A Reta. Docente Pedro Macário de Moura
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- Lucas Amado Sabala
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1 A Reta Docente Pedro Macário de Moura
2 A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza. Hawking. A Matemática é a honra do espírito 2
3 Equação Vetorial da Reta Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a direção de um vetor não nulo. Para que um ponto P do espaço pertença à reta r, é necessário e suficiente que os vetores e sejam colineares (Fig.1), isto é: AP t v, t R P A t v, t R P A t v, t R A i k j P v Figura1 A Matemática é a honra do espírito 3
4 Se P x, y, z, A x 1, y1, z1 e v a, b, c temos que a equação vetorial da reta r. r : r : P A t v, t R x, y, z x, y, z t a, b, c, t R é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro com. A Matemática é a honra do espírito 4
5 Exemplos 01. Determinar uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A(3,0,-5) e B(7,4,-7). 02. Determinar um vetor gerador e as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A(1, -2, -1) e B(0,-3,2). 03. Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(1,3,2) e tem a direção do vetor A Matemática é a honra do espírito 5
6 Equações Paramétricas Da equação vetorial da reta r temos que: r : x, y, z x, y, z t a, b, c, t R Assim temos as equações paramétricas da reta r dadas por: x x1 ta r : y y1 tb, t R z z1 tc PS. A Matemática é a honra do espírito 6
7 Exemplos 01. Escreva a equação da reta cuja direção é definida pelo vetor (2, 1, 2) e que passe pelo ponto (-2, 3, 4). 02. Seja r a reta determinada pelos pontos A(1,0,1) e B(3,-2,3). a) Obtenha a equação vetorial de r; b) Verifique se o ponto P(-9,10,-9) pertence à reta r. c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B A Matemática é a honra do espírito 7
8 Equação Simétrica Das equações paramétricas da reta r temos que: x x1 ta r : y y1 tb, t R z z1 tc Assim para a 0, b 0, c 0 temos que: r : x x y y z z a b c A Matemática é a honra do espírito 8
9 Equações Reduzidas Considerando cada igualdade das equações simétricas da reta r em separado, e para a 0, b 0, c 0 temos que: x x y y a b x x z z a c b x x a y y c x x a z z A Matemática é a honra do espírito 9
10 b y x a c z x a sendo ay az bx a cx a Para a 0 y mx n z px q b ay bx c az cx m, n, p e q a a a a A Matemática é a honra do espírito 10
11 Exercícios 1. Dar nas 3 formas a equação da reta que passa em A(3,-4,10) na direção do vetor v 2i 4 j 8k 2. Idem ao anterior considerando a reta que passa nos pontos A(3,5,8) e B(4,3,2). 3. Seja a reta t dada por: Dar um vetor que a direciona Dar um ponto da reta Escrever as outras formas de sua equação Dar um ponto da reta de abscissa 13. Dar um ponto da reta de ordenada ¾. 3 x 2 y 5 1 z A Matemática é a honra do espírito 11
12 4. Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3) pede-se: a) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v b) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4 respectivamente c) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4 d) verificar se os pontos D(4,-1,2) e E(5,-4,3) pertencem a r e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m,5,n) pertence a r f) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r g) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(5,2,-4) e é paralela a r h) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y A Matemática é a honra do espírito 12
13 5. Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4). 6. Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor diretor 7. Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0) Note que a terceira componente de v é nula e a reta é paralela a x0y 8. Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem a direção do vetor v=(0,0,3) A Matemática é a honra do espírito 13
14 A Matemática é a honra do espírito 14
15 A Matemática é a honra do espírito 15
16 A Matemática é a honra do espírito 16
17 A Matemática é a honra do espírito 17
18 A Matemática é a honra do espírito 18
19 A Matemática é a honra do espírito 19
20 A Matemática é a honra do espírito 20
21 A Matemática é a honra do espírito 21
22 Ângulo de Duas Retas Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2, respectivamente. Chama-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado pelos vetores diretores Logo, sendo teta este ângulo tem-se: cosθ = <u, v> /( u v ) com A Matemática é a honra do espírito 22
23 A Matemática é a honra do espírito 23
24 Exemplos 01. Calcule o ângulo entre as retas x=3+t, r1: y=t, z=-1-2t r2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1 02.Verifique se as retas são ortogonais r1: y=-2x+1,z=4x r2: x=3-2t,y=4+t,z=t A Matemática é a honra do espírito 24
25 A Matemática é a honra do espírito 25
26 A Matemática é a honra do espírito 26
27 Exemplos 01. Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é ortogonal às retasr1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4) e r2: x=5, y=t, z=1-t 02. As retas são ortogonais A Matemática é a honra do espírito 27
28 Condição de coplanaridade de Duas Retas A Matemática é a honra do espírito 28
29 Exemplos 01.Determine o valor de m para que as retas sejam coplanares R1:y=mx+2,z=3x-1 R2:x=t,y=1+2t,z=-2t 02. São coplanares A Matemática é a honra do espírito 29
30 Posição Relativas de Duas Retas A Matemática é a honra do espírito 30
31 A Matemática é a honra do espírito 31
32 A Matemática é a honra do espírito 32
33 Exemplos Estudar a posição relativa das retas Primeiro caso R1:y=2x-3,z=-x R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t Terceiro caso R1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4 R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t Segundo caso R1:x/2=(y-1)/-1=z R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1 Quarto caso R1:y=3,z=2x R2:x=y=z A Matemática é a honra do espírito 33
34 A Matemática é a honra do espírito 34
35 Interseção de duas retas Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Neste caso, são ditas concorrentes Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. Supõe-se que as retas não são paralelas A Matemática é a honra do espírito 35
36 A Matemática é a honra do espírito 36
37 Exemplo 01.Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção r1:y=-3x+2,z=3x-1 r2:x=-t,y=1+2t,z=-2t A Matemática é a honra do espírito 37
38 Reta Ortogonal a Duas Retas A Matemática é a honra do espírito 38
39 A Matemática é a honra do espírito 39
40 A Matemática é a honra do espírito 40
41 A Matemática é a honra do espírito 41
42 A Matemática é a honra do espírito 42
43 Exercícos 01. Encontrar a projeção ortogonal da reta r: x = y - 1 = z - 2 sobre o plano coordenado xy. 02. A reta r passa pelo ponto A=(1, - 2, - 3) e forma com os eixos x, y e z respectivamente ângulos de60º, 90º e 30º. A Matemática é a honra do espírito 43
44 A Matemática é a honra do espírito 44
45 A Matemática é a honra do espírito 45
46 A Matemática é a honra do espírito 46
47 A Matemática é a honra do espírito 47
48 A Matemática é a honra do espírito 48
49 A Matemática é a honra do espírito 49
50 A Matemática é a honra do espírito 50
51 A Matemática é a honra do espírito 51
52 A Matemática é a honra do espírito 52
53 36 A Matemática é a honra do espírito 53
54 A Matemática é a honra do espírito 54
55 EXTRA 01. Uma partícula está animada de um movimento tal que, no instante t, ela se encontra no ponto (x,y)=(2+3t,1+4t) a) determine sua posição nos instantes t=0, t=1 e t=2. b) determine o instante no qual a partícula atinge o ponto (13, 11). c) a partícula passa pelo ponto (5,6)? d) descreva sua trajetória. e) determine sua velocidade no instante t. A Matemática é a honra do espírito 55
56 EXTRA 2. Determine a projeção ortogonal do ponto p(2,4,1) sobre a reta x=1+2t, y=-1+3t, z=-3-t EXTRA3. Determine a interseção da reta y=3x-2. z=x/2+3 com a definida pelos pontos (2,1,0) e (0,0,1) EXTRA 4. Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de A(2,1,3), B(2,0,3) e C(0,3,-1) A Matemática é a honra do espírito 56
57 Bom Estudo! A Matemática é a honra do espírito 57
58 BIBLIOGRAFIA REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmar da. Geometria Analítica, 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica, 2ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, A Matemática é a honra do espírito 58
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