Cálculo III-A Módulo 5 Tutor

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor Eercício : Calcule + )dv, onde é a região interior ao cilindro + = e à esfera + + = Solução: De + + = e + =, temos =, portanto = ± e + = Assim, o esboço de está representado na figura que se segue sai em = entra em = Da figura vemos que = {,,);,) D : + e } Passando para coordenadas ciĺındricas, temos: { + = r dv = rdrdθd e é descrito por θ π rθ : r r r

2 Cálculo III-A Módulo Tutor Logo, + ) dv = r r drdθd = rθ r r π r dθddr = r = π r ddr = π r r r dr Faendo u = r, teremos du = r dr e r = u Para { r = r = teremos { u = u = Assim, + ) dv = π u)u / du) = π u / u /) du = = π u / u /) du = π[ u/ ] u/ = [ 8 = π 8 ) 8 )] 9 = 6 = π ) = π ) 6 Eercício : Calcule + dv, onde é a região limitada por = + e = Solução: De = + e =, temos + = 8, portanto + = e = O que significa que a interseção ocorre no plano = segundo a circunferência + = Assim, o esboço de está representado na figura que se segue

3 Cálculo III-A Módulo Tutor sai em = entra em = + Da figura, vemos que = {,,);,) D : + e + } Vamos calcular a integral usando coordenadas ciĺındricas Temos { + = r = r dv = rdrdθd θ π com r,θ,) rθ, onde rθ é dado por r Dessa forma, r r = π + dv = r r drdθd = rθ r r r [ r ] = π r = π ddr = π [ ] r r r π dθddr = r r r + ) dr = π r r ) dr = = 6 π Eercício :Useaintegraltriplaparacalcularovolumedosólido acimadoparaboloide = + e abaio do cone = + Solução: De = + e = + ou = + ) temos = ou = ou ) = portanto = ou = Logo, as superfícies se interceptam em,,) e também no plano =, segundo a circunferência + = Com isso, o esboço do sólido está representado na figura que se segue

4 Cálculo III-A Módulo Tutor sai em = + entra em = + Da figura vemos que = {,,);,) D : + e + } + Temos por integral tripla que V) = dv Vamos calcular a integral utiliando coordenadas ciĺındricas Temos, com r,θ,) rθ, onde rθ é dado por V) = r drdθd = rθ = π r r r ) dr = π = rcosθ = rsenθ = ddd = dv = rdrdθd r π r r θ π r r r dθddr = π r r ) dr = π[ r Logo, o volume será: r r r ddr = r ] = π ) = π 6 uv Eercício : Calcule + + )dv, sendo a região limitada superiormente pela esfera + + = 6 e inferiormente pelo cone = + Solução: De + + = 6 e = + ou = + ), temos + ) = 6 ou + = 8 e = Logo, a interseção é uma circunferência contida no plano = de centro,, ) e raio Assim, o esboço de está representado na figura que se segue

5 Cálculo III-A Módulo Tutor sai em ρ = D entra em ρ = Vamos passar para coordenadas esféricas: = ρsenφcosθ = ρsenφsenθ = ρcosφ dv = ρ senφ dρdφdθ + + = ρ Descrição de em coordenadas esféricas: Como a projeção de no plano é o disco D : + 8, então θ π Por um ponto P no interior de consideramos a semirreta OP Vemos que ela entra na origem onde ρ = e sai de em um ponto da esfera + + = 6, onde ρ = Logo, ρ Finalmente, efetuando uma varredura no sólido a partir do eio positivo onde φ =, vemos que esta varredura finalia na parede do cone = +, onde φ = π Assim, φ π Portanto, a descrição de em coordenadas esféricas é: θ π ρφθ = ρ φ π

6 Cálculo III-A Módulo Tutor 6 Assim, + + ) dv = ρ ) ρ senφ dρdφdθ = ρφθ = π/ = π senφ [ ρ ] π/ = π ρ π dθdρdφ = π senφ dφ = π ) = π [ ) π/ senφ ] π/ cosφ = ρ dρdφ = Eercício : Calcule o volume dosólido que está dentro da esfera + + =, acima do plano = e abaio do cone = + ) Solução: De + + = e = + ou = + temos = ou + ) =, portanto + = e = Logo, a interseção é a circunferência + = contida no plano = Assim, o esboço de está representado na figura que se segue Descrição de em coordenadas esféricas: Como a projeção de sobre o plano é o disco D : +, então θ π Considerando uma semirreta pela origem, no interior de, vemos que ela entra em na origem, onde ρ = e sai de em um ponto da esfera + + =, onde ρ = Logo, ρ Temos

7 Cálculo III-A Módulo Tutor 7 = + = + ρcosφ = ρ sen φ ρcosφ = ρsenφ tgφ = φ = π Efetuando uma varredura em, ela começa na parede do cone, onde φ = π/ e termina no plano =, onde φ = π/ Logo, π/ φ π/ Assim, temos θ π ρφθ ρ π/ φ π/ Temos, V) = dv = ρφθ ρ senφ dρdφdθ = ρ π/ π/ π senφ dθdφdρ = = π π/ ρ senφ dφdρ = π π/ )[ ρ [ cosφ] π/ π/ dρ = π ρ ] = 8π uv Eercício 6: Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral π/ π secφ ρ senφ dρdθdφ Solução: Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a região descrita em coordenadas esféricas por: ρφθ : {ρ,φ,θ); φ π/, θ π, ρ secφ} Das coordenadas esféricas temos = ρcosφ, + = ρ sen φ e dv = ρ senφ dρdφdθ Logo, φ = π tgφ = senφ cosφ = senφ = cosφ ρsenφ = ρcosφ + = = + cone) e, também, ρ = secφ ρ = cosφ Assim, o sólido é limitado inferiormente pelo cone = e sua projeção no plano é o disco D : + ) = = plano horiontal) + e superiormente pelo plano =

8 Cálculo III-A Módulo Tutor 8 D Temos então que: π/ π secφ ρ senφ dρdθdφ = ρ senφ dρdφdθ = ρφθ dv = = volume do cone = área da base) altura = π ) = π Eercício 7: Verificar que o centro de massa de uma esfera de raio coincide com o seu centro, sabendo-se que a sua distribuição de massa é homogênea Solução: Vamos escolher os eios coordenados de forma que a origem seja o centro da esfera de raio Logo, o sólido é limitado pela superfície + + = Como a distribuição de massa é homogênea, então o centro de massa,,) é dado por: V) = dv,v) = dv e V) = dv

9 Cálculo III-A Módulo Tutor 9 onde V) = π = π Passando para coordenadas esféricas, temos = ρsenφcosθ, = ρsenφsenθ, = ρcosφ, dv = ρ senφ dρdφdθ e ρφθ : ρ, φ π, θ π Então dv = π = sen φ dv = ρφθ ρsenφcosθ)ρ senφ dρdφdθ = π ρ cosθ dθ dρdφ = } {{ } π dv = sen φ = π ρ senθ dθ dρdφ = } {{ } = ρφθ ρcosφ)ρ senφ dρdφdθ = ρ π π cosφsenφ dφdθdρ = π [ ρ sen φ } {{ } = ] π dθdρ = Então,,,) =,,), centro da esfera Eercício 8:Calculeomomento deinérciaemrelaçãoaoeio dosólidolimitadopor = e =, sabendo que a densidade em um ponto é proporcional à distância de P ao plano Solução: O esboço de está representado na figura que se segue

10 Cálculo III-A Módulo Tutor Temos I = + ) δ,,) dv, onde δ,,) = k = k pois Logo, I = k + ) dv Passando para coordenadas ciĺındricas, temos I = k r ) r drdθd = k r drdθd rθ rθ onde rθ é dado por: Logo, I = k = kπ r r = kπ [r r6 r rθ : θ π r π dθddr = kπ r 6 8r +r ) dr = kπ ] + r8 8 ) = 6 kπ + = kπ 6 = 6 kπ [ r ] r dr = 6r 8r +r 7) dr = = kπ ) + 8 = 8