Fix 4.6: Considere I : V V e T : V W definidas por I(v) = v e T (v) = 0 para todo v V. (c) Nuc(T ) = (V, W, 0); (d) Im(T ) = (V, W, 0);

Transcrição

1 Fix 4.6: Considere I : V V e T : V W definidas por I(v) = v e T (v) = 0 para todo v V. (a) Nuc(I) = (V, W, 0); (b) Im(I) = (V, W, 0); (c) Nuc(T ) = (V, W, 0); (d) Im(T ) = (V, W, 0); 11

2 4.6: (a) 0; (b) V ; (c) V ; (d) 0.

3 13 Fix 4.7: Seja T : V W uma TL. Para cada pergunta, escolha uma das opções. (i) a definição de Nuc(T ) é: (A) {w W T (0) = w}; (B) {w W T (w) = 0}; (C) {v V T (v) = 0}; (D) {v V T (0) = v}. (ii) a definição de Im(T ) é: (A) {w W w = T (v) para algum v V }; (B) {w W v = T (w) para algum w W }; (C) {v V w = T (v) para algum v V }; (D) {v V v = T (w) para algum w W }; (iii) T é sobrejetiva se, e somente se: (A) dim(v ) = dim(w ); (B) dim(nuc(t )) = dim(v ); (C) dim(nuc(t )) = 0; (D) dim(im(t )) = dim(w ); (E) dim(im(t )) = 0. (iv) T é injetiva se, e somente se: (A) dim(v ) = dim(w ); (B) dim(nuc(t )) = dim(v ); (C) dim(nuc(t )) = 0; (D) dim(im(t )) = dim(w ); (E) dim(im(t )) = 0.

4 4.7: (i) (C); (ii) (A); (iii) (D); (iv) (C).

5 Fix 4.8: Determine (geometricamente, não faça contas) o núcleo e a imagem de cada uma das TLs abaixo de R 3 em R 3 : (a) projeção ortogonal na reta gerada pelo vetor (2, 1, 1); (b) rotação de 11 graus em torno do eixo ( 2, 1, 2); (c) reflexão em torno do plano x = 0; (d) projeção ortogonal no plano x = 0. 15

6 4.8: (a) Núcleo é o plano perpendicular a (2, 1, 1), isto é, o plano 2x + y + z = 0. Imagem é a reta gerada por (2, 1, 1). (b) Núcleo é o 0 somente. Imagem é todo R 3. (c) Núcleo é o vetor 0 somente. Imagem é todo R 3. (d) Núcleo é a reta gerada por (1, 0, 0) (o eixo x). Imagem é o plano x = 0, gerado pelos eixos y e z.

7 Fix 4.9: Este exercício é para ser feito com argumentos geométricos. Todas as transformações estão definidas de R 2 em R 2. Seja P uma projeção ortogonal na reta r e R uma reflexão em torno da mesma reta r. Determine: (a) Im(P ) = (0, r, R 2 ); (b) Nuc(R) = (0, r, R 2 ); (c) P P = (P, R, I, 0); (d) RR = (P, R, I, 0); (e) RP = (P, R, I, 0); (f) P R = (P, R, I, 0); (g) de forma geral P n e R n com 1 n N. 17

8 4.9: (a) r; (b) 0; (c) P P = P ; (d) RR = I; (e) RP = P ; (f) P R = P ; (g) P n = P e R 2k = I; R 2k+1 = R.

9 Fix 4.10: Seja T : R 7 R 10 linear. Se dim(nuc(t )) for igual a: (a) 0, dim(im(t )) = ; (b) 3, dim(im(t )) = ; (c) 5, dim(im(t )) =. 19

10 4.10: (a) 7; (b) 4; (c) 2;

11 21 Fix 4.11: Determine dim(im(t )) sabendo que: (a) T : R 5 R 4 com dim(nuc(t )) = 3; (b) T : R 5 R 7 com T injetiva.

12 4.11: (a) 2; (b) 5;

13 Fix 4.12: Determine dim(nuc(t )) sabendo que: (a) T : V W com T sobrejetiva, dim(v ) = 5, dim(w ) = 3; (b) T : R 4 R 4 sabendo que existe a inversa de T. 23

14 4.12: (a) 2; (b) 0;

15 Fix 4.13: Determine se é verdadeiro ou falso cada um das seguintes afirmativas sobre TLs: (a) T : R 5 R 4 pode ser injetiva; (b) T : R 3 R 5 com dim(im(t )) = 3 é injetiva. (c) Se T : R n R m satisfaz T (0) = 0, então T é linear. (d) Se T é injetiva, então não existe w 0 tal que T (w) = 0. (e) se T : V V possui inversa, então dim(nuc(t )) = dim(v ). 25

16 4.13: (a) falsa; (b) verdadeira; (c) falso; (d) verdadeiro. (e) falso, dim(nuc(t )) = 0.

17 Problemas Prob 4.25: Determine a TL que representa uma: (a) reflexão em R 2 em torno da reta x + y = 0. (b) projeção ortogonal em R 3 sobre o plano y = z; (c) rotação em R 3 de 45 0 em torno do eixo z.

18 4.25: Veja o efeito nos vetores da base canônica. (a) T (1, 0) = (0, 1), T (0, 1) = ( 1, 0). Logo T (x, y) = ( y, x). (b) T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = 1 (0, 1, 1), T (0, 0, 1) = 1 (0, 1, 1). Assim, 2 2 T (x, y, z) = 1 2 (x 2, y + z, y + z). (c) T (1, 0, 0) = 1 2 (1, 1, 0), T (0, 1, 0) = 1 2 ( 1, 1, 0), T (0, 0, 1) = (0, 0, 1). Assim, T (x, y, z) = 1 2 (x y, x + y, z 2).

19 Prob 4.27: Considere T : R 3 R 2 dada por T (x, y, z) = (4x y + 2z, 2x + y/2 z). Determine se: (a) (1, 2) Im(T ); (b) (1, 4, 0) Nuc(T ); (c) (0, 2, 2) Nuc(T ). 53

20 4.27: (a) Não. (b) sim; (c) não.

21 Prob 4.28: Determine o núcleo, a imagem e suas respectivas dimensões de: (a) T : R 3 R 4, T (x, y, z) = (x y, y z, y x, y + z); (b) T : R 3 R 3, T (x, y, z) = (x y, z + 2x, 2y + z); (c) L : R 5 R 3, L(a, b, c, d, e) = (a + 3c e, c d + e, a + 4c d). 55

22 4.28: (a) Resolvendo o sistema x y = 0 0 z [ totalmente a matriz obtemos: achamos o núcleo. Escalonando ]. São 3 variáveis, 2 equações: 3 2 = 1 variável livre. Como a coluna sem pivô é a terceira, colocamos z como variável livre. São dependentes x e y. Colocando z = r, x = z = r e y = z = r. Logo, (x, y, z) = ( r, r, r) = r( 1, 1, 1). Logo o núcleo tem dimensão 1 e base {( 1, 1, 1)}. Pelo TNI, dimensão da imagem é 3 1 = 2. Para calcular a base montamos a matriz com T (e 1 ),..., T (e n) nas linhas: Escalonando (parcialmente, não precisa ser totalmente [ escalonada), ] Logo a imagem tem dimensão 2 e base

23 a b c d e = achamos o núcleo. Escalonando [ ] totalmente a matriz obtemos:. São 5 variáveis, equações: 5 2 = 3 variáveis livres. Como são colunas com pivô primeira e terceira, a e c são dependentes. São livres: b, d, e. Colocando b = r, d = s, e = t, a = 3d + 4e = s + t, c = d e = s t. Logo, (a, b, c, d, e) = ( 3s + 4t, r, s t, s, t) = r(0, 1, 0, 0, 0) + s( 3, 0, 1, 1, 0) + t(4, 0, 1, 0, 1). Logo o núcleo tem dimensão 3 e base {(0, 1, 0, 0, 0), ( 3, 0, 1, 1, 0), (4, 0, 1, 0, 1)}. Pelo TNI, dimensão da imagem é 5 3 = 2. Para calcular a base montamos a matriz com T (e 1 ),..., T (e n) nas linhas: Escalonando

24 Prob 4.33: Explique em cada caso porque não existe uma TL: (a) T : R 4 R 2 cujo núcleo seja a origem; (b) T : R 4 R 2 que seja injetiva; (c) T : R 7 R 6 com dim Nuc(T ) = dim Im(T ); (d) T : R 4 R 3 com Nuc(T ) = (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) e Im(T ) = (1, 1, 2), (2, 2, 4). 66

25 4.33: (a) Contradiz o Teo. do Núcleo e da Imagem (dimensão do núcleo só com a origem (= 0) mais dimensão da imagem (no máximo = 2) é menor do que a dimensão do espaço de partida (= 4). Ou, mais intuitivamente, um espaço de dimensão 4 está sendo levado pela TL num espaço de dimensão 2. A imagem portanto tem dimensão no máximo 2. Assim, é preciso que um subespaço de R 4 de dimensão ao menos 2 seja levado (colapse) no 0 pela TL. (c) Para que a TL seja injetiva, seu núcleo deve ser trivial, ou seja, deve conter apenas o 0 (de R 4 ). Nesse caso a dimensão do núcleo é 0 (contém apenas um ponto). Mas na TL dada, o núcleo deve ter dimensão pelo menos 2 (vide resposta do item (a)). (e) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dim(nuc(t )) + dim(im(t )) = 7. Ora, como a soma de dois números iguais daria um número ímpar? Impossível. (g) Note que os vetores da base do núcleo são LI (e dim(n(t )) = 2), mas que os vetores (1,1,2) e (2,2,4) que geram a imagem são LD, e logo basta um deles para gerar o mesmo espaço (logo dim(im(t )) = 1). Mas aí, novamente, não conseguiríamos satisfazer ao Teo. do Núcleo e da Imagem. Logo não é possível existir tal TL.

26 68 Prob 4.34: Em cada item dê um exemplo de TL satisfazendo as condições dadas. (a) T : R 2 R 2 que leva ( 1, 2) em (1, 0) { e (1, 1) em ( 1, 1); x + y + z = 0 (b) T : R 4 R 3 tal que o núcleo é plano z w = 0 e a imagem (1, 1, 1), (1, 2, 3) ; (c) T : R 3 R 4 cujo núcleo seja dado pela parametrização x = s y = t e a imagem seja solução do sistema z = t + s x = 0 y = 0 z w = 0.

27 [ ] : (a) 2 1 (b) T (x, y, z, w) = (2x + 2y + z + w, x + y z + 2w, 4x + 4y + z + 3w). Solução: Uma base do núcleo é (1, 0, 1, 1) e (0, 1, 1, 1). Podemos completar esta base, por exemplo, com (0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1). Podemos agora determinar completamente T por T (1, 0, 1, 1) = T (0, 1, 1, 1) = 0, T (0, 0, 1, 0) = (1, 1, 1) e T (0, 0, 0, 1) = (1, 2, 3). (c) T (x, y, z) = (0, 0, x y + z, x y + z) Solução: O núcleo é gerado por (1, 0, 1) e (0, 1, 1). A imagem é gerada por (0, 0, 1, 1). Portanto, T (1, 0, 1) = T (0, 1, 1) = 0. Como (0, 0, 1) completa a base do R 3 (entre outras possibilidades), colocamos T (0, 0, 1) = (0, 0, 1, 1). Agora sabemos T em três vetores da base de uma base do R 3. Portanto podemos determinar que T (x, y, z) = (0, 0, x y + z, x y + z).