6). stado Plano de Deformação Uma estrtra é considerada em estado plano de deformação se for geometricamente plana e se for nla a etensão normal ao plano da estrtra. Assim, se a estrtra estiver inscrita, por eemplo, no plano definido pelos eios 0 e 0, então γ γ 0. Neste caso, as relações (.55) e (.59) passam a apresentar a seginte constitição: τ υ υ 0 υ υ υ ( υα ) 0 t, (.64) γ 0 0 τ 0 υ υ 0 α υ υ 0 t υ υ. (.65) 0 0 γ 0 ( υ)( υ) Note-se qe em estado plano de deformação pode ser não nla. O se valor é obtido a partir da eqação (.46c) tendo em conta qe agora 0, pelo qe: [ ( ) ] 0 υ (.66a) resltando ( ) υ. (.66b) stado de tensão e de deformação nidimensional As barras de estrtras articladas, isto é, de estrtras constitídas por barras com rótlas nas sas etremidades estão sbmetidas ao caso mais simples de estado de tensão e de etensão, dado qe só têm ma componente de tensão e correspondente componente de Joaqim Barros.5

26 strtras I Capítlo - Conceitos básicos da teoria da elasticidade etensão. Assim, se o eio da barra se orientar segndo o eio e se a barra tiver m comprimento mito sperior às dimensões de qalqer ma das possíveis secções transversais (de forma a desprezar as etensões e ), as barras de ma estrtra articlada estarão sbmetidas a estado nidimensional de tensão e de etensão, dado qe τ τ τ 0 e γ γ γ 0. Neste caso as eqações (.55) e (.59) passam a apresentar a seginte configração: e α t (.67) α t (.68) Joaqim Barros.6