5. Funções lineares em R n. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 1 / 39

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1 5. Funções lineares em R n ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 1 / 39

2 5.1 Definição e propriedades básicas 5.1 Definição e propriedades básicas Definição: uma função f : E F entre espaços vetoriais E e F diz-se linear se e só se f(au + bv) = af(u)+bf(v) para quaisquer u, v E; ou seja, se e só se f(u + v) = f(u)+f(v) para quaisquer u, v E; f(au) = af(u) para quaisquer u E e a R. Exemplos: 1. As funções nulas f : E F, u 0 F são todas lineares. 2. As funções identidade id : E E, u u são todas lineares. 3. A função f : R R, x x não é linear: 2 = f(1+1) f(1)+f(1) = 1+ 1 = A função f : R R, x 2x é linear: f(ax + by) = 2(ax + by) = a(2x)+b(2y) = af(x)+bf(y). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 2 / 39

3 5.1 Definição e propriedades básicas 5. f : R R é linear se e só se f(x) = sx para algum s R: tal como no exemplo 4 se verifica que f(x) = sx é uma função linear; se f : R R é linear e f(1) = s, então para quaisquer x R, f(x) = f(x 1) = x f(1) = sx. 6. f : R 2 R é linear se e só se f((x, y)) = sx + ty para alguns s, t R: Se f((x, y)) = sx + ty com s, t R, então f é linear: f(a(x 1, y 1 )+b(x 2, y 2 )) = f((ax 1 + bx 2, ay 1 + by 2 )) = s(ax 1 + bx 2 )+t(ay 1 + by 2 ) = a(sx 1 + ty 1 )+b(sx 2 + ty 2 ) = af((x 1, y 1 ))+bf((x 2, y 2 )); Se f : R 2 R for linear e s = f((1, 0)) e t = f((0, 1)), então f((x, y)) = f(x(1, 0)+y(0, 1)) = xf((1, 0))+yf((0, 1)) = sx + ty. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 3 / 39

4 5.1 Definição e propriedades básicas Dada uma função linear f : E F: f(0 E ) = f(0 0 E ) = 0 f(0 E ) = 0 F. Se v = a 1 v 1 + +a k v k com v 1,..., v k E e a 1,..., a k R, então: f(v) = f(a 1 v 1 + +a k v k ) = a 1 f(v 1 )+ +a k f(v k ). Exemplos: 1. Existe alguma função linear f : R 3 R 2 tal que f((1, 1, 0)) = (1, 0), f((1, 0, 1)) = (0, 1) e f((0, 1, 1)) = (1, 1)? Não porque (0, 1, 1) = (1, 1, 0) (1, 0, 1), mas f((0, 1, 1)) = (1, 1) (1, 0) (0, 1) = f((1, 1, 0)) f((1, 0, 1)). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 4 / 39

5 5.1 Definição e propriedades básicas 2. Sabendo que f : R 3 R 2 é uma função linear tal que f((1, 1, 0)) = (2, 3), f((0, 2, 1)) = (0, 1) e f((1, 0, 0)) = (1, 1), como calcular f((2, 3, 4)) (caso seja possível)? Como {(1, 1, 0),(0, 2, 1),(1, 0, 0)} é uma base de R 3 : = = 1 0. (2, 3, 4) é combinação linear dos vetores (1, 1, 0), (0, 2, 1) e (1, 0, 0): a = 11 (2, 3, 4) = a(1, 1, 0)+b(0, 2, 1)+c(1, 0, 0) b = 4 c = 9 Logo, f((2, 3, 4)) = f(11(1, 1, 0)+4(0, 2, 1) 9(1, 0, 0)) f linear = 11 f((1, 1, 0))+4 f((0, 2, 1)) 9 f((1, 0, 0)) = 11(2, 3)+4(0, 1) 9(1, 1) = (13, 46). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 5 / 39

6 5.1 Definição e propriedades básicas Se B = (v 1,..., v n ) é uma base ordenada de E e u 1,..., u n F, existe uma e uma só função linear f : E F tal que f(v 1 ) = u 1,..., f(v n ) = u n. Mais concretamente, se [v] B = (a 1,, a n ), então f(v) = f(a 1 v 1 + +a n v n ) = a 1 f(v 1 )+ +a n f(v n ) = a 1 u 1 + +a n u n note-se que a função linear f : E F a existir, tem que ser esta; e não é muito difícil mostrar que esta função f assim definida é linear. Exemplos: 1. Determine, caso exista, uma função linear f : R 2 R 2 tal que f((1, 0)) = (0, 1) e f((1, 1)) = (1, 0). Como ((1, 0),(1, 1)) é uma base ordenada de R 2, existe uma e uma só função linear f nas condições pedidas. { a = x y Assim, (x, y) = a(1, 0)+b(1, 1) b = y f((x, y)) = f((x y)(1, 0)+y(1, 1)) = (x y) f((1, 0))+y f((1, 1)) = (x y)(0, 1)+y(1, 0) = (y, x + y). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 6 / 39

7 5.1 Definição e propriedades básicas 2. Determine, caso exista, uma função linear f : R 3 R 3 tal que f((1, 1, 0)) = (1, 0, 0) e f((0, 1, 1)) = (0, 0, 1). Como (1, 1, 0) e (0, 1, 1) são linearmente independentes, a função linear f existe. B = ((1, 1, 0),(0, 1, 1),(1, 0, 0)) é uma base ordenada de R 3 e, para cada escolha de u R 3, existe uma função linear nas condições pedidas que satisfaz também f((1, 0, 0)) = u. Podemos escolher, por exemplo, u = (0, 0, 0). c = x y + z (x, y, z) = a(1, 1, 0)+b(0, 1, 1)+c(1, 0, 0) a = y z b = z f((x, y, z)) = (y z) f((1, 1, 0))+z f((0, 1, 1))+(x y + z) f((1, 0, 0)) = (y z)(1, 0, 0)+z(0, 0, 1) = (y z, 0, z). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 7 / 39

8 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear Dada uma função linear f : E F: A imagem de f é o conjunto Im(f) = {f(v) : v E} F. O núcleo de f é o conjunto N(f) = {v E : f(v) = 0 F } E. Note-se que: Se {v 1,, v n } gera E, então {f(v 1 ),, f(v n )} gera Im f. Em particular, Im f é um subespaço vetorial de F. N(f) é um subespaço vetorial de E: se u, v N(f), então f(au + bv) = af(u)+bf(v) = 0 F ; logo au + bv N(f). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 8 / 39

9 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear 1. Determine Im(f) e N(f) para a função linear f((x, y, z)) = (x + y z, 2x + y, 3x + y + z). (x + y z, 2x + y, 3x + y + z) = x(1, 2, 3)+y(1, 1, 1)+z( 1, 0, 1) ; f((1, 0, 0)) = (1, 2, 3), f((0, 1, 0)) = (1, 1, 1) e f((0, 0, 1)) = ( 1, 0, 1) ; Im(f) = (1, 2, 3), (1, 1, 1), ( 1, 0, 1) ; r r r s s 2r s 2r ; t t 3r r 2s + t logo Im(f) = {(r, s, t) R 3 : r 2s + t = 0} f((x, y, z)) = (0, 0, 0) { { x + y z = 0 x = z ; y + 2z = 0 y = 2z N(f) = {( z, 2z, z) : z R} = ( 1, 2, 1). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 9 / 39

10 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear 2. Determine Im(f) e N(f) para a função linear f((x, y, z)) = (x + 2y z, 2x + y + z). (x + 2y z, 2x + y + z) = x(1, 2)+y(2, 1)+z( 1, 1) ; logo Im(f) = (1, 2),(2, 1),( 1, 1) = R 2 ; f((x, y, z)) = (0, 0) { z = x + 2y 3x + 3y = 0 { z = y x = y logo N(f) = {( y, y, y) : y R} = ( 1, 1, 1). ; 3. Determine Im(f) e N(f) para a função linear 1 1 r 1 1 s 2 0 t f((x, y)) = (x + y, x y, 2x). 1 1 r 0 2 s r 0 2 t 2r 1 1 r 0 2 s r 0 0 t + s 3r ; Im(f) = {(r, s, t) R 3 : t + s 3r = 0} ; f(x, y) = (0, 0, 0) (x, y) = (0, 0) e portanto N(f) = {(0, 0)}. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 10 / 39

11 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear Em suma: dada uma função linear f : R n R m e considerando a base ordenada canónica B = (e 1, e 2,..., e n ) de R n, definimos M(f) = f(e 1 ) f(e 2 ) f(e n ) {f(e 1 ), f(e 2 ),, f(e n )} é um conjunto gerador de Im(f); r 1.. Im(f) = (r 1,, r m ) R m : o sistema M(f) é possível ; N(f) é o conjunto da soluções do sistema homogéneo ( M(f) 0 ) ; se M(f) A com A em escada, então: dim(im(f)) = número de pivots de A ; dim(n(f)) = número de colunas sem pivots de A ; r m Conclusão: dim(im(f))+dim(n(f)) = dim(r n ). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 11 / 39

12 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear Em geral, se f : E F é linear, então dim(im(f))+dim(n(f)) = dim(e). Exemplos: 1. Existe alguma função linear f : R 2 R 3 com N(f) = (1, 1) e Im(f) = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0}? Não porque dim(n(f))+dim(im(f)) = 1+2 dim(r 2 ). 2. Existe alguma função linear f : R 3 R 3 tal que N(f) = (0, 1, 1) e Im(f) = (1, 1, 0),(0, 1, 0)? dim(n(f))+dim(im(f)) = 1+2 = dim(r 3 ). B = {(0, 1, 1),(1, 0, 0),(0, 1, 0)}: base de R 3 contendo base de N(f). A única função linear que satisfaz f((0, 1, 1)) = (0, 0, 0), f((1, 0, 0)) = (1, 1, 0) e f((0, 1, 0)) = (0, 1, 0) está nas condições pedidas: (0, 1, 1) N(f) e (1, 1, 0),(0, 1, 0) Im(f) ; mas como dim(n(f))+dim(im(f)) = 3, temos que ter (0, 1, 1) = N(f) e (1, 1, 0),(0, 1, 0) = Im(f). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 12 / 39

13 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear 3. Existe alguma função linear f : R 4 R 5 cuja imagem é R 5? Não porque dim(im(f)) dim(r 4 ) = Determine, caso exista, uma função linear f : R 2 R 2 tal que N(f) = Im(f) = {(x, y) R 2 : x = y}. {(1, 1)} é uma base de ambos N(f) e Im(f); {(1, 1),(1, 0)} é uma base de R 2 contendo o vetor (1, 1); A única função linear f : R 2 R 2 que satisfaz f((1, 1)) = (0, 0) e f((1, 0)) = (1, 1) está nas condições pedidas. (x, y) = a(1, 1)+b(1, 0) = (a+b, a) { b = x y a = y ; f((x, y)) = y f((1, 1))+(x y) f((1, 0)) = (x y, x y). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 13 / 39

14 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear 5. Determine, caso exista, uma função linear f : R 3 R 3 tal que N(f) = Im(f). Não existe: dim(n(f))+dim(im(f)) = 2 dim(n(f)) 3 = dim(r 3 ). 6. Existe alguma função linear f : R 3 R 2 cujo núcleo é o plano x y + z = 0 e a imagem é a reta x = y. {(1, 0, 1),(0, 1, 1)} é uma base de N(f) e {(1, 1)} é uma base de Im(f); {(1, 0, 1),(0, 1, 1),(1, 0, 0)} base de R 3 contendo uma base de N(f); a única função linear definida por f((1, 0, 1)) = (0, 0), f((0, 1, 1)) = (0, 0) e f((1, 0, 0)) = (1, 1) está nas condições pedidas; ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 14 / 39

15 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear Funções lineares injetivas e sobrejetivas Uma função linear f : E F diz-se sobrejetiva se Im(f) = F. injetiva se f(u) = f(v) u = v. Observação: f : E F é injetiva N(f) = {0 E }. f(u) = f(v) 0 F = f(u) f(v) = f(u v) u v N(f). 7. Não existe nenhuma função linear injetiva f : R 4 R 3 porque dim(n(f)) = dim(r 4 ) dim(im(f)) 4 3 = Não existe nenhuma função linear sobrejetiva f : R 3 R 4 porque dim(im(f)) = dim(r 3 ) dim(n(f)) 3. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 15 / 39

16 Isomorfismos Funções lineares em R n 5.2 Imagem e núcleo de uma função linear Uma função linear f : E F é um isomorfismo se f é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Se f : E F é um isomorfismo, então dim(e) = dim(f) : dim(e) = dim(n(f))+dim(im(f)) = 0+dim(F). 9. Não existe nenhum isomorfismo f : R 3 R 2. Dois espaços vetoriais E e F dizem-se isomorfos se existir um isomorfismo f : E F. Resultado: Todo o espaço vetorial de dimensão n é isomorfo a R n. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 16 / 39

17 5.3 Caracterização das funções lineares em R n 5.3 Caracterização das funções lineares em R n Se B = (e 1, e 2,..., e n ) é a base ordenada canónica de R n e f : R n R m é uma função linear com f(e 1 ) = (a 11,..., a m1 ),..., f(e n ) = (a 1n,..., a mn ), então: f(x 1,..., x n ) = f(x 1 e x n e n ) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ) = x 1 (a 11,..., a m1 )+ +x n (a 1n,..., a mn ) = (a 11 x a 1n x n,..., a m1 x a mn x n ) a 11 a 12 a 1n x 1 x 1 a 21 a 22 a 2n x 2 =.... = M(f) x 2.. a m1 a m2 a mn x n x n ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 17 / 39

18 5.3 Caracterização das funções lineares em R n Se f : R n R m é uma função linear, então x 1 x 2 f(x 1,, x n ) = M(f).. x n Reciprocamente, se M M m,n (R), então a função f : R n R m x 2 definida por f(x 1,, x n ) = M é linear com M(f) = M.. x 1 x n ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 18 / 39

19 5.3 Caracterização das funções lineares em R n Exemplos: 1. Determine M(f) para a função linear f : R 3 R 2 dada por f(x, y, z) = (2x 3y + z, x/2 z). f(1, 0, 0) = (2, 1/2), f(0, 1, 0) = ( 3, 0) e f(0, 0, 1) = (1, 1). ( ) Logo M(f) =. 1/ /4 2. Determine a função linear f dada pela matriz M(f) = 1 1/ f é uma função de R 2 para R 3 pois M(f) é uma matriz 3 2; 0 3/4 ( ) 3 1 1/2 x 4 y = x + y 1 2 y ; 2 0 2x logo f(x, y) = ( 3 4 y, x + 1 2y, 2x). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 19 / 39

20 5.4 Isometrias lineares 5.4 Isometrias lineares Uma isometria linear é uma função linear f : R n R n que preserva o comprimento de vetores: f(u) = u (ou seja, uma isometria linear é uma isometria que é simultaneamente uma função linear). Uma isometria linear f : R n R n tem as seguintes propriedades: preserva o produto escalar: f(u) f(v) = u v ; preserva o ângulo entre vetores; se B = (e 1,, e n ) é a base ordenada canónica de R n, então B 1 = (f(e 1 ),, f(e n )) é outra base ortonormada de R n ; f é um isomorfismo: Im(f) = R n ; dim(n(f)) = dim(r n ) dim(im(f)) = 0 N(f) = 0 R n. Resultado: Se B = (e 1,, e n ) é a base ordenada canónica de R n e f : R n R n é uma função linear, então f é uma isometria linear se e só se (f(e 1 ),, f(e n )) é uma base ortonormada de R n. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 20 / 39

21 5.4 Isometrias lineares Se f : R n R n é uma função linear e B = (e 1,, e n ) é a base ordenada canónica, então f(e 1 ) M(f) t M(f) =. ( f(e 1 ) f(e n ) ) f(e n ) f(e 1 ) f(e 1 ) f(e 1 ) f(e 2 ) f(e 1 ) f(e n ) f(e 2 ) f(e 1 ) f(e 2 ) f(e 2 ) f(e 2 ) f(e n ) =... f(e n ) f(e 1 ) f(e n ) f(e 2 ) f(e n ) f(e n ) Conclusão: uma função linear f : R n R n é uma isometria linear se e só se M(f) t M(f) = I n, ou seja, se e só se (M(f)) 1 = M(f) t. Uma matriz quadrada A diz-se ortogonal se A 1 = A t. Logo f é uma isometria linear se e só se M(f) é ortogonal. Se A é ortogonal, então det(a) = ±1: 1 = det(aa 1 ) = det(a) det(a 1 ) = det(a) det(a t ) = (det(a)) 2. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 21 / 39

22 5.4 Isometrias lineares ( ) cos θ sen θ Exemplos: 1. M(f) = é a matriz de uma isometria linear sen θ cos θ f : R 2 R 2 : ( sen θ, cos θ) = (cos(π/2+θ), sen(π/2+θ)) Logo, f é a rotação centrada na origem e de ângulo θ no sentido anti-horário A matriz M(f) = 0 cos θ sen θ representa uma isometria linear 0 sen θ cos θ f : R 3 R 3. Esta isometria linear é a rotação de ângulo θ e eixo de rotação o eixo dos xx. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 22 / 39

23 Isometrias lineares de R Isometrias lineares Seja f : R 2 R 2 uma isometria linear: f((1, 0)) = (cos θ, sen θ) para algum θ [0, 2π[ ; Logo: f((0, 1)) = ( sen θ, cos θ) ; ou f((0, 1)) = (sen θ, cos θ) ; ( ) ( ) cos θ sen θ cos θ sen θ Assim M(f) = ou M(f) =. sen θ cos θ sen θ cos θ ( ) cos θ sen θ O caso M(f) = já vimos tratar-se de uma rotação de sen θ cos θ ângulo θ no sentido anti-horário e centrada na origem. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 23 / 39

24 ( ) cos θ sen θ No caso M(f) =, temos o seguinte: sen θ cos θ note-se que M(g h) = M(g) M(h); ( ) ( ) cos θ sen θ 1 0 como M(f) = e sen θ cos θ 0 1 ( ) 1 0 M(h) = h é a reflexão no eixo dos xx, 0 1 f = g h onde g é a rotação de ângulo θ no sentido anti-horário centrada na origem e h é a reflexão no eixo dos xx ; ou seja, f é a reflexão na reta r que passa na origem e faz um ângulo θ/2 com a parte positiva do eixo dos xx. 5.4 Isometrias lineares ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 24 / 39

25 5.4 Isometrias lineares Exemplos: 1. Se M(f) = ( 1/2 3/2 3/2 1/2 ), então f é uma rotação de ângulo π/3 no sentido anti-horário e centrada na origem. ( ) 1/2 3/2 2. Se M(f) =, então f é a reflexão na reta que passa 3/2 1/2 na origem e faz um ângulo de 2π/3 com a parte positiva do eixo dos xx: { cos θ = 1/2 sen θ = 3/2 θ = 4π/3. Note-se que: det M(f) = 1 se f é uma rotação (as rotações preservam a orientação); det M(f) = 1 se f é uma reflexão (as reflexões invertem a orientação); ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 25 / 39

26 5.5 Funções lineares em R n e matrizes 5.5 Funções lineares em R n e matrizes Sejam f : R n R m uma função linear, B = (v 1,, v n ) uma base ordenada de R n e B 1 uma base ordenada de R m. Definimos M B,B1 (f) = [f(v 1 )] B1 [f(v 2 )] B1 [f(v n )] B1 Esta definição generaliza ambas as matrizes M(f) e as matrizes mudança de base M B,B1 : M(f) = M B,B1 (f) onde B e B 1 são respetivamente as bases ordenadas canónicas de R n e R m ; M B,B1 = M B,B1 (id) onde id : R n R n é a função identidade: M B,B1 (id) = [id(v 1 )] B1 [id(v n )] B1 = [v 1 ] B1 [v n ] B1 = M B,B1. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 26 / 39

27 5.5 Funções lineares em R n e matrizes Se f : R n R m, então M B,B1 (f)[v] B = [f(v)] B Exemplo: Sabendo que M B,B1 (f) = 0 1 onde B = ((1, 2),(1, 1)) e 1 1 B 1 = ((1, 1, 0),(1, 0, 1),(0, 1, 1)) são bases ordenadas respetivamente de R 2 e R 3, determine f((0, 1)). (0, 1) = (1, 1) B ; 2 1 M B,B1 (f)[(0, 1)] B = ( ) 1 = ; 2 f((0, 1)) = (1, 1, 2) B1 = (1, 1, 0) (1, 0, 1)+2(0, 1, 1) = (0, 3, 1). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 27 / 39

28 5.5 Funções lineares em R n e matrizes Se f, g : R n R m e h : R m R p são funções lineares e B, B 1 e B 2 são bases ordenadas respetivamente de R n, R m e R p, então M B,B1 (f + g) = M B,B1 (f)+m B,B1 (g) ; M B,B1 (af) = a M B,B1 (f) ; M B,B2 (h f) = M B1,B 2 (h) M B,B1 (f). Em particular temos a seguinte situação: se f : R n R m é uma função linear; B e B 1 são respetivamente as bases ordenadas canónicas de R n e R m ; B 2 e B 3 são respetivamente outras bases ordenadas de R n e R m ; então M B2,B 3 (f) = (M B3,B 1 ) 1 M(f) M B2,B. M B2,B 3 (f) = M B1,B 3 (id) M B,B1 (f) M B2,B(id) = M B1,B 3 M(f) M B2,B = (M B3,B 1 ) 1 M(f) M B2,B. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 28 / 39

29 5.5 Funções lineares em R n e matrizes Exemplo: Considere a função linear f(x, y, z) = (2x + y, x + y z) e determine M B,B1 (f) onde B = ((1, 1, 0),(2, 1, 0),(0, 0, 1)) e B 1 = ((3, 1),(2, 1)). Considere B 2 e B 3 as bases ordenadas canónicas de R 3 e R 2, respetivamente; M B,B1 (f) = M B3,B 1 (id) M B2,B 3 (f) M B,B2 (id) = (M B1,B 3 ) 1 M(f) M B,B2 ( ) 1 ( ) = ( ) ( ) ( ) = = ( ) Logo M B,B1 (f) = ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 29 / 39

30 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n A) f : R 2 R 2 - reflexão numa reta ax + by = 0: B = ((a, b),(b, a)) é uma base ortogonal de R 2 ; ( ) 1 0 M B,B (f) = ; Mais exemplos de funções lineares em R n Se B 1 é a base ordenada canónica de R 2, então: ( ) ( ) ( a b 1 0 a b M(f) = M B,B1 M B,B (f) M B1,B = b a 0 1 b a ( ) ( ) 1 a b a b = = ( u v ) ( u v ) 1 b a b a ) 1 Resultado: Se f : R 2 R 2 é a reflexão na reta ax + by = 0, u = (a, b) e v u, então ( ) ( 1 M(f) = u v u v). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 30 / 39

31 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n Exemplo: Determine a reflexão na reta 2x + 3y = 0. ( ) ( ) 1 ( ) ( ) M(f) = = ; ( ) 5 12 Logo M(f) = 1 13 ; 12 5 f((x, y)) = 1 13 ( ) ( x y ) = ( 5x 12y 13 12x 5y 13 ) = ( 5x 12y 13, 12x 5y ) 13. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 31 / 39

32 B) f : R 3 R 3 - reflexão no plano ax + by + cz = 0: 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n Sejam u = (a, b, c) (vetor ortogonal ao plano) e v e w dois vetores diretores (não colineares) do plano; B = (u, v, w) é uma base ordenada de R 3 e M B,B (f) = ; M(f) = ( u v w ) u v w ) = ( u v w ) ( u v w ) 1 Resultado: Se {v, w} é uma base do plano ax + by + cz = 0 e u = (a, b, c) (um vetor ortogonal ao plano), então a reflexão neste plano é a função f : R 3 R 3 dada por ( ) ( 1 M(f) = u v w u v w). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 32 / 39

33 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n Exemplo: Determine a reflexão no plano x + y 2z = 0. y = 2z x {(x, 2z x, z) : x, z R} é o plano considerado; Logo {(1, 1, 0),(0, 2, 1)} é uma base deste plano; M(f) = = = = = ; x f((x, y, z)) = y 3 = = z = ( 2x y+2z 3, x+2y+2z 3, 2x+2y z ) 3. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 33 / 39

34 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n C) f : R 3 R 3 - rotação de ângulo θ e eixo de rotação a reta r: Seja r uma reta que passa na origem e tem a direção do vetor u; seja v r (plano ortogonal a r e que passa na origem) e w = u v u ; logo {v, w} é uma base ortogonal de r com v = w ; considerando B a base ordenada ortogonal (u, v, w) de R 3, temos M B,B (f) = 0 cos θ sen θ ; 0 sen θ cos θ logo, M(f) = ( u v w ) cos θ sen θ ( u v w ) 1. 0 sen θ cos θ Nota: a matriz M B,B (f) é a indicada acima desde que u tenha a direção da reta e {v, w} seja uma base ortogonal de r com v = w. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 34 / 39

35 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n Determine a rotação de ângulo π/2 e eixo de rotação { x + y = 0 x z = 0. u = (1, 1, 1) é um vetor diretor da reta; v = (1, 1, 0) é ortogonal à reta; w = u v u = 1 3 ( 1, 1, 2) também é ortogonal à reta. B = (u, v, w) é uma base ortogonal de f e M B,B (f) = 0 cos(π/2) sen(π/2) = ; 0 sen(π/2) cos(π/2) M(f) = ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 35 / 39

36 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n D) Homotetias: Uma função linear f : R n R n é uma homotetia se existir um r R (chamado razão) tal que f(u) = ru para qualquer u R n. M B,B (f) = ri n para qualquer base ordenada B de R n. Terminologia das homotetias: r = 1 f = id; r = 1 reflexão na origem; r > 1 ampliação; r < 1 redução; Nota: se r > 0, então f(u) pertence à semirreta com origem em 0 R n e que passa por u; se r < 0, então 0 R n pertence ao segmento de reta de extremos u e f(u). ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 36 / 39

37 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n E) Deformações numa direção u: Uma deformação numa direção u é uma função linear f : R n R n tal que f(u) = ru para algum r R (r chama-se a razão da deformação); f(v) = v para qualquer v u. Se r = 1, então f é a reflexão sobre u. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 37 / 39

38 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n Se {v 1,, v n 1 } é uma base de u, então B = (u, v 1,, v n 1 ) é uma base de R n ; r M B,B (f) =... ; Se B 1 é a base ordenada canónica de R n, então M(f) = M B,B1 M B,B (f) M B1,B = ( u v 1 v n ) MB,B (f) ( u v 1 v n ) 1 = ( ru v 1 v n ) ( u v1 v n ) 1. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 38 / 39

39 5.6 Mais exemplos de funções lineares em R n Exemplo: determine a deformação na direção do vetor (1, 1, 0) e razão 3. (1, 1, 0) = (1, 1, 0),(0, 0, 1) ; M(f) = = = x 2x + y f((x, y, z)) = y = x + 2y = (2x + y, x + 2y, z) z z ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 39 / 39