M1 - Geometria Métrica Plana

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1 M - Geometri Métric Pln (UL-P) Tome um folh de ppel em form de qudrdo de ldo igul cm e nomeie os seus vértices,,,, conforme figur. seguir, dobre-, de mneir que o vértice fique sobre o ldo (figur ). ej δ est nov posição do vértice e distânci de δ. (ão milo-p) rzão entre ltur de um triângulo isósceles de ldos 5 cm e cm e su áre é: ) b) zendo figur, vem: c) d) e) 5 h 5 δ igur igur função que epress áre do triângulo retângulo sombredo em função de é: ) 0 d) b) e) c) 0 figur, temos: Usndo Pitágors, temos: ( ) 0 Θ 0 0 áre do triângulo é: Θ Θ 7 (UG) etermine um triângulo isósceles, cujo perímetro é cm e áre é cm, sbendo que medid de seus ldos são números inteiros. zendo figur e observndo os ddos do problem, tem-se: Perímetro: 0 Π 0 Áre: h Pitágors: h ( ) Υ ( ) ( ) endo um número inteiro positivo e menor que, o único vlor possível é ; logo, 5. Portnto, o triângulo tem um ldo medindo cm e os outros ldos medindo 5 cm. δ h álculo d ltur h: 5 h 0 Θ h 5 h h cm álculo d áre do triângulo : Θ cm Portnto: h (U-J) ldo de um triângulo mede cm. s pontos P e Q pertencem os ldos e, respectivmente. segmento PQ é prlelo e s áres do triângulo PQ e do trpézio PQ são iguis. comprimento PQ é de: ) cm c) cm e) cm b) cm d) cm zendo figur, temos: #PQ Κ # PQ h Θ P Q (rzão de semelhnç) zão ds áres: Áre do # PQ Áre do # 0 omo rzão ds áres é o qudrdo d rzão de semelhnç, temos: Θ

2 0 (Unip-MG) Um csl dquiriu um terreno pel plnt retngulr, de 0 m Ο 0 m, pgndo $ ,00. Qundo o topógrfo foi medir, observou que s medids do terreno erm diferentes. No desenho bio, áre destcd é rel. Pode-se concluir que o prejuízo do csl foi de: b ) $ 000,00 b) $ 5 000,00 c) $ 7 000,00 d) $ 000,00 e) $ 000,00 Pelos ddos, temos: 0 0 (UMG) bserve s figurs: c b c m b m c m álculo do vlor do metro qudrdo do terreno: , 00 50, 00/m Θ $ 50, 00/ m 0 0 álculo d áre rel do terreno: m Prejuízo: P (00 7) 50 Θ P Portnto, o prejuízo foi de $ 7 000,00. Nesss figurs, estão representds s vists frontl e lterl de um cs de mdeir pr um cchorrinho, com tods s medids indicds em centímetros. bserve que o telhdo vnç cm n prte d frente d cs. onsiderndo-se os ddos desss figurs, áre totl do telhdo dess cs é de: ) 0, m b), m c), m d) 0,7 m lrgur de cd prte do telhdo mede: 0 cm 0 cm Θ 50 cm (GV-P) ) Num triângulo eqüilátero, unindo-se os pontos médios de i e de o, obtém-se um segmento de medid igul cm. Qul áre do triângulo? b) Num triângulo retângulo, de hipotenus p, ltur reltiv à hipotenus é. e H cm e H cm, qul medid do cteto o? ) b) (U) N figur, é um retângulo e é um ponto do segmento. figur, podemos concluir que: I. M N H I. e, então áre do triângulo é um qurto d áre do retângulo. II. vlor d áre do triângulo é o mesmo d som ds áres dos triângulos e. III. áre do triângulo é metde d áre do retângulo, independentemente d posição em que o ponto estej no segmento. om relção às firmções I, II e III, pode-se dizer que: ) tods são verddeirs b) tods são flss c) pens I é verddeir d) s firmções II e III são flss e) pens II e III são verddeirs σ ejm σ medid do ldo do triângulo eqüilátero, M o ponto médio do ldo i e N o ponto médio do ldo o. I. omo MN cm, temos σ cm, pois os triângulos MN e são semelhntes e rzão de semelhnç é :. II. endo áre do triângulo, temos: σ Υ Ι cm No triângulo retângulo, temos: () H () Ι cm II. d prte do telhdo é um retângulo de dimensões: cm 50 cm áre é igul : cm áre totl é igul : Θ 00 cm, m (verddeir) III. 0 (verddeir) 0 0 (verddeir)

3 (Ul-) No centro de um prç circulr, de 0 m de rio, foi montdo um tbldo, tmbém circulr e com m de rio, no qul relizou-se um espetáculo musicl. onsiderndo que tods s pessos que form o espetáculo restringirm-se à fi d prç eterior o tbldo, que teve um ocupção médi de pessos por metro qudrdo, qunts pessos estiverm presentes esse espetáculo? (Use π.) ) 0 57 c) e) 57 b) d) 5 7 o enuncido, temos: 0 m áre d coro circulr é: πr πr Θ π( 0 ) ( 00 ) m número de pessos é: n 5 7 Θ 5 7 pessos m (urb-) Lio é bsicmente todo e qulquer resíduo sólido proveniente ds tividdes humns ou gerds pel nturez em glomerdos urbnos. lio fz prte de noss vid, e trtá-lo bem é um questão de bom senso, ciddni, e bem-estr, gor, e principlmente no futuro. ( Pensndo nisso, um grupo tetrl quer representr um peç sobre importânci d reciclgem do lio. les querem montr um cenário no qul predes de m de ltur por 5 m de comprimento deverão ser revestids de s defeituosos. bendo-se que cd possui cm de diâmetro, quntos s, proimdmente, serão necessários pr revestir ests predes? (Use: π,.) ) 5 00 c) 5 00 e) 5 00 b) 5 00 d) Áre do cenário: 5 0 Θ 0 m Áre de cd : π Θ, (0,0) 0,00 m número de s necessários é: 0 N Θ N Λ 5 0 0, 00 5 (Unifesp-P) figur mostr um circunferênci, de rio e centro, que tngenci internmente circunferênci mior, de rio e centro. be-se que e são pontos d circunfêrenci mior, mede e tngenci circunferênci menor em T, sendo perpendiculr à ret que pss por e. áre d região hchurd é: ) π b) π c) 5π d) π e) π T 7 (efet-p) Um indústri necessit produzir lâmins de máquins moedors de crne, conforme especificção seguir. áre d lâmin está diretmente relciond com potênci do motor d máquin. onsiderndo que o contorno d lâmin somente é constituído de semicírculos, áre d mesm, em cm, é igul : ) cm b) π c) π d) ( 0 π) e) ( 0 π) cm o enuncido, temos figur: ompletndo figur bio, obtemos um qudrdo de ldo cm. T plicndo-se o teorem de Pitágors no triângulo retângulo T : ( ) 0 Ι 5 áre d região hchurd é igul à áre do círculo de rio 5 menos áre do círculo de rio, ou sej: π 5 π Ι π Logo, áre d lâmin é: Θ cm

4 m questões como, ssinle n colun I s proposições correts e n colun II s proposições errds. (Unicp-P) esej-se construir um oleoduto, ligndo dus ciddes, e (observe figur bio). Há três possibiliddes de trjetos pr o mesmo: em linh ret, com o custo totl por km, em rel, de 700,00; em rco (semicircunferênci), com custo totl por km, em rel, de 00,00; em form de L,, com custo totl por km, em rel, de 700,00. ssim: I-II 0-0 trjeto em rco é o mis cro. - trjeto em form de L é o mis cro. - trjeto i é o mis brto. - s trjetos em rco e em form de L têm o mesmo custo. - trjeto mis brto é em L. Pelos ddos, temos: 50 (UJ-MG) Um jnel foi construíd com prte inferior retngulr e prte superior no formto de um semicírculo, como mostr figur bio. e bse d jnel mede, m e ltur totl,5 m, dentre os vlores bio, o que melhor proim áre totl d jnel, em metros qudrdos, é: ),0 b),5 c),5,5 d), e), Pelos ddos, vem:,5 0, 0,, 0, 0, 0,,, ( 0, ), 0, 0,0 0 0,57,5 Θ,5 m plicndo Pitágors, vem: () 0 Θ ubstituindo por,, vem,. Trjeto i: Trjeto em rco: π π 00, 5 0 Trjeto em form de L:,,, Portnto: I II (UL-P) N figur, é um qudrdo cujo ldo mede. Um dos rcos está contido n circunferênci de centro e rio, e o outro é um semicircunferênci de centro no ponto médio de e de diâmetro. áre d região hchurd é: ) um qurto d áre do círculo de rio b) um oitvo d áre do círculo de rio c) o dobro d áre do círculo de rio d) igul à áre do círculo de rio e) metde d áre do qudrdo (UPI) Um trblhdor gst hors pr limpr um terreno circulr de metros de rio. e o terreno tivesse metros de rio, qunto tempo o trblhdor gstri pr limpr tl terreno? ) h b) h c) h d) h e) 0 h s áres são iguis : π Θ π πm π Θ π πm áre hchurd é igul um qurto d áre do círculo de rio menos metde d áre do círculo de rio, logo: π π Θ π π π π π áre hchurd é igul um oitvo d áre do círculo de rio. Portnto: tempo h π π áre Θ h

5 5 (UJ) Um professor de mtemátic fez, com su turm, seguinte demonstrção: colocou um sobre um mes e envolveu-o completmente com um pedço de brbnte, de modo que o comprimento do brbnte coincidisse com o perímetro do ; em seguid, emendndo o brbnte um outro pedço, de metro de comprimento, formou um circunferênci mior que primeir, concêntric com o. Vej s figurs. 5 (UMT) etiquet do mostrdo n figur tem form de um coro circulr cujo diâmetro d circunferênci etern mede, cm e o d circunferênci intern,, cm. onsiderndo π,, determine o número inteiro mis próimo d medid (em cm ) d áre d etiquet. s medids dos rios são: d r Θ, r Θ r 5, cm d r Θ, r Θ r, cm áre d etiquet é igul : πr πr Θ π( r r ),(5,, ), Θ, cm Ι cm, cm, cm lculou, então, diferenç entre medid do rio d circunferênci mior e do rio do, chmndo- de. Logo pós, imginndo um com medid do rio idêntic à do rio d Terr, repetiu, teoricmente, s etps nteriores, chmndo de diferenç encontrd. ssim, demonstrou seguinte relção entre esss diferençs, e : ) 0 π c) π b) 0 π d) π Pr o, temos: π Θ π 0 om o brbnte, temos: 0 π Θ π Logo: 0 Θ Θ π π π Pr Terr, diferenç tmbém é igul. π Portnto: 0 0 π π π π π 5 (GV-P) Um círculo de áre π está inscrito em um qudrdo. perímetro do qudrdo é igul : ) b) c) d) 0 e) o enuncido temos figur o ldo, onde r é medid do rio do círculo. Temos que: πr π r Ι r Logo, o ldo do qudrdo mede. Portnto, o perímetro do qudrdo é igul. r r r r 55 (Vunesp-P) figur represent um cnteiro de form circulr com 5 metros de rio. cnteiro tem um região retngulr que se destin à plntção de flores e um outr região, sombred n figur, n qul se plntrá grm. N figur, é o centro do círculo, é o rio, o retângulo está inscrito no círculo e mede metros. ) etermine medid do ldo e áre d região retngulr destind à plntção de flores. b) bendo-se que o metro qudrdo de grm cust $,00, determine quntos reis serão gstos em grm (pr fcilitr os cálculos, use proimção π,). ejm: medid de 7, em metros f áre destind à plntção de flores, em metros qudrdos. c áre do círculo de centro e rio, em metros qudrdos. 5 5 g áre destind à plntção de M grm, em metros qudrdos. qunti, em reis, ser gst com plntção de grm. ssim: ) 5 0 Π Π Π m (medid do ldo ) f Π f Π f m (áre d região com flores) b) c π() Π c, 5 Π c 0 g c f Π g 0 Π g g,00 Π,00 Π,00 $,00 (vlor gsto com grm) 5

6 5 (MTM-MG) N figur, medid dos segmentos e é cm. rco tem 0) e e são semicircunferêncis. áre d superfície hchurd é: ) ( π) cm b) ( π) cm c) (π ) cm d) (π ) cm e) (π 5) cm Pelos ddos, temos: 5 (Ur-P) onsidere região, pintd de preto, eibid seguir, construíd no interior de um qudrdo de ldo medindo cm. bendo-se que os rcos de circunferênci que precem nos cntos do qudrdo têm seus centros nos vértices do qudrdo e que cd rio mede cm, pede-se: ) áre d região intern o qudrdo, complementr à região b) áre d região o enuncido, temos: hchurd π π 0 π T ) áre pedid é igul qutro vezes áre do triângulo T mis qutro vezes áre do setor, ou sej, 0 π Logo, áre pedid é ( 0 π) cm. b) áre d região é igul à áre do qudrdo menos áre obtid no item, ou sej, ( 0 π). Logo, áre de é ( π) cm. hchurd π π 0 (π ) (π ) Θ (π ) cm 57 (Vunesp-P) Um empres tem o seguinte logotipo: 5 (feod-mg) figur o ldo ilustr um triângulo, inscrito num circunferênci de centro e rio,5 cm, sendo igul cm. e medid do rio d circunferênci inscrit no qudrdo é cm, áre, em cm, de tod região pintd de preto é: ) π c) π e) π b) π d) ssim: π π 0 π 5) 5) áre, em centímetros qudrdos, d região pintd de preto é dd por 0, onde: 5 ) ) π π 0 π π 0 π Π π ssumindo π,, é correto firmr que áre, em cm, d região hchurd n figur é: ),5 b),5 c),5 d) 5,5 é o diâmetro d circunferênci, pois pss pelo centro, logo o triângulo é retângulo em. ubstituindo os vlores n figur, vem:,5,5 plicndo Pitágors no triângulo, temos: () () 0 () Θ Portnto, áre hchurd vle: Θ π ( 5, ) hchurd círculo triângulo,5π ubstituindo π, vem:,5, Θ,5,5 cm

7 0 (UJ) figur o ldo é formd por dois qudrdos e, cujos ldos medem cm, inscritos num circunferênci. digonl form com digonl um ângulo de 5). etermine áre d região sombred d figur. onsidere, e G os pontos indicdos n figur bio: G δ δ ntão: 0. s segmentos e G têm medids iguis à metde d digonl e à metde do ldo dos qudrdos, respectivmente. Isto é: e. Portnto: 0. δ δ (U-J) N figur seguir, Q V P o qudrdo MNPQ, com 0 m de ldo, represent o terreno U reservdo à áre de lzer d chácr de João. região limitd pelo qudrdo MT, com 0 m de ldo, está destind o slão de jogos e à churrsqueir. círculo, contendo T M N o ponto e tngente o qudrdo MNPQ nos pontos U e V, represent região destind à construção d piscin. etermine áre d região que será ocupd pel piscin. Pelos ddos, temos: T Q V P U L omo o triângulo G é isósceles retângulo, temos 0, então! 0. Logo, áre de G é dd por: o! 0 ( ) ( ) Portnto, áre pedid é: Θ cm o ( ) (NM) Um engenheiro, pr clculr áre de um cidde, copiou su plnt num folh de ppel de bo qulidde, recortou e pesou num blnç de precisão, obtendo 0 g. m seguid, recortou, do mesmo desenho, um prç de dimensões reis 00 m Ο 00 m, pesou o recorte n mesm blnç e obteve 0,0 g. M 0 0 V é perpendiculr o ldo QP, ssim como U é perpendiculr o ldo PN. omo V e U são medids do rio do círculo, tem-se que VPU é um qudrdo de ldo. Por outro ldo, P M 0, P, MP 0 e Logo: P 0 0 M 0 Θ ( 0) Portnto, áre do círculo é dd por: π Θ π [ 0 ( ) ] π 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m 00 π 0 00 π 00 π N Prç de áre conhecid Plnt om esses ddos foi possível dizer que áre d cidde, em metros qudrdos, é de, proimdmente: ) 00 c) e) b) d) mss d plnt d cidde é 0 g. áre d prç de dimensões 00 m por 00 m é m e o recorte d plnt tem mss 0,0 g. Logo, áre d cidde é de m, pois , isto é, , (U-M) Um setor circulr de rio 5 cm tem rco de comprimento cm. ntão su áre é: ) 0 cm c) 0 cm e) 0 cm b) 0 cm d) 0 cm setor σ Θ 5 0 Θ 0 cm setor 7

8 (Unicmp-P) Um terreno tem form de um trpézio retângulr, conforme mostr figur, e s seguintes dimensões: i 5 m, p m, 5 m. ) e cd metro qudrdo desse terreno vle $ 50,00, qul é o vlor totl do terreno? b) ivid o trpézio em qutro prtes de mesm áre, por meio de três segmentos prlelos o ldo. ç um figur pr ilustrr su respost, indicndo nel s dimensões ds divisões no ldo. 5 (Ul-) N figur bio tem-se o qudrilátero, no qul cm, cm, cm, i Η # e 7 Η. áre e o perímetro desse qudrilátero são, respectivmente: ) cm e cm b) cm e cm c) cm e cm d) 7 cm e cm e) 7 cm e 7 cm figur, temos: cm cm ) trpézio triângulo 0 retângulo 0 trpézio 05 trpézio Vlor totl do terreno: 0 50,00 000,00 Θ $ 000,00 b) No item, observmos que áre do triângulo é d áre do trpézio, e ssim figur pedid é: cm () 0 Θ () Θ 5 cm () 0 5 Θ () 0 5 Θ cm áre do qudrilátero é: Θ cm perímetro é: Θ cm 7 (UL-MG) btenh o vlor de, de form que s áres e sejm iguis. 0,5 5 (UL) N figur, temse plnt de um terreno com form de trpézio e áre de 0 m. etermine o perímetro do terreno. 0 m 5 m Pelos ddos, vem: 0,5,5 ( 0 0 ) 5 0 Θ m trpézio zendo figur, temos: plicndo Pitágors, temos: (5) 0 () 7 Θ 7 m Portnto, o perímetro do terreno vle: p Θ m 0,5 G s triângulos G e são semelhntes. Logo: Θ Θ 0 0,5 0 Θ 0 omo, temos: Portnto, Θ e

9 (Ul-) N figur têm-se dois lotes de terrenos plnos, com frentes pr dus rus e cujs diviss são perpendiculres à u hi. e s medids indicds são dds em metros, áre d superfície dos dois lotes, em metros qudrdos, é: ) 50 b) 0 c) 0 d) 50 e) 0 0 lote u lgos 5 lote u hi (NM) Um terreno com o formto mostrdo n figur foi herddo por qutro irmãos e deverá ser dividido em qutro lotes de mesm áre. Um dos irmãos fez lgums proposts de divisão pr que fossem nlisds pelos demis herdeiros. os esquems bio, onde ldos de mesm medid têm símbolos iguis, o único em que os qutro lotes não possuem, necessrimente, mesm áre é: u Terreno u u o enuncido, vem: u G 0 qudrilátero é semelhnte o qudrilátero, logo: Θ 0 5 Θ Θ Θ z 5 z 0 z Θ Θ 5 50 Θ Θ ( 0 0) Portnto: Áre do lote 0 ( 5 0) Áre do lote Áre totl dos dois lotes: Θ 50 m z 50 ) b) c) s rus e são prlels. s rus e são prlels. Nos esquems, b, c e d, cd um dos qutro lotes desenhdos tem etmente d áre do terreno originl. No esquem e, os qutro lotes desenhdos só terão mesm áre se os ldos indicdos pelo símbolo tiverem etmente do comprimento d bse do prlelogrmo configurdo pelo terreno originl. ssim sendo, os qutro lotes do esquem e não possuem, necessrimente, mesm áre. d) e)

10 70 (Unifor-) prte superior de um tbldo tem form de um trpézio isósceles com 5 m de perímetro e cujos ldos prlelos medem m e m. e superfície desse tbldo for inteirmente revestid de um cmd de verniz, o preço de $,50 o metro qudrdo, qunti ser desembolsd por esse serviço será: ) $,00 c) $,00 e) $,00 b) $ 0,00 d) $ 50,00 zendo figur, vem: h Perímetro do trpézio: Logo: 0 5 Θ 0 0 plicndo Pitágors no triângulo, vem: 0 h 0 Θ h 00 h h álculo d áre do trpézio: ( 0 ) Θ m Portnto, o vlor pgo será: V,50 Θ V,00 Θ $,00 h 7 (UL) onsiderndo um circunferênci circunscrit um heágono regulr de ldo cm, nlise s firmtivs bio. I-II 0-0 áre do círculo limitdo pel circunferênci é π cm. - Unindo-se o centro d circunferênci dois vértices consecutivos do heágono, obtém-se um triângulo de áre cm. - comprimento de um rco que une dois vértices consecutivos do heágono é π cm. - mior digonl do heágono mede cm. - medid de cd ângulo interno do heágono é 0) o enuncido, temos:. σ π 0) rd σ σ cm π Θ π π cm (fls) ( ) 0 Θ 0 0 cm 0) 0) M (verddeir). σ ε Θ σ π π cm (verddeir). cm (fls). ângulo interno 0) 0 0) 0) (verddeir) espost: I II 0 0 cm 0

11 (U) Pr responder às questões de números 7 e 7, utilize s informções seguintes. N figur bio tem-se prte d plnt de um birro, n qul s rus são prlels entre si. s qudrs,,, e têm s medids de lguns de seus ldos indicds em metros. 00, venid M venid N 00 u U u V u W u u Y u Z 7 Quntos metros percorre-se, seguindo-se em linh ret d esquin d venid N com u U té esquin d venid N com u Z? ) 570 b) 50 c) 50 d) 00 e) 0 7 áre d qudr, em metros qudrdos, é igul : ) c) e) b) 7 00 d) J I,5 H G L K 0 00 venid M Usndo o teorem de Tles, temos: venid N LK KJ 50 JK Θ 0 00 Θ JK 50 JK JI Θ 00 Θ 0 JI IH 00 IH Θ 0 00 Θ IH 5 IH HG 5, 5 Θ 00 Θ 0 00 u U u V u W u u Y u Z distânci percorrid é: Θ 50 m 50 J K 0 M (JK) (KM) 0 (JM) (JM) JM 50 m ( 0 0 0) 00 áre é: Θ7 000 m 7 (UV-MG) figur o ldo ilustr um terreno em form de trpézio, com s medids em quilômetros (km), de três de seus ldos. áre do terreno, em km, é igul : ) 0 b) 00 c) 5 d) 0 e) (U-J) s ldos MQ e NP do qudrdo MQPN estão divididos em três prtes iguis, medindo cm cd um dos segmentos (MU, UT, TQ, N, e P). Unindo-se os pontos N e T, e Q, e M, P e U por segmentos de ret, obtém-se figur o ldo. lcule áre d região sombred n figur. N P M U T Q ssim, áre de UT Áre de MQ % H $ H N P M U T Q $ H Logo, % H Υ H Pel simetri d figur,, então: H H 0, logo, H e Θ 7 Θ Portnto, áre d região sombred pode ser clculd por: (áre de MQ áre de UT) 7,5 Θ,5 cm () 5 Θ () 5 km Portnto, áre do trpézio é: ( 0) Θ 0 km 5 s triângulos UT e MQ são semelhntes. 0 0 H Θ cm cm 7 cm 5