Álgebra Linear e Geometria Analítica. Rectas no plano, no espaço e em IR n Planos no espaço e em IR n

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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica Rectas no plano, no espaço e em IR n Planos no espaço e em IR n

2 Em geometria eclidiana: pontos definem ma recta o ponto e a direcção da recta o seja: ponto vector

3

4 ( v, v ) (v,v ) (, )

5 (4,6) ( v, v ) (v,v ) (-3,) (, )

6 (4,6) (7,4) (-3,)

7 Como reconhecer se m ponto estásobre a recta?

8 Como reconhecer se m ponto estásobre a recta? Épreciso encontrar ma condição a qe obedeçam os pontos da recta e sóesses.

9 (k,k ) (, )

10 (k,k ) α β (, )

11 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do eemplo: A (-3, ) ponto (7, 4) vector

12 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do eemplo: A (-3, ) ponto (7, 4) vector P (, y) ponto geral da recta

13 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do eemplo: A (-3, ) ponto (7, 4) vector P (, y) ponto geral da recta P A α

14 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do eemplo: A (-3, ) ponto (7, 4) vector P (, y) ponto geral da recta P A α (, y) (-3, ) α(7, 4)

15 Como encontrar a tal condição? P A α (, y) (-3, ) α(7, 4) eqação vectorial y α α eqações paramétricas

16 y α α

17 y α α α y

18 y α α α y y 6

19 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do eemplo: A (-3, ) ponto (7, 4) vector P (, y) ponto geral da recta 4 7 y 6

20 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do eemplo: A (-3, ) ponto (7, 4) vector P (, y) ponto geral da recta 4 7 y 6 Eqação Cartesiana

21 Observemos: A (-3, ) (7, 4) ponto vector 4 7 y 6 4 ( 3) 7 6

22 Observemos: A (-3, ) (7, 4) ponto vector 4 7 y 6 4 ( 3)

23 Observemos: A (-3, ) (7, 4) ponto vector 4 7 y 6 4 ( 3) ( 4,7) (7,4) 0

24 Eqação geral da recta no plano: a by c

25 Em geral: A (a, a ) ponto (, ) vector (, y) (a, a ) α(, )

26 Em geral: A (a, a ) (, ) (, y) (a, a ) α(, ) ponto vector y a a α α

27 Em geral: A (a, a ) ponto (, ) vector (, y) (a, a ) α(, ) a y a α α a a y a α

28 Em geral: A (a, a ) ponto (, ) vector (, y) (a, a ) α(, ) a y a α α a a y a α ( ) a a y

29 Em geral: A (a, a ) (, ) (, y) (a, a ) α(, ) y a ( ) a ponto vector y a a

30 Em geral: A (a, a ) (, ) (, y) (a, a ) α(, ) y a ( ) a ponto vector Eqação redzida y a a

31 Eqação redzida: Diz-se qe temos ma eqação redzida da recta no plano se tivermos ma eqação do tipo: y m h

32 Eqação redzida: Diz-se qe temos ma eqação redzida da recta no plano se tivermos ma eqação do tipo: y m h a a h m a a y

33 θ

34 tg θ θ

35 Declive da recta: A tg θ chama-se declive da recta m h a a

36 Declive da recta: A tg θ chama-se declive da recta m h a a y m h m h declive ordenada na origem

37

38 Declive da recta: A tg θ chama-se declive da recta Rectas paralelas têm o mesmo declive

39 - y - y - - y -4 - y 6

40 Rectas ortogonais: A recta L definida por { A α} éortogonal à recta L definida por { B αv} se os vectores e vforem ortogonais, isto ése. v 0

41 y y 9

42 Rectas ortogonais: Spor qe: L definida por { A α} tem eqação redzida y m h L definida por { B αv} tem eqação redzida y m h Se as rectas são ortogonais qal a relação entre m e m?

43 a a h m Recta L: Recta L : ' ' b v v b h v v m

44 a a h m Recta L: Recta L : ' ' b v v b h v v m 0 0 v v v

45 a a h m Recta L: Recta L : ' ' b v v b h v v m 0 0 v v v v v

46 a a h m Recta L: Recta L : ' ' b v v b h v v m 0 0 v v v ' m m v v

47 Ânglo de das rectas: O ânglo de das rectas éigal ao ânglo entre os vectores qe definem as rectas

48 Posição relativa de das rectas: Das rectas no plano podem ser: Paralelas Coincidentes Concorrentes: Perpendiclares Oblíqas

49 Posição relativa de das rectas: Como reconhecer cada caso?

50 Posição relativa de das rectas: Como reconhecer cada caso? recta r : a by c 0 recta s : a' b' y c' 0

51 Posição relativa de das rectas: Como reconhecer cada caso? 0 ' ' ' : 0 : c y b a s recta c by a r recta 0 ' ' ' 0 c y b a c by a

52 a by a' b' y c 0 c' 0 ºcaso: sistema possível e determinado: as rectas são concorrentes ºcaso: sistema impossível: as rectas são paralelas 3ºcaso: sistema indeterminado: as rectas são coincidentes

53 Distância de m ponto a ma recta

54 Distância de m ponto a ma recta Eemplo

55 Eqação da recta: 3 4y Eqação geral da família de rectas perpendiclares à recta: 4 3y h Eqação da recta perpendiclar àrecta dada qe passa no ponto A (5, ): h y 7

56 3 4 4y 3y 7 y

57 3 4 4y 3y 7 y

58 3 4 4y 3y 7 y ( 5 4.6) ( 0. ) d( A, B) d( A, B).4

59 Otra forma de calclar a distância: Encontrar m vector nnormal àrecta Considerar m ponto Psobre a recta Considerar o vector AP Fazer a projecção de APsobre n.

60 Distância do ponto A (, y ) àrecta de eqação a by c 0 d a by c a b

61 Rectas em IR 3 Para definir ma recta são necessários: pontos o ponto e vector

62 P P L {P α} L {0 α}

63 Eqações de rectas no espaço: L {P α} com P (p, p, p 3 ) e (,, 3 )

64 Eqações de rectas no espaço: L {P α} com P (p, p, p 3 ) e (,, 3 ) 3 3 p z p y p α α α

65 Eqações de rectas no espaço: L {P α} com P (p, p, p 3 ) e (,, 3 ) 3 3 p z p y p α α α 3 3 p p z p p y p α

66 Planos em IR 3 Para definir m plano são necessários: 3 pontos não colineares o ponto e vectores linearmente independentes ponto e vector ortogonal ao plano

67 Planos em IR 3 Um plano Mém conjnto de pontos da forma: M { P α v :, IR} β α β em qe Pém ponto e e vsão vectores linearmente independentes.

68 Eemplo Encontrar ma condição qe defina o plano M sendo: P (,,-3), (,,) e v (,0,4)

69 Eemplo Encontrar ma condição qe defina o plano M sendo: P (,,-3), (,,) e v (,0,4) (, y, z) (,,-3) α(,,) β(,0,4)

70 Eemplo Encontrar ma condição qe defina o plano M sendo: P (,,-3), (,,) e v (,0,4) (, y, z) (,,-3) α(,,) β(,0,4) β α α β α 4 3 z y

71 β α α β α 4 3 z y z y z y z y

72 z y z y y z y

73 z y y 4 3 z 4 8 3y z 8 8 3y z 8

74 Eemplo (otra forma de calclar) Encontrar ma condição qe defina o plano M sendo: P (,,-3), (,,) e v (,0,4)

75 Eemplo Encontrar ma condição qe defina o plano M sendo: P (,,-3), (,,) e v (,0,4) ºpasso: encontrar m vector nortogonal ao plano

76 4 0 "det" 3 e e e n 3 0 det 4 det 4 0 det e e e n ( ) 3, 8, e e e n

77 n ( X P) 0

78 n ( X P) 0 ( 8, 3, ) (, y, z 3) 0

79 n ( X P) 0 ( 8, 3, ) (, y, z 3) 0 8 3y z

80 ( ) 0 P X n ( ) ( ) 0 3,, 3,, 8 z y z y z y

81 Distância de m ponto a m plano: M { P α v :, R} β α β Q ponto qe não pertence ao plano

82 Distância de m ponto a m plano: M { P α v :, R} β α β Q ponto qe não pertence ao plano n vector ortogonal ao plano

83 Distância de m ponto a m plano: M { P α v :, R} β α β Q ponto qe não pertence ao plano n vector ortogonal ao plano d( Q, M ) ( P Q) n n

84 Distância de m ponto a m plano: M { P α v :, R} β α β Q ( 0, y 0, z 0 ) ponto qe não pertence ao plano n (a, b, c) vector ortogonal ao plano de eqação a by cz d 0 d( Q, M ) ( P Q) n n a 0 a by 0 b cz 0 c d

85

86 n Q P

87 n Q P

88 n Q P

89 Ânglo entre dois planos: O ânglo entre dois planos éigal ao ânglo entre os vectores ortogonais aos planos

90 Posição relativa de dois planos: A intersecção de dois planos não paralelos é ma recta Dois planos paralelos o têm intersecção vazia o são coincidentes

91 Posição relativa de dois planos: A intersecção de dois planos não paralelos é ma recta Dois planos paralelos o têm intersecção vazia o são coincidentes Planos paralelos têm o mesmo vector ortogonal. Dois planos paralelos são coincidentes se m ponto de m dos planos pertencer ao otro.

92 Planos paralelos: a by cz d e a by cz d são paralelos o vector normal én (a, b, c)

93 Planos paralelos: a by cz d e a by cz d são paralelos o vector normal én (a, b, c) A distância entre os dois planos paralelos é dada por d d ' n

94 Ânglos entre rectas e planos: Define-se o ânglo entre ma recta e m plano através do ânglo entre m vector com a direcção da recta e m vector normal ao plano.

95 Ânglos entre rectas e planos: Define-se o ânglo entre ma recta e m plano através do ânglo entre m vector com a direcção da recta e m vector normal ao plano. Qal a relação entre estes ânglos?