AULA Exercícios. DEMONSTRAR QUE UMA TRANSFORMAÇÃO É LINEAR Se A é uma matriz real m n e. u R, a aplicação T : R R tal que

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1 Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta préia das soluções propostas, análise comparatia entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição junto do docente de todas as dúidas associadas. TÓPICOS Exercícios. AULA. Exercícios. DEMONSTRAR QUE UMA TRANSFORMAÇÃO É LINEAR... Se A é uma matriz real m n e n u R, a aplicação T : R R tal que T ( Au é uma transformação linear dado que, u, R, α, β R, T( αu + β) A( αu + β) A( α + A( β) α( A + β( A) α T( + β T( ) n n m Por exemplo, sendo A, u,, α e β 4, temos T( α u + β ) A( α u + β ) ( ) α T( + β T( ) α Au + β A ( ) + 4 ( ) Prof. José Amaral ALGA A

2 .. Recorrendo à definição aerigue se é linear a transformação T : R R ; T( x, y, z) ( xy, y, x + z) Uma função T : E E é uma transformação linear se:. T( α α T(. T ( u + ) T( + T( ) Para o caso presente temos T( α T( α( x, y, z)) ( αxαy, αy, α x +αz) αα ( xy, y, x + z) αt( α ( xy, y, x + z) Logo T não é uma transformação linear... Recorrendo à definição aerigue se é linear a transformação T : R R ; T( x) x. Uma função T : E E é uma transformação linear se:. T( α α T(. T ( u + ) T( + T( ) Para o caso presente temos T( α ( αx) αx ααt( αt( Logo T não é uma transformação linear..4. Recorrendo à definição aerigue se é linear a transformação T : R R ; T( x, y, z) x y z. Uma função T : E E é uma transformação linear se:. T( α α T(. T ( u + ) T( + T( ) Para o caso presente temos Prof. José Amaral ALGA A

3 T( α T( α( x, y, z)) αx αy αz α x y z αt( T( u + ) T(( x, y, z ) + ( x, y, z )) T( + T( ) Logo T é uma transformação linear. T(( x + x, y + y, z + z )) x + x y + y z + z x y z + x y z T(( x, y, z )) + T(( x, y, z )).5. Recorrendo à definição aerigue se é linear a transformação, x y T : R R ; T ( x, x + y + ) z. Uma função T : E E é uma transformação linear se:. T( α α T(. T ( u + ) T( + T( ) Para o caso presente temos x y T( α T α z αx αy T z α α ( αx, α x +α y +α) ( αx, α ( x + y + )) α ( xx, + y+ ) αt( Prof. José Amaral ALGA A

4 x y x y T( u + ) T + z z T( + T( ) Logo T é uma transformação linear. x + x y + y T z z + + ( x + x,( x + x ) + ( y + y ) + ( + )) ( x + x,( x + y + ) + ( x + y + )) ( x, x + y + ) + ( x, x + y + ) DETERMINAR O NÚCLEO E A IMAGEM DE UMA TL.6. Dada a transformação linear T : R R definida por Txyz (,, ) (x+ y zx, y,y z) Determine o núcleo e a imagem de T. Determine uma base e a dimensão destes subespaços. Verifique o teorema enolendo a nulidade e a característica de T. O Nuc( T ) é o conjunto de soluções do sistema homogéneo Ax, sendo A a matriz da transformação T relatia a quaisquer bases escolhidas em R. Considerando as bases canónicas temos Txyz (,, ) (x+ y zx, y,y z) x + y z x y y z x y z A transformação tem, relatiamente às bases canónicas, a matriz A Logo, sendo Nuc( T ) o conjunto de soluções do sistema homogéneo Ax, temos O sistema é simplesmente indeterminado, com z lire, x z e y z, logo com solução geral Prof. José Amaral ALGA A

5 x z z y z, z R z z Fica assim determinado Nuc( T ) e uma sua base: { } Nuc( T) L((,, )) k(,, ) : k R {(,, ) } é uma base de Nuc( T ) dim(nuc( T )) Im( T ) é o espaço gerado pelos ectores que constituem as colunas de A, sendo A a matriz da transformação T relatia a quaisquer bases escolhidas em R. Dado que, como imos, a transformação tem, relatiamente às bases canónicas, a matriz A para determinar Im( T ) basta deduzir o espaço gerado pelas colunas de A. Temos Fica assim determinado Im( T ) e uma sua base: Podemos erificar que Im( T) L((,,),(,, )) + { k(,,) k(,,) : k, k R} {( xyx,, y): xyz,, R} {( xyz,, ) R : z x y} {(,, ),(,, ) } é uma base de Im( T ) dim(im( T )) dim( R ) dim(nuc( T)) + dim(im( T)) +.7. Dada a transformação linear T : R R definida por Txy (, ) ( xyy, x,x y) Determine o núcleo e a imagem de T. Determine uma base e a dimensão destes subespaços. Verifique o teorema enolendo a nulidade e a característica de T. Prof. José Amaral ALGA A

6 O Nuc( T ) é o conjunto de soluções do sistema homogéneo Ax, sendo A a matriz da transformação T relatia a quaisquer bases escolhidas em R. Considerando as bases canónicas temos Txy (, ) ( xyy, x,x y) x y y x x y x y A transformação tem, relatiamente às bases canónicas, a matriz A Logo, sendo Nuc( T ) o conjunto de soluções do sistema homogéneo Ax, temos O sistema é simplesmente indeterminado, com y lire e x y, logo com solução geral x y y, y y y R Fica assim determinado Nuc( T ) e uma sua base: { } Nuc( T) L((,)) k(,) : k R {(, ) } é uma base de Nuc( T ) dim(nuc( T )) Im( T ) é o espaço gerado pelos ectores que constituem as colunas de A, sendo A a matriz da transformação T relatia a quaisquer bases escolhidas em R. Dado que, como imos, a transformação tem, relatiamente às bases canónicas, a matriz A para determinar Im( T ) basta deduzir o espaço gerado pelas colunas de A. Temos Prof. José Amaral ALGA A

7 Fica assim determinado Im( T ) e uma sua base: Podemos erificar que Im( T) L((,, )) {( x, x, x): x, y, z R} {( xyz,, ) R : y x z x} {(,, ) } é uma base de Im( T ) dim(im( T )) dim( R ) dim(nuc( T)) + dim(im( T)) + MOSTRAR QUE UMA TL É INJECTIVA, ETC..8. Dada a transformação linear T : R Verifique se T é injectia e sobrejectia. R definida por Txyz (,, ) (x+ y zx, y,y z) A transformação T é injectia sse Nuc( T ) E. Vimos em.6. que Nuc( T) L((,, )) {(,, ) }, logo T não é injectia. A transformação T é sobrejectia sse dim(im( T )) dim( E ) Vimos em.6. que dim(im( T )) dim( R ), logo T não é sobrejectia..9. Dada a transformação linear T : R R definida por Txyz (,, ) ( x, zx+ y) Sem efectuar quaisquer cálculos e justificando adequadamente, mostre que T não é bijectia. A transformação não é bijectia porque, sendo a dimensão do espaço dos objectos superior à dimensão do espaço de chegada a função nunca poderá ser injectia: para que T seja injectia dee ser Nuc( T ) E, ora, dado que e sendo dim( R ) dim(nuc( T)) + dim(im( T)) dim(im( T)) dim( R ), então dim(nuc( T )) logo Nuc( T ) E. Prof. José Amaral ALGA A

8 CALCULAR A IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR... Sendo A a matriz canónica de uma transformação linear Temos T : R R, determine T (, ). 6 Au 8 A imagem do ector u e + e é o ector T ( 6e e + 8e. >> A[ ; - -; ]; >> u[ ]'; >> A*u Sendo A a matriz canónica de uma transformação linear T : R R, determine T (,, ). Temos 6 Au A imagem do ector u e + e + e é o ector T ( 6e + e. >> A[- ; - ]; >> u[ ]'; >> A*u 6 Prof. José Amaral ALGA A

9 .. Sendo A a matriz canónica de uma transformação linear Temos T : R R, determine T (,,). Au 6 A imagem do ector u e + e + e é o ector T ( e + 6e e. >> A[- ; - ;- -]; >> u[ ]'; >> A*u Dada a transformação linear T : R R, que consiste numa reflexão sobre o eixo dos yy, seguida duma rotação de π (no sentido directo) e duma projecção ortogonal sobre o eixo dos yy, determine T (, ). Como imos, a uma reflexão sobre o eixo dos yy corresponde a matriz de transformação A, a uma rotação de um ângulo θ no sentido directo corresponde a matriz de transformação A cos( θ) sen( θ) sen( θ) cos( θ), e a uma projecção ortogonal sobre o eixo dos yy corresponde a matriz de transformação A Sendo a transformação T uma composição das transformações elementares, temos Prof. José Amaral ALGA A

10 Prof. José Amaral ALGA A π π π π ) cos( ) sen( ) sen( ) cos( ) ( u A A A u T >> A[- ; ]; >> tetapi/; >> A[cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)]; >> A[ ; ]; >> AA*A*A A -.. >> u[ ]'; >> A*u Considere a seguinte matriz dos értices de um triângulo em R r T Determine a imagem final (os értices) do triângulo quando é reflectido sobre o eixo dos yy, e depois rodado de π no sentido directo. Dado que a uma reflexão sobre o eixo dos yy corresponde a matriz de transformação A, e a uma rotação de um ângulo π no sentido directo corresponde a matriz de transformação θ θ θ θ ) cos( ) sen( ) sen( ) cos( A A matriz da transformação é

11 Prof. José Amaral ALGA A A A A Dado que os értices do triângulo correspondem a ectores coluna correspondentes a cada uma das colunas da matriz r T r T, resulta que ao produto r AT corresponde uma matriz [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] r A A A AT em que cada uma das colunas corresponde à imagem de cada um dos értices do triângulo AT r >> tetapi/; >> A[cos(teta) -sin(teta);... sin(teta) cos(teta)]; >> AA*A; >> Tr[ ; ]; >> A*Tr ans

12 VERIFICAR SE UMA IMAGEM PODE RESULTAR DE UMA DADA TL.5. Seja T : R R uma transformação linear tal que T(,, ) (,,) T(,, ) (,, ) T(,,) (,, ) O ector (,, ) pertencerá à imagem de T? Justifique. Designando por A a matriz canónica da transformação, temos Txyz (,, ) A ( xyz,, ), logo, escreendo a equação matricial das equações acima, resulta, logo A A Para que (,, ) pertença à imagem de T o sistema deerá ser possíel. Sendo x y z o sistema é impossíel, logo (,, ) não pertence à imagem de T. Alternatiamente poderíamos ter determinado a expressão da transformação linear Txyz (,, ) A( xyz,, ) x y z ( x y + z, z, ( x y + z)) Prof. José Amaral ALGA A

13 e ter concluído de imediato que (,, ) não pertence à imagem de T, dado que que todos os ectores pertencentes à imagem têm a primeira coordenada simétrica à terceira..6. Diga quais das imagens, de b) a d), são compatíeis com uma transformação linear do objecto da figura a) e determine as transformações lineares correspondentes. a) b) c) d) e).7. Sendo Dados um ector u e um ector com a mesma direcção de u, ku, e sendo a imagem de u o ector Au, temos z A Aku kau k Numa transformação linear T : R R, ectores paralelos têm por imagem ectores paralelos, pelo que é imediato reconhecer que a imagem b) não resulta duma transformação linear do objecto a). Numa transformação linear T : R R a imagem do ector nulo é o ector nulo, A, pelo que é imediato reconhecer que as imagens c) e d) não resultam duma transformação linear do objecto a). Atendendo à imagem e), dado que T( e ) T(,) T(,) T( e ) T(,) T(,), e sendo a matriz da transformação linear T : R A T e ) T( e ), temos de imediato dada por [ ] ( A A transformação linear em causa é, portanto, T x, x ) (x x, x + ) ( x Por exemplo, para a diagonal do quadrado, temos Au A 4 n n n n R Prof. José Amaral ALGA A

14 a matriz canónica da transformação linear T : R R, erifique se os ectores (4,, 8), (, ), ( 8,, 8), 4 (,, ) e 5 (,, ) pertencem à imagem (ou contradomínio) de T. O ector (, ) não pertence à imagem de T, dado que R e o contradomínio de T está contido em R. O ector 4 (,, ) pertence, dado que, para toda a transformação linear, a imagem do ector nulo é o ector nulo ( A ). Quanto aos ectores, e 5 podemos erificar se pertencem à imagem de T de diersos modos. Por exemplo, dado que A é a matriz a transformação e tendo em atenção que temos Resolendo o sistema >> A[ -; ; -4]; >> B[4-8]'; >> rref([a B]) ans - - Au u 4 u 4 4 u u 8 4, concluímos que o sistema é possíel, pelo que é uma imagem da transformação. Aliás (dado que o sistema é possíel e determinado) podemos mesmo concluir que u (, ) é o objecto cuja imagem é. De modo idêntico temos u 4 8 u u 8 4 Prof. José Amaral ALGA A

15 Resolendo o sistema >> A[ -; ; -4]; >> B[-8-8]'; >> rref([a B]) ans -, concluímos que o sistema é possíel, pelo que é uma imagem da transformação ( u (,) é o objecto cuja imagem é ). Por último, temos Resolendo o sistema >> A[ -; ; -4]; >> B[ ]'; >> rref([a B]) ans 5 u5 4 u 4 u, concluímos que o sistema é impossíel, pelo que não é uma imagem da transformação. Outro modo de abordar a questão seria determinar o subespaço de R gerado pelas colunas da matriz da transformação. Ou seja, sendo a (,, ) e a (,, 4) os ectores correspondentes às colunas da matriz da transformação, uma imagem, (, ), não é mais do que uma combinação linear destes ectores, sendo os coeficientes as coordenadas do objecto que lhe dá origem u u, u ) ( Prof. José Amaral ALGA A

16 u 4 u + u u a a Au O problema pode assim ser interpretado como um problema de determinação de um subespaço gerado por um conjunto de ectores. Resolendo o sistema u 4 u, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, resulta >> A[ -; ; -4]; >> B[ ].' >> escalonar([a B]) [, -, ] [,, ] [, -4, ] Passo : (-)*L + L > L [, -, ] [, 9, -*] [, -4, ] Passo : (/9)*L > L [, -, ] [,, /9*-/9*] [, -4, ] Passo : ()*L + L > L (4)*L + L > L [,, /*+/*] [,, /9*-/9*] [,, +4/9*-8/9*] Concluímos que, para que o sistema seja possíel, deerá ser Fica assim determinada a condição que caracteriza o subespaço das imagens. Podemos erificar que (4,, 8) e ( 8,, 8) erificam a restrição ( ( ) 9 8 e 8 ( 8) 4 9 ( 8), e portanto pertencem à imagem da transformação, mas 5 (,, ) não erifica ( ), e portanto não pertence à imagem. Prof. José Amaral ALGA A