EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS

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1 EQUAÇÕES DIFERECIAIS APLICADAS PROGRAA: ) Equações Diferenciais de a Ordem a) Definição e classificação das equações diferenciais. b) Solução geral e solução particular. c) Equação de Variáveis Separáveis. d) Equação Homogênea. e) Equações Lineares. f) Equação Diferencial Eata. Fator Integrante. g) Aplicações. ) Equações Diferenciais Lineares de Ordem n a) Classificação. b) Equações diferenciais lineares homogêneas de a ordem com coeficientes constantes. c) Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. d) Equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. e) étodo dos coeficientes a determinar para o cálculo de uma solução particular. f) étodo da variação dos parâmetros para o cálculo de uma solução particular. g) étodo dos operadores para o cálculo de uma solução particular. h) Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. i) Equação de Euler-Cauch, homogênea e não-homogênea. j) Equação de Euler-Cauch generalizada. k) étodo da Redução de Ordem. l) Aplicações. ) Sistemas de Equações Diferenciais a) étodo da Eliminação. b) étodo dos Operadores. c) étodo atricial (autovalores e autovetores). d) Aplicações (sistemas massa-mola e circuitos elétricos). ) Transformação de Laplace a) Definição e propriedades. Cálculo de integrais. b) Definição de Transformada Inversa de Laplace. Teorema de Lerch. Propriedades. c) Cálculo da Transformada Inversa de Laplace: por inspeção e por frações parciais. d) Solução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais. 5) Seqüências e Séries de úmeros Reais a) Seqüências. b) Séries uméricas. c) Critérios de convergência e divergência de séries numéricas. d) Séries de Potências: definição. Intervalo de convergência. e) Série de aclaurin. Série de Talor. 6) Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries a) Resolução em torno de um Ponto Ordinário. b) Resolução em torno de um Ponto Singular Regular (étodo de Frobenius). Livro teto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno William Boce & Richard Diprima

2 Equações diferenciais de a ordem. Equações diferenciais Definição : Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação diferencial. Definição : Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas totais é denominada de equação diferencial ordinária. Definição : Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada parcial é denominada de equação diferencial parcial. Eemplos: d d a) d d b) d d 0 ordinárias c) + e d) + 0, z z(, ) z z e) + + 0, u u(,,z) u u z u parciais Definição : Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da maior derivada que aparece na equação. Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior ordem envolvida na equação. Eemplos: d d a) d d d 0 b) t + cos( t) 0 c) d) d d u d + d u u e) + 0 e d u

3 . Resolução Resolver uma equação diferencial significa determinar as funções que satisfazem tal equação. Dessa forma, é pela integração de uma diferencial que se dá a solução e, geometricamente, as curvas que representam soluções são chamadas curvas integrais. Eistem tipos de soluções:.. Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem de integração;.. Solução particular: é a solução deduzida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes;.. Solução singular: é uma solução não deduzida da solução geral e que só eiste em alguns casos. Eemplos: d a) Dada a equação, determine a solução geral e represente geometricamente. d (esta família de curvas recebe o nome de curvas integrais) b) Sendo dadas as curvas seguintes determinar, para cada uma delas, a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária: c sen + c cos i) ( ) ( ) ii) c iii) c + c a cos + b, onde a e b são constantes iv) ( ) v) c e + c e Definição 6: Uma condição inicial é uma condição da solução de uma equação diferencial num ponto. Definição 7: Uma equação diferencial com uma condição inicial apresentada é chamada problema de valor inicial (PVI). Eemplos: a) Seja a equação diferencial + 0. Verifique que a função c sen( ) + c cos( ) é solução da equação diferencial e determine o valor das ( 0) constantes (a solução particular) através do PVI. ( 0) d d ( 0) 0 b) Idem para 6 0, c e + c e,. d d ( 0) 0

4 c) Idem para + 0, c cos( ) + c sen( ), ( π ) ( π ). 5. Eercícios ) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária: a) + c R: d + d 0 d b) c e R: 0 d c) c( ), e 0 R: d + ( ) d 0 d) c cos( ) + c sen( ) d R: + 0 d e) ( c + c) e + c d d d R: + 0 d d d f) c e + c e d d R: 0 d d te g) ln + a ; a c,, 0 R: d ln d 0 ) Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da equação: - a) + 0 ; ce b) 0 ; a + b + c + 0 ; a cos + b sen c) ( ) ( ) + d) ; c e + c e e) ; c f) ; c g) + 0 ; c e h) ; + c i) - e ; c e + e + 0 ; + 0 ; cos j) ( ) c c k) ( )

5 l) cos( ) ; sen sen sen ( ) ( ) ( ) + 5 m) n) 0 ; e e 6 e ; c ) Em cada caso, determinar f ( ) d e a constante de integração c, de modo que satisfaça a condição dada: a) f ( ) ; ( ) 0 R: ( 8) π b) f ( ) cos ( ) ; ( π ) R: + sen( ) sen c) f ( ) cos( ) ; ( 0) ( ) R: + - d) f ( ) e ; ( 0) 0 R: e + ) Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular satisfaça a condição dada: a) + 0 ; c e ; (0) b) + 5 ; c e + 5 ; () 6 + c R: e R: e + 5 c) + 0 ; ce ; (0) R: e d) d ; c ; () R: d d d ( ) 8 e) 0 ; c + c ; R: 0 d d ( ) d ( ) f) ( ) π a + + π 0 ; a cos b ; R: cos d ( π + ) 6 5) Suponha que r e r são duas raízes reais e distintas da equação ( b a) r + c 0 r r ar +. Verifique se a função d + d, onde d e d são

6 constantes arbitrárias, é uma solução da equação diferencial a + b + c 0. Equações de a ordem e o grau d. d São equações do tipo f (, ) Se ( ) (, ) f,, com (, ) 0 (, ) d (, ) d (, ), podemos escrever: d + d 0.5 Equações de Variáveis Separáveis Se apresentam ou são transformáveis numa equação do tipo d + d 0, onde e podem ser:.5. funções de uma variável ou.5. produtos com fatores de uma só variável ou.5. constantes. São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de e e integrar. Eemplos: a) ( ) d ( + ) d 0 b) d d 0 d d d d) d tg sec d tg sec d c) ( ) 0 e) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 Eercícios ) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ( ) d d 0 k R: ( ) d + k b) R: d ( + ) + d k c) + cos( ) 0 R: d sen( e ) d) sec ( ) tg( ) d + sec ( ) tg( ) d 0 R: tg( ) k cotg( ) d d e) a + d d a a R: ln( k )

7 + R: ln k + f) ( ) d + ( ) d 0 g) ( + a )( + b ) d + ( a )( b ) d 0 a a R: + ln + barctg c + a b d tg d h) ( ) 0 R: cos( ) k i) d + ( + ) d 0 R: ln( + ) c j) d ( ) d 0 R: 6 ln( k) k) d + e d 0 d d R: e + k + l) ( + ) ( ) 0 R: ( )( ) k m) d ( + ) d 0 R: k( + ) n) d d e + R: e arctg + k o) cos ( ) sen( ) d + sen( ) cos( ) d 0 R: ln ( sec( ) ) + sec( ) k ) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI): a) ( ) d d 0 ; ( 0) R: e e d d 0 ; 0 R: e b) ( ) c) d d 0 ; ( ) + R: ( ) d) d ( ) d 0 ; ( 0) + R: e e) d ( ) d 0 ; ( ) ln( ) f) ( ) d + ( ) d 0 ; ( ) + R: ln + R: + 9 g) ( ) d + d 0 ; ( ) R: ( ) + e h) d + d 0 ; ( ) R: arccos ( ) + arccos( ) 0 + R: arctg( ) arctg( ) i) ( ) d + ( + ) d 0 ; ( ) j) ( ) d + ( 6 ) d 0 ; ( 7) + R: π ( 6) 7

8 k) e d ( + ) d 0 ; ( 0) 0 e + R: ( + ) ln( + ) + l) ln( ) d ( + ) d 0 ; ( ) R: m) e d ( + e ) d 0 ; ( 0) 0 R: e ln( e + ) + ln( ) e + cotg + tg d ln( tg ) d 0 ; π ln n) ( ( ) ( )) ( ) R: ln( tg( ) ) ( ) ( ) ( ) π π o) sen( ) d cos( ) d 0 ; ( ) + ( + ) + R: sen ( ) cos( ) + p) d + e d 0 ; ( 0) q) r ; r( 0) r) ; ( 0) R: e ( ) dr θ R: r e dθ d R: ln e ( + ) d + d + ; 0 R: d + d ; R: ( + ) d + s) ( ) ( ) t) ( ) 0 5 [ ] ( ) 5 u) e d + ( ) d 0 ; ( 0) 0 R: e + ( 6) d ) Observe que a equação não é separável, mas se a variável for d substituída por uma nova variável v, definida por v, então a equação se torna separável em e v. Ache a solução da equação dada usando esta técnica. R: ( + ) ( ) k.7 Equações Homogêneas Definição 8: Diz-se que uma função (,,z) por k, por k e z por kz, for verdadeira a igualdade f ( k, k, kz) k m f (,, z) onde m é dito grau de homogeneidade. Eemplos: f) f (, ) + f é homogênea se, substituindo-se,

9 g) ( ) 5 f,,z + + z z f, + + sen h) ( ) + + Definição 9: As equações homogêneas são do tipo, ou podem ser transformadas, em d + d 0, onde e são funções homogêneas do mesmo grau. Eemplos: a) ( ) d d 0 b) ( ) d ( + ) d 0 c) ( ) d ( + ) d 0 Seja d + d 0 uma equação homogênea. d Então, d d. d Como a equação é homogênea, e têm o mesmo grau de homogeneidade m. Daí, se dividirmos e por m, transformaremos numa função do tipo F. d Daí, F. (I) d Se fizermos t ou t e derivarmos em relação a, teremos a equação d t +. (II) d d d Substituindo (II) em (I), t + F(t), que é uma equação d F(t) t de variáveis separáveis. Eemplos: a) d + ( ) d 0 b) d ( + ) d 0 c) ( ) d + d 0.8 Eercícios ) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ( ) d d 0 R: k b) ( ) d d 0 + R: c) ( ) d ( + ) d 0 k e R: k

10 d) ( + ) d + ( + ) d 0 R: + + k e) ( + ) d + ( ) d 0 R: ln[ k( + )] arctg f) ( ) d + ( + ) d 0 + R: + + k g) d d + d ; > 0 R: h) ( + ) d d k ln + R: ( ) k d k i) e + R: ln d ln j) sen + + d d 0 ln k tg sec R: ( ) k) d ( ) d 0 ; > 0 + R: + ln( ) k l) ( + + ) d + ( + + ) d 0 R: ( + ) ( + ) k m) cos d + sen cos d 0 R: k cossec n) ( ) d + d 0 R: ( ) k ) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaio: a) ( ) d ( + ) d 0 ; ; R: d + d 0 ; ; R: 8 b) ( ) d + c) d ( ) d) e) cos d d π ( ) d d ( ) + R: e R: tg ln( ) R: ( + )( ) ( ) 5 ) Dadas as equações abaio, verifique que a mudança para coordenadas polares, r cos( θ ) e r sen( θ ), transforma as equações em variáveis separáveis e, então, resolva as equações: a) ( ) d d 0 + R: ( ) + ln k 5

11 b) d ln + R: ln k d.9 Equações Diferenciais Eatas Definição 0: Uma equação na forma, ou redutível à forma d + d 0 é U, tal que: du d + d 0 (como du 0 então U (, ) c ) diferencial eata se eiste ( ) Teorema: Sejam e funções contínuas e deriváveis. d + d 0 é diferencial eata se, e somente se,. Demonstração: () Sejam e funções contínuas e deriváveis tais que d + d 0 é diferencial eata. Então, U(, ) tal que U (, ) c e du d + d 0. Pela definição de diferencial total, U U du d + d U U d + d d + d U U e Pelo teorema de Schwartz, Daí,. U e U. U U. ( ) Sejam e funções contínuas e deriváveis tais que Seja d + d 0. U U Pelo teorema de Schwartz,. U U Daí, e. U U d d e d d..

12 U U d + d d + d du 0. Logo, d + d 0 é diferencial eata. Eemplo: Verificar se a equação ( ) d d 0 Resolução: Sabemos que é diferencial eata. e queremos determinar a função U (, ) tal que du d + d. Seja w d a integral parcial de d, isto é, a integral obtida quando se considera constante ( (, ) ). w ostraremos que é função apenas de : w ( w) d d ( ) 0. ( ) ( ) w Se tomarmos U w + d, teremos: w w w du d + d + d w w + + d d d d d d + d. ( ) w Logo, U (, ) w + d c, ou ainda: U (, ) d + ( d) d c é a solução geral da equação. Eemplos: i) e d + ( e ) d 0 c) ( ) d d 0 j) ( + ) d + ( + cos( ) ) d 0

13 .0 Fator Integrante Quando a equação ( ) ( ) 0 d, d, + não é diferencial eata, isto é,, pode-se transformá-la em uma diferencial eata multiplicando-se um ( ),, denominado fator integrante. Eemplo: ( ) ; 0 d d +. Pesquisa do Fator Integrante: Seja ( ), fator integrante de 0 d d +. Daí, ( ) ( ) () + + () Esta equação é uma equação diferencial parcial de a ordem em e, portanto, sua solução não poderia ser efetuada por enquanto. Assim, ela se simplifica supondo-se função apenas de ou de. Suponhamos ( ). Então, 0. Daí e de (), temos: ( ) : () Como é função apenas de, seja ( ) R () ( ) R ( ) d d R d du u ( ) ( ) ( ) ln u ln du u d R ( )d R e ou d e

14 Analogamente, se ( ), ( )d R e ou e d Observe que, pelo processo adotado, pode-se obter um fator integrante e não todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa deste fator. Eemplos: a) d ( + ) d 0 + b) d d e d. Eercícios ) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ( + ) d ( + ) d 0 R: + + k sen + + ln b) cos( ) + d + cos( ) + + d 0 R: ( ) ( ) C c) d + d 0 R: C d) ( 6 ) d + ( 6 + ) d 0 + R: + + C d + d e) d + d R: ( + ) k + f) ( + sen( ) ) d + ( cos( ) ) d 0 R: cos( ) + C g) ( sec ( t) tg( t) w) + ( sec( w) tg( w) t + ) dw 0 R: sec ( t) wt + sec( w) + w k t t d h) t sen( ) + e + ( t cos( ) + e ) 0 R: t sen( ) + e C t i) sec ( t) + sec( t) tg( t) + ( + tg( t) ) 0 R: + tg( t) + sec( t) C j) d + d + d + d R: + + k d + k) R: + + k d + l) ( ) d d 0 R: ( ) C m) ( cos( ) ) d sen( ) d 0 R: sen( ) k n) sec ( ) tg( ) d + sec ( ) tg( ) d 0 R: tg ( ) tg( ) C

15 o) d + d R: ( + ) K ( + + cos ) d + sen( ) + cos( ) p) ( ) ( ) d 0 R: + + sen( ) cos( ) c q) cosh ( ) cosh( ) d + senh( ) senh( ) d 0 R: senh ( ) cosh( ) C r) e e d e e d 0 R: e + e + + C s) e cossec( ) cossec ( ) d + e cossec( ) cotg( ) cotg( ) d 0 e R: + cossec( ) cotg( ) C t) + d d 0 ( + ) + + R: ln K ) Determine os fatores integrantes para as seguintes equações: R: e e d + e d R: e a) ( ) d + d 0 b) ( ) 0 c) ( cos( ) tg( ) ) d sen( ) d 0 R: cossec ( ) d) ( ) d + d 0 R: 5) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: + R: C a) ( ) d + d 0 b) d + d d R: + C + ( ) d 0 R: ln( ) + k c) d ln( ) d) ( + ) d d 0 R: ( + 6 ) C e) ( + + ) d + ( + ) d 0 R: e ( + ) C d f) e + R: e k e + d g) d sen( ) d 0 + cos sen + R: ( ) ( ) k

16 h) d + ( e ) d 0 R: e ln( ) c i) e d + ( e cotg( ) + cossec( ) ) d 0 R: e sen( ) + K j) ( + ln( ) ) d d 0 R: 9 + ( ln( ) C k) d ( ) d 0 + R: l) ( ) d + ( + ) d 0 K + R: ( + ) + c m) e + d + d 0 R: + e K + n) ( e + e + tg( e ) d + e d 0 R: e + ln( sec( e ) C 6) ostre que as equações abaio não são eatas mas tornam-se eatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as equações: a) d + ( + ) d 0 ; (, ) R: + ln( ) C b) sen ( ) e sen ( ) cos d + + R: e sen( ) + cos( ) k ( ) e cos( ) 7) Achar a solução particular para 0 na equação: d 0 ; (, ) e ( cos( ) e ) d sen( ) d 0 R: e cos( ) 8) Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI): d + R: t d t + t + + t 0 ; 0 R: t + t + d + 5 ; R: d + a) t t 0 ; ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) d e + R: e d e + d) ; ( 0) e) d d ln( ) + ; ( ) 5 R: ln( ) 5 7) Determine a constante a de modo que a equação seja eata e, então, resolva a equação resultante: d a) + e + ae 0 R: + e k d a + d b) R: c d

17 a + a + d d c) e + + ( + e ) 0 d) ( a ) d + ( + ) d 0 + R: e + C + R: ( + ) K. Equações Lineares Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma Q são funções de ou constantes. d + P Q, onde P e d Observe que, neste tipo de equação, e Pd é fator integrante. d De fato, + P Q ( P Q) d + d 0 d e Pd Pd ( P Q) d + e d 0, onde Pd e ( P Q ) e Pd e. ( ) Pd ( ) P e e Pd P e Daí, transformamos a equação linear em outra diferencial eata. Vamos achar, então, sua solução: e Pd ( P Q) d e Pd Pd e ( P Q) + d d C () e Pd e Pd Pd e e Q d Pd ( ) Pd P Q d P e d e Q d Pd ( P Q) d e Pd () () De (), () e (), temos: Pd Pd Pd Pd e e Q d + e e d C Pd Pd e e Q d + C Pd Pd e + e Q d C que é a solução geral de uma equação linear de a ordem e o grau. Eemplos: d d k) + c) d d d l) e d

18 . Eercícios ) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: d a) tg( ) sen( ) R: ( ) ( ) sen sec + C d b) ( + sen( ) ) d cos( ) d 0 R: [ sec( ) + tg( ) ] [ sec( ) tg( ) + + C] d arctg c) ( + ) + arctg( ) R: ( ) ( arctg + k e ) d d cotg( ) d) + 0 R: [ ln( sen( ) ) + C] d d e) tg( ) + cos( ) sec + sen + C d d f) R: C + d d g) + R: + C d 6 h) d ( + ) d 0 R: C d i) + R: + k e d d sen j) + sen( ) ( ) cos( ) R: + k e d d k) + R: e ( ) d ln + e 8 + C + e d l) ln( ) R: ( + k e ) d d m) ( + ) + e R: e ( + ) + C d + R: ( ) ( ) n) d + d e sec ( ) d o) d d d d 6 + R: + ( + ) R: e [ tg( ) + C] ( + ) p) arctg( ) R: arctg( ) q) ln( ) d + ( ln( ) ) d 0 R: ln( ) [ ] [ arctg( ) + C] ln + + C + C ln( ) d d d sen( ) ( ) cos( ) s) d sen( ) sen ln cossec cotg + cossec + C sen r) + cos( ) sen( ) R: ( ( ) ) ( sen + Ce ) R: ( ) [ ( ( ) ( )) ( ) ]

19 dr dθ cos d + ( sen + cos ) d R: [ sen( ) + k cos( ) ] d + R: d ln + + C d sec tg sec tg + R: ( ) ( tg + Ce ) d d k ln + ln( ln ) R: ln( ln( ) ) + d ln( ) dr sen + r cos θ sen θ R: ( ) ( θ r sen θ + k e ) dθ t) + r cotg( θ ) 5 sen( θ ) R: r sen ( θ ) + k cossec ( θ ) u) ( ) [ ( ) ( ) ] 0 v) ( ) w) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) Achar a solução particular para 0 e 0 na equação: d tg( ) sec( ) R: sec( ) d ) Achar a solução particular para b e a na equação: d e + 0 e + ab e d a R: ( ). Equações Redutíveis às de Variáveis Separáveis d a Equações da forma + b + c F (), onde a, a, b, b, c, c são d a + b + c a b constantes e o determinante 0, podem ser redutíveis a variáveis separá- a b veis. Se o determinante acima é zero, então a b a b 0. a b c Daí, a b a b m, onde m (caso fosse igual seria possível uma simplificação na forma da equação, não sendo necessário, então, o processo a b c em descrição). a m a Desta forma, (). b m b Levando () em (), temos: d a + b + c F d a d ma + mb + c ( ) + b + c F () d m a + b + c

20 Seja t + a b () t a b b ( t a ) d (5) a d b d Levando (5) e () em (), temos: t + c a F G(t) b d mt c a G(t) + b d b G(t) + a d, que é uma equação de variáveis d b G(t) + a separáveis. Eemplos: m) ( + ) d + ( + 5) d 0 c) n) ( + + ) d + ( + ) d 0 d + d 6.5 Equações Redutíveis às Homogêneas e β. Considerando o sistema a + b + c 0 () a + b + c 0, com solução genérica α d a Equações da forma + b + c F (), onde a, a, b, b, c, c são d a + b + c a b constantes e o determinante 0, podem ser reduzidas à forma das homogê- a b neas. u + α du d Reintroduzindo e na equação () como (geometricamente equivale a uma translação dos eios coordenados para o ponto ( α, β ) que v + β dv d é a interseção das retas componentes do sistema (), o que é verdadeiro, uma vez que o determinante considerado é diferente de zero). dv a ( ) ( ) u + α + b v + β + c a ( ) ( ) u aα bv bβ c F F du a u + α + b v + β + c a u + a α + bv + bβ + c a ( ) u + bv + aα + bβ + c F + + ( + + ) (vemos, em (), que α e β são soluções a u bv a α bβ c do sistema) dv a u + bv F que é uma equação homogênea. du a u + bv

21 Eemplos: + d + 5 d b) ( + ) d + ( + ) d 0 a) ( ) ( ) 0.6 Eercícios Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ( + ) d + ( + + ) d 0 R: + + ln( + 7) k b) c) d + d + + R: + + ln( + ) k d + + d + + R: 8 + ln( ) k + d d R: ln( 6 + ) k d R: 6 + k d + + d d 5 R: [ ( ) ( )( ) ( ) ] ( ) ln arctg + k + d) ( ) ( ) 0 e) f) ( ) ( ) 0 g) ( + ) d + ( + 5) d 0 R: C( + ) h) ( ) d ( 6 5) d 0 R: C( + ) Aplicações Problemas, fenômenos, processos etc. que dependem (são funções) de uma variável contínua (independente) podem sempre ser representados (modelados) por uma equação diferencial. Geralmente a variável (contínua) independente é tempo, distância, tamanho, velocidade, volume, etc. A variável dependente (função) deve ser aquela que melhor caracteriza (descreve) o fenômeno ou processo que se deseja modelar. A modelagem representação matemática de um enunciado em palavras de um fenômeno, processo etc. é facilitada se forem levadas em consideração as seguintes sugestões: a no enunciado do problema reconheça a variável dependente e represente-a por uma função ( f ) da variável independente ( ) b Represente uma taa de variação pela derivada da função em relação à variável independente df ( ) d

22 c Represente a frase proporcional a... por k g( ) onde g( ) pode ser a própria f() ou o ou uma outra função ( g ) de f e/ou de, conforme especificado no enunciado. d A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa, dependendo se f() cresce ou decresce de acordo com o enunciado. Após a montagem da equação diferencial esta deve ser resolvida. Os valôres da constante k e da constante arbitrária (proveniente da solução da equação diferencial) serão determinados pelas condições iniciais dadas no enunciado do problema -.8 Eemplos. A taa de crescimento de um investimento na bolsa de valores é proporcional ao investimento a cada instante. Determine a equação (modelo matemático) que rege o investimento com o tempo. Seja t - tempo ( variável independente) f ( t ) df ( t) - valor do investimento no instante t (variável dependente) - taa de crescimento do investimento com o tempo k f ( t) - representando o proporcional ao investimento Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema: df ( t) enunciado do problema) k f ( t) onde k > 0 por ser a taa de investimento crescente (pelo. Eperiências mostram que uma substância radioativa se decompõe a uma taa proporcional à quantidade de material radioativo presente a cada instante. Obtenha a equação diferencial que modela o fenômeno. Seja t - tempo ( variável independente) f ( t ) - quantidade (massa) de substância presente no instante t

23 df ( t) - taa de variação da quantidade de substância k f ( t) - representando o proporcional à quntidade de substância Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema: df ( t) k f ( t) onde k < 0 por haver decaimento (pelo enunciado do problema). Qual a equação diferencial que vai permitir determinar a velocidade inicial mínima de um corpo o qual é disparado na direção radial da terra e que é suposto escapar desta. Despresar a resistência do ar e a atração gravitacional de outros corpos celestes. Seja t - tempo ( variável independente) v ( t ) - velocidade do corpo no instante t Aqui o problema é mais compleo por não enunciar a proporcionalidade. as, sabemos da Física Classica (Lei de ewton) que a aceleração radial a uma distância r do centro da terra ( a(r) ) é inversamente proporcional ao quadrado da distância ( r ) do corpo ao centro da terra. Assim, temos a r k r onde k < 0 por ser a aceleração dirigida para o centro da terra. A constante k é facilmente determinada lembrando que a R g 9 8 m s, onde R é o raio da terra ( R 6, m ) Assim, g k R donde k g R

24 Por outro lado, sabemos que d v d r a( r) onde v t - taa de variação da distância radial com o tempo. d t d t Logo, juntando tudo e notando que desejamos a variação de v com r ( e não com t ) a d v r d r d v d r d t d r v k g R r r Assim, finalmente, a equação procurada será d v d r v g R r Sabendo que o volume de uma gota, suposta esférica, decresce por evaporação a uma taa proporcional à área de sua superfície, determine a equação do raio da gota em função do tempo Seja t - tempo ( variável independente) V ( t ) - volume da gota no instante t d V d t S( t ) - superfície da gota no instante t Então do enunciado temos k S onde k < 0 pois V decresce com o tempo Como a gota é esférica, V π r e S π r onde r ( t ) raio da gota no instante t Substituindo V e S na equação diferencial teremos d π r k π r, k < 0

25 Derivando π r dr k π r Simplificando, temos finalmente d r k, k < 0 d t r t k t + r 0 Integrando, temos a equação que eprime o raio da gota em função do tempo onde r 0 raio da gota no instante t 0 ( constante de integração) -.9 Eercícios - o Eemplo n sabe-se que um investimento de R$ 00 rendeu R$ após 6 anos. Determine qual foi o rendimento deste investimento nos primeiros anos. Resposta: R$ 0 - o Eemplo n determine: a) a distância radial do centro da terra na qual o corpo pára e começa a retornar à terra em queda livre sabendo que a velocidade inicial no lançamento foi de 600 km/h b) a velocidade inicial mínima necessária para o corpo escapar da gravitação terrestre e nunca mais retornar. Resposta: a) 6 km; b) 07 km/h - o Eemplo n determine o tempo necessário para a gota evaporar por completo, sabendo que a gota inicialmente tinha mm de diâmetro e que o tempo em que uma outra gota de 0,5 mm diâmetro evaporou foi de 0 minutos Resposta: 0 minutos - a) Determine a equação diferencial cujas curvas integrais são círculos de raio e cujos centros estejam sobre o eio das ordenadas. b) Quais são as duas soluções singulares da equação diferencial determinada no item (a)

26 Resposta: a) d d 0 ; b) Retas ±0 5- Um tanque vertical tem uma pequena fenda no fundo. Supondo que água escape do tanque a uma taa proporcional à pressão da água sobre o fundo e sabendo que 5 % de água escapou no primeiro dia, determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque chegue á metade. Resposta:,5 horas 6- De acordo com a Lei de ewton, a taa a que uma substância se resfria é proporcional à diferença das temperaturas da substância e do ar. Se a temperatura do ar é de 0 C e a substância se resfria de 00 C para 60 C em 0 minutos, quando a temperatura da substância atingirá 0 C? Resposta: 60, minutos