Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Conteúdo Zeros de Função

4 Iteração linear Método da Iteração Linear Voltaremos a questão de como inverter f(x) de uma maneira diferente. Ilustremos com a figura inicial

5 Iteração linear A ideia é conseguirmos um valor para R, mesmo aproximado, usando a função mais simples possível de inverter Qual seria esta função, a mais simples de inverter? y=x Ficamos assim

6 Iteração linear que não parece que ajuda muito... Mas e se colocássemos uma função auxiliar?

7 Iteração linear Se pudermos achar g(x) como na figura teremos

8 Iteração linear Que dá nas equações f ( x)=0 { y=x y=g( x) ou melhor x=g( x) o que resulta na fórmula de iteração

9 Iteração linear Método da Iteração Linear xi+ 1=g( xi ) com a condição de convergência dada por g (α) 1 '

10 Iteração linear Como achar g(x)? Em geral é fácil em geral há várias possíveis pode ser difícil selecionar qual das g(x) é a mais adequada

11 Iteração linear Determinando g(x) Determine as g(x) para a função abaixo para obter funções iterativas para o método da iteração linear. x e 3 cos x Vamos procurar pelas g(x)

12 Iteração linear Determinando g(x) Fica fácil identificar três possibilidades x x e 3 cos x=0 e =3 cos x x=ln ( 3 cos x ) g(x)=ln ( 3 cos x ) x x x ( ) ( ) e 1 e 1 e e 3 cos x=0 cos x= x=cos g( x)=cos x x x x e 3 cos x=0 x=e 3 cos x+ x g(x)=e 3 cos x+ x Mas qual delas usaremos? No momento todas...

13 Iteração linear Um exemplo xi+1=ln ( 3 cos xi ) Façamos x0 = 1/ x1 =ln ( 3 cos x0 )=0,96808 x =ln ( 3 cos x1 ) =0, Mudou muito... Não faremos o teste de parada

14 Iteração linear Um exemplo xi+1=ln ( 3 cos xi ) Façamos x0 = 1/ x1 =ln ( 3 cos x0 )=0,96808 x5 =ln ( 3 cos x 4 )=0,9357 x =ln ( 3 cos x1 ) =0, x 6=ln ( 3 cos x 6 ) =0,5771 x 3=ln ( 3 cos x 3 ) =0,95041 x 4 =ln ( 3 cos x 3 ) =0,55606

15 Iteração linear Um exemplo Parece que estamos indo a algum lugar mas muito lentamente... Repare que os valores para x ficam saltando sobre o zero da função, se aproximando à direita e à esquerda sucessivamente de forma oscilante Diremos que aqui temos convergência oscilante

16 Iteração linear Um exemplo 1 xi+1=cos xi ( ) e 3 Façamos x0 = 1/ x 1=cos 1 1 x =cos x0 ( ) e ( 3 )=cos e =cos 1 ( 0, ) =0, x1 1 ( 0,89619 )=0,45985 Variou muito de novo...façamos mais cálculos

17 Iteração linear Um exemplo 1 xi+1=cos xi ( ) e 3 Façamos x0 = 1/ x 1=cos 1 1 x =cos 1 x 3 =cos x3 ( ) e ( 3 )=cos e ( 3 )=cos x 1 e e =cos 1 ( 0, )=0, =cos 1 ( 0, ) =0,98894 x 4 =cos 3 3 ( ) e ( 3 )=cos e ( 3 )=cos 0 x1 x ( 0,89619 )=0,45985 x 5 =cos 1 ( 0,5793 )=1, x 6 =cos x4 x5 1 ( 0,49937 )=1, ( 0,9506 )=0,315560

18 Iteração linear Um exemplo Parece que estamos indo a lugar algum mas muito lentamente... Repare que os valores para x ficam saltando sobre o zero da função, se distanciando à direita e à esquerda sucessivamente de forma oscilante Diremos que aqui temos divergência oscilante

19 Iteração linear Um exemplo Mas a situação é pior que parece. Vejamos mais alguns valores para x

20 Iteração linear Um exemplo x0 ( ) e x =cos ( )= cos ( 0,89619 )=0, e x =cos ( ) =cos ( 0,5793 )=1, e x =cos ( ) =cos ( 0, )=0, e x =cos ( )= cos ( 0,49937 )=1, x 1=cos 1 1 e =cos 1 ( 0, ) =0, x1 1 1 x x x4 1 x5 ( ) x =cos ( ) e x =cos ( )= cos ( 0, )=0, e x =cos ( )= cos ( 0, )=1, e x =cos ( ) = cos ( 1,11518 ) =? 3 1 x 6 =cos e = cos 1 ( 0,9506 )=0, x e = cos 1 ( 0, )=1, x x x9 1

21 Iteração linear Um exemplo Temos o argumento inválido para números reais

22 Iteração linear Um exemplo xi xi+1=e 3 cos x i + xi Façamos x0 = 1/ x3 x0 x 4 =e 3 cos x 3 + x3 = 1,99735 x1 x5 =e 3 cos x 4 + x 4 = 0,60631 x1 =e 3 cos x0 + x0 = 0,48406 x =e 3 cos x 1 + x1=,53114 x x 3=e 3cos x +x =0, x4 x5 x 6=e 3 cos x 5 + x5 =,53560

23 Iteração linear Um exemplo Estamos indo novamente a lugar algum mas claramente indo a lugar algum! Aqui temos um caso de divergência

24 Iteração linear Um exemplo É hora de abandonarmos o sair fazendo e começarmos a ver o que estamos fazendo

25 Iteração linear Um exemplo Vamos fazer uma análise mais rigorosa da convergência dos casos Depois faremos uma análise bem simplificada mas que pode ajudar um pouco

26 Iteração linear Um exemplo, convergência g(x)=ln ( 3 cos x ) Derivando obtemos ' g (x)= sen x = tan x cos x A condição de convergência será tan α 1 Pela localização prévia do zero temos que α está no primeiro quadrante. Logo, α π ; α 0,

27 Iteração linear Um exemplo, convergência g(x)=ln ( 3 cos x ) α 0, Repare que o valor de α é próximo do zero da função. Observe alguns valores obtidos com esta g(x) x 1=ln ( 3cos x 0 ) =0,96808 x =ln ( 3cos x 1 ) =0,54030 x 3 =ln ( 3 cos x 3 ) =0,95041 x 4 =ln ( 3cos x 3 )=0,55606 x 5 =ln ( 3cos x 4 )=0,9357 x 6 =ln ( 3 cos x 6 )=0,5771 Saímos e entramos na região de convergência garantida Funcionou mas evolui lentamente

28 Iteração linear Um exemplo, convergência 1 g(x)=cos x ( ) e 3 ' Derivando obtemos g (x)= e x 9 e x A condição de convergência será e α 9 e α 1 Examinemos o denominador da expressão acima

29 Iteração linear Um exemplo, convergência 1 g(x)=cos x ( ) e 3 O denominador tender a zero faria o critério deixar de valer catastroficamente. Vejamos onde isto acontece ln (9) 9 e =0 e =9 α= =1,09861 α α Observe que este valor se encontra próximo do zero da função. Ficaria difícil esta g(x) funcionar

30 Iteração linear Um exemplo, convergência x g(x)=e 3 cos x+ x ' Derivando obtemos x g (x)=e +3 sen x+1 A condição de convergência será eα +3 sen α+1 1 que na região próxima do zero de função nunca é menor que 1. Não é para menos que esta g(x) diverge

31 Iteração linear Um exemplo, convergência Vamos fazer uma análise convergência destes casos menos rigorosa da

32 Iteração linear Um exemplo, convergência Podemos interpretar a condição de convergência g' (α) 1 como a função g(x) deve variar pouco, ou melhor, o menos possível. É grosseio mas observe se a aplicarmos ao trio que vimos antes...

33 Iteração linear Um exemplo, convergência g(x)=ln ( 3 cos x ) 1 g(x)=cos x ( ) e 3 x g(x)=e 3 cos x+x Observe que a primeira varia pouco a segunda tem uma exponencial dentro de uma função de domínio limitado. Estranha e difícil de avaliar a terceira varia rapidamente Escolher a primeira parece a melhor opção. E é...

34 Iteração linear Um exemplo, convergência Mas se é a melhor, vimos que não é uma maravilha...

35 Iteração linear Outro exemplo Mais um exemplo Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [1,]. Use tolx < x + x 10 Como determinar g(x)?

36 Iteração linear Outro exemplo Fica fácil identificar duas possibilidades x 4 + x 10=0 x=10 x 4 g( x)=10 x x + x 10=0 x =10 x x= 10 x g( x)= 10 x Mas qual delas usaremos? Analisemos de forma grosseira...

37 Iteração linear Outro exemplo g( x)=10 x 4 Esta g(x) varia muito rapidamente próxima de R Pelo critério simplificado é suspeita de não convergir

38 Iteração linear Outro exemplo 4 g( x)= 10 x Esta g(x) varia bem mais lentamente próxima de R que a g(x) anterior Pelo critério simplificado é melhor candidata a convergir que a anterior Testemos as duas

39 Iteração linear Outro exemplo 4 xi+1=10 x i Usaremos x0 = 1,5 4 x1 =10 x 0 =4,9375

40 Iteração linear Outro exemplo 4 xi+1=10 x i Usaremos x0 = 1,5 4 x1 =10 x 0 =15,065 4 x =10 x 1 = 584, x 3=10 x =1, creio que não restam dúvidas que temos um caso de divergência

41 Iteração linear Outro exemplo 4 xi+1= 10 xi Usaremos também x0 = 1,5 4 x1 = 10 x 0 =1, x = 10 x1 =1, Façamos o teste de parada

42 Iteração linear Outro exemplo x x 1 1, , = 6, , x 1 Vamos ao próximo passo

43 Iteração linear Outro exemplo 4 xi+1= 10 xi Usaremos também x0 = 1,5 4 x1 = 10 x 0 =1, x = 10 x1 =1, x 3= 10 x =1, e o teste de parada será

44 Iteração linear Outro exemplo x 3 x 1, , = 3, , x Se o critério fosse o mesmo que no método anterior, teríamos o critério satisfeito em três passos

45 Iteração linear Outro exemplo 4 xi+1= 10 xi x0 = 1,5 4 x1 = 10 x 0 =1, x = 10 x1 =1, x 3= 10 x =1, creio que não resta dúvidas que temos um caso de convergência

46 Iteração linear Observe que o critério simplificado orientaria a escolha mais adequada mas em casos mais delicados uma análise mais profunda sempre é necessária

47 Zeros de função Mas como faremos uso destes métodos? Apresentaremos algumas regras gerais que podem auxiliar esta decisão. Lembre-se que estas regras são por demais gerais. Use-as mas não as leve demasiadamente a sério... Importante: O Método da Bissecção não será cobrado na lista ou na prova

48 Zeros de função Se a função é fácil de derivar, use Newton-Raphson

49 Zeros de função Se a função é fácil de derivar, use Newton-Raphson Se a função tem uma expressão simples, use Iteração Linear

50 Zeros de função Se a função é fácil de derivar, use Newton-Raphson Se a função tem uma expressão simples, use Iteração Linear Caso contrário, use Regula-falsi

51 Zeros de função Observe que as condições : Convergência monótona Convergência oscilante Divergência monótona Divergência saltitante Divergência oscilante podem ocorrer em qualquer método

52 Um problema real Determinar as equipotenciais de uma carga elétrica próxima a um buraco negro estático. O potencial elétrico é dado por ar 1/ 1/ Φ(r,θ)=q Ψ +r Ψ ( ) ; Ψ= 0 ( a+r 0 ) ( r +r 0 ) 4 a r r 0 a r cos θ+r 0 r +a a r cos θ

53 Um problema real Da física do problema sabemos que tomando a posição da carga, existem dois pontos que tem potenciais iguais para cada ângulo θ.

54 Um problema real Seja Φ0 o valor do potencial que queremos determinar as equipotenciais. Logo podemos pensar este problema da seguinte forma Φ0 q ar 1/ 1/ Ψ +r Ψ )=0 0 ( ( a+r 0 ) ( r +r 0 ) Ψ= 4 a r r 0 a r cos θ+r 0 r +a a r cos θ

55 Um problema real Agora fixemos um valor para θ, digamos θi, e teremos Φ0 q ar 1/ 1/ Ψ +r Ψ )=0 0 ( ( a+r 0 ) ( r +r 0 ) Ψ= 4 a r r 0 a r cos θi +r 0 r +a a r cos θi

56 Um problema real Basta determinar r para cada θi Φ0 q ar 1/ 1/ Ψ +r Ψ )=0 Ψ= 0 ( ( a+r 0 ) ( r +r 0 ) Mas qual método? a r r 0 a r cos θi +r 40 r +a a r cos θi

57 Um problema real Φ0 q ar 1/ 1/ Ψ +r Ψ )=0 Ψ= 0 ( ( a+r 0 ) ( r +r 0 ) 4 a r r 0 a r cos θi +r 0 r +a a r cos θi Newton-Raphson: Derivar em relação a r é pesado O problema não tem derivadas em pontos do domínio Resultado experimental: não foi possível o uso deste método

58 Um problema real Φ0 q ar 1/ 1/ Ψ +r Ψ )=0 Ψ= 0 ( ( a+r 0 ) ( r +r 0 ) 4 a r r 0 a r cos θi +r 0 r +a a r cos θi Regula-Falsi: O problema não tem derivadas em pontos do domínio Resultado experimental: não foi possível o uso deste método

59 Um problema real Φ0 q ar 1/ 1/ Ψ +r Ψ )=0 Ψ= 0 ( ( a+r 0 ) ( r +r 0 ) r +a a r cos θi Iteração Linear: Há uma grande variedade de g(x) A análise de convergência é difícil 4 a r r 0 a r cos θi +r 0 Resultado experimental: não foi possível o uso deste método

60 Um problema real Sobrou o que?

61 Um problema real O Método da Bissecção

62 Um problema real O Método da Bissecção Porque? O método é insensível às características da função A precisão necessária era baixa (fazer um gráfico)

63 Um problema real Carga: Equipotenciais feitas com 160 zeros de função

64 Outro problema real Determinar as equipotenciais de um dipolo elétrico próximo a um buraco negro estático. O potencial elétrico é dado por { (r r 0 )( a r 0 ) ar 1 r 0 a a a r cos θ 1/ 1 / Φ (r, θ)= d 0 Ψ +r 0 Ψ + ( ) Γ r 0 Γ +( r r 0) (a r 0) a r o ( a+ r 0 ) ( r + r 0 ) a r 0 + a Ψ= 4 a r r 0 a r cosθ+r 0 Γ [ ; Γ =r +a a r cosθ ]( Ψ 1/ r 0 Ψ 1/ ) }

65 Outro problema real { (r r 0 )( a r 0 ) ar 1 r 0 a a a r cos θ 1/ 1 / Φ (r, θ)= d 0 Ψ +r 0 Ψ + ( ) Γ r 0 Γ +( r r 0) (a r 0) a r o ( a+ r 0 ) ( r + r 0 ) a r 0 + a Ψ= ]( Ψ 1/ r 0 Ψ 4 a r r 0 a r cos θ+r 0 Γ [ ; Γ =r +a a r cos θ A situação aqui é pior que a anterior: Há mais pontos de discontinuidade Estes pontos geram situações ainda mais complexas 1/ ) }

66 Outro problema real O Método da Bissecção Porque? O método é insensível às características da função A precisão necessária era baixa (fazer um gráfico) Mas...

67 Outro problema real O Método da Bissecção falha nas regiões mais interessantes... Sobrou o tedioso recurso de, com uma primeira aproximação bem grosseira dada por bissecção, partir para o tentativa-e-erro... Funcionou!

68 Outro problema real Dipolo: Equipotenciais feitas com 50 zeros de função

69 Zeros de função Resumo: Não importa qual seja a excelência e sofisticação da técnica empregada, sempre aparecerá um problema que fará com que esta técnica falhe. Bem vindo ao deserto do Real! Morpheus em Matrix