Vetores e Geometria Analítica. Pedro H A Konzen

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1 Vetores e Geometria Analítica Pedro H A Konzen 17 de junho de 2019

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3 Prefácio Nestas notas de aula são abordados tópicos sobre vetores e geometria analítica. Agradeço aos(às) estudantes e colegas que assiduamente ou esporadicamente contribuem com correções, sugestões e críticas em prol do desenvolvimento deste material didático. Pedro H A Konzen iii

4 Sumário Capa Licença Prefácio Sumário i ii iii vi 1 Vetores Segmentos orientados Exercícios Vetores Adição de vetores Vetor oposto Subtração de vetores Multiplicação de vetor por um escalar Propriedades das operações com vetores Bases e coordenadas Dependência linear Combinação linear Dependência linear Observações Bases e coordenadas Operações de vetores com coordenadas Dependência linear Mudança de base Bases ortonormais iv

5 3 Produto escalar Produto escalar Propriedades do produto escalar Ângulo entre dois vetores Desigualdade triangular Projeção ortogonal Produto vetorial Definição Interpretação geométrica Produto vetorial via coordenadas Exercícios Propriedades do produto vetorial Produto misto Definição Propriedades Estudo de retas e planos Sistema de coordenadas no espaço Equações da reta Equação vetorial de uma reta Equações paramétricas de uma reta Equações da reta na forma simétrica Exercícios resolvidos Equações do plano Equação vetorial do plano Equações paramétricas do plano Equação geral do plano Exercícios resolvidos Cônicas Elipse Equação reduzida da elipse Hipérbole Equação reduzida da hipérbole Parábola Equação reduzida de uma parábola Licença CC-BY-SA 4.0 v

6 Respostas dos Exercícios 65 Referências Bibliográficas 66 Índice Remissivo 67 Licença CC-BY-SA 4.0 vi

7 Capítulo 1 Vetores 1.1 Segmentos orientados Sejam dois pontos A e B sobre uma reta r. O conjunto de todos os pontos de r entre A e B é chamado de segmento AB. Figura 1.1: Esboço de um segmento AB. Associado a um segmento AB, temos seu comprimento (ou tamanho), o qual é definido como sendo a distância entre os pontos A e B. A distância entre os ponto A e B é denotada por AB ou BA. A direção de um segmento AB é a direção da reta que fica determinada pelos pontos A e B. Licença CC-BY-SA 4.0 1

8 Exemplo Consideremos os segmentos esboçados na Figura 1.2. Os segmentos AB e CD têm as mesmas direções, mas comprimentos diferentes. Já, o segmento EF tem direção diferente dos segmentos AB e CD. Figura 1.2: Esboço referente ao Exemplo Se A e B são o mesmo ponto, então chamamos AB de segmento nulo e temos AB = 0. Um segmento nulo não tem direção. Observemos que um dado segmento AB é igual ao segmento BA. Agora, podemos associar a noção de sentido a um segmento, escolhendo um dos pontos como sua origem e o outro como sua extremidade. Ao fazermos isso, definimos um segmento orientado. Mais precisamente, um segmento orientado AB é o segmento definido pelos pontos A e B, sendo A a origem e B a extremidade. Veja a Figura 1.3. Dizemos que dois dados segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção quando as retas AB e CD forem paralelas ou coincidentes. Exemplo Consideremos os segmentos orientados esboçados na Figura 1.4. Observemos que os segmentos orientados AB e CD têm a mesma direção. Já o segmento orientado EF tem direção diferente dos segmentos AB e CD. Sejam dados dois segmentos orientados AB e CD de mesma direção, cujas retas AB e CD não sejam coincidentes. Então, as retas AB e CD determinam um único plano e a reta AC determina dois semiplanos (veja a Figura Licença CC-BY-SA 4.0 2

9 Figura 1.3: Esboço de um segmento orientado AB. Figura 1.4: Esboço referente ao Exemplo ). Assim sendo, dizemos que os segmentos AB e CD têm mesmo sentido quando os pontos B e D estão ambos sobre o mesmo semiplano. Para analisar o sentido de dois segmentos orientados e colineares, escolhemos um deles e construímos um segmento orientado de mesmo sentido a este, mas não colinear. Então, analisamos o sentido dos segmentos orientados originais Licença CC-BY-SA 4.0 3

10 Figura 1.5: Esboço de dois segmentos orientados AB e CD de mesmo sentido. com respeito ao introduzido. Dois segmentos orientados não nulos são equipolentes quando eles têm o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Veja o exemplo dado na Figura 1.6. Figura 1.6: Esboço de dois segmentos orientados AB e CD equipolentes. Licença CC-BY-SA 4.0 4

11 1.1.1 Exercícios E Mostre que dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se, e somente se, os pontos médios de AD e BC são coincidentes. 1.2 Vetores Dado um segmento orientado AB, chama-se vetor AB e denota-se AB, qualquer segmento orientado equipolente a AB. Cada segmento orientado equipolente a AB é um representado de AB. A Figura 1.7 mostra duas representações de um dado vetor AB. Figura 1.7: Esboço de duas representações de um mesmo vetor. O módulo (ou norma) de um vetor AB é o valor de seu comprimento e é denotado por AB. Dois vetores são ditos paralelos quando qualquer de suas representações têm a mesma direção. De forma análoga, definem-se vetores coplanares, vetores não coplanares, vetores ortogonais, além de conceitos como ângulo entre dois vetores, etc. Veja a Figura 1.8. Observemos que na Figura 1.8(direita) os vetores foram denotados por a, b e c, sem alusão aos pontos que definem suas representações como segmentos orientados. Isto é costumeiro, devido a definição de vetor. Licença CC-BY-SA 4.0 5

12 Figura 1.8: Esquerda: esboços de vetores paralelos e de vetores ortogonais. Direita: esboços de vetores coplanares Adição de vetores Sejam dados dois vetores u e v. Sejam, ainda, uma representação AB qualquer de u e a representação BC do vetor v. Então, define-se o vetor soma u + v como o vetor dado por AC. Veja a Figura 1.9. Figura 1.9: Representação geométrica da adição de dois vetores. Licença CC-BY-SA 4.0 6

13 1.2.2 Vetor oposto Um vetor v é dito ser oposto a um dado vetor u, quando quaisquer representações de u e v são segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, mas com sentidos opostos. Neste caso, denota-se por u o vetor oposto a u. Veja a Figura Figura 1.10: Representação geométrica de vetores opostos Subtração de vetores Sejam dados dois vetores u e v. A subtração de u com v é denotada por u v e é definida pela adição de u com v, i.e. u v = u + ( v). Veja a Figura Multiplicação de vetor por um escalar A multiplicação de um número real α > 0 (escalar) por um vetor u é denotado por α u e é definido pelo vetor de mesma direção e mesmo sentido de u com norma α u. Quando α = 0, define-se α u = 0, i.e. o vetor nulo (geometricamente, representado por qualquer ponto). Observação α u = α u. Para α < 0, temos α u = ( α u). Licença CC-BY-SA 4.0 7

14 Figura 1.11: Representação geométrica da subtração de u com v, i.e. u v. Figura 1.12: Representações geométricas de multiplicações de um vetor por diferentes escalares Propriedades das operações com vetores As operações de adição e multiplicação por escalar de vetores têm propriedades importantes. Para quaisquer vetores u, v e w e quaisquer escalares α e β temos: comutatividade da adição: u + v = v + u; Licença CC-BY-SA 4.0 8

15 associatividade da adição: ( u + v) + w = u + ( v + w); elemento neutro da adição: u + 0 = u; existência do oposto: u + ( u) = 0; associatividade da multiplicação por escalar: α(β u) = (αβ) u; distributividade da multiplicação por escalar: α( u + v) = α u + α v, (1.1) (α + β) u = α u + β u; (1.2) existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: 1 u = u. Exercícios E Na figura abaixo, temos u = GJ e v = AK. Assim sendo, escreva os vetores RS, NI, AG, NQ, AT e P E em função de u e v. E Sejam CA, CM e CB os vetores indicados na figura abaixo. Mostre que CM = 1 CA + 1 CB. 2 2 Licença CC-BY-SA 4.0 9

16 E Sejam A, B, C, D, E e G os pontos dados na figura abaixo. Escreva o vetor DG em função dos vetores AB e AD. E Seja dado um vetor u 0. Calcule a norma do vetor v = u/ u 1. 1 u/ u é chamado de vetor u normalizado, ou a normalização do vetor u. Licença CC-BY-SA

17 Capítulo 2 Bases e coordenadas Observação Neste capítulo, vamos computar a solução de alguns problemas usando Python. Para tanto, utilizaremos a biblioteca de matemática simbólica SymPy. Nos códigos Python apresentados ao longo deste capítulo, assumiremos que os seguintes comandos já estejam executados: form sympy import * 2.1 Dependência linear Combinação linear Dados vetores u 1, u 2,..., u n e números reais c 1, c 2,..., c n, com n inteiro positivo, chamamos de u = c 1 u 1 + c 2 u c n u n (2.1) uma combinação linear de u 1, u 2,..., u n. Neste caso, também dizemos que u é gerado pelos vetores u 1, u 2,..., u n ou, equivalentemente, que estes vetores geram o vetor u. Exemplo Sejam dados os vetores v, w e z. Então, temos: u 1 = 1 2 u + 2 z é uma combinação linear dos vetores v e z. u 2 = u 2 z é uma outra combinação linear dos vetores v e z. Licença CC-BY-SA

18 u 3 = 2 u w + π z é uma combinação linear dos vetores u, w e z. u 4 = 3 z é uma combinação linear do vetor z Dependência linear Dois ou mais vetores dados são linearmente dependentes (abreviação, l.d.) quando um deles for combinação linear dos demais. Exemplo No exemplo anterior (Exemplo 2.1.1), temos: u 1 e u 2 dependem linearmente dos vetores u e z. u 3 depende linearmente dos vetores u, v e z. Os vetores u 4 e z são linearmente dependentes. Dois ou mais vetores dados são linearmente independentes (abreviação, l.i.)quando eles não são linearmente dependentes Observações Dois vetores Dois vetores quaisquer u 0 e v 0 são l.d. se, e somente se, qualquer uma das seguinte condições é satisfeita: um deles é combinação linear do outro, i.e. u = α v ou v = β u; (2.2) u e v têm a mesma direção; u e v são paralelos. Observação O vetor nulo 0 é l.d. a qualquer vetor u. De fato, temos 0 = 0 u, (2.3) i.e. o vetor nulo é combinação linear do vetor u. Licença CC-BY-SA

19 Observação Dois vetores não nulos u e v são l.i. se, e somente se, De fato, se α 0, então podemos escrever α u + β v = 0 α = β = 0. (2.4) u = β v, (2.5) α i.e. o vetor u é combinação linear do vetor v e, portanto, estes vetores são l.d.. Isto contradiz a hipótese de eles serem l.i.. Analogamente, se β 0, então podemos escrever v = α u (2.6) β e, então, teríamos u e v l.d.. Três vetores Três vetores quaisquer u, v e w são l.d. quando um deles pode ser escrito como combinação linear dois outros dois. Sem perda de generalidade, isto significa que existem constantes α e β tais que u = α v + β w. (2.7) Afirmamos que se u, v e w são l.d., então u, v e w são coplanares. Do fato de que dois vetores quaisquer são sempre coplanares, temos que u, v e w são coplanares caso qualquer um deles seja o vetor nulo. Suponhamos, agora, que u, v e w são não nulos e seja π o plano determinado pelos vetores v e w. Se α = 0, então u = β w e teríamos uma representação de u no plano π. Analogamente, se β = 0, então u = α v e teríamos uma representação de u no plano π. Por fim, observemos que se α,β 0, então α v tem a mesma direção de v e β w tem a mesma direção de w. Isto é, α v e β w admitem representações no plano π. Sejam AB e BC representações dos vetores α v e β w, respectivamente. Os pontos A, B e C pertencem a π, assim como o segmento AC. Como AC = u = α v + β w, concluímos que u, v e w são coplanares. Reciprocamente, se u, v e w são coplanares, então u, v e w são l.d.. De fato, se um deles for nulo, por exemplo, u = 0, então u pode ser escrito como a seguinte combinação linear dos vetores v e w u = 0 v + 0 w. (2.8) Licença CC-BY-SA

20 Neste caso, u, v e w são l.d.. Também, se dois dos vetores forem paralelos, por exemplo, u v, então temos a combinação linear u = α v + 0 w. (2.9) E, então, u, v e w são l.d.. Agora, suponhamos que u, v e w são não nulos e dois a dois concorrentes. Sejam, então P A = u, P B = v e P C = w representações sobre um plano π. Sejam r e s as retas determinadas por P A e P C, respectivamente. Seja, então, D o ponto de interseção da reta s com a reta paralela a r que passa pelo ponto B. Seja, também, E o ponto de interseção da reta r com a reta paralela a s que passa pelo ponto B. Sejam, então, α e β tais que α u = P E e β w = P D. Como v = P B = P E + P D = α u + β w, temos que v é combinação linear de u e w, i.e. u, v e w são l.d.. Observação Três vetores dados u, v e w são l.i. se, e somente se, α u + β v + γ w = 0 α = β = γ = 0. (2.10) De fator, sem perda de generalidade, se α 0, podemos escrever u = β α v γ w, (2.11) α e teríamos u, v e w vetores l.d.. Quatro ou mais vetores Quatro ou mais vetores são sempre l.d.. De fato, sejam dados quatro vetores a, b, c e d. Se dois ou três destes forem l.d. entre si, então, por definição, os quatro são l.d.. Assim sendo, suponhamos que três dos vetores sejam l.i. e provaremos que, então, o outro vetor é combinação linear desses três. Sem perda de generalidade, suponhamos que a, b e c são l.i.. Logo, eles não são coplanares. Seja, ainda, π o plano determinado pelos vetores a, b e as representações a = P A, b = P B, c = P C e d = P D. Licença CC-BY-SA

21 Figura 2.1: Quatro vetores são l.d.. Consideremos a reta r paralela a P C que passa pelo ponto D. Então, seja E o ponto de interseção de r com o plano π. Vejamos a Figura 2.1. Observamos que o vetor P E é coplanar aos vetores P A e P B e, portanto, exitem números reais α e β tal que P E = α P A + β P B. (2.12) Além disso, como ED tem a mesma direção e sentido de P C = c, temos que para algum número real γ. Por fim, observamos que ED = γ P C (2.13) P D = P E + ED = α P A + β P B + γp C = α a + β b + γ c. Exercícios E Sendo AB + 2 BC = 0, mostre que P A, P B e P C são l.d. para qualquer ponto P. Licença CC-BY-SA

22 E Sejam dados três vetores quaisquer a, b e c. Mostre que os vetores u = 2 a b, v = a 2 c e w = b + 4 c são l.d.. Em construção Bases e coordenadas Seja V o conjunto de todos os vetores no espaço tridimensional. Conforme discutido na Subseção 2.1.2, se a, b e c são l.i., então qualquer vetor u V pode ser escrito como uma combinação linear destes vetores, i.e. existem números reais α, β e γ tal que u = α a + β b + γ c. (2.14) A observação acima motiva a seguinte definição: uma base de V é uma sequência de três vetores l.i. de V. Seja B = ( a, b, c) uma dada base de V. Então, dado qualquer v V, existe um único terno de números reais α, β e γ tais que v = α a + β b + γ c. (2.15) De fato, a existência de alpha, β e γ segue imediatamente do fato de que a, b e c são l.i. e, portanto, v pode ser escrito como uma combinação linear destes vetores. Agora, para verificar a unicidade de alpha, β e γ, tomamos α, β e γ tais que v = α a + β b + γ c. (2.16) Subtraindo (2.16) de (2.15), obtemos Como a, b e c são l.i., segue que 1 i.e. α = α, β = β e γ = γ. 1 Lembre-se da Observação = (α α ) a + (β β ) b + (γ γ ) c. (2.17) α α = 0, β β = 0, γ γ = 0, (2.18) Licença CC-BY-SA

23 Figura 2.2: Representação de um vetor u = (u 1, u 2, u 3 ) B em uma dada base B = ( a, b, c). Com isso, fixada uma base B = ( a, b, c), cada vetor u é representado de forma única como combinação linear dos vetores da base, digamos u = u 1 a + u 2 b + u3 c, (2.19) onde u 1, u 2 e u 3 são números reais fixos, chamados de coordenadas do u na base B. Ainda, usamos a notação u = (u 1, u 2, u 3 ) B, (2.20) para expressar o vetor u nas suas coordenadas na base B. Vejamos a Figura 2.2. Exemplo Fixada uma base B = ( a, b, c), o vetor u de coordenadas u = ( 2, 2, 3) é o vetor u = 2 a + 2 b 3 c Operações de vetores com coordenadas Na Seção 1.2, definimos as operações de adição, subtração e multiplicação por escalar do ponto de vista geométrico. Aqui, veremos como estas operação são definidas a partir das coordenadas de vetores. Licença CC-BY-SA

24 Sejam B = ( a, b, c) uma base de V e os vetores u = (u 1, u 2, u 3 ) B e v = (v 1, v 2, v 3 ) B. Isto é, temos Então, a adição de u com v é a soma ou seja u = u 1 a + u 2 b + u3 c, (2.21) v = v 1 a + v 2 b + v3 c. (2.22) u + v = u 1 a + u 2 b + u3 c + v }{{} 1 a + v 2 b + v3 c }{{} u v (2.23) = (u 1 + v 1 ) a + (u 2 + v 2 ) b + (u 3 + v 3 ) c, (2.24) u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) B. (2.25) Exemplo Fixada uma base qualquer B e dados os vetores u = (2, 1, 3) B e v = ( 1, 4, 5) B, temos u + v = (2 + ( 1), 1 + 4, 3 + ( 5)) B = (1,3, 8) B. (2.26) Podemos usar o SymPy para manipularmos vetores em coordenadas. Para computarmos a soma neste exemplo, podemos usar os seguintes comandos 2 : u = Matrix([2,-1,-3]) v = Matrix([-1,4,-5]) u+v De forma, análoga, o vetor oposto ao vetor u é ou seja, u = (u 1 a + u 2 b + u3 c ) (2.27) }{{} u = ( u 1 ) a + ( u 2 ) b + ( u 3 ) c, (2.28) u = ( u 1, u 2, u 3 ) B. (2.29) Exemplo Fixada uma base qualquer B e dado o vetor v = (2, 1, 3) B, temos v = ( 2, 1, 3) B. (2.30) Usando o Sympy, podemos computar o oposto do vetor v com os seguintes comandos: 3 : 2 Veja a Observação no ínicio deste capítulo. 3 Veja a Observação no ínicio deste capítulo. Licença CC-BY-SA

25 v = Matrix([2,-1,-3]) -v Lembrando que subtração de u com v é u v := u + ( v), segue u v = (u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3 ) B. (2.31) Exemplo Fixada uma base qualquer B e dados os vetores u = (2, 1, 3) B e v = ( 1, 4, 5) B, temos u v = (2 ( 1), 1 4, 3 ( 5)) B = (3, 5,2) B. (2.32) Usando o Sympy, podemos computar u v com os seguintes comandos: 4 : u = Matrix([2,-1,-3]) v = Matrix([-1,4,-5]) u-v Com o mesmo raciocínio, fazemos a multiplicação de um dado número α pelo vetor u. Vejamos, por definição, α u = α(u 1 a + u 2 b + u3 c ) (2.33) }{{} u = (αu 1 ) a + (αu 2 ) b + (αu 3 ) c, (2.34) ou seja, α u = (αu 1,αu 2, αu 3 ). (2.35) Exemplo Fixada uma base qualquer B e dado o vetor v = (2, 1, 3) B, temos ( 1 3 v = 2 3, 1 ) 3, 1. (2.36) Usando o Sympy, podemos computar o oposto do vetor 1 v com os seguintes 3 comandos: 5 : v = Matrix([2,-1,-3]) 1/3*v 4 Veja a Observação no ínicio deste capítulo. 5 Veja a Observação no ínicio deste capítulo. B Licença CC-BY-SA

26 2.2.2 Dependência linear Dois vetores Na Subseção 2.1.3, discutimos que dois vetores u, v são l.d. se, e somente se, um for múltiplo do outro, i.e. existe um número real α tal que u = α v, (2.37) sem perda de generalidade 6. Fixada uma base B = ( a, b, c), temos u = (u 1, u 2, u 3 ) B e v = (v 1, v 2, v 3 ) B. Com isso, a equação (2.37) pode ser reescrita como donde (u 1, u 2, u 3 ) B = α(v 1, v 2, v 3 ) B = (αv 1, αv 2, αv 3 ) B, (2.38) u 1 = αv 1, u 2 = αv 2, u 3 = αv 3. (2.39) Ou seja, dois vetores são linearmente dependentes se, e somente se, as coordenadas de um deles forem, respectivamente, múltiplas (de mesmo fator) das coordenadas do outro. Exemplo Vejamos os seguintes casos: a) u = (2, 1, 3) e v = ( 1, 1 2, 3 2) são l.d., pois 2 = 2 1 ( 2, 1 = 2 1 ) (, 3 = 2 3 ). (2.40) 2 2 b) u = (2, 1, 3) e v = ( 2, 1 2, 3 2) são l.i., pois u1 = 1 v 1, enquanto u 2 = 2v 2. Três vetores Na Subseção 2.1.3, discutimos que três vetores u, v e w são l.i. se, e somente se, α u + β v + γ w = 0 α = β = γ. (2.41) Seja, então, B = ( a, b, c) uma base de V. Então, temos que a equação 6 Formalmente, pode ocorrer v = β u. α u + β v + γ w = 0 (2.42) Licença CC-BY-SA

27 é equivalente a α(u 1,u 2,u 3 ) B + β(v 1,v 2,v 3 ) B + γ(w 1,w 2,w 3 ) B = (0, 0, 0) B. (2.43) Esta por sua vez, nos leva ao seguinte sistema linear u 1 α + v 1 β + w 1 γ = 0 u 2 α + v 2 β + w 2 γ = 0 u 3 α + v 3 β + w 3 γ = 0 (2.44) Lembremos que um tal sistema tem solução única (trivial) se, e somente se, o determinante de sua matriz dos coeficientes é nulo, i.e. u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 0. (2.45) Exemplo Fixada uma base B de V, sejam os vetores u = (2,1, 3) B, v = (1, 1,2) B e w = ( 2,1,1) B. Como u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 = (2.46) = = 8 0. (2.47) Exercícios Em construção Mudança de base Sejam B = ( u, v, z) e C = ( r, s, t) bases do espaço V. Conhecendo as coordenadas de um vetor na base C, queremos determinar suas coordenadas na base B. Mais especificamente, seja z = (z 1, z 2, z 3 ) C = z 1 r + z 2 s + z 3 t. (2.48) Licença CC-BY-SA

28 Agora, tendo r = (r 1, r 2, r 3 ) B, s = (s 1, s 2, s 3 ) B e t = (t 1, t 2, t 3 ) B, então (z 1, z 2, z 3 ) C = z 1 (r 1, r 2, r 3 ) B + z 2 (s 1, s 2, s 3 ) B + z 3 (t 1, t 2, t 3 ) B (2.49) = (r 1 z 1 + s 1 z 2 + t 1 z 3 ) u (2.50) }{{} z 1 + (r 2 z 1 + s 2 z 2 + t 2 z 3 ) v (2.51) }{{} z 2 + (r 3 z 1 + s 3 z 2 + t 3 z 3 ) w (2.52) }{{} z 3 o que é equivalente a z 1 r 1 s 1 t 1 z 1 z 2 = r 2 s 2 t 2 z 2, (2.53) z 3 r 3 s 3 t 3 z 3 }{{} M CB onde z = (z 1, z 2, z 3) B. A matriz M CB é chamada de matriz de mudança de base de C para B. Como os vetores r, s e t são l.i., temos que a matriz de mudança de base M BC tem determinante não nulo e, portanto é invertível. Além disso, observamos que M BC = (M CB ) 1. (2.54) Exemplo Sejam dadas as bases B = ( a, b, c) e C = ( u, v, w), com u = (1,2,0) B, v = (2,0, 1) B e w = ( 1, 3,1) B. Seja, ainda, o vetor z = (1, 2,1) B. Vamos encontrar as coordenadas de z na base C. Há duas formas de proceder. A primeira consiste em resolver, de forma direta, a seguinte equação Esta é equivalente a z = ( 1, 3,1) B = (x,y,z) C. (2.55) a 3 b + c = x u + y v + z w (2.56) = x( a + 2 b) + y(2 a c) + z( a 3 b + c) (2.57) = (x + 2y z) a + (2x 3z) b + ( y + z) c. (2.58) Licença CC-BY-SA

29 Isto nos leva ao seguinte sistema linear x + 2y z = 1 2x 3z = 3 y + z = 1 (2.59) Resolvendo este sistema, obtemos x = 6/5, y = 4/5 e z = 9/5, i.e. ( 6 z = 5,4 5 5),9 C. (2.60) Outra maneira de se obter as coordenadas de z na base C é usando a matriz de mudança de base. A matriz de mudança da base C para a base B é M = (2.61) Então, a matriz de mudança da base B para a base C é M BC = M 1. Logo, (x,y,z) C = M BC ( 1, 3,1) B. Exercícios Em construção Bases ortonormais Uma base B = ( a, b, c) é dita ser ortonormal se, e somente se, a, b e c são dois a dois ortogonais; a = b = c = 1. Observação (Teorema de Pitágoras) Se u v, então u + v 2 = u 2 + v 2. Proposição Seja B = ( i, j, k) uma base ortonormal e u = (u 1,u 2,u 3 ) B. Então, u = u u u 2 3. Licença CC-BY-SA

30 Demonstração. Temos u 2 = u 1 i+u 2 j+u 3 k 2. Seja π um plano determinado por dadas representações de i e j. Como i, j e k são ortogonais, temos que k é ortogonal ao plano π. Além disso, o vetor u1 i + u 2 j também admite uma representação em π, logo u 1 i+u 2 j é ortogonal a k. Do Teorema de Pitágoras (Observação 2.4.1), temos u 2 = u 1 i + u 2 j 2 + u 3 k 2. (2.62) Analogamente, como i j, do Teorema de Pitágoras segue u 2 = u 1 i 2 + u 2 j 2 + u 3 k 2 (2.63) = u 1 2 i + u 2 2 j + u 3 k 2 (2.64) = u u u 2 3. (2.65) Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da última equação, obtemos o resultado desejado. Exemplo Se u = ( 1,2, 2) B e B é uma base ortonormal, então u = ( 1) ( 2) 2 = 7. (2.66) Exercícios E Seja B = ( a, b, c) uma base ortogonal, i.e. a, b e c são l.i. e dois a dois ortogonais. Mostre que C = ( a/ a, b/ b, c/ c ) é uma base ortonormal. Em construção... Licença CC-BY-SA

31 Capítulo 3 Produto escalar 3.1 Produto escalar Ao longo desta seção, assumiremos B = ( i, j, k) uma base ortonormal no espaço. O produto escalar dos vetores u = (u 1,u 2,u 3 ) e v = (v 1,v 2,v 3 ) é o número real u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. (3.1) Exemplo Se u = (2, 1,3) e v = ( 3, 4,2), então u v = 2 ( 3) + ( 1) ( 4) = 4. (3.2) Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam u, v, w e qualquer número real α, temos: Comutatividade: u v = v u. Dem.: u v = (u 1,u 2,u 3 ) (v 1,v 2,v 3 ) (3.3) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 (3.4) = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 (3.5) = v u. (3.6) Distributividade com multiplicação por escalar: (α u) v = u (α v) = α( u v). (3.7) Licença CC-BY-SA

32 Dem.: (α u) v = (αu 1,αu 2, αu 3 ) (v 1,v 2,v 3 ) (3.8) = (αu 1 )v 1 + (αu 2 )v 2 + (αu 3 )v 3 (3.9) = α(u 1 v 1 ) + α(u 2 v 2 ) + α(u 3 v 3 ) (3.10) = α(u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) = α( u v) (3.11) = u 1 (αv 1 ) + u 2 (αv 2 ) + u 3 (αv 3 ) (3.12) = (u 1,u 2,u 3 ) (αv 1,αv 2,αv 3 ) (3.13) = u (α v). (3.14) Distributividade com a adição: u ( v + w) = u v + u w. Dem.: u ( v + w) = (u 1,u 2,u 3 ) ((v 1,v 2,v 3 ) + (w 1,w 2,w 3 )) (3.15) = (u 1,u 2,u 3 ) [(v 1 + w 1,v 2 + w 2,v 3 + w 3 )] (3.16) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) (3.17) = u 1 v 1 + u 1 w 1 + u 2 v 2 + u 2 w 2 + u 3 v 3 + u 3 w 3 (3.18) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 (3.19) = u v + u w. (3.20) Sinal: u u 0 e u u = 0 u = 0. Dem.: u u = u u u (3.21) Além disso, observamos que a soma de números não negativos é nula se, e somente se, os números forem zeros. Norma: u 2 = u u. Dem.: Como fixamos uma base ortonormal B, a Proposição nos garante que u 2 = u u u 2 3 = u u. (3.22) Exemplo Sejam u = ( 1,2,1), v = (2, 1,3) e w = (1,0, 1). Vejamos os seguintes casos: Licença CC-BY-SA

33 Comutatividade: u v = ( 1) = 1, (3.23) v u = 2 ( 1) + ( 1) = 1. (3.24) Distributividade com a multiplicação por escalar: (2 u) v = ( 2,4,2) (2, 1,3) = = 2, (3.25) 2( u v) = 2( ) = 2, (3.26) u (2 v) = ( 1,2,1) (4, 2,6) = 2. (3.27) Distributividade com a adição: u ( v + w)) = ( 1,2,1) (3, 1,2) = = 3, (3.28) u v + u w = ( ) + ( ) = 3. (3.29) Sinal: w w = = 2 0. (3.30) Norma: u 2 = ( 1) = 6, (3.31) u u = ( 1) ( 1) = 6. (3.32) Exercícios Em construção Ângulo entre dois vetores O ângulo formado entre dois vetores u e v não nulos, é definido como o menor ângulo determinado entre quaisquer representações u = OA e v = OB. Proposição Dados u e v, temos u v = u v cos α, (3.33) onde α é o ângulo entre os vetores u e v. Licença CC-BY-SA

34 Demonstração. Tomamos as representações u = OA e v = OB. Observamos que u v = BA. Então, aplicando a lei dos cossenos no triângulo OAB, obtemos BA 2 = OA 2 + OB 2 2 OA OB cos α, (3.34) ou, equivalentemente, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos α (3.35) ( u v) ( u v) = u 2 + v 2 2 u v cos α (3.36) u u 2 u v + v v = u 2 + v 2 2 u v cos α (3.37) u 2 + v 2 2 u v = u 2 + v 2 2 u v cos α (3.38) donde u v = u v cos α. (3.39) Exemplo Vamos determinar ângulo entre os vetores u = ( ) 1 3 e u = 2, 2,0. Da Proposição 3.2.1, temos Portanto, temos α = π/6. cos α = = u v u v = Observação O ângulo entre dois vetores u e v é: agudo se, e somente se, u v > 0; obtuso se, e somente se, u v < 0. Se u, v 0, então: u v se, e somente se, u v = 0. ( ) 3 2,1 2,0 (3.40) 3 2. (3.41) Licença CC-BY-SA

35 3.2.1 Desigualdade triangular Dados dois vetores u e v temos u + v u + v, (3.42) esta é conhecida como a desigualdade triangular. começamos observando que Para demonstrá-la, u + v 2 = ( u + v) ( u + v) (3.43) = u v + v v + u v + v u (3.44) = u 2 + v u v. (3.45) Agora, vamos estimar u v. Pela Proposição 3.2.1, temos u v = u v cos α, (3.46) onde α é o ângulo entre u e v. Mas, então: u v u v cos α. (3.47) Daí, como cos α 1, temos u v u v, (3.48) a qual é chamada de desigualdade de Cauchy-Schwarz 1. Exercícios E Verifique que (??) é equivalente a (3.1) no caso de bases ortonormais. Em construção... 1 Augustin-Louis Cauchy, , matemático francês. Fonte: Wikipeida. Hermann Schwarz, , matemático alemão. Fonte: Wikipedia. Licença CC-BY-SA

36 3.3 Projeção ortogonal Sejam dados os vetores u = OA, v = OB 0. Seja, ainda, P a interseção da reta perpendicular a OB que passa pelo ponto A. Observemos a Figura 3.1. Com isso, definimos a projeção ortogonal de u na direção de v por OP. Denotamos OP = proj v u. (3.49) Figura 3.1: Ilustração da definição da projeção ortogonal. Da definição, temos que proj v u = α v (3.50) para algum número real α. Além disso, temos proj v u = u + AP. (3.51) Portanto α v = u + AP. (3.52) Tomando o produto escalar com v em ambos os lados desta equação, obtemos α v v = u v, (3.53) Licença CC-BY-SA

37 pois AP v = 0, uma vez que AP v. Daí, lembrando que v v = v 2, temos α = u v v 2 (3.54) e concluímos que proj v u = u v v. (3.55) v 2 Exemplo Sejam u = ( 1,1, 1) e v = (2,1, 2). Usando a equação (3.55), obtemos Em construção... ( 1,1, 1) (2,1, 2) proj v u = (2,1, 2) (2,1, 2) 2 (3.56) = (2,1, 2) (3.57) = ( 2 9,1 9, 2 9 ). (3.58) Exercícios Em construção... Licença CC-BY-SA

38 Capítulo 4 Produto vetorial De agora em diante, vamos trabalhar com um base ortonormal B = ( i, j, k) dita com orientação positiva, i.e. os vetores i = OI, j = OJ e k = OK estão dispostos em sentido anti-horário, veja Figura 4.2. Figura 4.1: Base ortonormal positiva. Licença CC-BY-SA

39 4.1 Definição Dados vetores u e v, definimos o produto vetorial de u com v, denotado por u v, como o vetor: se u e v são l.d., então u v = 0. se u e v são l.i., então u v = u v sen α, onde α é o ângulo entre u e v, u v é ortogonal a u e v, e u, v e u v formam uma base positiva Interpretação geométrica Sejam dados u e v l.i.. Estes vetores determinam um paralelogramo, veja Figura??. Seja, então, h a altura deste paralelogramo tendo u como sua base. Logo, a área do paralelogramo é o produto do comprimento da base com sua altura, neste caso u h = u v sen α. (4.1) Ou seja, o produto vetorial u v tem norma igual à área do paralelogramo determinado por u e v. Figura 4.2: Base ortonormal positiva. Licença CC-BY-SA

40 4.1.2 Produto vetorial via coordenadas Dados u = (u 1,u 2,u 3 ) e v = (v 1,v 2,v 3 ) em uma base ortonormal positiva, então u u v = 2 u 3 v 2 v u i 1 u 3 3 v 1 v u j + 1 u 2 3 v 1 v k. (4.2) 2 Observação Uma regra mnemônica, é i j k u v = u 1 u 2 u 3. (4.3) v 1 v 2 v 3 Exemplo Dados os vetores u = (1, 2,1) e v = (0,2, 1), temos i j k u v = u 1 u 2 u 3 (4.4) v 1 v 2 v 3 i j k = (4.5) = 0 i + j + 2 k (4.6) = (0,1,2). (4.7) Exercícios Em construção Propriedades do produto vetorial Nesta seção, discutiremos sobre algumas propriedades do produto vetorial. Para tanto, sejam dados os vetores u = (u 1,u 2,u 3 ), v = (v 1,v 2,v 3 ), w = (w 1,w 2,w 3 ) e o número real γ. Da definição do produto vetorial, temos u ( u v) e v ( u v), logo u ( u v) = 0 e v ( u v) = 0. (4.8) Licença CC-BY-SA

41 Em relação à multiplicação por escalar, temos γ( u v) = (γ u) v = u (γ v). (4.9) De fato, i j k (γ u v) = γu 1 γu 2 γu 3 (4.10) v 1 v 2 v 3 i j k = u 1 u 2 u 3 = u (γ v) (4.11) γv 1 γv 2 γv 3 i j k = γ u 1 u 2 u 3 = γ( u v). (4.12) v 1 v 2 v 3 (4.13) Também, vale a propriedade distributiva com a operação de soma, i.e. u ( v + w) = u v + u w. (4.14) De fato, temos i j k u ( v + w) = u 1 u 2 u 3 v 1 + w 1 v 2 + w 2 u 3 + w 3 (4.15) i j k i j k = u 1 u 2 u 3 + u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 (4.16) = u v + u w. (4.17) Observamos que o produto vetorial não é comutativo, entretanto u v = v u. (4.18) Licença CC-BY-SA

42 De fato, temos i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 (4.19) i j k = v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 (4.20) = v u. (4.21) Também, o produto vetorial não é associativo sendo ( u v) w, em geral, diferente de u ( v w). Com efeito, temos ( i i) j = 0, (4.22) i ( i j) = i k = j. (4.23) Por outro lado, suponhamos que u, v e w são l.i. e seja π um plano determinado por u e v. Então, u v é ortogonal a π. Como ( u v) w é ortogonal a u v e a w, temos que ( u v) w também pertence a π. Logo, u, v e ( u v) w são l.d. e existem α e β tais que ( u v) w = α u + β v. (4.24) Vamos determinar α e β. Para tanto, consideremos uma base ortonormal B = ( i, j, k) tal que i u e j π. Nesta base, temos u = (u 1,0,0) (4.25) v = (v 1,v 2,0) (4.26) w = (w 1,w 2,w 3 ). (4.27) Também, temos i j k u v = u v 1 v 2 0 (4.28) = (0,0,u 1 v 2 ) (4.29) Licença CC-BY-SA

43 e Daí, temos donde i j k ( u v) w = 0 0 u 1 v 2 w 1 w 2 w 3 (4.30) = ( u 1 v 2 w 2,u 1 v 2 w 1,0). (4.31) α(u 1,0,0) + β(v 1,v 2,0) = ( u 1 v 2 w 2,u 1 v 2 w 1,0), (4.32) u 1 v 2 w 2 = αu 1 + βv 1, (4.33) u 1 w 1 v 2 = βv 2. (4.34) Resolvendo, obtemos α = v 1 w 1 v 2 w 2 = v w (4.35) β = u w. (4.36) Portanto, temos ( u v) w = ( v w) u + ( u w) v. (4.37) Usando a identidade acima, obtemos u ( v w) = ( v w) u (4.38) = ( w u) v ( v u) w (4.39) = ( u w) v ( u v) w. (4.40) Exercícios Em construção... Licença CC-BY-SA

44 Capítulo 5 Produto misto Ao longo deste capítulo, assumiremos trabalhar com uma base ortonormal positiva B = ( i, j, k). 5.1 Definição O produto misto de três vetores u, v e w, nesta ordem, é definido por [ u, v, w] := u v w. (5.1) Licença CC-BY-SA

45 Em coordenadas, temos [ u, v, w] := u v w (5.2) i j k = u 1 u 2 u 3 w (5.3) v 1 v 2 v 3 ( u = 2 u 3 v 2 v u i 1 u 3 3 v 1 v j (5.4) 3 ) u + 1 u 2 v 1 v k (w 2 1,w 2,w 3 ) (5.5) u = 2 u 3 v 2 v 3 w u 1 1 u 3 v 1 v 3 w u u 2 v 1 v 2 w 3 (5.6) w 1 w 2 w 3 = u 1 u 2 u 3 (5.7) v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 (5.8) w 1 w 2 w 3 Exemplo Dados os vetores u = (1, 1,0), v = (1,0,2) e w = (1, 1,1), temos u 1 u 2 u 3 [ u, v, w] = v 1 v 2 v 3 (5.9) w 1 w 2 w = = 1. (5.10) Propriedades Valem as seguintes propriedades: a) [ u, v, w] = [ v, u, w] b) [ u, v, w] = [ u, w, v] c) [ u, v, w] = [ w, u, v] = [ v, w, u] Licença CC-BY-SA

46 d) [ u, v, w] = u v w = u v w e) [α u, v, w] = [ u,α v, w] = [ u, v,α w] = α[ u, v, w] f) [ u + u, v, w] = [ u, v, w] + [ u, v, w] Em construção... Exercícios Em construção... Licença CC-BY-SA

47 Capítulo 6 Estudo de retas e planos Observação Neste capítulo, assumimos que os códigos Python têm o seguinte preambulo: from sympy import * from sympy.plotting import plot3d_parametric_line 6.1 Sistema de coordenadas no espaço Um sistema de coordenadas no espaço é constituído de um ponto O e uma base de vetores B = ( e 1, e 2, e 3 ) no espaço. Dado um tal sistema, temos que cada ponto P determina de forma única um vetor OP = (x,y,z) e vice-versa. Assim sendo, definimos que o ponto P tem coordenadas (x,y,z). O ponto O é chamado de origem (do sistema de coordenados) e tem coordenadas (0,0,0). Dado um ponto P = (x,y,z), chama-se x de sua abscissa, y de sua ordenada e z de sua cota. As retas que passam por O e têm, respectivamente, as mesmas direções de e 1, e 2 e e 3 são chamadas de eixo das abscissas, eixo das ordenadas e eixo das cotas. Os planos que contém O e representantes de dois vetores da base B são chamados de planos coordenados. Licença CC-BY-SA

48 Figura 6.1: Sistema de coordenadas ortonormal. Salvo explicitado ao contrário, trabalharemos com sistemas de coordenadas ortogonais, i.e. sistema cuja base B = ( i, j, k) seja ortonormal. Mais ainda, estaremos assumindo que a base é positiva. Veja a Figura 6.1. Observação (Relação entre pontos e vetores) Seja dado um vetor AB. Sabendo as coordenadas dos pontos A = (x A,y A,z A ) e B = (x B,y B,z B ), temos que as coordenadas do vetor AB são: AB = AO + OB (6.1) = OA + OB (6.2) = (x A,y A,z A ) + (x B,y B,z B ) (6.3) = (x B x A,y B y A,z B z A ). (6.4) Exemplo Dados os pontos A = ( 1,1,2) e B = (3, 1,0), temos que o vetor AB tem coordenadas: AB = (3 ( 1), 1 1,0 2) = (4, 2, 2). (6.5) Observação (Ponto médio de um segmento) Dados os pontos A = (x A,y A,z A ) e B = (x B,y B,z B ), podemos calcular as coordenadas do ponto médio M = (x M,y M,z M ) do segmento AB, do fato de que AM = MB. Portanto (x M x A,y M y A,z M z A ) = (x B x M,y B y M,z B z M ), (6.6) Licença CC-BY-SA

49 donde ( xa + x B Logo, temos M = 2 2x M = x A + x B (6.7) 2y M = y A + y B (6.8) 2z M = z A + z B. (6.9), y A + y B 2, z ) A + z B. 2 Exemplo Dados os pontos A = ( 1,1,2) e B = (3, 1,0), temos que o ponto médio do segmento AB tem coordenadas: ( M =, 1 + ( 1), ) = (1,0,1). (6.10) Exercícios resolvidos ER Sejam A = ( 1,2,1), B = (1, 2,0) e C = (x,2,2) vértices consecutivos de um triângulo isósceles, cujos lados AC e BC são congruentes. Determine o valor de x. Solução. Sendo os lados AC e BC congruentes, temos AC = BC. As coordenadas de AC são e as coordenadas de BC são Então, temos AC = (x ( 1),2 2,2 1) = (x + 1,0,1) (6.11) BC = (x 1,2 ( 2),2 0) = (x 1,4,2). (6.12) AC = BC (x + 1) = (x 1) (6.13) (x + 1) = (x 1) (6.14) x 2 + 2x = x 2 2x (6.15) 4x = 19 (6.16) x = (6.17) Licença CC-BY-SA

50 ER Sejam A = ( 1,2,1), B = (1, 2,0) e M o ponto médio do intervalo AB. Determine as coordenadas do ponto P de forma que 2AP = AM. Solução. As coordenadas do ponto médio são ( M =, 2 + ( 2), ) = ( 0,0, 1 ). (6.18) 2 Agora, denotando P = (x P,y P,z P ), temos 2AP = AM 2(x P ( 1),y P 2,z P 1) = (0 ( 1),0 2, 1 ) 2 1 Portanto (6.19) ( (2x p + 2,2y P 4,2z P 2) = 1, 2, 1 ). (6.20) 2 2x P + 2 = 1 x P = 1 2 (6.21) 2y P 4 = 2 y P = 1 (6.22) 2z P 2 = 1 2 z P = 3 4. (6.23) Logo, P = ( 1/2,1,3/4). Exercícios Em construção Equações da reta Equação vetorial de uma reta Seja r uma reta dada, v um vetor paralelo a r e A um ponto de r (veja a Figura 6.2). Assim sendo, P é um ponto de r se, e somente se, existe λ R tal que AP = λ v. (6.24) Licença CC-BY-SA

51 Esta é chamada equação vetorial da reta r. P r A v Figura 6.2: Equação vetorial de uma reta. Observe que para obtermos uma equação vetorial de uma dada reta, podemos escolher qualquer ponto A r e qualquer vetor v r, v 0. O vetor v escolhido é chamado de vetor diretor. Exemplo Seja r a reta que passa pelos pontos A = ( 1, 1, 2) e B = (2,1,3) (veja a Figura 6.3). O vetor v = AB = (2 ( 1),1 ( 1),3 ( 2)) = (3,2,5) (6.25) é um vetor diretor de r. Desta forma, uma equação vetorial da reta r é AP = λ v. (6.26) Licença CC-BY-SA

52 B = (2, 1, 3) v 1 0 z 1 2 r A = ( 1, 1, 2) x y Figura 6.3: Esboço da reta discutida no Exemplo Equações paramétricas de uma reta Seja r uma reta que passa pelo ponto A = (x A,y A,z A ) e tenha vetor diretor v = (v 1,v 2,v 3 ). Assim, P = (x,y,z) r se, e somente se, existe λ R tal que Equivalentemente, Então, AP = λ v. (6.27) (x x A,y y A,z z A ) = λ(v 1,v 2,v 3 ). (6.28) x x A = λv 1, (6.29) y y A = λv 2, (6.30) z z A = λv 3, (6.31) Licença CC-BY-SA

53 donde x = x A + λv 1, (6.32) y = y A + λv 2, (6.33) z = z A + λv 3, (6.34) as quais são chamadas de equações paramétricas da reta r. Exemplo A reta r discutida no Exemplo tem equações paramétricas x = 1 + 3λ, (6.35) y = 1 + 2λ, (6.36) z = 2 + 5λ. (6.37) De fato, tomando λ = 0, temos (x,y,z) = ( 1, 1, 2) = A r. E, tomado λ = 1, temos (x,y,z) = ( 1 + 3, 1 + 2, 2 + 5) = (2,1,3) = B r. Ou seja, as equações paramétricas acima representam a reta que passa pelos pontos A e B. Com o Sympy, podemos plotar o gráfico de r usando o seguinte código 1 : var('lbda',real=true) plot3d_parametric_line(-1+3*lbda,-1+2*lbda,-2+5*lbda,(lbda,-1,2)) Equações da reta na forma simétrica Seja r uma reta que passa pelo ponto A = (x A,y A,z A ) e tem v = (v 1,v 2,v 3 ) como vetor diretor. Então, r tem as equações paramétricas Isolando λ em cada uma das equações, obtemos x = x A + v 1 λ, (6.38) y = y A + v 2 λ, (6.39) z = z A + v 3 λ. (6.40) x x A v 1 = y y A v 2 = z z A v 3, (6.41) as quais são as equações da reta na forma simétrica. 1 Veja a Observação Licença CC-BY-SA

54 Exemplo No Exemplo 6.2.2, consideramos a reta r de equações paramétricas x = 1 + 3λ, (6.42) y = 1 + 2λ, (6.43) z = 2 + 5λ. (6.44) Para obtermos as equações de r na forma simétrica, basta isolarmos λ em cada equação. Com isso, obtemos x = y = z (6.45) Exercícios resolvidos ER Seja r a reta que passa pelo ponto A = ( 1, 1, 2) e tem v = (3,2,5) como vetor diretor. Determine o valor de x de forma que P = (x,0,1/2) seja um ponto de r. Solução. P = (x,0,1/2) é um ponto de r se, e somente se, existe λ R tal que AP = λ v. (6.46) Ou seja, (x ( 1),0 ( 1), 12 ) ( 2) = λ(3,2,5). (6.47) Ou, equivalentemente, ( x + 1,1, 5 ) = λ(3,2,5). (6.48) 2 Usando a segunda coordenada destes vetores, temos Assim, da primeira coordenada dos vetores, temos 1 = λ 2 λ = 1 2. (6.49) x + 1 = λ3 x + 1 = 3 2 (6.50) x = = 1 2. (6.51) Licença CC-BY-SA

55 ER Seja r a reta de equações paramétricas Determine uma equação vetorial de r. x = 1 λ, (6.52) y = λ, (6.53) z = 3. (6.54) Solução. Nas equações paramétricas de uma reta, temos que os coeficientes constantes estão associados a um ponto da reta. Os coeficientes de λ estão associados a um vetor diretor. Assim sendo, das equações paramétricas da reta r, temos que A = (1,0, 3) r e v = ( 1,1,0) é um vetor diretor. Logo, temos que a reta r tem equação vetorial com A = (1,0,3) e v = ( 1,1,0). AP = λ v, (6.55) ER Sabendo que r é uma reta que passa pelos pontos A = (2, 3,1) e B = ( 1,1,0), determine o valor de t tal que sejam equação paramétricas de r. x = 2 + tλ, (6.56) y = 2 + 4λ, (6.57) z = 1 λ, (6.58) Solução. Para que estas sejam equações paramétricas de r, é necessário que v = (t,4, 1) seja um vetor diretor de r. Em particular, v AB. Logo, existe β R tal que (t,4, 1) = β( 1 2,1 ( 3),0 1) = β( 3,4, 1). (6.59) Das segunda e terceira coordenadas, temos β = 1. Daí, comparando pela primeira coordenada, temos t = 3β t = 3. (6.60) Licença CC-BY-SA

56 ER Seja r uma reta, cujas equações na forma simétrica são x = y 2 3 = 1 z 2. (6.61) Determine equações paramétricas desta reta e faça um esboço de seu gráfico. Solução. Podemos obter equações paramétricas desta reta a partir de suas equações na forma simétrica. Para tanto, basta tomar o parâmetro λ tal que λ = x + 1, 2 (6.62) λ = y 2 3, (6.63) λ = 1 z 2. (6.64) Daí, isolando x, y e z em cada uma destas equações, obtemos x = 1 + 2λ, (6.65) y = 2 + 3λ, (6.66) z = 1 2λ. (6.67) Para fazermos um esboço do gráfico desta reta, basta traçarmos a reta que passa por dois de seus pontos. Por exemplo, tomando λ = 0, temos A = ( 1,2,1) r. Agora, tomando λ = 1, temos B = (1,5, 1) r. Desta forma, obtemos o esboço dado na Figura 6.4. Licença CC-BY-SA

57 A = ( 1, 2, 1) B = (1, 5, 1) z x y 8 Figura 6.4: Esboço do gráfico da reta r do Exercício Resolvido Equações do plano Um plano π fica unicamente determinado por um ponto A π e dois vetores linearmente independentes u, v π Equação vetorial do plano Consideremos um plano π determinado pelo ponto A e os vetores u e v. Então, um ponto P π se, e somente se, AP é coplanar a u e v, i.e. AP, u e v são linearmente dependentes. Ou seja, P π AP = λ u + β v, λ,β R, (6.68) 2 No sentido que u e v têm representantes no plano π. Licença CC-BY-SA

58 esta última é chamada de equação vetorial do plano. Exemplo Consideremos o plano π determinado pelo ponto A = (1, 1,1) e pelos vetores u = (2, 1,0) e v = (0,1,1) (Veja a Figura 6.5. Desta forma, uma equação vetorial para este plano é AP = λ u + β v, (6.69) para λ,β R. Figura 6.5: Esboço do plano π discutido no Exemplo Tomando, por exemplo, λ = 1 e β = 1, obtemos AP = λ u + β v (6.70) = (2, 1,0) + (0,1,1) (6.71) = ( 2,2,1). (6.72) Observando que as coordenadas do ponto P são iguais as coordenadas do vetor OP, temos OP = OA + AP (6.73) = (1, 1,1) + ( 2,2,1) (6.74) = ( 1,1,2). (6.75) Licença CC-BY-SA

59 Ou seja, P = ( 1,1,2) π Equações paramétricas do plano Seja um plano π com A = (x A,y A,z A ) π e os vetores u = (u 1,u 2,u 3 ) π e v = (v 1,v 2,v 3 ) π linearmente independentes. Então, todo o ponto P = (x,y,z) do plano π satisfaz para dados parâmetros λ,β R. Assim, temos AP = λ u + β v, (6.76) (x x A,y y A,z z A ) = λ(u 1,u 2,u 3 ) + β(v 1,v 2,v 3 ) (6.77) Portanto, temos Ou, equivalentemente, = (λu 1 + βv 1,λu 2 + βv 2,λu 3 + βv 3 ). (6.78) x x A = λu 1 + βv 1, (6.79) y y A = λu 2 + βv 2, (6.80) z z A = λu 3 + βv 3. (6.81) x = x A + λu 1 + βv 1, (6.82) y = y A + λu 2 + βv 2, (6.83) z = z A + λu 3 + βv 3, (6.84) as quais são chamadas de equações paramétricas do plano. Exemplo No Exemplo 6.3.1, discutimos sobre o plano π determinado pelo ponto A = (1, 1,1) e os vetores u = (2, 1,0) e v = (0,1,1). Do que vimos acima, temos que x = 1 + 2λ, (6.85) y = 1 λ + β, (6.86) z = 1 + β, (6.87) são equações paramétricas deste plano. Podemos usar as equações paramétricas do plano para plotá-lo usando o Sympy. Para tanto, podemos usar os seguintes comandos: Licença CC-BY-SA

60 from sympy import * from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface var('r,s',real=true) plot3d_parametric_surface(1+2*r,-1-r+s,1+s, (r,-2,2),(s,-2,2),show=true, xlabel='$x$',ylabel='$y$') Equação geral do plano Seja π o plano determinado pelo ponto A = (x A,y A,z A ) e pelos vetores u = (u 1,u 2,u 3 ) e v = (v 1,v 2,v 3 ). Sabemos que P = (x,y,z) π se, e somente se, AP, u e v são linearmente dependentes. Ou, equivalentemente, o produto misto [ AP, u, v] = 0. Logo, 0 = [ AP, u, v] (6.88) x x A y y A z z A = u 1 u 2 u 3 (6.89) v 1 v 2 v 3 = u 1 v 2 z A + u 1 v 3 y A + u 2 v 1 z A (6.90) u 2 v 3 x A u 3 v 1 y A + u 3 v 2 x A (6.91) + x(u 2 v 3 u 3 v 2 ) + y( u 1 v 3 + u 3 v 1 ) + z(u 1 v 2 u 2 v 1 ). (6.92) Observamos que a equação acima tem a forma geral ax + by + cz + d = 0, (6.93) com a,b,c,d não todos nulos ou, equivalentemente, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0. Esta última é chamada equação geral do plano. Exemplo No Exemplo 6.3.1, discutimos sobre o plano π determinado pelo ponto A = (1, 1,1) e os vetores u = (2, 1,0) e v = (0,1,1). Para encontrarmos a equação geral deste plano, tomamos P = (x,y,z) e calculamos 0 = [ AP, u, v] (6.94) x 1 y + 1 z 1 = (6.95) = x 2y + 2z 3. (6.96) Licença CC-BY-SA

61 Ou seja, a equação geral deste plano é Exercícios resolvidos x 2y + 2z 3 = 0. (6.97) ER Seja π um plano tal que A = (2,0, 1) π, P = (0,1, 1) π e u = (1,0,1) π. Determine uma equação vetorial para π. Solução. Para obtermos uma equação vetorial do plano π, precisamos de um ponto e dois vetores l.i. em π. Do enunciado, temos o ponto A = (2,0, 1) π e o vetor u. Portanto, precisamos encontrar um vetor v π tal que u e v sejam l.i.. Por sorte, temos P = (0,1, 1) π e, portanto AP π. Podemos tomar v = AP (6.98) = ( 2,1,0), (6.99) pois v e u são l.i.. Logo, uma equação vetorial do plano pi é com λ,β R. AP = λ u + β v, (6.100) = λ(1,0,1) + β( 2,1,0), (6.101) ER Seja π o plano de equações paramétricas x = 1 + λ, (6.102) y = β, (6.103) z = 1 λ + β. (6.104) Determine o valor de z P de forma que P = ( 1,2,z P ) π. Solução. Para que P = ( 1,2,z P ) pertença ao plano, devemos ter 1 = 1 + λ, (6.105) 2 = β, (6.106) z P = 1 λ + β. (6.107) Licença CC-BY-SA

62 Das duas primeiras equações, obtemos λ = 0 e β = 2. equação, temos Daí, da terceira z P = = 3. (6.108) Em construção... Licença CC-BY-SA

63 Capítulo 7 Cônicas 7.1 Elipse Sejam F 1,F 2 pontos sobre um plano π, c a distância entre c 1 e c 2 e a > c. Chama-se elipse de focos F 1 e F 2 ao conjunto de pontos P tais que P F 1 + P F 2 = 2a. (7.1) Veja a Figura 7.1. Licença CC-BY-SA

64 Figura 7.1: Ilustração de uma elipse de focos F 1 e F 2. Dada uma tal elipse, identificamos 2c = F 1 F 2 como a distância focal. Os pontos A 1 e A 2 de interseção da elipse com a reta que passa pelos focos são chamados de vértices da elipse. O segmento A 1 A 2 é chamado de eixo maior da elipse. Observamos que A 1 A 2 = 2a. (7.2) O ponto médio do segmento F 1 F 2 é chamado de centro da elipse. Sejam B 1 e B 2 os pontos de interseção da elipse com a reta que passa pelo centro da elipse e é perpendicular ao segmento A 1 A 2. Assim sendo, o segmento B 1 B 2 é chamado de eixo menor da elipse. Vamos denotar Chamamos de excentricidade da elipse o número 2b = B 1 B 2. (7.3) e = c a. (7.4) Licença CC-BY-SA

65 Notemos que 0 e < 1. Para e = 0, temos c = 0 e, portanto F 1 = F 2. Neste caso, a elipse é a circunferência de centro em F 1 (ou F 2 ) e diâmetro 2a. No que e tende a 1, a elipse tende ao segmento A 1 A 2. Por fim, notemos que o triângulo B 1 OF 2 é retângulo, OF 2 = c, F 2 B 1 = a e OB 1 = b. Do teorema de Pitágoras segue Equação reduzida da elipse b 2 + c 2 = a 2. (7.5) Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas. Sejam F 1 = ( c,0) e F 2 = (c,0), c 0, os focos de uma dada elipse (veja a Figura 7.1). Se P = (x,y) é um ponto da elipse, então P F 1 + P F 2 = 2a. (7.6) Como P F 1 = (x + c) 2 + y 2, (7.7) P F 2 = (x c) 2 + y 2, (7.8) temos ou, equivalentemente, Elevando ao quadrado, obtemos (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a, (7.9) (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2. (7.10) (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2. (7.11) Por cancelamento e rearranjo dos termos, obtemos Elevando novamente ao quadrado, temos a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx. (7.12) a 2 (x c) 2 + a 2 y 2 = a 4 2a 2 cx + c 2 x 2, (7.13) Licença CC-BY-SA