MINICURSO: O PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE

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1 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul Universidde Estdul de Londrin de bril, 212 MINICURSO: O PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE Albo Crlos Cvlheiro Deprtmento de Mtemátic Universidde Estdul de Londrin 212

2 2

3 Sumário Introdução 5 1 Preliminres Espços com produto interno e sistems ortogonis Espços de funções Tipos de convergênci pr séries de funções Alguns resultdos de equções diferenciis ordináris O problem de Sturm-Liouville 23 3 A função de Green 49 Referêncis bibliográfics 61 3

4 4 O Problem de Sturm-Liouville

5 Introdução A áre de equções diferenciis é um ds mis importntes áres de estudo em Mtemátic. A origem do estudo ds equções diferenciis e s técnics de resolução, dt d époc do surgimento do Cálculo Diferencil e Integrl no século XVII, e envolve persongens históricos como Newton 1 e Leibniz 2. Formlmente um problem de contorno reltivo um equção diferencil liner de segund ordem consiste em (i) um equção do tipo Ly = f, (.1) n qul L é um operdor diferencil liner de segund ordem, definido em um intervlo (finito) [, b] e f é um função contínu em [,b]; e (ii) um pr de condições de fronteir d form α 1 y() + α 2 y(b) + α 3 y () + α 4 y (b) = γ 1, β 1 y() + β 2 y(b) + β 3 y () + β 4 y (b) = γ 2, (.2) onde α i, β i (i = 1, 2, 3, 4) e γ j (j = 1, 2) são constntes. O problem consiste em determinr tods s funções y dus vezes continumente diferenciáveis que stisfzem (.1) e (.2) simultnemente. As condições de fronteir são chmds homogênes se γ 1 = γ 2 =. Neste cso, o conjunto ds funções dus vezes continumente diferenciáveis em [, b] que stisfzem (.2) é um subespço S em C 2 ([, b]) (que é o conjunto ds funções h : [, b] C dus vezes continumente diferenciáveis). As soluções de um problem de contorno que envolvem um operdor liner L : S C([, b]) estão relciondos com s soluções d equção 1 Isc Newton ( ) 2 Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) 5

6 6 O Problem de Sturm-Liouville Ly = λ y (.3) onde λ é um prâmetro desconhecido. Neste cso, temos que encontrr todos os vlores de λ pr os quis (.3) dmite soluções não triviis (ou sej, y ). A equção (.3) pode ser escrit n form (L λ I) y =, onde I represent trnsformção identidde (ou sej, I(y) = y). O problem cim pode ser reformuldo em lingugem de Álgebr Liner: Dd um trnsformção liner L : S V, onde S é um subespço de V, determine todos os vlores de λ (ou utovlores) pr os quis equção Ly = λ y tenh solução não-triviis, e determine seguir, tods s soluções correspondentes esses vlores de λ (ou sej, os utovetores correspondentes cd vlor de λ). Exemplo 1. Considere o problem y (t) + λ y(t) =, pr todo t [, π], y() = e y(π) =, sendo λ R. Pr λ = e pr λ < o problem só dmite solução trivil (y(t) ). Pr λ > temos que solução gerl d equção diferencil é dd por y(t) = C 1 sen( λ t) + C 2 cos( λ t), onde C 1 e C 2 são constntes rbitráris. Usndo s condições iniciis, obtemos = y() = C 2, = y(π) = C 1 sen( λ π) + C 2 cos( λ π). Logo C 1 sen( λ π) =. Se C 1 = então y(t) = é solução trivil. Pr C 1, temos que sen( λ π) =, ou sej, λ π = k π, k = 1, 2, 3,... Portnto os utovlores são λ k = k 2 (k = 1, 2,...) e s utofunções são y k (t) = sen(k t) (com k = 1, 2, 3...). Note que sequênci de utovlores {λ k }, λ k = k 2 (k = 1, 2, 3...) stisfz λ 1 < λ 2 < λ 3 <..., lim λ 1 1 k = e = k λ k k <. 2 k=1 k=1

7 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 7 Denotndo L = d2 d t, equção 2 y (t)+λ y(t) = pode ser escrit n form Ly = λ y. Considerndo em C([, b], R) (vej seção 1.3) o produto interno (vej Definição 1.1, Cpítulo 1) f, g = π f(t) g(t) dt e S o subespço de C([, b], R) constituído de tods s funções dus vezes continumente diferenciáveis tis que y() = y(π) =. Se y 1, y 2 S temos, usndo integrção por prtes e que y 1 () = y 1 (π) = y 2 () = y 2 (π) =, e π π Ly 1, y 2 = Ly 1 (t) y 2 (t) dt = y 1(t) y 2 (t) dt π π = y 1(t) y 2 (t) + y 1(t) y 2(t) dt = (y 1(π) y 2 (π) y 1() y 2 ()) + = π y 1(t) y 2(t) dt, π y 1(t) y 2(t) dt π π y 1, Ly 2 = y 1 (t) Ly 2 (t) dt = y 1 (t) y 2(t) dt π π = y 1 (t) y 2(t) + y 1(t) y 2(t) dt = (y 1 (π) y 2(π) y 1 () y 2()) + = π y 1(t) y 2(t) dt. π Portnto Ly 1, y 2 = y 1, Ly 2 e então L é simétrico em S. y 1(y) y 2(t) dt O comportmento do operdor L = d2 é típico de um grnde número d t 2 de operdores diferenciis e, qundo generlizdo convenientemente, fornece um chve pr o estudo dos problems de contorno.

8 8 O Problem de Sturm-Liouville Consideremos seguinte equção diferencil ordinári, liner, de segund ordem 2 (t) y (t) + 1 (t) y (t) + ( (t) λ µ(t)) y(t) = g(t), (.4) onde λ é um constnte, 2 (t) > e µ(t) > pr todo t [, b]. Introduzindo s funções p(t), q(t), f(t) e ω(t) definids por ( t ) 1 (x) p(t) = exp 2 (x) dx, q(t) = (t) p(t), ω(t) = 2 (t) µ(t) p(t) 2 (t) e f(t) = p(t) g(t) 2 (t) 1 multiplicndo equção (.4) por p(t) obtemos um equção d form 2 (t) d ( p(t) dy ) + (q(t) λ ω(t)) y(t) = f(t) (.5) dt dt que é chmd equção de Sturm-Liouville. A equção de Sturm-Liouville, junto com s chmds condições de fronteir (ou condições de extremos seprdos) α y() + α 1 y () =, (.6) β y(b) + β 1 y (b) =, (.7) onde α, α 1, β, β 1 são números reis, constituem um problem (ou sistem) de Sturm-Liouville regulr (ou simplesmente, sistem de Sturm-Liouville 3 ). De modo nálogo os sistems de equções lineres, os vlores de λ pr os quis o sistem de Sturm-Liouville tem solução não trivil (ou sej y(t) ) são chmdos utovlores do sistem e s soluções correspondentes s sus utofunções. O conjunto de todos os utovlores de um problem de Sturm-Liouville é chmdo espectro do sistem. Historicmente o problem de Sturm-Liouville gerou um série de desenvolvimentos que conduzirm, no começo do século XX, o nscimento de um nov e importnte áre d Mtemátic, Análise Funcionl. 3 Jcques Chrles Frnçois Sturm ( ), Joseph Liouville ( ). Os trblhos de Sturm e Liouville sobre o problem que é hoje conhecido como Problem de Sturm-Liouville form desenvolvidos entre 1829 e 1837.

9 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 9 Exemplo 2 Considere equção diferencil ordinári liner de segund ordem y (t) + 2t y (t) + (1 λ) y(t) =. (.8) Temos 2 (t) = 1, 1 (t) = 2t, (t) = 1, µ(t) = 1 e g(t) =. Logo ( t ) ( 1 (x) t ) p(t) = exp 2 (x) dx 2x = exp 1 dx = e t2, q(t) = (t) p(t) = e t2, 2 (t) µ(t) p(t) ω(t) = = e t2, 2 (t) p(t) g(t) f(t) = =, 2 (t) e podemos escrever equção (.8) n form de um equção de Sturm-Liouville d ( ) e t2 y (t) + (e t2 λ e t2 ) y(t) =. dt Este minicurso é dedicdo o problem de Sturm-Liouville, um clássico problem d teori ds equções diferenciis. O objetivo é o de generlizr s proprieddes do operdor L = d2, presentds no Exemplo 1, pr um clsse d t2 de operdores diferenciis lineres de segund ordem d form L[y] = d d t [p(t) y (t)] + (q(t) λ ω(t)) y(t), stisfzendo s condições de extremos seprdos (.6) e (.7). A distribuição do conteúdo em cd cpítulo é seguinte: No cpítulo 1 definimos os espços euclidinos (ou espços com produto interno), sistems ortogonis e sistems ortonormis, os espços de funções que serão utilizdos, os tipos de convergênci pr séries de funções e lguns resultdos básicos d teori de equções diferenciis ordináris. No cpítulo 2 será estuddo o problem de Sturm-Liouville regulr e s proprieddes básics de sus utofunções. Já no cpítulo 3 presentmos o conceito de função de Green e tmbém são feitos lguns exemplos.

10 1 O Problem de Sturm-Liouville Podemos considerr problems diferenciis mis geris que o problem de Sturm-Liouville e mesmo problems de ordem superior à 2, L[y] = n (t) y (n) (t) + n 1 (t) y (n 1) (t) (t) y (t) + (t) y(t) = f(t), onde f, j C([, b]) e n (t) pr todo t [, b], com condições de fronteir n 1 F i [y] = [α ij y (j) () + β ij y (j) (b)] (i = 1, 2,.., n), j= onde α ij, β ij C (vej Cpítulo III de [7] e tmbém Cpítulo IV de [1]).

11 Cpítulo 1 Preliminres 1.1 Espços com produto interno e sistems ortogonis Em espços normdos podemos dicionr vetores e multiplicr vetor por esclr. Além disso, norm em tis espços generliz o conceito elementr de comprimento de um vetor no R 3. Um outro conceito importnte que existe no R 3 é o produto esclr (se v = ( 1, b 1, c 1 ) e w = ( 2, b 2, c 2 ) R 3, então v.w = 1 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 ) que é usdo pr definir condição de ortogonlidde (v, w R 3 são ortogonis se v.w = ). O conceito que generliz o produto esclr é definição de produto interno. Os espços com produto interno são espços normdos especiis. A teori dos espços com produto interno é muito ric e conserv muits ds crcterístics dos espços euclidinos de dimensão finit, principlmente o conceito de ortogonlidde. Definição 1.1 Sej E um espço vetoril sobre um corpo F (R ou C). Um produto interno sobre E é um plicção.,. : E E F que tem s seguintes prorieddes: (1) pr quisquer x, x 1, x 2, y, y 1, y 2 E e λ F x 1 + x 2, y = x 1, y + x 2, y, x, y 1 + y 2 = x, y 1 + x, y 2, λ x, y = λ x, y, x, λ y = λ x, y. Se F = R então λ = λ, e se F = C então λ denot o conjugdo do número 11

12 12 O Problem de Sturm-Liouville complexo λ (ou sej, se λ = + i b, então λ = i b). (2) y, x = x, y ; (3) x, x pr todo x E; (4) x, x = se, e somente se, x =. Um espço vetoril E no qul está definido um produto interno.,. é chmdo um espço pré-hilbertino 1. Todo espço pré-hilbertino E é um espço normdo com norm cnônic x = x, x, ou sej, stisfz s condições () x = se, e somente se, x = ; (b) λx = λ x, pr todo x E e todo λ F; (c) x + y x + y, pr quisquer x, y E. Exemplo 1.2 Sejm x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) R n. Então define um produto interno no R n. x, y = x 1 y x n y n Exemplo 1.3 Sej C([, b]) o conjunto de tods s funções contínus f : [, b] C. Se f, g C([, b]) então f, g = define um produto interno em C([, b]). f(t) g(t) dt Teorem 1.4 (Desiguldde de Cuchy-Schwrz) 2 Sej E um espço vetoril com produto interno.,.. Pr quisquer x, y E temos x, y x y. Demonstrção. Podemos escrever o número complexo x, y sob form x, y = e i θ x, y e portnto y, x = x, y = e iθ x, y. 1 Dvid Hilbert ( ) 2 Augustin - Louis Cuchy ( ), Hermnn Amndus Schwrz ( )

13 Pr todo λ C temos Pr λ R obtemos II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 13 λ x + e iθ y, λ x + e iθ y = λ λ x, x + λ e iθ x, y + λ e iθ y, x + e iθ e iθ y, y = λ λ x 2 + λ x, y + λ x, y + y 2 = λ 2 x Re(λ) x, y + y 2. q(λ) = λ 2 x λ x, y + y 2, pr todo λ R. Isto implic que equção q(λ) = possui no máximo um solução rel λ. Logo 4 x, y 2 4 x 2 y 2, ou sej, x, y x y. Observção. Por um bse em um espço vetoril E (de dimensão finit) entendemos como um fmíli linermente independente B = {v 1,..., v n } de vetores de E tl que pr todo v E pode ser escrito de form únic como combinção n liner de v 1,..., v n, ou sej, v = λ j v j, onde v j B e λ j são esclres. Em j=1 espços com produto interno (de dimensão infinit), s bses ortonormis são de n grnde importânci. No lugr de combinções finits λ j v j, soms infinits são permitids e condição de linermente independente é substituíd pel condição de ortogonlidde. Definição 1.5 () Sej E um espço com produto interno.,.. Um fmíli F de vetores não nulos em E é chmd um sistem ortogonl se x, y = pr quisquer dois elementos distintos x e y de F. Se, lém disso, x = x, x = 1 pr todo x F, então F é chmdo um sistem ortonorml. (b) Um sistem ortonorml {x α : α J} (J um conjunto de índices) de um espço com produto interno E é completo se pr todo x E temos x = α J λ α x α (onde λ α são esclres). Um condição equivlente (b) é de que o conjunto ds combinções lineres finits dos x α sej denso em E, isto é, ddo x E e ε >, existe um combinção liner finit λ α x α tl que x λ α x α < ε (vej Teorem α F α F 4.6, Cpítulo II de [6]). j=1

14 14 O Problem de Sturm-Liouville O sistem ortonorml completo {x α : α J} é tmbém chmdo bse pré- Hilbertin. Todo sistem ortogonl de vetores { não nulos pode } ser normlizdo. Se S é x um sistem ortogonl, então S 1 = x : x S é um sistem ortonorml. Temos que S e S 1 são equivlentes no sentido que os espços gerdos por S e S 1 são o mesmo subespço de E. Observção. () Se V é um espço de dimensão finit, com produto interno.,. e {e 1, e 2,..., e n } um bse ortonorml. Então todo vetor v V pode ser escrito de modo único sob form v = v, e 1 e 1 + v, e 2 e v, e n e n. (b) Sej E um espço vetoril de dimensão infinit, com produto interno.,. e {e 1, e 2, e 3,...} um conjunto ortonorml infinito (enumerável). Pr todo elemento x E podemos construir série x, e k e k. Entretnto, n usênci de informções mis mpls, não existe, nenhum rzão priori pr supor que est série convirj, e muito menos que convirj pr x. Usmos notção x x, e k e k pr ressltr que série em questão poderá não convergir pr x. k=1 k=1 É clro que, se converge, escrevemos x = x, e k e k. Os coeficientes x, e k são chmdos de coeficientes de Fourier 3 generlizdos de x com relção o conjunto ortonorml {e 1, e 2, e 3,...} e série x, e k e k é chmd série de Fourier generlizd de x. Exemplo 1.6 As utofunções (do Exemplo 1) y k (t) = sen(k t) (k = 1, 2., 3,...) formm um sistem ortogonl em C([, π], R) com relção o produto interno f, g = π f(t) g(t) dt. De fto, temos y k, y k = 3 Jen Bptiste Joseph Fourier ( ) π k=1 k=1 sen 2 (k t) dt = π 2,

15 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 15 e pr m n temos y n, y m = π π sen(n t) sen(m t) dt cos((m n)t) cos((n + m)t) = dt 2 = 1 ( sen((n m)t) 2 n m ) sen((n + m)t) π =. n + m As funções ϕ k (t) = y k(t) y k (t) = sistem ortonorml em C([, π], R). 2 sen(k t) (k = 1, 2, 3,...) formm um π 1.2 Espços de funções Neste minicurso vmos utilizr os seguintes espços de funções. (i) C([, b], R) denot o conjuntos ds funções contínus f : [, b] R. (ii) C([, b]) denot o conjunto ds funções contínus f : [, b] C. (iii) Sej m N. Denotremos por C m ([, b]) (respectivmente, C m ([, b], R)) o conjunto ds funções definids em [, b] e vlores complexos (respectivmente, vlores reis) que são m vezes continumente diferenciáveis. Se f C m ([, b]), então f C m ([,b]) = sup f (j), j m é um norm em C m ([, b]), onde f (j) = sup f (j) (t). t [,b] Se f, g C m ([, b]) então f, g = ( f(t) g(t) + f (t) g (t) f (m) (t) g (m) (t) ) dt é um produto interno em C m ([, b]), e f = f, f norm cnônic.

16 16 O Problem de Sturm-Liouville (iv) Sej ω : [, b] R um função positiv (ω(t) > pr todo t [, b]). Denotremos por C L 2 (ω)([, b]) o espço vetoril C([, b]) munido do produto interno e f ω = f, g ω = f, f ω é norm correspondente. f(t) g(t) ω(t) dt 1.3 Tipos de convergênci pr séries de funções Um série numéric n converge se sequênci ds soms prciis {s n } (s n = n ) é convergente, ou sej, se lim s n = C. n Sej {ϕ n } um sequênci de funções ϕ n : I R, onde I é um intervlo de R. A série de funções ϕ n converge pontulmente se, pr cd x I fixdo, série numéric ϕ n (x) é convergente. Isto é equivlente dizer que ddos ε > e x I, existe n o N (dependente de ε e de x) tl que m ϕ k (x) < ε, pr todo m > n > n o. Um série de funções k=n ϕ n converge uniformemente se ddo ε > existir n o N (dependendo pens de ε) tl que m ϕ k (x) < ε, k=n pr todo m > n > n o e todo x I. Um série de funções ϕ n (x) converge bsolutmente se série é convergente. ϕ(x)

17 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 17 Exemplo 1.7 () sej I = [, 1] e ϕ n (x) = x n 2, x I. A série de funções converge uniformemente. De fto, pr x [, 1] temos m m ϕ k (x) ϕ k (x) Como série numéric m k=n k=1 k=n 1 k 2 1 k 2 < ε pr todo m > n > n o. (b) Sej ψ n (x) = ( 1) n x n, com x [, 1]. A série ψ 2 n é bsolutmente convergente, pois ψ n (x) = ϕ n (x) = x n 2. k=n m k=n 1 k 2. ϕ n é convergente, ddo ε > existe n o N tl que Exemplo 1.8 Considere sequênci de funções {ϕ n } definids pr x [, 1], ϕ 1 (x) = x e ϕ n (x) = x n x n 1 (pr n > 1). () A série ϕ n (x) converge pontulmente pr cd x [, 1], pois sequênci ds soms prciis (ou reduzids) s n (x) = ϕ 1 (x) + ϕ 2 (x) ϕ n 1 (x) + ϕ n (x) = x + (x 2 x) (x n 1 x n 2 ) + (x n x n 1 ) = x n, converge pr se x < 1, e pr 1 se x = 1. (b) A série ϕ n (x) não converge uniformemente, pois ddo < ε < 1/2 e n N, sej x = (2 ε) 1/(n 1). Temos m j=n ϕ j (x) = x m x n 1,

18 18 O Problem de Sturm-Liouville e pr x = (2 ε) 1/(n 1) temos x m x n 1 = (2 ε) m/(n 1) 2 ε. Logo, pr m suficientemente grnde, (2 ε) m/(n 1) < ε, e então m ϕ j (x) > ε, pr x = (2 ε)1/(n 1). j=n N verificção de que série do Exemplo 1.7() converge uniformemente, usmos o rtifício de mjorr série de funções por um série numericmente convergente. É ess idei que está trás do chmdo teste M de Weierstrss. Teorem 1.9 (Teste M de Weierstrss 4 ) Sej ϕ n (x) um série de funções ϕ n : I R definids em um intervlo I de R. Suponh que existm constntes M n tis que ϕ n (x) M n pr todo x I e que série numéric M n sej convergente. Então, série de funções bsolutmente em I. ϕ n (x) converge uniformemente e Demonstrção. Vej 37.7, Cpítulo 6 em [2]. As séries de funções que convergem uniformemente presentm excelentes proprieddes. Dentre els, que enuncimos seguir, cujs demonstrções são omitids. Teorem 1.1 () Suponh que s funções ϕ n : I R sejm contínus e que série ϕ n (x) convirj uniformemente. Então ϕ(x) = ϕ n (x) é contínu em I. 4 Krl Wilhelm Theodor Weierstrss ( )

19 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 19 (b) Suponh que s funções ϕ n : I R sejm continumente deriváveis (ou sej, ϕ n são funções contínus) e que série ϕ n(x) convirj uniformemente. Suponh que exist x I tl que ϕ n (x ) convirj. Então [ d ] ϕ n (x) d x = ϕ n(x). Demonstrção. Pr demonstrção do item () vej Teorem 4 e pr o item (b) vej o Teorem 7, Cpítulo X de [8]. cos(n x) Exemplo 1.11 Considere s funções ϕ n : [, π] R, ϕ n (x) =. Temos n 3 (i) ϕ sen(n x) n(x) = são contínus em [, π]; n 2 (ii) ϕ n(t) = sen(n x) n 2 1 n <. 2 Logo, pelo teste M de Weierstrss, ϕ n(x) é uniformemente convergente. (iii) Pr x = temos ϕ() = 1 n 3 <. Portnto podemos derivr série de funções termo termo, ou sej, função cos(n x) ϕ : [, π] R definid por ϕ(x) = ϕ n (x) = é derivável e n 3 ϕ (x) = d dx ϕ n (x) = ϕ n(x) = sen(n x) n 2.

20 2 O Problem de Sturm-Liouville 1.4 Alguns resultdos de equções diferenciis ordináris Temos o seguinte resultdo de existênci e unicidde de solução. Teorem 1.12 (Existênci e unicidde de solução) Sejm 2 (x), 1 (x), (x) e f(x) funções contíus em um intervlo [, b], com 2 (x) pr todo x [, b], e sej x [, b]. Então existe um únic solução pr o problem de vlor inicil 2 (x) y (x) + 1 (x)y (x) + (x)y(x) = f(x), em [, b], y(x ) = y 1, y (x ) = y 2. onde y 1, y 2 são constntes. Demonstrção. Vej Teorem 4.1, Cpítulo 4 de [1]. Neste minicurso vmos precisr resolver lgums equções diferenciis ordináris de ordem dois com coeficientes constntes e tmbém lgums equções de Euler 5 de ordem dois. (1) Solução gerl de equções diferenciis ordináris homogêne de ordem dois e com coeficientes constntes. Pr determinr solução gerl de um equção diferencil ordinári homogêne de ordem dois do tipo y (x) + b y (x) + c y(x) =, onde, b, c R e, precismos simplesmente determinr s rízes d equção crcterístic λ 2 + b λ + c = (um equção polinomil de gru 2 n vriável λ). Podem ocorrer 3 csos. Cso 1: Existem dus rízes reis e distints λ 1 e λ 2. A solução gerl é d form onde C 1 e C 2 são constntes. y(x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x, 5 Leonhrd Euler ( )

21 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 21 Cso 2: Existe um únic ríz rel λ = λ 1 = λ 2. Neste cso solução gerl é d form y(x) = C 1 e λx + C 2 x e λx. Cso 3: Existem dus rízes complexs λ = + i b e λ = i b. Neste cso solução gerl é dd por y(x) = C 1 e x cos(b x) + C 2 e x sen(b x). (2) Solução gerl d equção de Euler de ordem dois. A equção de Euler de ordem dois é do tipo x 2 y (x) + b x y (x) + c y(x) =. Pr determinr solução gerl precismos determinr s rízes d equção crcterístic λ(λ 1) + b λ + c =, que é um equção polinomil de gru 2. Podem ocorrer três csos. Cso 1: Existem dus rízes reis distints λ 1 e λ 2. Neste cso solução gerl é y(x) = C 1 x λ 1 + C 2 x λ 2, pr x >. Cso 2: Existe um únic ríz rel λ = λ 1 = λ 2, e neste cso solução gerl é dd por y(x) = C 1 x λ + C 2 x λ ln(x), pr x >. Cso 3: Existem dus rízes complexs λ = + i b e λ = i b. A solução gerl é d form y(x) = C 1 x cos(b ln(x)) + C 2 x sen(b ln(x)), pr x >. Pr os csos de equções diferenciis ordináris com coeficientes constntes de ordem superior dois e pr equção de Euler de ordem superior dois vej [4], [9] ou [1].

22 22 O Problem de Sturm-Liouville Exemplo 1.13 Considere equção y (x) + y (x) 2y(x). Su equção crcterístic λ 2 + λ 2 = possui rízes λ 1 = 1 e λ 2 = 2. Logo solução gerl é y(x) = C 1 e x + C 2 e 2x. Exemplo 1.14 Considere equção de Euler x 2 y (x) + 2 x y (x) 6 y(x). Su equção crcterístic é λ(λ 1) + 2 λ 6 =, e tem rízes λ 1 = 2 e λ 2 = 3. Portnto solução gerl é y(x) = C 1 x 2 + C 2 x 3, pr x >.

23 Cpítulo 2 O problem de Sturm-Liouville Considere o operdor diferencil liner de segund ordem L λ [y] = (p(t) y (t)) + (q(t) λ ω(t)) y(t) no intervlo [, b], onde p C 1 ([, b], R), p(t) > em [, b], ω C([, b], R) com ω(t) > pr todo t [, b] e q C([, b], R), com s condições de fronteir F 1 [y] = α y() + α 1 y (), F 2 [y] = β y(b) + β 1 y (b), onde α, α 1, β, β 1 R, com α + α 1 = e β + β 1 =. Dd um função f C([, b]), o problem de Sturm-Liouville (regulr) consiste em determinr um função y = y(t) solução do sitem (S λ ) L λ [y](t) = f(t), pr t [, b], (P ) (F ) F 1 [y] =, F 2 [y] =. Os exemplos mis comuns de condição de fronteir são y() = y(b) = e y () = y (b) =. Observções. (1) Se o problem de Sturm-Liouville (P) possui solução pr tod função f C([, b]), então tmbém tem solução o problem 23

24 24 O Problem de Sturm-Liouville (P 1) L λ [y] = f, F 1 [y] = c 1, F 2 [y] = c 2. De fto, sej y C 2 ([, b]) um função tl que F 1 [y ] = c 1 e F 2 [y ] = c 2. Então y(t) = z(t) + y (t) é solução do problem (P 1), onde z = z(t) é solução do problem L λ [z] = f L λ [y ], F 1 [z] =, F 2 [z] =. (2) Dd um equção diferencil liner de segund ordem 2 (t) y (t) + 1 (t) y (t) + ( (t) λ µ(t)) y(t) = g(t), onde 2 C([, b], R), 2 (t) > pr t [, b], µ C([, b], R) com µ(t) > pr t [, b] e, 1 C([, b]; R), se multiplicrmos todos os seus termos pel função 1 2 (t) p(t) = 1 ( t ) 2 (t) exp 1 (s) 2 (s) ds, obtemos um equção d form (S λ ) onde q(t) = p(t) (t), ω(t) = 2 (t) (p(t) y (t)) + (q(t) λ ω(t)) y(t) = f(t), p(t) µ(t) 2 (t) e f(t) = p(t) g(t). 2 (t) Definição 2.1 Dizemos que λ C é um utovlor do sistem (S λ ), (F ) ou do problem se Sturm-Liouville regulr (P), se equção homogêne L λ [y] =, tem um solução y(t) (ou sej, solução não - trivil) que stisfz s condições de fronteir (F ). A solução y = y(t) é chmd utofunção (correspondente o utovlor λ). Observe que se L λ [y] = (p(t) y (t)) + q(t) y(t) λ ω(t) y(t) = então

25 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 25 L [y] = (p(t) y (t)) + q(t) y(t) = λ ω(t) y(t). Exemplo 2.2 Considere o problem de Sturm-Liouville y (t) + λ y(t) =, y () = y (π) =. Pr λ o problem só dmite solução trivil (y(t) ). Pr λ > solução gerl d equção y (t) + λ y(t) = é d form y(t) = C 1 sen( λ t) + C 2 cos( λ t). Usndo s condições y () = e y (π) = obtemos C 1 λ =, C 1 λ cos( λ π) C2 λ sen( λ π) =. Logo C 1 = e C 2 λ sen( λ π) =. Se C2 = então y(t) =. Pr C 2 então sen( λ π) =. Logo λ π = k π, k = 1, 2,... Com isso λ k = k 2 são os utovlores e y k (t) = cos(k t) são s utofunções. Com o produto interno f, g = π f(t) g(t) dt em C([, π]) s utofunções y k (t) = cos(k t) (k = 1, 2,...) formm um conjunto ortogonl, pois e pr k m, temos y k, y k = π cos 2 (k t) dt = π 2, y k, y m = π π cos(k t) cos(m t) dt = 1 [cos(k + m) t + cos(k m) t] dt 2 = 1 [ π] sen(k + m)t sen(k m)t + 2 k + m k m =.

26 26 O Problem de Sturm-Liouville As funções ϕ k (t) = y k(t) y k (t) = ortonorml em C([, π]). 2 cos(k t) (k = 1, 2,...) formm um conjunto π Exemplo 2.3 Considere o problem de Sturm-Liouville y (t) + λ y(t) =, pr t [, π], y() =, y(π) + y (π) =. Novmente não existe solução não-trivil se λ. Pr λ > solução gerl é dd por y(t) = C 1 sen( λ t) + C 2 cos( λ t). Usndo que y() = obtemos C 2 =. E usndo segund condição y(π) + y (π) = obtemos C 1 sen( λ π) + C 1 λ cos( λ π) =. Pr C1 obtemos tg( λ π) = λ. Denotndo µ = λ π, então tg(µ) = µ π. Os utovlores λ n não podem ser ddos nlíticmente, ms tráves ds rízes de um equção trnscendentl, que pode ser resolvid numericmente. Os utovlores λ n stisfzem λ n = µ2 n e tg(µ π 2 n ) = µ n π. As soluções de tg(µ) = µ/π podem ser visulizds como os pontos de interseção dos gráficos ds funções y = tg(x) e y = x/π. Est equção possui infinits soluções. As respectivs utofunções são y n (t) = sen(µ n /π) t = sen( λ n t). Exemplo 2.4 Considere equção de Euler t 2 y (t) + t y (t) + λ 2 y(t) = no intervlo t [1, e], e com s condições y(1) = e y(e) =. Podemos escrever equção diferencil n form d dt [ ] t y (t) + λ2 y(t) =. t

27 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 27 Pr λ = o problem só dmite solução trivil. Pr λ, solução gerl d equção é dd por y(t) = C 1 cos(λ ln(t))+c 2 sen(λ ln(t)), com λ >. Usndo que y(1) = obtemos C 1 =, e condição y(e) = implic que C 2 sen(λ) =. Se C 2 = temos solução trivil. Pr obter soluções não-triviis devemos considerr C 2 e sen(λ) =, ou sej, os utovlores são λ n = n π (n = 1, 2, 3,...). Com isso, s utofunções são y n (t) = sen(n π ln(t)). Vmos gor presentr lguns resultdos fundmentis sobre os problems de Sturm-Liouville regulres. Provremos que os utovlores são simples, que são reis, que s utofunções podem ser escolhids reis e que s mesms stisfzem importntes relções denominds relções de ortogonlidde. Teorem 2.5 Sej L [y] = (p(t) y (t)) + q(t) y(t) em [, b]. Dds dus funções u, v C 2 ([, b]) então vle identidde de Lgrnge 1 (v L [u] u L [v]) dt = M[u, v](b) M[u, v](), onde M[u, v](t) = p(t) (u (t) v(t) u(t) v (t)). Demonstrção. Como q(t) = q(t) (pois q C([, b], R)), temos v(t) L [u] u(t) L [v] = v(t) ( (p(t) u (t)) + q(t) u(t)) u(t)( (p(t) v (t)) + q(t) v(t)) = v(t) (p(t) u (t)) + v(t) q(t) u(t) + u(t) (p(t) v (t)) q(t) u(t) v(t) = v(t) (p(t) u (t)) + u(t) (p(t) v (t)). Logo, usndo integrção por prtes, obtemos (v L [u] u L [v]) dt = b = (v (p u ) u (p v )) + (v (p u ) u (p v ) ) dt [v (p u ) u (p v )] dt = p(b)[u (b) v(b) u(b) v (b)] + p() [u () v() u() v ()] = M[u, v](b) M[u, v](). 1 Joseph-Louis Lgrnge ( )

28 28 O Problem de Sturm-Liouville Teorem 2.6 Sejm y 1, y 2 C 2 ([, b]) stisfzendo s condições de fronteir (F ). Então (i) M[y 1, y 2 ]() = M[y 1, y 2 ](b) =, (ii) (y 1 (t) L [y 2 ] y 2 (t) L [y 1 ]) dt =. Demonstrção. (i) Como y 1 e y 2 stisfzem condição [F 1 ], então o sistem α y 1 () + α 1 y 1() = α y 2 () + α 1 y 2() = tem solução não trivil (α, α 1 ) (, ). Logo y 1 () y 1() W [y 1, y 2 ]() = y 2 () y 2() =. Com isso, temos M[y 1, y 2 ]() = p()(y 1() y 2 () y 1 () y 2()) =. Anlogmente, usndo condição [F 2] obtemos M[y 1, y 2 ](b) =. (ii) Usndo o Teorem 2.5 e o item (i), obtemos (y 1 (t) L [y 2 ] y 2 (t) L [y 1 ]) dt = M[y 1, y 2 ](b) M[y 1, y 2 ]() =. Observe que por (ii), se y 1 e y 2 são utofunções (correspondentes utovlores λ 1 e λ 2 ) então L [y 1 ], y 2 y 1, L [y 2 ] = y 2 (t) L [y 1 ](t) dt y 1 (t) L [y 2 ](t) dt =, ou sej, L [y 1 ], y 2 = y 1, L [y 2 ]. Portnto o operdor L é simétrico no subconjunto S ds funções em C 2 ([, b]) que stisfzem s condições de fronteir (F).

29 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 29 Teorem 2.7 Todos os utovlores do problem de Sturm-Liouville são reis. Demonstrção. Se λ é um utovlor então = L λ [y] = (p(t) y (t)) + (q(t) λ ω(t)) y(t) = (p(t) y (t)) + q(t) y(t) λ ω(t) y(t) = L [y] λ ω(t) y(t). Logo L [y] = λ ω(t) y(t). Então L [y] = λ ω(t) y(t). Pelo Teorem 2.6(ii) obtemos = = = = (λ λ) (y L [y] y L [y]) dt (y(t) λ ω(t) y(t) y(t) λ ω(t) y(t)) dt (λ λ) y(t) ω(t) y(t) dt y(t) 2 ω(t) dt. Como y(t), temos portnto λ = λ, ou sej, λ R. Teorem 2.8 Sejm λ 1 e λ 2 dois utovlores distintos do problem de Sturm- Liouville. Então s utofunções correspondentes λ 1 e λ 2 são ortogonis reltivmente ω, ou sej, se L [y 1 ] = λ 1 y 1 ω e L [y 2 ] = λ 2 y 2 ω (com λ 1 λ 2 ) então y 1, y 2 ω = y 1 (t) y 2 (t) ω(t) dt =. Demonstrção. Pelo Teorem 2.7 temos que λ 1 e λ 2 são reis. Logo, usndo o Teorem 2.6(ii) = = = (λ 1 λ 2 ) (y 2 L [y 1 ] y 1 L [y 2 ]) dt (y 2 (t) λ 1 y 1 (t) ω(t) y 1 (t) λ 2 y 2 (t) ω(t)) dt y 1 (t) y 2 (t) ω(t) dt.

30 3 O Problem de Sturm-Liouville Como λ 1 λ 2, então y 1 (t) y 2 (t) ω(t) dt =. Teorem 2.9 Tod utofunção do problem de Sturm-Liouville é combinção liner de utofunções reis. Demonstrção. Se L [y] = λ ω y, então L [y] = λ ω y = λ ω y (pelo Teorem 2.7). Logo podemos escrever y(t) = 1 2 (y(t) + y(t)) + i 2 (i y(t) i y(t)) = y 1(t) + i y 2 (t), y(t) + y(t) onde y 1 (t) = 2 Com isso temos = Re(y(t)) e y 2 (t) = i y(t) i y(t) 2 = Im(y(t)). L [y 1 ] = L [(y + y)/2] = 1 (λ ω y + λ ω y) 2 = 1 λ ω (y + y) 2 = λ ω y 1, e tmbém L [y 2 ] = L [(i y i y)/2] = i (λ ω y λ ω y) 2 = λ ω y 2. Portnto s funções y 1 e y 2 são utofunções reis. Com o resultdo do Teorem 2.9, considerremos gor pens s utofunções de problems de Sturm-Liouville regulres como sendo funções reis. Pr o próximo resultdo, vmos usr que o espço C L 2 (ω)([, b]) é seprável, ou sej, existe um subconjunto E C L 2 (ω)([, b]) que é enumer vel e denso (E = C L 2 (ω)([, b])) (vej [6]).

31 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 31 Teorem 2.1 Os utovlores do problem de Sturm-Liouvile formm um conjunto enumerável. Demonstrção Pelo Teorem 2.8, os utovlores corresponde um sistem ortonorml de C L 2 (ω)([, b]), e como esse espço é seprável então o sistem ortonorml é necessrimente enumerável. Sej então { λ n } sequênci de utovlores do problem de Sturm-Liouville e { ϕ n } o sistem ortonorml de utofunções correspondentes. Admitindo que s funções ϕ n formm um bse ortonorml de C L 2 (ω)([, b]), então podemos resolver formlmente o problem de Sturm-Liouville De fto, sej y(t) = Então temos L [y] = λ ω y + f, F 1 [y] = F 2 [y] =. c n ϕ n (t), onde c n = y, ϕ n ω = L [y] = c n L [ ϕ n ] = c n λ n ω(t) ϕ n (t). Portnto L [y] λ ω y = f implic (usndo que L [ ϕ n ] = λ n ω ϕ n ), c n λ n ω(t) ϕ n (t) = L [y] = λ ω(t) y(t) + f(t) e com isso, obtemos ω(t) (λ n λ) c n ϕ n (t) = = λ ω(t) c n ϕ n (t) + f(t), c n λ n ω(t) ϕ n (t) y(t) ϕ n (t) ω(t) dt. λ ω(t) c n ϕ n (t) = f(t) = ω(t) f(t) ω(t) = ω(t) f ω, ϕ n ω ϕ n (t) (usndo que f(t) ω(t) = f ω, ϕ n ω ϕ n (t)) = ω(t) f, ϕ n ϕ n (t),

32 32 O Problem de Sturm-Liouville pois f ω, ϕ n ω = f(t) ω(t) ϕ n(t) ω(t) dt = f(t) ϕ n (t) dt = f, ϕ n. Portnto (λ n λ) c n = f, ϕ n, ou sej, c n = f, ϕ n. Com isso obtemos que λ n λ f, ϕ n y(t) = λ n λ ϕ n(t), (2.1) se λ λ n pr todo n. De fto, o sistem ortonorml de utofunções do problem de Sturm-Liouville é um bse ortonorml e qundo λ λ n, o problem de Sturm-Liouville tem solução y dd pel fórmul (2.1), sendo ess série, convergente não pens em C L 2 (ω)([, b]), ms uniformemente e bsolutmente (vej o Teorem 2.16). Observção. Dd um equção diferencil liner de ordem n n (t) y (n) (t) + n 1 (t) y (n 1) (t) (t) y (t) + (t) y(t) =, (2.2) onde i C([, b]), i =, 1,..., n, e n (t) pr todo t [, b], o conjunto ds funções y C n ([, b]) que são soluções d equção (2.2) formm um espço vetoril E de dimensão n. Temos que y 1, y 2,..., y n E formm um bse de E se, e somente se, o determinnte wronskino 2 W (t) = W [y 1,..., y n ](t) = y 1 (t) y 2 (t) y n (t) y 1(t) y 2(t) y n(t) y (n 1) 1 (t) y (n 1) 2 (t) y n (n 1) (t) é diferente de zero em todo t [, b]. Agor, fixdo t [, b] temos, pel Fórmul de Abel 3 (vej Teorem 3.7, Cpítulo 3 de [4]) ( t ) n 1(s) W (t) = W (t ) exp n (s) ds, pr todo t [, b]. 2 Conde Josef Hoëné de Wronski ( ) 3 Niels Henrik Abel ( ) t

33 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 33 Teorem 2.11 Todo utovlor do problem de Sturm-Liouville tem multiplicidde 1, isto é, o espço vetoril ds utofunções correspondentes tem dimensão 1. Demonstrção. Sejm y 1 = y 1 (t) e y 2 = y 2 (t) dus soluções linermente independentes de L λ [y] = e stisfzendo s condições de fronteir F 1 [y] = F 2 [y] =. Considerndo o wronskino W (t) = W [y 1, y 2 ](t) = y 1(t) y 2 (t) y 1(t) y 2(t), temos que W [y 1, y 2 ](t) pr todo t [, b] e, usndo Fórmul de Abel, obtemos W (t) = W () e t p (s)/p(s) ds = W () e ln(p(t))+ln(p()) W () p() =. p(t) Logo p(t) W (t) = p()w () (ou sej, p(t) W [y 1, y 2 ](t) = constnte). Por outro ldo, como e como α 1 + α 2 =, então y 1() y 2 () F 1 [y 1 ] = α y 1 () + α 1 y 1() =, F 2 [y 2 ] = α y 2 () + α 1 y 2() =, y 1() y 2() =, isto é, W () =. Logo W [y 1, y 2 ], contr hipótese de independênci liner de y 1 e y 2. Portnto, se y 1 e y 2 são utofunções correspondentes o mesmo utovlor λ então existe um constnte C tl que y 2 (t) = C y 1 (t). Teorem 2.12 Existe C R tl que, pr λ R utovlor do problem de Sturm- Liouville, temos λ C.

34 34 O Problem de Sturm-Liouville Demonstrção. Sej y = y(t) um utofunção rel correspondente o utovlor λ (vej Teorem 2.9). Temos que L λ [y] =. É suficiente demonstrr que existe C tl que, pr λ < C e y C 2 ([, b], R) com y 2 = 1, temos sempre isto é, L λ [y](t) y(t) dt >, [ (p y ) + q y λ ω y] y dt >. Usndo integrção por prtes, obtemos [ (p y ) + q y λ ω y] y dt b = (p y ) y + (y ) 2 p dt + q y 2 dt λ y 2 ω dt. (2.3) Provremos inicilmente o teorem em três csos prticulres, sber: (i) qundo s condições de fronteir são y() = y(b) = ; (ii) qundo s condições de fronteir são y () = y (b) = ; (iii) qundo, ns condições de fronteir (F ), temos α α 1 β β 1. Nos csos (i) e (ii) o primeiro termo do segundo membro de (2.3) é nulo. No cso (iii), podemos supor que α 1 β 1 (se não, o rciocínio é nálogo) e então o primeiro termo do segundo membro de (2.3) é p() y () y() p(b) y (b) y(b) = p() α α 1 y 2 () + p(b) β β 1 y 2 (b), que é positivo, pois α e β. Nos três csos, som dos dois últimos α 1 β 1 somndos de (2.3) é (q(t) λ ω(t)) y 2 (t) dt e ess expressão é > se pr todo t [, b] temos q(t) λ ω(t) >. Como ω(t) > isso equivle λ < C = q(t) inf t b ω(t). Portnto nos csos (i), (ii) e (iii) o segundo membro de (2.3) é > pr λ < C. Pr demonstrr o teorem no cso gerl precismos do seguinte resultdo.

35 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 35 Lem 2.13 Sej f C 1 L 2 ([, b]). Pr todo t [, b] temos ( 1/2 onde f 2 = f(x) dx) 2. f(t) 2 1 b f f 2 f 2, Demonstrção. Sej t [, b] o ponto de máximo de f(t). Temos então, usndo desiguldde de Cuchy-Schwrz, f(t ) 2 = f(t) 2 + = f(t) 2 + t t t t (f(s) f(s)) ds f(t) f 2 f 2. (f (s) f(s) + f(s) f (s)) ds Agor integrndo ess desiguldde (em [, b]) obtemos (b ) f(t ) 2 f (b ) f 2 f 2. Logo f(t) 2 f(t ) 2 1 b f f 2 f 2. Corolário 2.14 Se f C 1 L 2 ([, b]) com f 2 = 1, então pr todo t [, b] temos f(t) 2 1 b + 2 f 2. Demonstrção Imedit do Lem Voltndo pr demonstrção do Teorem 2.12, em (2.3) temos [ (p y ) + q y λ ω y] y dt b = (p y ) y + (y ) 2 p dt + No segundo termo d iguldde: q y 2 dt λ y 2 ω dt.

36 36 O Problem de Sturm-Liouville (i) No primeiro somndo temos, se y() = então p() y () y() =. Se y(), d condição F 1 [y] = e do Corolário 2.14, temos que p() y () y() = p() α y 2 () α 1 α p() b + 2 p() α y 2, α 1 ou sej, existem constntes C 1 e C 2 tis que p() y () y() C 1 + C 2 y 2. Portnto p() y () y() C 1 C 2 y 2. Anlogmente, existem constntes C 3 e C 4 tis que p(b) y (b) y(b) C 3 + C 4 y 2. α 1 (ii) No segundo somndo, temos onde p 1 = inf p(t) >. t [,b] (iii) No terceiro somndo, temos p(t) (y (t)) 2 dt p 1 y 2 2 q(t) y 2 (t) dt C 5 onde C 5 = inf q(t) e y 2 = 1. t [,b] (iv) No qurto somndo, temos λ ω(t) y 2 (t) dt λ p 2 onde p 2 = inf ω(t) > (com λ < ). t [,b] Portnto existem constntes C 6 e C 7 tis que

37 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 37 L λ [y](t) y(t) dt C 6 + C 7 y 2 + p 1 y 2 2 λ p 2 = ( p1 y ) 2 C 7 + C 6 1 C7 2 λ p 2 2 p1 4 p 1 C 8 λ p 2. onde C 8 = C 6 1 C7 2. Temos que C 8 λ p 2 > se, e somente se, λ < C 8 /p 2 = C 9. 4 p 1 Portnto o teorem fic demonstrdo com C = min {, C 9 }. O que o Teorem 2.12 diz é que existe um limitnte inferior pr os utovlores de um problem de Sturm-Liouville, ou sej, os utovlores podem té ser eventulmente negtivos, ms não rbitrrimente negtivos (Em verdde, em um problem de Sturm-Liouville regulr pode ocorrer no máximo um número finito de utovlores negtivos). Exemplo 2.15 Considere o problem de Sturm-Liouville y (t) + λ y(t) =, em [, 1], y() =, β y(1) + β 1 y (1) =. Temos que p(t) = 1, q(t) = 1, ω(t) = 1, α = 1 e α 1 =. Se y = y(t) é um utofunção pr o problem, então y (t) = λ y(t). Multiplicndo ess iguldde por y(t) e integrndo por prtes (no intervlo [, 1]) obtemos λ 1 y 2 (t) dt = 1 y (t) y(t) dt = ( y (1) y(1) y () y() ) + = 1 1 [y (t)] 2 dt [y (t)] 2 dt y (1) y(1). (2.4) (i) No cso β = então y (1) =, e no cso β 1 = temos y(1) =. Em mbos os csos temos λ 1 y 2 (t) dt = 1 [y (t)] 2 dt,

38 38 O Problem de Sturm-Liouville o que grnte que λ >. (ii) Se β β 1 >, temos que λ >, pois neste cso em (2.4) obtemos λ 1 y 2 (t) dt = 1 [y (t)] 2 dt + β 1 β (y (1)) 2 >. (iii) Se β β 1 <, podemos ter utovlores negtivos. Se < β 1 β < 1, temos um único utovlor negtivo que é solução pr λ = β tgh( λ) (onde β 1 tgh(x) = senh(x) cosh(x) = ex e x é função tngente hiperbólic). e x + e x Se β 1 β < ou β 1 β > 1, então o problem não possui solução não-trivil. Do Teorem 2.12 segue que, substituindo q(t) por q(t) = q(t) C ω(t), onde C < e C < C, temos um operdor L tl que λ = não é utovlor do problem de Sturm-Liouville correspondente e do qul todos os utovlores são estritmente positivos. Vmos trblhr com hipótese que λ = não é utovlor do problem de Sturm-Liouville. Ess hipótese implic que pr tod função f C([, b]) o problem L [y] = f, F 1 [y] = e F 2 [y] = tem, no máximo um solução. As principis proprieddes do problem de Sturm-Liouville estão reunids no próximo teorem. Teorem 2.16 Consideremos o problem de Sturm-Liouville L λ [y] = (p(t) y (t)) + (q(t) λ ω(t)) y(t) = f(t), em [, b], F 1 [y] = α y() + α 1 y () =, F 2 [y] = β y(b) + β 1 y (b) =, onde L λ, F 1 e F 2 stisfzem s condições mencionds no começo deste cpítulo. () Os vlores λ C tis que exist um solução não-trivil de L λ [y] = stisfzendo F 1 [y] = F 2 [y] =, ou sej, os utovlores do problem de Sturm-Liouville formm um sequênci infinit crescente {λ n } de números reis tis que lim λ n = e n 1 λ n <.

39 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 39 (b) Cd utovlor λ n tem multiplicidde 1, isto é, o espço vetoril ds utofunções correspondentes tem dimensão 1; fixdo um utofunção rel ϕ n tl que ϕ 2 n(t) ω(t) dt = 1 então qulquer outr utofunção correspondente λ n é múltipl de ϕ n. (c) A sequênci de utofunções {ϕ n } é um bse ortonorml de C L 2([, b]). (d) Pr tod função g C 2 ([, b]) tl que F 1 [g] = e F 2 [g] = temos onde C n = g(t) = C n ϕ n (t), g(t) ϕ n (t) ω(t) dt, sendo que série é uniformemente e bsolutmente convergente em [, b]. (e) Sej λ λ n pr todo n e f C([, b]). O sistem L λ [y] = f, com F 1 [y] = e F 2 [y] = tem um únic solução dd por onde f, ϕ n = y(t) = f, ϕ n λ n λ ϕ n(t), f(t) ϕ n (t) dt, sendo que série é uniformemente e bsolutmente convergente em [, b]. (f) Se λ = λ n, dd f C([, b]) o sistem L λ [y] = f, com F 1 [y] = F 2 [y] = tem solução se, e somente se, f, ϕ n = pr todo n. Demonstrção Vej Teorem 2.1, Cpítulo IV de [6]. Exemplo 2.17 Consideremos o sistem y (t) + λ y(t) = f(t), em [, π], y() = y(π) =. Vimos no Exemplo 1 que solução gerl d equção homogêne y (t)+λ y(t) = (com λ > ) é y(t) = C 1 cos( λ t) + C 2 sen( λ t). Pr stisfzer y() = obtemos C 1 =, e pr stisfzer y(π) = devemos ter λ π = n π (n = 1, 2,...), ou sej, os utovlores são λ n = n 2. Portnto ψ n (t) = sen(n t) formm um sistem

40 4 O Problem de Sturm-Liouville 2 ortogonl, e ϕ n (t) = sen(n t) formm um sistem ortonorml de utofunções π do problem de Sturm-Liouville. Como λ = não é utovlor do problem homogêneo, pelo Teorem 2.16(e) solução do problem pode ser escrit n form f, ϕ n y(t) = λ n ϕ n(t) = 2 π y (t) = f(t), em [, π], y() = y(π) =, 1 n 2 ( π ) f(x) sen(n x) dx sen(n t). Por exemplo, se f(t) = t então solução pr y (t) = t, com y() = y(π) = é dd por ( 2 1 π ) y(t) = x sen(n x) dx sen(n t) π n 2 = 2 π 1 ( 1) n+1 π sen(n t) = 2 n 2 n ( 1) n+1 sen(n t). É clro que o problem y (t) = t, y() = y(π) = poder ser resolvido n form diret plicndo-se s condições de contorno à solução gerl de y (t) = t (cuj solução é y(t) = (t 3 π 2 t)/6. Ms frequentemente tl opção não existe, e s únics soluções disponíveis são s expresss como séries em termos de utofunções do problem. Por exemplo, se f(t) = cos(t 2 + t), solução pr o problem y (t) = f(t), y() = y(π) =, é dd por f, ϕ n y(t) = λ n ϕ n(t) = = 2 π 2 π 1 n 2 1 n 2 ( π ( π n 3 ) f(x) ϕ n (x) dx sen(n t) ) cos(x 2 + x) sen(n x) dx sen(n t).

41 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 41 Exemplo 2.18 Considere o problem y (t) 3 y (t) + 3(1 + λ) y(t) =, pr t [, π], y() = y(π) =. O problem dmite pens solução trivil se λ 1/4. Pr λ > 1/4 solução gerl d equção y (t) 3 y (t) + 3(1 + λ) y(t) = é dd por y(t) = C 1 e 3 t/2 cos(t 3(1 + 4λ)/2) + C 2 e 3 t/2 sen(t 3(1 + 4λ)/2). Usndo condição y() = obtemos C 1 =. E usndo condição y(π) = obtemos C 2 sen(π 3(1 + 4λ)/2) =. Se C 2 = temos pens solução trivil. Pr que exist solução nãotrivil devemos ter C 2 e então π 3(1 + 4λ) = n π (n = 1, 2, 3...). Logo os 2 utovlores são λ n = 1 12 (4n2 3) e s utofunções são ψ n (t) = e 3t/2 sen(n t) 2n 2 (n = 1, 2, 3,...). Temos que ψ n, ψ n = 3(9 + 4n 2 ) (1 e 3 π ). Logo s funções ϕ n (t) = ψ n(t) ψ n = 3(9 + 4n 2 ) 2n 2 (1 e 3 π ) e 3t/2 sen(n t), (n = 1, 2, 3,...) formm um conjunto ortonorml. Como λ = não é utovlor, solução do problem é dd por y(t) = = f, ϕ n λ n ϕ n(t) 12 4n 2 3 y (t) 3 y (t) + 3 y(t) = f(t), em [, π], y() = y(π) =, ( 3(9 + 4n 2 ) π ) f(x) e 3x/2 sen(n x) dx e 3t/2 sen(n t). 2n 2 (1 e 3 π )

42 42 O Problem de Sturm-Liouville Exemplo 2.19 Os problems de Sturm-Liouville precem qundo se plic o método de seprção de vriáveis no estudo de lgums equções diferenciis prciis lineres de segund ordem. Considere o problem d cord vibrnte x [ p(x) u ] (x, t) x q(x) u(x, t) = ω(x) 2 u (x, t), (2.5) t2 com s condições iniciis u(x, ) = f(x), u (x, ) = g(x) (com x [, b]) e com t s condições de fronteir u(, t) = e u(b, t) = (com t [, )). As funções p e ω representm tensão e densidde d cord, respectivmente, sendo, portnto, funções contínus e positivs em [, b]. Usndo o método de seprção de vriáveis, procurmos soluções d equção diferencil prcil (2.5) que sejm d form u(x, t) = X(x) T (t).substituindo n equção (2.5) obtemos [p(x) X (x)] q(x) X(x) ω(x) X(x) = T (t) T (t) = λ (constnte), (pois cd um dos ldos é função de um vriável diferente) e seprndo s vriáveis s funções X(x) e T (t) devem stisfzer (i) T (t) = λ T (t), (ii) [ p(x) X (x)] q(x) X(x) = λ ω(x) X(x), com X() = X(b) =. Observe que (ii) é um problem de Sturm-Liouville e que λ = não é utovlor. Pelo Teorem 2.16, existe um sequênci {λ n } de utovlores tendendo pr infinito e (ii) possui um únic solução não nul ( menos de um constnte multiplictiv). Sej {ϕ n } s utofunções normlizds correspondentes os utovlores λ n ( ϕ n (x) 2 ω(x) dx = 1). Agor pr cd λ n solução gerl d equção T (t) = λ n T (t) é d form T n (t) = n cos( λ n t) + b n sen( λ n t). Logo, pr cd n = 1, 2, 3,..., temos que u n (x, t) = ϕ n (x) T n (t) = ϕ n (x) [ n cos( λ n t) + b n sen( λ n t)],

43 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 43 é um solução d equção (2.5). Procurndo então solução do problem sob form u(x, t) = = u n (x, t) ϕ n (x) [ n cos( λ n t) + b n sen( λ n t)]. Pr stisfzer s condições iniciis devemos ter f(x) = u(x, ) = n ϕ n (x), g(x) = u t (x, ) = λn b n ϕ n (x). Se f e g dmitem esse desenvolvimento em série, os coeficientes n e b n são determindos por n = f, ϕ n ω = f(x) ϕ n (x) ω(x) dx, b n = 1 g, ϕ n ω = 1 λn λn g(x) ϕ n (x) ω(x) dx. Vemos, pois, importânci do estudo sobre possibilidde de desenvolvimento de um função f em série ds utofunções ϕ n, bem com importânci de condições que ssegurem que ess série é bsolutmente e uniformemente convergente em [, b], e não pens em C L 2 (ω)([, b]). Aind subsiste questão de sber como devem ser s funções f e g pr que série de u(x, t) sej convergente, pr que el represente de fto um solução d equção diferencil prcil (2.5), pr que tenhmos u(x, t) f(x) qundo t +, entre outrs. Esss últims questões, em gerl, tem de ser estudds prticulrmente pr cd tipo de equção.

44 44 O Problem de Sturm-Liouville Exemplo 2.2 Outro tipo de problem que frequentemente ocorre é o chmdo sistem de Sturm-Liouville periódico d [ p(t) dy ] dt dt (t) + (q(t) λ ω) y(t) =, pr t [, b], p() = p(b), y() = y(b), y () = y (b). Por exemplo, consideremos o problem y (t) + λ y(t) =, pr t [ π, π], y( π) = y(π), y ( π) = y (π). Note que p(t) = 1 e então p( π) = p(π). Pr λ > solução gerl d equção é d form y(t) = C 1 cos( λ t) + C 2 sen( λ t). Usndo s condições y( π) = y(π) e y ( π) = y (π) obtemos C 2 sen( λ π) =, 2 C 1 π sen( π) =. Assim, pr que exist soluções não-triviis, devemos ter sen( λ π) =, ou sej, λ π = n π (n = 1, 2,...). Logo λ n = n 2 (n = 1, 2, 3,...) são utovlores. Pr cd λ n = n 2 existem dus soluções linermente independentes ϕ n (t) = cos(n t) e ψ n (t) = sen(n t) (diferentemente do cso de sistem de Sturm-Liouville regulr). Além disso, λ = é utovlor e correspondente utofunção é função constnte ϕ (t) = 1. Pr λ < o problem só possui solução trivil. Portnto os utovlores são e s utofunções são, 1, 4, 9,..., n 2,... 1, cos(t), sen(t), cos(2t), sen(2t),..., cos(nt), sen(nt),...

45 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 45 Exemplo 2.21 Se equção (p(t) y (t)) + (q(t) λ (ω)(t)) y(t) =, (2.6) é definid no interior de um intervlo finito I, ms em um ou em mbs s extremiddes de I temos que, ou pelo menos um ds funções p(t), q(t), ω(t) não é contínu ou um ds funções p(t), q(t) se nul então dizemos que os problems de contorno pr equção (2.6) em I são singulres. Se I é um intervlo infinito, os problems de contorno pr (2.6) em I tmbém são chmdos singulres. Pr esses problems vej [1]. Por exemplo, considere o problem de Sturm-Liouville d d t [(1 t2 ) y (t)] + λ y(t) =, em ( 1, 1), y(1) = 1, y limitd em ( 1, 1). A função p(t) = (1 t 2 ) se nul nos pontos extremos t = 1 e t = 1, o que torn o problem de Sturm-Liouville singulr. Os utovlores são λ n = n(n + 1) (n =, 1, 2, 3...) e s utofunções são P n (t) = 1 2 n n! d n d t n [(t2 1) n ], que são chmdos polinômios de Legendre 4. Temos P (t) = 1, P 1 (t) = t, P 2 (t) = 3 2 t2 1 2, P 3 (t) = 5 2 t3 3 2 t, P 4 (t) = 35 8 t t ,... Utilizndo equção (1 t 2 ) y (t) 2 t y (t) + n(n + 1) y(t) = e que cd P n é solução, temos (pr n m) 4 Adrien-Mrie Legendre ( ) (1 t 2 ) P n (t) 2 t P n(t) + n(n + 1) P n (t) =, (1 t 2 ) P m(t) 2 t P m(t) + m(m + 1) P m (t) =.

46 46 O Problem de Sturm-Liouville Multiplicndo primeir iguldde por P m (t), segund por P n (t), e subtrindo, obtemos P m (t) P n (t) [m(m + 1) n(n + 1)] = (1 t 2 ) [P m (t)p n (t) P m(t)p n (t)] 2t[P m (t)p n(t) P m(t)p n (t)] = d dt [(1 t2 ) [P m (t)p n(t) P m(t)p n (t)]]. Logo, integrndo de 1 1 obtemos 1 [m(m+1) n(n+1)] P m (t) P n (t) dt = (1 t 2 )[P m (t)p n(t) P m(t)p m (t)] =, ou sej, se n m, P n, P m = P n, P n = 2/(2n + 1). 1 1 P n (t) P m (t) dt =. Além disso, temos que

47 II Colóquio de Mtemátic d Região Sul 47 EXERCÍCIOS (I) Determine os utovlores e s utofunções dos seguintes problems de Sturm- Liouville no intervlo e com s condições dds. [1] y (x) + y (x) + λ y(x) =, em [, 1], com y() = y(1) =. [2] y (x) + λ y(x) =, em [, 1], com y() = e 3 y(1) + y (1) =. [3] y (x) + λ y(x) =, em [, 1], com y () = y(1) =. [4] x 2 y (x) + 3 x y (x) + λ y(x) =, em [1, e], com y(1) = y(e) =. [5] y (x) + 2 y (x) + (λ + 1) y(x) =, em [, 5], com y() = y(5) =. [6] x 2 y (x) + xy (x) = λ y(x) =, em [1, e π ], com y(1) = y(e π ) =. [7] x 2 y (x) + x y (x) + 9 λ y(x) =, em [1, e], com y (1) = e y(e) =. (II) Encontre o desenvolvimento em série d solução dos seguintes problems em termos ds utofunções do sistem de Sturm - Liouville ssocido. (1) y (x) = x (x 2 π), com y() = e y (π) =. (2) y (x) = f(x), com y() = y(π) =, sendo { x, se x π/2 f(x) = x π, se π/2 x π. (III) Pr h C([, 2 π]; R), discut o problem y (x) = h(x), y() = y(2π), y () = y (2π). (Sugestão Considere seprdmente os csos 2π h(x) dx = e 2π h(x) dx ).

48 48 O Problem de Sturm-Liouville RESPOSTAS: (I) λ n indic os utovlores e ϕ n s respectivs utofunções. [1] λ n = n 2 π (n = 1, 2, 3,..) e ϕ n(x) = e x/2 sen(n π x). [2] Os utovlores são s soluções positivs de tg( λ) = λ/3 e ϕ n (x) = sen( λ n x). [3] λ n = (n )2 π 2 (n =, 1, 2, 3...) e ϕ n (x) = cos((n + 1 )π x). 2 [4] λ n = n 2 π (n = 1, 2, 3...) e ϕ n (x) = x 1 sen(n π ln(x)). [5] λ n = n 2 π 2 /25 e ϕ n (x) = e x sen(nπ x/5). [6] λ n = n 2 (n = 1, 2, 3,...) e ϕ n (x) = sen(n ln(x)). [7] λ n = (2n 1) 2 π 2 /36 e ϕ n (x) = cos( (II) (1) y(x) = sen((2n + 1)x/2). π (2n + 1) 5 n= [ ] 4( 1) n+1 (2) y(x) = sen((2n 1)x). (2n 1) 4 π 2π (2n 1) π ln(x)). 2 (III) Se h(x) dx não existe solução. 2π Se h(x) dx = então y(x) = C + n cos(n x) + b n sen(n x), onde n = 1 π 2π h(x) cos(n x) dx e b n = 1 π onde C é um constnte rbitrári. 2π h(x) sen(n x) dx,

49 Cpítulo 3 A função de Green Um típico problem de vlor de fronteir pr equções diferenciis ordináris pode ser escrito n form de operdor L u = f. (3.1) Procurndo um solução u que stisfç ess equção e s condições de fronteir dds. Se D(L) é o espço ds funções stisfzendo s condições de fronteir, então o problem se reduz encontrr um solução de (3.1) em D(L). Um mneir de bordr o problem é procurr o operdor inverso L 1. Se for possível determinr L 1, então solução de (3.1) pode ser obtid por u = L 1 (f). Em muitos csos importntes isto é possível, e o operdor inverso é um operdor integrl d form [L 1 (f)](x) = G(x, t) f(t) dt. A função G é chmd função de Green 1 do operdor L. A existênci d função de Green e su determinção não é um problem simples. Vmos exminr o problem no cso do sistem de Sturm-Liouville regulr. Exemplo 3.1 Pr f C([, 1]), considere o problem 1 George Green ( ) y (t) = f(t), em [, 1], y() = y(1) =. 49

50 5 O Problem de Sturm-Liouville Integrndo equção diferencil y (t) = f(t) dus vezes e invertendo ordem de integrção, obtemos x [ s ] y(x) = f(t) dt ds + Ax + B x [ x ] = ds f(t) dt + Ax + B = x t (x t) f(t) dt + Ax + B. Usndo condição y() = obtemos B =. Usndo condição y(1) = obtemos ou sej, A = y(x) = = = 1 x x x = y(1) = 1 (1 t) f(t) dt + A, (1 t) f(t) dt. Logo, podemos escrever (x t) f(t) dt x (x t) f(t) dt t (x 1) f(t) dt + 1 x 1 x (1 t) f(t) dt x (1 t) f(t) dt x (t 1) f(t) dt. 1 Assim podemos escrever solução do problem n form x x (1 t) f(t) dt onde y(x) = 1 G(x, t) f(t) dt, G(x, t) = { t (x 1), se t < x, x (t 1), se x t 1. Vmos trblhr com hipótese de que λ = não é utovlor do problem de Sturm-Liouville. Ess hipótese implic que pr tod f C([, b]), o problem L [y] = f, F 1 [y] = e F 2 [y] = tem, no máximo, um solução.