Extrapolação de Richardson

Transcrição

1 Etrpolção de Rirdson Apesr de todos os visos em relção à etrpolção, qui temos um eepção, em que, prtir de dus determinções de um integrl se lul um tereir, mis preis. 3/5/4 MN

2 Etrpolção de Rirdson E é epressão gerl do vlor de um integrl luldo pel regr do trpézio, om um intervlo de mplitude. Pr dus proimções diferentes temos E E 3/5/4 MN

3 Etrpolção de Rirdson Como o erro d regr do trpézio ompost b '' é E f Se f for onstnte, independente d dimensão de E E o que nos livr de f 3/5/4 MN 3

4 Etrpolção de Rirdson 3/5/4 MN 4 / dá om E E E E E E E

5 Etrpolção de Rirdson 3/5/4 MN / qurt ordem. Se de e obtem -se um de O proimçõ es Combinm - sedus. mostr -se que o erro é O ] [ / vem Substituindo em 4 E E

6 Etrpolção de Rirdson Eemplo Cálulo do integrl de f entre, 5 e,8 Resultdo nlítio Regr do trpézio 675, ntervlos ntegrl Erro reltivo,8,78 89,5%,4,688 34,9% 4,,4848 9,5% 3/5/4 MN

7 Etrpolção de Rirdson Se usrmos um e dois intervlos 4,688 3 Erro 6,6% 3,78, Se usrmos dois e qutro 4,4848,688, Erro %!!! 3/5/4 MN 7

8 Etrpolção de Rirdson Combinámos três vlores O pr obter dois vlores O 4. Podemos ombinr dois O 4 pr obter um O 6 om epressão 6 5 m 5 l menor preisão mior preisão 3/5/4 MN 8

9 Etrpolção de Rirdson Dois O 6 podem ser ombindos pr obter O m 63 l Empregndo s dus últims proimções do eemplo 6,63467,367467, Erro % VALOR EXACTO 3/5/4 MN 9

10 ntegrção de Romberg A epressão gerl dos nteriores pode ser esrit j,k 4k j,k j,k 4 k em que, omo vimos à proimção relizd om menor intervlo orresponde o menor peso. 3/5/4 MN

11 ntegrção de Romberg j,k 4k j,k j,k 4 k j+,k- integrl mis preiso j,k- integrl menos preiso j,k novo vlor de integrl k nível de integrção j nível de preisão 3/5/4 MN

12 ntegrção de Romberg Algoritmo 3/5/4 MN

13 ntegrção de Romberg Controle do erro, k, k, k % omo não sbemos o vlor eto o que ontei no eemplo usmos o ritério d progressão, à semelnç de outros proedimentos. 3/5/4 MN 3

14 ntegrção de Romberg Este método é muito efiz, no eemplo ddo neessitmos de 5 álulos d função dd. Se usrmos regr do /3 de Simpson neessitmos de 48 álulos d mesm função. 3/5/4 MN 4

15 ntegrção de Romberg 3/5/4 MN 5

16 ntegrção de Romberg 3/5/4 MN 6

17 Qudrtur de Guss Ns regrs estudds nteriormente onsidermos sempre pontos igulmente espçdos. Como se pode ver n figur seguinte, pode melorr-se o resultdo de um regr, neste so do trpézio, se esolermos os pontos utilizdos em vez de usrmos sempre s etremiddes do intervlo. 3/5/4 MN 7

18 Qudrtur de Guss Melor ompensção entre os vlores positivos e negtivos 3/5/4 MN 8

19 Qudrtur de Guss D figur result que o emprego d epressão f f b b pode onduzir um erro muito grnde. Se pudermos ndr om os pontos té onseguirmos diminuir o erro melormos signifitivmente o resultdo. 3/5/4 MN 9

20 Qudrtur de Guss A epressão usd foi obtid pel interpolção liner, e álulo de áres. Vmos plir vrição de oefiientes pr egrmos às epressões de Guss ou Guss-Legendre. 3/5/4 MN

21 Qudrtur de Guss Consideremos os dois eemplos seguintes: 3/5/4 MN

22 Qudrtur de Guss Nos eemplos e, onsiderndo que onde os são onstntes e que s funções são y= e y= podemos esrever 3/5/4 MN b f f / / / / b b b b d b b d

23 Qudrtur de Guss Clulndo 3/5/4 MN 3 logo Resolvendo o sistem b f b f b b b b b Regr do trpézio

24 Qudrtur de Guss Se tivermos um so idêntio, ms om um urv, diremos que os pontos e são inógnits. A equção f f b just o integrl de um onstnte e de um ret, e resentmos o juste de y= e de y= 3 pr obter mis dus ondições 3/5/4 MN 4

25 Qudrtur de Guss, , substituindo em 3 dá vez que um em 4] de o que dá [ d d d d 3/5/4 MN 5

26 Qudrtur de Guss Conluímos que fórmul de dois pontos de Guss-Legendre é f 3 f 3 ou sej, bst lulr função em dois pontos pr se lulr um integrl equivlente à tereir ordem. 3/5/4 MN 6

27 Qudrtur de Guss Not importnte Os limites de integrção doptdos form - e, pelo que será, em gerl, neessário fzer um mudnç de vriável. No limite inferior No limite superior b d b e e d d 3/5/4 MN 7

28 b b Qudrtur de Guss b b b d d d d 3/5/4 MN 8

29 Qudrtur de Guss - eemplo Usr f 3 f 3 pr lulr o integrl de f, 5 entre e, /5/4 MN 9

30 Qudrtur de Guss - eemplo Mudnç de vriável,4,4 d,4d d Substituindo,8, 5 d d 9 [, 5,4,4,4,4 675,4,4 d 4 5,4,4d 4,4,4d ],4dd d d 3 3/5/4 MN 3

31 Qudrtur de Guss - eemplo O integrl obtido é,8578 om f 3 f 3 e o vlor luldo nlitimente,64533 Erro de,% omprável trpézio, Simpson /3 ou 3/8 3/5/4 MN 3

32 Qudrtur de Guss Podemos empregr fórmuls om mis pontos, sbendo os pesos plir Mis em Abrmovitz Points Weigting Ftors =. =. 3 = = = = = = = Funtion Arguments = = = =. 3 = = = = = /5/4 MN 3

33 Qudrtur dpttiv Trt-se de um proedimento que evit o emprego de pontos igulmente espçdos. Por um método que não vou desrever fz-se vrir lrgur dos intervlos de form minimizr o álulo d função dd. 3/5/4 MN 33

34 Qudrtur dpttiv M/O Temos dus funções qud Simpson qudl Lobtto não detlrei que relizm este objetivo. Sinte q = qudfun,,b,tol,tre,p,p, 3/5/4 MN 34

35 Qudrtur dpttiv M/O funfunção e blimites tolmjornte do erro tre ou diferente de zero ontrol síd, dndo menos ou mis detles do álulo p,p prâmetros pssr à função 3/5/4 MN 35