A Indicatriz Tangente de uma Curva Regular Fechada na Esfera S 2

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1 Universidde Federl do Rio Grnde do Sul Instituto de Mtemátic Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic A Indictriz Tngente de um Curv Regulr Fechd n Esfer S 2 por JOICE NHUCH Porto Alegre, outubro de 2007.

2 Dissertção submetid por Joice Nhuch como requisito prcil pr obtenção do gru de Mestre em Mtemátic pelo Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic do Instituto de Mtemátic d Universidde Federl do Rio Grnde do Sul. Professor Orientdor: Prof Dr ạ Elizbeth Quintn Ferreir d Cost Bnc Exmindor: Prof. Dr. Alexndre Tvres Brvier (UFRGS) Prof Dr ạ Elizbeth Quintn Ferreir d Cost (UFRGS) Prof. Dr. Jime Bruck Ripoll (UFRGS) Prof Dr ạ Susn Fornri (UFMG) Dt d Defes: 9 de outubro de 2007.

3 Agrdecimentos Agrdeço à Professor Elizbeth Quintn Ferreir d Cost pelo empenho, interesse e mizde que demonstrou no período do desenvolvimento dest dissertção. Agrdeço o Professor Jime Bruck Ripoll por sus vlioss observções e sugestões. Agrdeço todos meus professores no curso, Leonrdo Prnge Bonorino, Miguel Angel Alberto Ferrero, Alexndre Tvres Brvier e Luis Gustvo Doninelli Mendes. Agrdeço os colegs ds diverss disciplins do curso, destcndo os colegs de grupos de estudo Cleonis Viter Figueir, Cícero Ncthigl, Guilherme Pumi, Lisine Zch e Rosne Mri Fydryzewski. Agrdeço à Rosne, tencios secretári do Progrm de Pós- Grdução em Mtemátic d UFRGS. Agrdeço à minh fmíli que sempre me incentiv vencer novos desfios.

4 Resumo Neste trblho estudmos indictriz tngente de um curv regulr fechd em S 2 que mostrmos ser tmbém um curv regulr fechd. Provmos que, em prticulr, se indictriz tngente é simples, determin n esfer dus regiões com áres iguis. Tmbém estbelecemos condições necessáris e suficientes pr que um curv regulr fechd em S 2 sej indictriz tngente de lgum curv em S 2. A existênci de um homotopi regulr entre um curv regulr fechd em S 2 e su indictriz tngente tmbém é presentd. Abstrct In this work we study the tngent indictrix of closed regulr curve in S 2, which is by itself closed regulr curve. In prticulr, we prove tht if tngent indictrix is simple, it divides the sphere into two regions with exctly the sme res. We lso estblish necessry nd sufficient conditions for closed regulr curve in S 2 to be the tngent indictrix of some curve in S 2. Moreover, the existence of regulr homotopy between closed regulr curve in S 2 nd its tngent indictrix is proved.

5 Sumário Introdução 5 1 Conceitos Preliminres A Esfer Unitári S Curvs n Esfer S Função Comprimento de Arco Cmpos de Vetores Prlelos o Longo de Curvs Regulres em S Curvtur Geodésic de Curvs em S 2 e Curvtur Geodésic Totl Indictriz Tngente de um Curv Regulr Fechd n Esfer S A Indictriz Tngente As Fórmuls de Frenet pr Curvs n Esfer S A Curv σ Vist como um Cmpo de Vetores Prlelo o Longo de su Tntrix Curvtur Geodésic Totl d Tntrix Oscilção de um Sub-rco de um Curv com Curvtur Geodésic Totl Igul Zero Homotopis de Curvs Regulres Fechds n Esfer S Indictriz Tngente de um Curv Regulr Fechd no R 3 28 Referêncis 30 4

6 Introdução Neste trblho estudremos indictriz tngente de um curv regulr fechd n esfer unitári S 2. Pr contextulizr propost de trblho, lembremos (conforme [8]) que dd um curv regulr α no espço Euclideno R 3 prmetrizd pelo comprimento de rco s, considerndo os vetores α (s), n(s) e b(s), respectivmente vetor tngente, vetor norml e vetor binorml à curv α no ponto α(s), ficm definids s curvs e T : [, b] R 3, T (s) = α (s), N : [, b] R 3, N(s) = n(s), B : [, b] R 3, B(s) = b(s), denominds respectivmente indictriz tngente, indictriz norml e indictriz binorml d curv α. Sendo α (s) = 1, n(s) = 1 e b(s) = 1, pr todo s [, b], ests três indictrizes são tmbém curvs esférics. Em gerl os textos de Geometri Diferencil dão um ênfse mior o estudo d indictriz norml, destcndo-se o Teorem de Jcobi pr indictriz norml de um curv regulr fechd, como pode ser encontrdo em [3]. O foco deste trblho será o estudo d indictriz tngente de curvs regulres fechds em S 2, bsedo no texto Tntrices of Sphericl Curves de Bruce Solomon [10]. No Cpítulo 1 são presentds lgums definições, proprieddes e observções que colocds preliminrmente fcilitrão leitur do trblho. No Cpítulo 2 mostrremos que indictriz tngente de um curv regulr fechd em S 2 é tmbém um curv regulr fechd em S 2, lém disso, neste Cpítulo serão estbelecids condições necessáris e suficientes pr que um curv regulr fechd n esfer unitári sej indictriz tngente de lgum curv de S 2. Provremos ind que, dd um curv regulr fechd em S 2, se su indictriz tngente é simples, el limit n esfer S 2 dus regiões de áres iguis 2π. 5

7 No Cpítulo 3 estudremos homotopis regulres entre curvs fechds n esfer (S 2 ) provndo que um curv regulr fechd em S 2 é regulrmente homotópic à su indictriz tngente. Neste cpítulo tmbém presentremos outros resultdos reltivos homotopis regulres entre curvs fechds n esfer cuj motivção encontrmos no rtigo [7], sobre inversão d esfer. No Cpítulo 4 serão feits lgums considerçãoes sobre indictriz tngente de um curv regulr fechd em R 3. 6

8 Cpítulo 1 Conceitos Preliminres Apresentmos neste Cpítulo lgums definições, observções e proprieddes reltivs às curvs n esfer unitári do R A Esfer Unitári S 2 A esfer unitári S 2 = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 } é um superfície regulr no R 3. Considerremos como métric n esfer métric induzid do espço R Curvs n Esfer S 2 Definição 1.1. Um curv regulr n esfer S 2 é um plicção C, α : [, b] S 2, tl que α (t) 0, t [, b]. Definição 1.2. Um curv regulr fechd em S 2 é um curv regulr α : [, b] S 2, tl que α e tods s sus derivds coincidm em e b; ou sej, α() = α(b), α () = α (b), α () = α (b), O trço de um curv regulr fechd em S 2 tmbém é dito um círculo imerso em S 2. Note que um círculo imerso em S 2 pode possuir uto-intersecções. Já exigênci de regulridde d curv grnte que um círculo imerso em S 2 não possui vértices ou cúspides. 7

9 Definição 1.3. Um curv regulr fechd α : [, b] S 2 é dit simples se α não possui outrs uto-intersecções lém de α() = α(b); isto é, se t 1, t 2 [, b), t 1 t 2, então α(t 1 ) α(t 2 ). O trço de um curv regulr fechd simples em S 2 tmbém é chmdo de círculo mergulhdo em S 2. As terminologis círculo imerso e círculo mergulhdo se justificm um vez que, dd um curv regulr fechd α : [, b] S 2, pondo S 1 = { (cos θ, sen θ) θ [0, 2π] } R 2, fic bem definid plicção α : S 1 S 2 trvés d fórmul ( ) b α (cos θ, sen θ) = α 2π θ +, θ [0, 2π]. Podemos então ver que α é um imersão no sentido de vriedde diferenciável. Além disso, α é um mergulho no sentido de vriedde diferenciável se e somente se α é um curv regulr fechd simples. Note que α e α têm o mesmo trço em S 2, ou sej, α ( [, b] ) = α(s 1 ). 1.3 Função Comprimento de Arco Sej α : [, b] S 2 um curv regulr. A função S : [, b] R dd por S(t) = t t 0 α (r) dr é chmd função comprimento de rco d curv α prtir de t 0 [, b]. Definição 1.4. Dizemos que um curv α : [, b] S 2 está prmetrizd pelo comprimento de rco qundo α (t) = 1, pr todo t [, b]. Ou sej, se velocidde esclr d curv é constnte e igul 1. O seguinte resultdo, cuj demonstrção pode ser encontrd em [1], nos permite considerr, sempre que nos for conveniente, curv α prmetrizd pelo comprimento de rco. Proposição 1.1. Sej α : [, b] S 2 um curv regulr. Então α pode ser reprmetrizd pelo comprimento de rco, ou sej, existem l > 0 e um função diferenciável h : [0, l] [, b], com h > 0 tl que α(s) = α(h(s)) e α (s) = 1, pr todo s [0, l]. 8

10 1.4 Cmpos de Vetores Prlelos o Longo de Curvs Regulres em S 2 Definição 1.5. Dd um curv regulr α : [, b] S 2, um cmpo de vetores o longo d curv α em S 2 é um plicção v : [, b] R 3 tl que, v(t) T α(t) S 2 pr todo t [, b]. Dizemos ind que v é um cmpo diferenciável de vetores se v for um plicção diferenciável. Se curv α for fechd temos que dicionr condição v() = v(b), v () = v (b), v () = v (b),. Note que condição v(t) T α(t) S 2 equivle à condição v(t), α(t) = 0, t [, b]. Observção: O fto de que n esfer o vetor posição α(t) é norml à esfer em α(t) permite um definição bstnte prticulr pr Cmpos de Vetores Prlelos o longo de curvs em S 2, como veremos seguir. Definição 1.6. Um cmpo diferenciável de vetores v o longo de um curv α em S 2 é dito um cmpo prlelo se, e somente se, stisfz pr lgum função esclr f. dv dt = f(t)α(t), Observe que est definição coincide com definição de cmpo prlelo d Geometri Riemnnin, um vez que Dv dt = ( ) T dv = dv dv dt dt dt, α(t) α(t), onde Dv é derivd covrinte do cmpo de vetores v em S 2, sendo ( dv dt dt projeção ortogonl de dv no plno tngente T dt α(t)s 2. Portnto, Dv dv = 0 dt dt = f(t)α(t), dv onde f(t) = dt, α(t). ) T 9

11 1.5 Curvtur Geodésic de Curvs em S 2 e Curvtur Geodésic Totl Definição 1.7. Sej α : [, b] S 2 um curv regulr prmetrizd pelo comprimento de rco t. O vlor k g (t) = α (t), η(t) onde η(t) = α(t) α (t) é chmdo curvtur geodésic d curv α em α(t). Definição 1.8. Sej α : [, b] S 2 um curv regulr prmetrizd pelo comprimento de rco t. A curvtur geodésic totl de α é dd pel integrl k g (t)dt, onde k g (t) é curvtur geodésic de α em α(t). Usremos notção curv α. k g α pr indicr curvtur geodésic totl d Mis detlhes sobre derivd covrinte, curvtur geodésic e outros tipos de curvturs podem ser encontrdos em [9] e [6]. Definição 1.9. Dd um função contínu f : S 1 R, definimos integrl de f sobre S 1, denotd por f, por S 1 S 1 f := 2π 0 f(cos s, sen s)ds. Definição Dizemos que f : S 1 R tem ntiderivd se existe g : S 1 R tl que função h(s) = g(cos s, sen s), s R é derivável e stisfz f(cos s, sen s) = h (s) pr todo s R. A função g é dit um ntiderivd de f. Note que função h stisfz h(0) = h(2π), já que g está definid em S 1. Proposição 1.2. Sej f : S 1 R um função contínu. Então f tem ntiderivd f = 0. S 1 10

12 Demonstrção: Suponhmos inicilmente que g é um ntiderivd de f. Tomndo h(s) = g(cos s, sen s), temos S 1 f = = 2π 0 2π 0 f(cos s, sen s)ds h (s)ds = h(2π) h(0) = 0. Reciprocmente, suponh que f = 0. S Defin 1 h(s) := s 0 f(cos t, sen t)dt. Pondo g(cos s, sen s) = h(s), mostremos que g define um função de S 1 em R. e Sendo, por hipótese, h(0) = h(2π) = 0 0 2π 0 f ( cos t, sen t ) dt = 0, f ( cos t, sen t ) dt = 0, temos que h(0) = h(2π) e, conseqüentemente, um vez que g ( cos 0, sen 0 ) = g ( cos 2π, sen 2π ), g ( cos 0, sen 0 ) = h(0) e g ( cos 2π, sen 2π ) = h(2π). Portnto g está bem definid e, pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, h (s) = f(cos s, sen s), ou sej, g é um ntiderivd d função f. 11

13 Cpítulo 2 Indictriz Tngente de um Curv Regulr Fechd n Esfer S 2 Neste cpítulo definiremos curv indictriz tngente de um curv σ, regulr fechd, em S 2 qul pssremos chmr de tntrix (est expressão é comum n litertur especilizd, como por exemplo em [4] e [10], sendo utilizd pr referir de form condensd o termo indictriz tngente de um curv). Ao provr que tod curv n esfer tem curvtur no espço no mínimo igul 1, obteremos o rgumento principl pr grntir que tntrix tmbém é um círculo imerso em S 2. Mostrremos ind que curv σ pode ser identificd como um cmpo de vetores prlelo em S 2 o longo de su tntrix T. Este resultdo será usdo pr provr que curvtur geodésic totl d tntrix T é igul zero. Será provdo ind que, em prticulr, se indictriz tngente T é simples, então região d esfer limitd por T tem áre igul 2π. Finlizmos este Cpítulo estbelecendo s condições que devem ser stisfeits por um curv regulr fechd em S 2 pr que sej tntrix de lgum curv de S A Indictriz Tngente Conforme menciondo n introdução deste trblho, dd um curv regulr σ : [, b] R 3, plicção T : [, b] S 2 dd por T (s) = σ (s) σ (s) 12

14 é denomind indictriz tngente d curv σ. Em prticulr podemos considerr este conceito pr um curv σ em S 2. Definição 2.1. Sej σ : [, b] S 2 um curv regulr fechd. Considere tmbém plicção T : [, b] S 2 dd por T (s) := σ (s) σ (s). A curv T ssim definid é chmd de indictriz tngente d curv σ. Com o objetivo de simplificr lingugem, diremos que T é tntrix d curv σ. Lem 2.1. Sej σ : [, b] S 2 um curv regulr prmetrizd pelo comprimento de rco s e sej T su tntrix tmbém prmetrizd por s. Então, dt ds 1. Demonstrção: De σ 2 = σ, σ, obtemos d ds( σ 2 ) = d ds Derivndo em relção s novmente, d 2 ( ) ( σ 2 = 2 σ, d2 σ ds 2 ds 2 Assim, d 2 d 2 1 ( ) σ 2 = 2 ds 2 ( σ, σ ) = 2 σ, dσ ds = +. dσ ds, dσ ). ds σ, d2 σ + dσ ds 2 ds d 2 σ ds, σ Ms 1 ( ) σ 2 0, já que σ = 1 pois σ é curv em S 2. Portnto, 2 ds 2 d 2 σ dt ds, σ = 2 ds, σ = 1. Usndo desiguldde de Cuchy-Schwrtz, dt ds = dt dt ds σ ds, σ =

15 Logo, dt ds 1. Sendo dt ds = σ e considerndo o fto de que σ (s) é curvtur, no R 3, d curv σ em σ(s), podemos firmr que tod curv n esfer tem curvtur espcil no mínimo igul 1. Proposição 2.1. Se T é tntrix de um curv regulr σ em S 2, então T é tmbém um curv regulr em S 2. Demonstrção: Considere mbs s curvs σ e T, prmetrizds pelo comprimento de rco s d curv σ. Então, T (s) = σ (s) σ (s) = σ (s) = σ (s). 1 Assim, T (s) = σ (s). Estndo σ prmetrizd pelo comprimento de rco s, temos que σ (s) é curvtur espcil d curv σ em σ(s). Pelo Lem 2.1 sbemos que tod curv n esfer tem, em qulquer de seus pontos, curvtur espcil no mínimo igul 1. Logo, Conseqüentemente, T (s) = σ (s) 1, s [, b]. T (s) 0, s [, b], crcterizndo ssim curv T como curv regulr. Proposição 2.2. Se σ : [, b] S 2 é um curv regulr fechd e T su tntrix, então T é tmbém um curv regulr fechd em S 2. Demonstrção: Considere mbs s curvs prmetrizds pelo comprimento de rco s d curv σ. Já provmos (Proposição 2.1) que tntrix T d curv σ é regulr. Rest mostrr que T é curv fechd. 14

16 Pr isso lembre que, sendo σ : [, b] S 2 fechd, vlem s seguintes igulddes, σ() = σ(b), σ () = σ (b), σ () = σ (b), Assim, tmbém T e tods s sus derivds coincidem nos pontos e b. Logo, T é um curv fechd. Corolário 2.1. A tntrix de um círculo imerso em S 2 é tmbém um círculo imerso em S 2. Demonstrção: Imedit d Proposição As Fórmuls de Frenet pr Curvs n Esfer S 2 Sej T um curv regulr fechd n esfer S 2. Considere T prmetrizd pelo comprimento de rco t. Assim, T (t) = 1 pr todo t. Definindo ν := T T, temos que ν é um vetor unitário e simultnemente ortogonl T e T. Além disso, como T é um curv em S 2, o vetor posição T (t) é ortogonl o vetor tngente T (t). Dest form, {T, T, ν} consiste em um referencil ortonorml em T (t). Considerndo derivd segund T, existem e são únicos os reis, b e c tis que T = T + bt + cν, sber, = T, T, b = T, T e c = T, ν. Lem 2.2. = T, T = 1, b = T, T = 0, c = T, ν = k g. Demonstrção: De fto, 0 = d dt T, T = T, T + T, T = 1 + T, T. Assim = T, T = T, T = 1. 15

17 Por outro ldo, T = 1 pois T está prmetrizd pelo comprimento de rco e, portnto, T, T = 1. Derivndo mbos os membros dest iguldde obtemos Assim b = T, T = 0. 2 T, T = 0. Observe ind que c = T, ν = T, T T é curvtur geodésic d curv T em T (t) pois, como vimos cim, T, T = 0. Assim temos que c = T, ν = k g. Conforme vimos cim, sendo T um curv prmetrizd pelo comprimento de rco, temos T, T = 1, T, T = 0, e T, ν = k g. Assim, no referencil {T, T, ν}, podemos escrever Por outro ldo, sendo ν = T T, temos que T = T + k g ν. (2.1) ν = d dt ν = d dt (T T ) = T T + T T = T T. Usndo iguldde (2.1), ν = T T = T (k g ν T ) = T k g ν T T = T k g ν = k g (T ν) = k g T. As igulddes e T = T + k g ν ν = k g T (2.2) são dits Fórmuls de Frenet pr curvs em S 2. 16

18 2.3 A Curv σ Vist como um Cmpo de Vetores Prlelo o Longo de su Tntrix Proposição 2.3. Sej σ um curv regulr fechd em S 2, prmetrizd pelo comprimento de rco s e sej T su tntrix prmetrizd pelo comprimento de rco t. Então, σ = dσ dt = T ds dt e ds dt > 0. Demonstrção: Escrev t em função de s usndo função comprimento de rco. Assim s t(s) = dt ds ds. Portnto, 0 dt ds = dt ds. Aplicndo o Lem 2.1 obtemos, dt ds = dt ds 1. Sendo ssim, dt ds 0. Além disto, dt ds é contínu visto que σ é C e dt ds = d2 σ ds 2. Podemos, então, plicr o Teorem d Função Invers que grnte existênci e diferencibilidde d invers de dt ds. Assim, Pel regr d cdei, ( ) 1 dt = ds ds dt > 0. σ = dσ dt = dσ ds ds dt = T ds dt. 17

19 Observção 2.1. Como σ(t) pertence T T (s) S 2 pois σ(t), T (t) = 0, mis ind, pel definição de cmpo de vetores prlelo (Definição 1.5) o escrever σ = T ds dt, ds sendo dt um função esclr, σ fic crcterizd como um cmpo de vetores prlelo o longo d tntrix T em S 2 já que σ (t) = f(t)t (t), onde f(t) = ds dt (t). Sej T : [, b] S 2 um curv regulr fechd prmetrizd pelo comprimento de rco t e sej X : [, b] R 3 um cmpo diferenciável de vetores unitários o longo de T em S 2. Suponh que os vetores X(t) e T (t) sejm linermente independentes pr todo t [, b]. Então está bem definid função φ(t) dd por φ(t) := rccos X(t), T (t) X(t) T (t). Note que sendo os vetores X(t) e T (t) unitários podemos escrever simplesmente φ(t) = rccos X(t), T (t). Além disto função φ cim definid é diferenciável pois sendo os vetores X(t) e T (t) linermente independentes, temos que 0 < φ(t) < π. Assim o derivr mbos membros d iguldde obtemos Portnto, cos φ(t) = X(t), T (t), φ (t) sen φ(t) = X(t), T (t) + T (t), X (t). φ (t) = X(t), T (t) + T (t), X (t). sen φ(t) Considerndo o referencil ortonorml {T, ν}, onde ν = T T, no plno tngente T T (t) S 2, conforme visto em 2.2, é imedito que { T, ν} tmbém 18

20 constitui um referencil ortonorml em T T (t) S 2. Assim existem e são únicos os reis β 1, β 2 tis que X(t) = β 1 [ T (t)] + β 2 ν(t). Ms sendo X(t) vetor unitário e φ(t) o ângulo determindo pelos vetores X(t) e T (t), temos β 1 = cos φ(t) e β 2 = sen φ(t) e ssim X(t) pode ser escrito n form X(t) = cos φ(t)t (t) + sen φ(t)ν(t). (2.3) Proposição 2.4. Sej T : [, b] S 2 um curv regulr fechd prmetrizd pelo comprimento de rco t. Sej X : [, b] R 3 um cmpo diferenciável de vetores unitários o longo de T em S 2 e tl que os vetores X(t) e T (t) são linermente independentes pr todo t [, b]. Então, de (2.3), tem-se X (t) = (φ (t) k g (t))[ sen φ(t)t (t) + cos φ(t)ν(t)] + cos φ(t)t (t), (2.4) onde k g (t) é curvtur geodésic d curv T em T (t). Demonstrção: (2.3), obtemos Derivndo em relção t mbos os ldos d iguldde X (t) = cos φ(t)t (t)+t (t)φ (t) sen φ(t)+ sen φ(t)ν (t)+ν(t)φ (t) cos φ(t) = cos φ(t) [ T (t) φ (t)ν(t) ] + sen φ(t) [ φ (t)t (t) + ν (t) ]. (2.5) Usndo s Fórmuls de Frenet pr curvs em S 2 : T = k g ν T e ν = k g T, em (2.5), obtemos X (t) = cos φ(t) [ k g (t)ν(t) T (t) ] + T (t)φ (t) sen φ(t) + sen φ(t) [ k g (t)t (t) ] + ν(t)φ (t) cos φ(t) = [ φ (t) sen φ(t) k g (t) sen φ(t) ] T (t) + cos φ(t)t (t) + [ φ (t) cos φ(t) k g (t) cos φ(t) ] ν(t) = [ φ (t) k g (t) ][ sen φ(t)t (t) + cos φ(t)ν(t) ] + cos φ(t)t (t). 19

21 Corolário 2.2. Sej T : [, b] S 2 um curv regulr fechd e sej X um cmpo diferenciável de vetores unitários prlelo em S 2 o longo d curv T tl que os vetores X(t) e T (t) são linermente independentes pr todo t [, b]. Se φ(t) denot o ângulo entre os vetores X(t) e T (t), então φ (t) = k g (t), t. Demonstrção: Segue d definição de prlelismo que X é múltiplo de T (t) e, ssim, de (2.4) temos X (t) = cos φ(t)t (t) e, neste cso, ind por (2.4), segue que φ (t) k g (t) = 0, isto é, φ (t) = k g (t), pr todo t. Observção 2.2. Decorre deste corolário que φ independe do prticulr cmpo diferenciável de vetores unitários o longo d curv T considerdo. 2.4 Curvtur Geodésic Totl d Tntrix Teorem 2.1. A tntrix T de um curv regulr fechd σ em S 2 sempre tem curvtur geodésic totl igul zero e se tntrix T é simples, limit n esfer dus regiões com áres iguis 2π. Demonstrção: Sej σ : [, b] S 2 um curv regulr fechd prmetrizd pelo comprimento de rco s e sej T tntrix d curv σ prmetrizd pelo comprimento de rco t. Conforme Observção 2.1, σ é um cmpo de vetores prlelo o longo d curv T. Fixdo t e denotndo por φ(t) o ângulo entre os vetores σ(t) e T (t), obtemos, por (2.4), σ (t) = ( φ (t) k g (t) ) [ sen φ(t)t (t) + cos φ(t)ν(t)] + cos φ(t)t (t). (2.6) D Proposição 2.3, segue que σ (t) = T (t) ds dt Comprndo com (2.6), obtemos e ds dt > 0. φ (t) k g (t) = 0 e cos φ(t) = ds dt > 0. 20

22 Portnto, φ (t) = k g (t) e cos φ(t) > 0. Note que, sendo σ fechd e função φ periódic de período L, onde L é o comprimento d tntrix T, podemos escrever e, portnto, L 0 Temos (Definição 1.8) que φ (t) dt = φ(l) φ(0) = 0 k g (t) dt = L 0 φ (t) dt = 0. (2.7) k g (t)dt é curvtur geodésic totl de T, provndo ssim que tntrix de um curv regulr fechd em S 2 sempre tem curvtur geodésic totl nul. Consideremos gor o cso em que curv T é simples, ou sej, T não possui uto-intersecções. Denotemos por Ω um ds regiões d esfer delimitd pel curv T e por K curvtur Gussin d esfer. Aplicndo o corolário 1 do Teorem de Guss-Bonnet (vej [3], pg. 330) pr est região simples de S 2, chegmos à iguldde k g + KdA = 2π, T onde da represent o elemento de áre. Sendo K = 1 n esfer, temos áre de Ω = 1 da = 2π k g = 2π 0 = 2π. Ω Ω Portnto, como áre d esfer unitári é 4π, temos que, se tntrix T é simples, T divide esfer em dus regiões de áres iguis. T 2.5 Oscilção de um Sub-rco de um Curv com Curvtur Geodésic Totl Igul Zero Sej T : [, b] S 2 um curv regulr fechd, prmetrizd pelo comprimento de rco e com curvtur geodésic totl igul zero. Ou sej, k g = 0. T 21

23 Desde que T é um curv fechd, k g pode ser considerd como função de S 1 em R e, portnto, podemos firmr (Proposição 1.2) que função k g tem ntiderivd que denotremos por φ T. Lembre ind que, conforme observdo em (2.2), qulquer que sej o cmpo diferenciável X, de vetores unitários, prlelo o longo de T, sendo φ o ângulo entre os vetores X(t) e T (t), temos que φ é diferenciável e φ = k g. Assim, considerndo diferentes cmpos prlelos o longo de T, s respectivs funções ângulo diferem por um constnte, isto é, quisquer que sejm t 1, t 2 [, b] diferenç φ(t 2 ) φ(t 1 ) independe do cmpo prlelo considerdo. Mis especificmente, φ T φ T (s) = pode ser definid por s k g (t) dt = φ(s) φ(). Definição 2.2. A curvtur geodésic totl máxim de um sub-rco α de T é denotd por osc α φ T e definid por osc α φ T := sup φ T inf φ T. α α Assim curvtur geodésic totl máxim do sub-rco α é oscilção máxim do ângulo φ T no sub-rco considerdo. Proposição 2.5. Sej σ : [, b] S 2 um curv regulr fechd e T su tntrix. Então osc α φ T < π, onde α é um sub-rco de T. Demonstrção: Sej φ o ângulo entre σ e T. Sendo σ um cmpo de vetores prlelo o longo d curv σ e escrevendo obtemos (Proposição 2.4) σ(t) = cos φ(t) T (t) + sen φ(t) ν(t), σ (t) = ( φ (t) k g (t) )[ sen φ(t)t (t) + cos φ(t)ν(t) ] + cos φ(t)t (t). (2.8) D demonstrção d Proposição 2.1, temos que k g (t) = φ (t). Então podemos tomr φ = φ T. Usndo novmente demonstrção d Proposição 2.1 obtemos σ (t) = cos φ T T (t) (2.9) 22

24 e Assim, cos φ T = ds dt > 0. π 2 < φ T < π 2 e, portnto, osc φ T < π. Proposição 2.6. Sej T um curv regulr fechd tl que curvtur geodésic totl de T é igul zero e qulquer de seus sub-rcos tem curvtur geodésic totl menor que π. Então T é tntrix de lgum curv regulr fechd em S 2. Demonstrção: Sej T : [, b] S 2 um curv regulr fechd tl que k g = 0 e osc φ T < π. T Em prticulr, podemos tomr π < φ 2 T < π. 2 Definmos o cmpo de vetores σ : [, b] R 3 o longo d curv T por σ(t) = cos φ T (t)t (t) + sen φ T (t)ν(t). Observe que σ é um cmpo diferenciável de vetores unitários e que φ T o ângulo entre σ(t) e T (t). Usndo Proposição 2.4, é σ (t) = ( φ T (t) k g (t) )[ sen φ T (t)t (t) + cos φ T (t)ν(t) ] + cos φ T (t)t (t). Pel definição de φ T, temos que e dí φ T (t) k g (t) = 0, σ (t) = cos φ T (t) T (t). Como cos φ T (t) > 0, pois π 2 < φ T < π 2, temos σ (t) = cos φ T (t)t (t) 0, t [, b]. Pelo observdo nteriormente, o cmpo σ pode ser visto como um curv n esfer S 2 e desde que cos φ T (t) é não nulo, temos que σ é um curv regulr. Além disto, σ (t) σ (t) = cos φ T (t)t (t) cos φ(t) T (t) = T (t), 23

25 pr todo t [, b]. Podemos gor presentr o teorem que estbelece s condições necessáris e suficientes pr que um curv regulr fechd em S 2 sej tntrix de lgum curv regulr fechd em S 2. Teorem 2.2. Um curv T regulr fechd em S 2, é tntrix de lgum curv regulr fechd em S 2 se, e somente se, curvtur geodésic totl de T é igul zero e qulquer sub-rco de T tem curvtur geodésic totl menor do que π. Demonstrção: Decorre ds Proposições 2.1, 2.5 e

26 Cpítulo 3 Homotopis de Curvs Regulres Fechds n Esfer S 2 Neste cpítulo definiremos curvs regulrmente homotópics em S 2. Provremos que tod curv regulr fechd em S 2 é regulrmente homotópic à su tntrix. Definição 3.1. Dus curvs regulres fechds α 0 : [, b] S 2 e α 1 : [, b] S 2 são livremente homotópics se existe um plicção diferenciável H : [, b] [0, l] S 2 tl que e H(s, 0) = α 0 (s) e H(s, l) = α 1 (s), s [, b] H(, t) = H(b, t), t [0, l]. A plicção H é dit um homotopi livre entre α 0 e α 1. Observção: A Homotopi é livre pois os extremos não estão fixos como ocorre ns homotopis usuis. Por um buso de lingugem diremos que s curvs α 0 e α 1 são homotópics pr significr livremente homotópics e que H é um homotopi entre α 0 e α 1 pr significr que H é um homotopi livre entre α 0 e α 1. Proposição 3.1. A relção de homotopi entre curvs é um relção de equivlênci. Demonstrção: Um prov dest proposição pode ser encontrd em [3]. 25

27 As clsses determinds por est relção de equivlênci são chmds de clsses de homotopi. Definição 3.2. Dd um homotopi entre s curvs α 0 : [, b] S 2 e α 1 : [, b] S 2 considermos, pr cd t [0, l], plicção diferenciável H t : [, b] S 2 definid por H t (s) = H(s, t). A homotopi H é dit um homotopi regulr se H t(s) 0, pr todo s [, b] e todo t [0, l]. Dizemos neste cso que s curvs α 0 e α 1 são regulrmente homotópics. Em resumo, dus curvs diferenciáveis regulres fechds em S 2 são dits regulrmente homotópics se um pode ser deformd n outr por um seqüenci de curvs regulres. Est fmíli de curvs regulres representndo cd estágio d deformção é dit um homotopi regulr. N próxim Proposição mostrmos que um curv regulr fechd pertence à mesm clsse de homotopi regulr de su tntrix. Proposição 3.2. Tod curv regulr fechd n esfer é regulrmente homotópic à su própri tntrix. Demonstrção: Sej σ : [, b] S 2 um curv regulr fechd prmetrizd pelo comprimento de rco s e sej T : [, b] S 2 su tntrix. e Considere plicção H : [, b] [0, π 2 ] S2 dd por H(s, θ) = σ(s) cos θ + T (s) sen θ. Est plicção está bem definid, é diferenciável e stisfz Fixdo θ, defin Temos H(s, 0) = σ(s) e H ( s, π 2 ) = T (s), s [, b] H(, θ) = H(b, θ), θ [0, π 2 ]. σ θ (s) := H(s, θ). σ θ(s) = s H(s, θ) = σ (s) cos θ + T (s) sen θ. (3.1) Considerndo o referencil ortonorml {σ, σ, ν}, onde ν = σ σ, podemos escrever s Fórmuls de Frenet (2.1 e 2.2) pr curv σ σ = σ + k g ν e ν = k g σ, 26

28 onde k g é curvtur geodésic d curv σ em σ(s). Sendo σ (s) = T (s) e σ (s) = T (s), pois T é tntrix d curv σ, temos que Substituindo em (3.1), obtemos T = σ + k g ν e ν = k g T. σ θ(s) = σ (s) cos θ + T (s) sen θ = T (s) cos θ + [ σ(s) + k g (s)ν(s) ] sen θ = T (s) cos θ σ(s) sen θ + k g (s)ν(s) sen θ. Como T (s), σ(s) e ν(s) são linermente independentes e cos θ e sen θ não podem ser simultnemente nulos, segue que, pr cd θ [0, π 2 ], σ θ(s) 0, s [, b]. Portnto, homotopi H é regulr e ssim curv σ é regulrmente homotópic su tntrix T. 27

29 Cpítulo 4 Indictriz Tngente de um Curv Regulr Fechd no R 3 No Cpítulo 2 deste trblho estbelecemos resultdos pr tntrix de curvs regulres fechds considerndo o cso especil de curvs em S 2. Finlizremos nosso trblho presentndo lguns resultdos válidos pr tntrix de qulquer curv regulr fechd no R 3. Este Cpítulo é bsedo em [2]. Proposição 4.1. Sej σ : [, b] R 3 um curv regulr fechd e sej T : [, b] R 3 su tntrix, mbs prmetrizds pelo comprimento de rco s d curv σ. Ddo v S 2 qulquer temos v, T (s) ds = 0. Demonstrção: Escrev, pr s [, b], σ(s) = ( x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s) ). Temos neste cso T (s) = ( T 1 (s), T 2 (s), T 3 (s) ) = σ (s) = ( x 1(s), x 2(s), x 3(s) ). Integrndo em cd componente de T (s), temos T 1 (s)ds = T 2 (s)ds = x 1(s)ds = x 1 (b) x 1 () = 0, x 2(s)ds = x 2 (b) x 2 () = 0, 28

30 e pois σ é curv fechd. T 3 (s)ds = x 3(s)ds = x 3 (b) x 3 () = 0, Assim, escrevendo v = (v 1, v 2, v 3 ) S 2 ddo, temos v, T (s) ds = ( v1 T 1 (s) + v 2 T 2 (s) + v 3 T 3 (s) ) ds = v 1 T 1 (s)ds + v 2 T 2 (s)ds + v 3 T 3 (s)ds = = 0. Proposição 4.2. Sej σ : [, b] R 3 um curv regulr fechd e sej T : [, b] R 3 su tntrix, mbs prmetrizds pelo comprimento de rco s d curv σ. Então tntrix T d curv σ ou é um círculo máximo de S 2 ou T possui pontos em dois hemisférios de S 2. Demonstrção: Temos que (Proposição 4.1) ddo v S 2, v, T (s) ds = 0. Anlisemos seprdmente s dus lterntivs possíveis pr que isto ocorr. temos Se existe v S 2 tl que v, T (s) 0, pr todo s [, b], escrevendo v = (, b, c) e T (s) = ( T 1 (s), T 2 (s), T 3 (s) ), T 1 (s) + bt 2 (s) + ct 3 (s) 0. Ou sej, curv T está contid em um plno que pss pel origem e que tem como vetor norml o vetor não-nulo v = (, b, c). Como sbemos que interseção de um esfer com um plno que pss pelo seu centro determin um círculo máximo dess esfer, temos que T é um círculo máximo de S 2. Se v, T (s) não é identicmente nulo pr todo v S 2, necessrimente o produto v, T (s) troc de sinl tomndo s [, b]. Conseqüentemente, se considerrmos gor esfer S 2 dividid em dois hemisférios pelo plno que pss pelo centro d esfer e tem como vetor norml o vetor v considerdo, temos que curv T possui pontos nestes dois hemisférios cim determindos. 29

31 Referêncis Bibliográfics [1] Arújo, P. J. (1998). Geometri Diferencil. Rio de Jneiro: IMPA. Coleção Mtemátic Universitári. [2] Crreño, O. A. M. (2005). Tntrices de Lzos en R 3. Lecturs Mtemátics. Vol. 26, [3] Do Crmo, M. P. (2005). Geometri Diferencil de Curvs e Superfícies. Rio de Jneiro: SBM. [4] Ghomi, M., Solomon, B. (2002). Skew Loops nd Qudric Surfces. Commentrii Mthemtici Helvetici. Vol. 77, [5] Lim, E. L. (1989). Curso de Análise Vol. 2. Rio de Jneiro: IMPA. Projeto Euclides, 3 edição. [6] Opre, J. (1997). Diffrentil Geometry nd its Applictions. New Jersey: Prentice Hll. [7] Phillips, A. (1966). Turning Surfce Inside Out. Scientific Americn. Vol. 214, n o 5, [8] Rodrigues, P. R. (2001). Introdução às Curvs e Superfícies. Niterói: Ed.UFF. [9] Simnc, S. R. (2004). Geodesics nd Curvture: An Elementry Introduction. XII Escol de Geometri Diferencil. São Pulo: USP. [10] Solomon, B. (1996). Tntrices of Sphericl Curves. Americn Mtemticl Monthly, Vol. 103,