NOTAS DE AULA. Cálculo Numérico. Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR - Professores: Lauro Cesar Galvão Luiz Fernando Nunes

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1 NOTAS DE AULA Cálculo Numérico Uiversidde Tecolóic Federl do Prá - UTFPR - Proessores: Luro Cesr Glvão Luiz Ferdo Nues

2 Ídice Cálculo Numérico Luro / Nues ii Noções ásics sore Erros - Erros - Erros Asolutos e Reltivos - Erro Asoluto - Erro Reltivo ou T de Erro - Erros de Arredodmeto e Trucmeto - Erro de Arredodmeto - Erro de Trucmeto - Aritmétic de Poto Flutute - 5 Coversão de Bses - 5 Coversão d Bse pr Deciml - 5 Coversão d Bse Deciml pr - 5 Eercícios: Coversão de Bses -6 6 Operções de Potos Flututes -7 6 Represetções -7 6 Eercícios -7 6 Eercícios complemetres -8 Zeros reis de uções reis - Itrodução - Fse I: Isolmeto ds rízes - Fse II: Reimeto - Critérios de Prd -5 Método d Bissecção ou Método d Dicotomi -5 Método do Poto Fio ou Método d Iterção Lier ou Método ds Aproimções sucessivs -8 Método de Newto Newto-Rpso ou Método ds Tetes -6 Comprção etre os métodos -9 Resolução de sistems de equções lieres - Itrodução - Form Aléric de S - Form Mtricil de S - Mtriz Aumetd ou Mtriz Complet do Sistem - Solução do Sistem - 5 Clssiicção de um Sistem Lier - 6 Clssiicção quto o Determite de A - Métodos diretos - Método de Elimição de Guss - Estrtéi de Pivotemeto Completo -5 Ftorção LU -7 Reimeto de Soluções - Métodos itertivos - Testes de prd - Método de Guss-Jcoi - Método de Guss-Seidel -7 Comprção etre os métodos -8 5 Critério de Ssseeld -5 Iterpolção -5

3 Luro / Nues iii Iterpolção poliomil -5 Eistêci e Uicidde do Poliômio Iterpoldor P -5 Form de Lre -5 Form de Newto -55 Estudo de erro iterpolção -56 Estimtiv pr o Erro -57 Iterpolção ivers: csos eistetes -58 Ecotrr tl que -58 P Iterpolção ivers -59 Fuções splie em iterpolção -6 Fução Splie -6 Splie lier iterpolte -6 Splie cúic iterpolte -6 5 Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos Itrodução Cso Discreto Cso Cotíuo Fmíli de Fuções Não Lieres os Prâmetros Iterção Numéric Fórmuls de Newto-Cotes Rer dos Trpézios Rer dos Trpézios repetid Rer / de Simpso Rer / de Simpso repetid Solução uméric de equções diereciis ordiáris Itrodução Prolem de vlor iicil PVI Solução uméric de um PVI de primeir ordem Método de Euler Métodos de Rue-Kutt Método de Euler Aprimordo Método de Rue-Kutt de Seud Ordem Fórmuls de Rue-Kutt de Qurt Ordem Reerêcis Bilioráics 8-95

4 Noções ásics sore Erros - Noções ásics sore Erros Feômeos d turez podem ser descritos trvés do uso de modelos mtemáticos PROBLEMA MODELAGEM: é se de oteção de um modelo mtemático que descreve o comportmeto do prolem que se quer estudr RESOLUÇÃO: é se de oteção d solução do modelo mtemático trvés d plicção de métodos uméricos Erros Pr se oter solução do prolem trvés do modelo mtemático erros são cometidos s ses: MODELAGEM e RESOLUÇÃO Clculr áre d superície terrestre usdo ormulção A = πr Aproimções ERROS: MODELAGEM: RESOLUÇÃO: MODELAGEM MODELO MATEMÁTICO RESOLUÇÃO SOLUÇÃO OBS : Crcterístics do plet Terr Crcterístics Físics: Diâmetro Equtoril: 756Km; Diâmetro Polr: 7Km; Mss: 598 K; Perímetro de Rotção Siderl: 56mi se; Iclição do Equdor Sore Órit: o 7 Crcterístics Oritis: Rio d Órit isto é UA uidde stroômic: Km; Distâci Máim do Sol: 5Km; Distâci Míim do Sol: 7Km; Período de Revolução Siderl: 65dis 6 9mi 95se; Velocidde Oritl Médi: 979Km/se Erros Asolutos e Reltivos Erro Asoluto É o módulo d diereç etre um vlor eto de um úmero e seu vlor proimdo EA = ode é o vlor eto e é o vlor proimdo Gerlmete ão se coece o vlor eto Assim o que se z é oter um limitte superior mjorte ou um estimtiv pr o módulo do erro soluto EA Luro / Nues

5 Noções ásics sore Erros Erro Reltivo ou T de Erro Erro reltivo de é o módulo do quociete etre o erro soluto EA e o vlor eto ou o vlor proimdo se ou ER = EA = ou ER = EA = Clculr os erros soluto e reltivo os ites e = 5 e = 9; = 5 e = 59 - Erros de Arredodmeto e Trucmeto Erro de Arredodmeto Arredodr um úmero cs d i é descosiderr s css d i+j j = de tl orm que: d i sej últim cs se d i+ < 5; d i + sej últim cs se d i+ 5 Arredodr π qurt cs deciml sedo que π = Erro de Trucmeto Trucr um úmero cs d i é descosiderr s css d i+j j = Aproimr trucdo qurt cs deciml sedo que π = Sedo-se que e pode ser escrito trvés d órmul io ç proimção de e trvés de um trucmeto pós qutro termos d somtóri e = i i! i= = +! +! + + < <! Aritmétic de Poto Flutute Um úmero é represetdo itermete máqui de clculr ou o computdor trvés de um seqüêci de impulsos elétricos que idicm dois estdos: ou ou sej os úmeros são represetdos se ou iári De meir erl um úmero é represetdo se por: Luro / Nues

6 Noções ásics sore Erros - Ode: = ± [ d β + d β + d β + + d t βt] βep d i são úmeros iteiros cotidos o itervlo d i < β; i = t; ep represet o epoete de e ssume vlores etre I ep S; I S limite ierior e limite superior respectivmete pr vrição do epoete; [ d + d + d + + d t β β β βt] é cmd de mtiss e é prte do úmero que represet seus díitos siiictivos; t úmero de díitos do sistem de represetção 6 Cosiderdo o sistem de se represete os seuites úmeros em ritmétic de poto lutute: 5; 5 OBS : Os úmeros ssim represetdos estão NORMALIZADOS isto é mtiss é um úmero etre e 7 Cosiderdo o sistem iário represete o úmero em ritmétic de poto lutute 5 Coversão de Bses 5 Coversão d Bse pr Deciml m i i i Um úmero se pode ser escrito se deciml como: m Ode: m i i ; m m m úmeros iteiros com e m Pr coversão z-se operção etre mtiss do úmero ormlizdo e se ep Nos eercícios seuir ç coversão d se idicd pr deciml determido o vlor d vriável 8 Luro / Nues

7 Noções ásics sore Erros Coversão d Bse Deciml pr Aplic-se um processo pr prte iteir e um outro pr prte rcioári PARTE INTEIRA N : N N N N N r q r q q r q Até que q q N r r r r r Covert 59 pr se Covert 59 pr se Luro / Nues

8 Noções ásics sore Erros -5 PARTE FRACIONÁRIA F : Multiplic-se F por e tom-se prte iteir do produto como o primeiro díito do úmero se Repete-se o processo com prte rcioári do produto tomdo su prte iteir Cotiu-se té que prte rcioári sej iul zero Nos eercícios seuir determir o vlor de : Luro / Nues

9 5 Eercícios: Coversão de Bses Trsorme pr se que se pede determie o vlor de Noções ásics sore Erros Trsorme medid 5 8 mi 8 se pr miutos DICA: 5:886 mi 9 Trsorme 585 ors pr ors miutos e seudos DICA: Luro / Nues

10 Noções ásics sore Erros -7 6 Operções de Potos Flututes 6 Represetções Precisão dupl: dor mtiss t ; O zero em poto lutute é em erl represetdo com o meor epoete ep possível máqui; Ao coverter um úmero pr determid ritmétic de poto lutute empre-se sempre o rredodmeto; Não é possível represetr todos os úmeros reis em determid ritmétic de poto lutute ret urd OBS : Um eemplo d ret urd é: Cosidere ritmétic de potos lututes com prâmetros e úmeros reis etre 57 e 58 que ão podem ser represetdos est ritmétic de potos lututes Por eemplo: 57 ou Eercícios t Tome os úmeros cosecutivos 57 e 58 Eistem iiitos Preecer tel seuir com se os prâmetros: 5 5 e 5 ep 5 Número Trucmeto Arredodmeto OBS : Deve-se coverter os vlores pr ritmétic de poto lutute com lrismos siiictivos Nos eercícios seuites clculr o vlor ds epressões utilizdo ritmétic de poto lutute com lrismos siiictivos t I S I Luro / Nues

11 Noções ásics sore Erros -8 OBS 5: distriutivs Em ritmétic de poto lutute ão vlem s proprieddes ssocitivs em 7 Sedo t e ep[55] clcule: 5 i ; i 5 6 Eercícios complemetres Nos eercícios seuites coverter os úmeros pr se deciml determido o vlor d vriável : 8 9 Luro / Nues

12 Noções ásics sore Erros -9 Nos eercícios seuites coverter os úmeros pr se iári determido o vlor d vriável : 7 Luro / Nues

13 Noções ásics sore Erros Determie com 6 díitos: 7 7 Determie com 8 díitos: 7 Luro / Nues

14 Zeros reis de uções reis Zeros reis de uções reis - Itrodução Dd um ução rel deiid e cotíu em um itervlo erto cm-se de zero dest ução em todo tl que Neste cpítulo são presetdos lus processos itertivos pr clculr de orm proimd os zeros reis de um ução rel dd Por um processo itertivo etede-se I I um processo que clcul um seqüêci de proimções d solução desejd O cálculo de um ov proimção é eito utilizdo proimções teriores Dizemos que seqüêci covere pr se ddo N N N úmeros turis tl que qulquer que sej Neste cso tem-se que o que tmém poderá ser idicdo por Nos processos itertivos que serão presetdos determição dos zeros de um ução rel de vriável rel será eit em dus etps: Fse I: Isolr cd zero que se desej determir d ução que cd itervlo deverá coter um e somete um zero d ução I em um itervlo [ ] sedo Fse II: Cálculo dos zeros proimdos utilizdo um método itertivo com precisão preid ou ão Fse I: Isolmeto ds rízes N Teorem Sej um ução cotíu um itervlo [ ] Se < etão eiste pelo meos um zero de etre e = lim OBS : So s ipóteses do teorem o zero será deiido e úico em [ ] se derivd ' eistir e preservr o sil detro do itervlo ] [ isto é se ' ] [ ou ' ] [ Isto siiic dizer que ução é estritmete crescete ou estritmete decrescete respectivmete o itervlo ] [ = Luro / Nues

15 Zeros reis de uções reis N pesquis dos zeros reis de uções reis é muito útil o uso do Teorem que orece codições de eistêci de zeros em um itervlo em como d OBS que rte uicidde isto é rte que o itervlo cosiderdo eiste um e somete um zero d ução Outro recurso stte empredo é: prtir d equção = oter equção equivlete e esoçr os ráicos dests uções otedo os potos ode s mesms se itersectm pois 8 Isolr os zeros d ução 9 Pode-se costruir um tel de vlores pr e lisr os siis: - = Luro / Nues

16 Zeros reis de uções reis - = Isolr os zeros d ução l Pode-se costruir um tel de vlores pr e lisr os siis: = 6 8 Luro / Nues

17 Zeros reis de uções reis - Isolr os zeros d ução 5 lo Pode-se costruir um tel de vlores pr e lisr os siis: Isolr os zeros d ução 5e Pode-se costruir um tel de vlores pr e lisr os siis: Luro / Nues

18 Zeros reis de uções reis -5 Fse II: Reimeto - Critérios de Prd Método d Bissecção ou Método d Dicotomi Este método é ormlmete utilizdo pr dimiuir o itervlo que cotém o zero d ução pr plicção de outro método pois o esorço computciol cresce demsidmete qudo se umet precisão eiid O processo cosiste em dividir o itervlo que cotém o zero o meio e por plicção do Teorem plicdo os suitervlos resulttes determir qul deles cotém o zero O processo é repetido pr o ovo suitervlo té que se ote um precisão preid Dest orm em cd iterção o zero d ução é proimdo pelo poto médio de cd suitervlo que cotém m m m Assim iur terior tem-se: m m m m m m Dest orm o mior erro que se pode cometer : iterção : é iterção : é Luro / Nues

19 iterção : é iterção: é Zeros reis de uções reis -6 Se o prolem eie que o erro cometido sej ierior um prâmetro determi-se qutidde de iterções ecotrdo o mior iteiro que stisz iequção: que se resolve d seuite meir: lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo Determir um vlor proimdo pr 5 com erro ierior Determir 5 é equivlete oter o zero positivo d ução = Portto 5 / Um tque de comprimeto L tem um secção trsversl o ormto de um semicírculo com rio r vej iur Qudo ceio de áu té um distâci do topo o volume V d áu é: V que L t precisão de t r t e V L 5r r rcse r r t Supodo ecotre proudidde d áu o tque com Luro / Nues

20 Zeros reis de uções reis -7 r Pode-se costruir um tel de vlores pr e lisr os siis: Pr se coirmr uicidde deste zero este itervlo pode-se utilizr OBS isto é clcul-se derivd itervlo ][ de pr veriicr que mesm preserv o sil o Assim / Luro / Nues

21 Aloritmo do Método d Bissecção de Sej isold em [ um ução cotíu em um itervlo [] com ] Zeros reis de uções reis -8 < e riz Ddos de Etrd: Potos etremos e do itervlo; precisão ou tolerâci e o úmero máimo de iterções ITMAX Síd: Solução proimd ou mesem de "solução ão ecotrd" com precisão desejd o úmero máimo de iterções PASSO Fç i FA= PASSO Equto i ITMAX eecute os pssos de 6 PASSO PASSO Fç Se FX ou e FX < etão Síd Procedimeto eecutdo com sucesso FIM PASSO 5 Fç i i PASSO 6 Se FA FX > etão ç e FA FX Cso cotrário ç PASSO 7 Síd Solução ão ecotrd com precisão eiid FIM Método do Poto Fio ou Método d Iterção Lier ou Método ds Aproimções sucessivs Neste método seqüêci de proimções do zero de um ução α = é otid trvés de um relção de recorrêci d orm: O poto será cosiderdo um proimção iicil do zero d ução e é um ução que tem como poto io isto é A primeir perut ser respodid é: dd um ução com zero como ecotrr um ução que te como poto io? Isto pode ser eito trvés de um série de mipulções lérics sore equção trsormdo- em um equção equivlete d orm Nests trsormções devem-se tomr os devidos cuiddos pr que estej deiid em e pr que perteç à imem de Como o zero é descoecido é ecessário determir um itervlo I que cote e que estej cotido tto o domíio quto imem de É ecessário que o zero de sej úico o itervlo I cso cotrário ão será possível discerir qul o zero determido Luro / Nues

22 = Zeros reis de uções reis -9 Poto io de Zero de Oter lums uções de poto io pr ução 6 Eetudo dieretes mipulções lérics sore equção 6 podem-se oter dieretes uções de poto io como por eemplo: ou No próimo psso lums dests uções serão utilizds tettiv de err seqüêcis proimdors dos zeros de 5 Aproimr o mior zero d ução 6 6 e 5 Neste cso órmul de recorrêci 6 utilizdo ução e pode-se costruir seuite tel: será: 6 Luro / Nues

23 = Zeros reis de uções reis - 6 = 6 6 Aproimr o mior zero d ução 6 e 5 Neste cso órmul de recorrêci 6 6 utilizdo ução e pode-se costruir seuite tel: será: 6 6 = = Luro / Nues

24 Zeros reis de uções reis - Assim os dois eercícios teriores mostrm que depededo d trsormção escolid relção de recorrêci pode ou ão orecer um { } seqüêci coverete Dest orm como determir priori quis trsormções orecerão seqüêcis coveretes? As iurs que seuem ilustrm lus csos ode ocorrem coverêci e lus csos ode ão ocorre coverêci A seqüêci covere pr o zero Coverêci do tipo escd = A seqüêci covere pr o zero Coverêci do tipo crcol = A seqüêci ão covere pr o zero = Luro / Nues

25 A seqüêci ão covere pr o zero = Zeros reis de uções reis - O Teorem que seue estelece codições suicietes pr rtir coverêci do processo itertivo OBS : ução Como s codições que o teorem que seue são pes suicietes dd um que ão stisç ests codições ão se pode rtir que seqüêci erd divere Coverêci do Método ds Aproimções Sucessivs Teorem Sej um zero de um ução isold em um itervlo I[] e sej um ução tl que i ii ' e m I Se: são uções cotíus em I; I ' I iii e pr = Etão seqüêci covere pr o zero OBS : Pr se resolver um prolem com o método ds proimções sucessivs utiliz-se o teorem terior d seuite orm: iicilmete determi-se um itervlo I ode o zero de estej isoldo e um ução que te como poto io Alisdo e ' pode-se veriicr se s codições i e ii do Teorem estão stiseits Ests codições podem ão estr stiseits pelo to do itervlo ter sido superdimesiodo Neste cso procur-se por um itervlo stiszedo s codições do teorem N demostrção do Teorem que pode ser vist em HUMES A Flor C et l Noções de Cálculo Numérico São Pulo: McGrw-Hill p 6 98 tem-se que s codições i e ii rtem que se etão < Etretto isto ão implic que I Um meir simples pr rtir que I como vlor iicil o etremo de I mis próimo do zero N seqüêci será mostrdo que este cso : Supodo que sej o etremo de mis próimo de temse: < I I loo que o etremo de I mis próimo de OBS : I I I I é tomr A demostrção é álo pr o cso em A codição iii do Teorem pode ser sustituíd por: iii o zero é o poto estão stiseits s codições médio do itervlo I N verdde se pr o itervlo I i e ii do Teorem e se estiver mis próimo de do que de etão deotdo Luro / Nues

26 por r tem-se que pr qulquer id pr todo I tem-se que I r s codições do teorem eiste I I Zeros reis de uções reis - ipótese iii do teorem é veriicd Mis I I tl que qulquer que sej OBS 5: A determição do etremo de mis próimo do zero pode ser eito d seuite meir: Supomos stiseits s ipóteses i e ii do Teorem Nests codições sej ˆ próimo de do que ˆ Se poto médio do itervlo ˆ < ˆ mis próimo de Alomete se Se ˆ etão ˆ é o zero procurdo ˆ etão está etre ˆ > ˆ etão ˆ I Se-se que e ou sej ˆ está mis é o etremo de é o etremo de I mis próimo de I Este é o cso em que é o etremo mis próimo de OBS 6: Sejm ddos e etão m I ' stiszedo s ipóteses do teorem terior Se Dest orm otém-se um limitte superior pr o erro cometido -ésim iterção 7 Veriicr s codições i e ii do teorem terior qudo do uso d ução 6 Veriicção d codição i: o eercício úmero 5 Veriicção d codição ii: Loo 8 Veriicr s codições i e ii do teorem terior qudo do uso d ução 6 Veriicção d codição i: Luro / Nues

27 Veriicção d codição ii: Zeros reis de uções reis - Loo Aloritmo do Método ds proimções sucessivs Pr ecotrr um solução pr p p dd um proimção iicil p Ddos de Etrd: Aproimção iicil máimo de iterções ITMAX p precisão ou tolerâci e o úmero Síd: Solução proimd p ou mesem de solução ão ecotrd PASSO Fç i PASSO Equto i ITMAX eecute os pssos 6 PASSO Fç clculr PASSO Se < etão OBS 7: p p p p p p i Síd procedimeto eetudo com sucesso FIM PASSO 5 Fç i i + PASSO 6 Fç p tulize PASSO 7 Síd solução ão ecotrd pós ITMAX iterções FIM p p p p Outros critérios de prd podem ser utilizdos: p p p p 9 Ecotrr o zero de poto io e com precisão 6 utilizdo o método do Pode-se costruir um tel de vlores pr e lisr os siis: Luro / Nues

28 Zeros reis de uções reis -5 5 = e = Procurdo um ução de poto io dequd pode-se zer: Veriicdo s ipóteses i e ii do Teorem : Luro / Nues

29 Zeros reis de uções reis -6 Portto = Método de Newto Newto-Rpso ou Método ds Tetes Este método é um prticulridde do método ds proimções sucessivs A idéi é costruir um ução pr qul eist um itervlo cotedo o zero ode φ < Est costrução é eit impodo Como deve ser um ução cotíu eiste sempre um viziç I de ode m' < Oteção d ução dd por: A + : A orm mis erl de equivlete ode é um ução cotíu tl que Escole-se de orm que Derivdo-se equção terior otém-se Clculdo est derivd o poto otém-se: Supodo que α ' pr que ' deve-se ter A = Assim um escol stistóri pr A A = será portto: ' Sustituido um vez que A equção iicil tem-se: ' Assim o processo itertivo de Newto é deiido por: ' OBS 8: A é válid mesmo que ' um vez que Iterpretção Geométric do Método de Newto O poto é otido trçdo-se tete o ráico d ução o poto A itersecção d ret tete com o eio ds scisss orece ov proimção ' ' I A A ' ' A Est iterpretção justiic o ome de método ds tetes é ' A ' A ' A' Luro / Nues

30 Zeros reis de uções reis -7 + t ' ' Coverêci do Método de Newto Teorem Sej dus vezes diereciável com cotíu Supo que: i ii iii ão troc de sil em Etão seqüêci erd pels iterções do método de Newto-Rpso utilizdo ução que equivle covere pr o úico zero de ' isoldo em se or escolido coveietemete OBS 9: Pr se escoler o poto iicil pode-se por eemplo zer se ou cso cotrário Aloritmo do Método de Newto Pr ecotrr um solução pr = dd derivd de e um proimção iicil ' ] : [ '' ' p Ddos de Etrd: Aproimção iicil máimo de iterções ITMAX precisão ou tolerâci e o úmero Síd: Solução proimd p ou mesem de solução ão ecotrd PASSO Fç i = PASSO : Equto i ITMAX eecute os pssos 6 PASSO Fç clculr PASSO Se < etão p p p p p/ ' p Síd p procedimeto eetudo com sucesso FIM PASSO 5 Fç i = i " p p i Luro / Nues

31 OBS : PASSO 6 Fç =p tulize Psso 7: Síd solução ão ecotrd pós ITMAX iterções FIM p p p p Outros critérios de prd podem ser utilizdos: Zeros reis de uções reis -8 p p p p OBS : O Método de Newto irá lr se pr lum 5 Ecotrr solução pr equção = cos Pode-se costruir um tel de vlores pr com precisão 6 e lisr os siis: ' p = =cos - Luro / Nues

32 Zeros reis de uções reis -9 Portto = Comprção etre os métodos Nos eercícios seuites cosiderdo cd método especiicdo determie um proimção pr o zero d ução 5 Pelo método d Bissecção determie um proimção pr d ução = e cos com proimção Loo tl que / / Luro / Nues

33 Zeros reis de uções reis 5 Pelo método do Poto Fio ou Aproimções Sucessivs determie um proimção pr d ução = e cos com proimção ε = ε = tl que < ε ou + < ε Utilize 5-5 Loo Prd 5 Pelo método de Newto-Rpso determie um proimção pr d ução = e cos com proimção tl que ou + < ε Utilize 5 Loo Prd Luro / Nues

34 Resolução de sistems de equções lieres - Resolução de sistems de equções lieres Itrodução Vários prolems como cálculo de estruturs de redes elétrics e solução de equções diereciis recorrem resolução uméric de um sistem lier de equções com icóits S Form Aléric de S S ou S j ij j i i Form Mtricil de S A A Ode: mtriz dos coeicietes; vetor ds icóits ou vetor solução; vetor dos termos idepedetes Mtriz Aumetd ou Mtriz Complet do Sistem B [ A ] Solução do Sistem 5 Clssiicção de um Sistem Lier COMPATÍVEL: preset soluções; INCOMPATÍVEL: cso cotrário T Luro / Nues

35 6 Clssiicção quto o Determite de A det A det A OBS : Resolução de sistems de equções lieres SPD sistem lier possível e determido SOLUÇÃO ÚNICA; SPI ou SI: mtriz A SPI Sistem possível e idetermido SI Sistem impossível Se i i é SINGULAR sistem omoêeo é comptível pois dmite sempre solução TRIVIAL - isto é se o sistem é dito HOMOGÊNEO Todo A solução é cmd Métodos diretos São métodos que determim solução de um sistem lier com um úmero iito de operções Deiição: Dois sistems lieres são equivletes qudo possuem mesm solução Método de Elimição de Guss Com pssos o sistem lier é trsormdo um sistem triulr superior equivlete Tome como ipótese U c o que se resolve por sustituição [ A ] [U c ] A det A u u u c c c u u A u 5 Resolver o sistem S com S 5 Etp : em B tome L i clculm-se os multiplicdores com i como s lis de m i i B e como pivô e Luro / Nues

36 Resolução de sistems de equções lieres - Etp : Repete-se o processo pr o próimo pivô situdo diol d mtriz Em B tome L i com i e como pivô B Método compcto pr TRIANGULAÇÃO U c : Li Multiplicdor m Mtriz Aumetd Trsormção - 5 m B = - m = - - B m = B As lis cotedo os pivôs ormm o sistem U c Luro / Nues

37 55 Resolver o sistem umetd S A S Resolução de sistems de equções lieres com rredodmeto em dus css decimis mtriz Li Multiplicdor m Mtriz Aumetd B m = m m m = m m = = = = B B B Etão A U c [ A ] [U c ] - U c Loo: Cálculo do Resíduo Um medid pr vlir precisão dos cálculos é o resíduo que é ddo por: r A 56 Com se o eercício terior clculr o resíduo r r A do sistem A r Luro / Nues

38 Aloritmo de Elimição de Guss Sej o sistem A com A etp Resolução de sistems de equções lieres Sempre supor que TRIANGULARIZAÇÃO: A U Pr Pr i FIM FIM m i Pr FIM i j ij ij m i i m j RESOLUÇÃO DO SISTEMA U Pr FIM s Pr FIM j s s s j j c e c -5 Estrtéi de Pivotemeto Completo No mometo de se clculr o multiplicdor se o pivô estiver próimo de zero o método pode mplir os erros de rredodmeto Pr se cotorr estes prolems escolese como pivô MAX com i j ij Ddo A tome B [ A ] B Sej multiplicdor p p pq ij q q pq q MAX i iq miq elemetos ij d colu q trvés d operção: pq p p m i j o pivô d li p Etão clcul-se o em cd li i p com i Assim ulm-se os Luro / Nues

39 L i m iq L p L i p Resolução de sistems de equções lieres Elimido-se li pivotl repete-se o processo té que se ote cojutos de operções elemetres plicds sore B ode L i -6 com S 57 Resolv com rredodmeto em dus css decimis utilizdo elimição de Guss com pivotemeto completo Li Multiplicdor m Mtriz Aumetd S A m m m m m m = = B = = = = B B B Etão A U c [ A ] [U c ] U c Luro / Nues

40 Resolução de sistems de equções lieres Ftorção LU Tod mtriz ão siulr dmite um decomposição em dus mtrizes triulres um superior e outr ierior Quem rte esse resultdo é o teorem io Teorem de Guss Sej A um mtriz qudrd de ordem tl que det A Sejm U um mtriz triulr superior U = { u ij se i j se i > j e L um mtriz triulr ierior com diol uitári se i < j L = { se i = j l ij se i > j Etão eiste e é úic decomposição A = LU ode U é mtriz resultte do processo de elimição ussi e l ij = m ij multiplicdores de lis sem troc de sil Apresetmos como eemplo: A = = 6 7 A se do método de Decomposição LU tmém coecido como método Ftorção cosiste resolução de sistems triulres Sej o sistem lier A = Supor que sej possível torr mtriz A dos coeicietes: A = LU Nests codições o sistem A = pode ser reescrito orm LU = o que permite o desmemrmeto em dois sistems triulres: L = e U = Resolvedo o primeiro sistem clculmos que usdo o seudo sistem orecerá o vetor procurdo Dess meir coecids L e U o sistem será resolvido com operções dois sistems triulres o que represet um o sustcil comprdo com s operções do método d elimição de Guss Cálculo dos Ftores L e U: Os tores L e U podem ser otidos trvés de órmuls pr os elemetos l ij e u ij ou etão podem ser costruídos usdo idei ásic do método d Elimição de Guss Veremos seuir trvés de um eemplo como oter L e U trvés do processo de Guss 58 Decompor mtriz A usdo Decomposição LU A = Clculdo o m ij e u ij usdo o processo de Guss m ij sem troc de sil temos: Pr Colu d mtriz A : A=A = Pivô = = L U -7 Multiplicdores: m = m = Luro / Nues

41 Resolução de sistems de equções lieres Etão: L L ; L m L + L L m L + L -8 A = Pivô = = Multiplicdores: m = Etão: L L ; L L L m L + L A = Os tores L e U são: A = L U = = Vmos proveitr o Eercício cim pr resolver um sistem de equções lieres trvés d Decomposição LU 59 Resolv o sistem lier seuir usdo Decomposição LU Ftorção + = { + = + = Loo = = Luro / Nues

42 Resolução de sistems de equções lieres 6 Resolv o sistem lier seuir usdo torção LU: + + = { + + = + + = 5-9 = 6 Resolv o sistem lier seuir usdo torção LU: z = { + 7 z = 78 + z = 5 Luro / Nues

43 Resolução de sistems de equções lieres - = 6 Cosidere mtriz A = Clcule torção LU de A 5 Usdo torção LU clcule o determite de A Luro / Nues

44 Resolução de sistems de equções lieres - 6 Aplicdo-se o método d decomposição LU mtriz:??? A = 8? 5 Otiverm-se s mtrizes:????? 5 L =??? e U =??????? Preec os espços potildos com vlores dequdos Luro / Nues

45 Resolução de sistems de equções lieres - A = U = L = Luro / Nues

46 Reimeto de Soluções Sej plicdo-se correção solução proimd pr Se A A A A A A Otido o A r etão em Assim clcul-se Resolução de sistems de equções lieres A vem de [ A Otém-se solução melord Repete-se o processo pr se oter té que se te precisão desejd Loo otém-se o reimeto de orm itertiv pel seuite equção: i i i com i 6 Cosiderdo respost do eercício ç o reimeto de té que se ote o resíduo A r r r = cosiderdo precisão dupl T A REFINAMENTO: [ A r r ] qutro css decimis T A r [ A r ] ] Li Multiplicdor m Mtriz Aumetd B m = m = m = m = m = B B m = B Cosiderdo css decimis: - Luro / Nues

47 Resolução de sistems de equções lieres - [ A r ] Etão: [ A r ] Como: r Loo A Métodos itertivos A solução de um sistem de equções lieres A pode ser otido resolvedo de orm itertiv o sistem equivlete d orm ode F é um mtriz e vetores Isto pode ser eito tomdo d F é o vetor iicil d F d ode M e M F d é o úmero máimo de iterções e Testes de prd O processo itertivo er proimções té que: má i > M i i sedo tolerâci; ou sedo M o úmero máimo de iterções Método de Guss-Jcoi A Adptção de F d A pr F d : OBS : Pr o sistem F d é ecessário que ii i Cso isto ão ocorr o sistem A deve ser rerupdo Luro / Nues

48 Resolução de sistems de equções lieres Luro / Nues -5 Assim órmul recursiv d F é dd orm mtricil por: ou id F d o que é equivlete : 65 Resolv o sistem seuir utilizdo o método de Guss-Jcoi com e A F d F e d Neste cso órmul de recorrêci ic: F d

49 Resolução de sistems de equções lieres -6 m i i Com Critério ds lis T i e o processo coveriu com iterções pr: Um codição suiciete ms ão ecessári pr rtir coverêci do método de Guss-Jcoi plicdo o sistem com é A ii i ij j ji ii i Neste cso mtriz dos coeicietes ds icóits domite A é dit estritmete diol 66 Veriicr se o critério ds lis é stiseito o sistem de equções A A A que seue: Loo mtriz dos coeicietes A é estritmete diol domite o que rte coverêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ordem de equções e icóits Luro / Nues

50 Resolução de sistems de equções lieres Luro / Nues Veriicr se o critério ds lis é stiseito o sistem de equções A que seue: A A Loo mtriz dos coeicietes A ão é estritmete diol domite Isto siiic que ão é rtid coverêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ordem de equções e icóits Ms permutdo dequdmete s equções do sistem otém-se o sistem equivlete: A Loo est ov mtriz dos coeicietes A é estritmete diol domite o que rte coverêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ov ordem de equções e icóits Método de Guss-Seidel É semelte o método de Guss-Jcoi com diereç de utilizr i i < p pr o cálculo de p Dest orm s equções recursivs icm:

51 Resolução de sistems de equções lieres 68 Resolv o sistem seuir utilizdo o método de Guss-Seidel com A 5 Neste cso órmul de recorrêci ic: m i i - Com T i e o processo coveriu com iterções pr: e -8 Comprção etre os métodos 69 Resolv o sistem 5 A 5 A e utilizdo o método de Guss-Jcoi com F e d F d Neste cso órmul de recorrêci ic: Luro / Nues

52 Resolução de sistems de equções lieres -9 m i Com T i i e 5 o processo coveriu com iterções pr: 7 Resolv o sistem 5 A 5 A utilizdo o método de Guss-Seidel com 6 Neste cso órmul de recorrêci ic: 5 6 m i - Com T i i e 5 o processo coveriu com iterções pr: e Luro / Nues

53 5 Critério de Ssseeld Resolução de sistems de equções lieres Um codição suiciete pr rtir coverêci do método de Guss-Seidel plicdo o sistem com é M sedo ode: OBS : i stiseito j i A j ii ij j ij ii j ji i i M m i i -5 Se o critério ds lis é stiseito etão o critério de Ssseeld tmém será 7 Veriicr se o critério de Ssseeld é stiseito o sistem de equções A que seue: A A 5 7 [ ] 5 7 ] [ ] Etão M [ [ ] m i i m { 6 5 ; ; ; } Loo o critério de Ssseeld está stiseito o que rte coverêci do método de Guss-Seidel plicdo este sistem Luro / Nues

54 Resolução de sistems de equções lieres 7 Veriicr se o critério de Ssseeld é stiseito o sistem de equções seue: A Com est disposição de lis e colus tem-se que: ] [ 9 A que -5 ] [ ] [ ] [ Etão M m i i Luro / Nues

55 Iterpolção Iterpolção -5 Iterpolção poliomil Um ução potos pode ser coecid por um cojuto iito e discreto de 5 5 P i i Pr se INTERPOLAR os potos otidos d tel é utilizdo um poliômio de tl orm que: P i i pr i P Eistêci e Uicidde do Poliômio Iterpoldor P Teorem i = desde que Tome P i Eiste um úico poliômio i i i j i i j i i otém-se: P de ru tl que: P pr i Desevolvedo o sistem i i i Dí retir-se mtriz dos coeicietes A pr se clculr s icóits A i i com Luro / Nues

56 o A é um mtriz de VANDERMONDE e sedo det A Assim o sistem dmite solução úic OBS : det A ENTÃO: O poliômio P eiste e é úico i Iterpolção -5 com i potos distitos det A i j i j Form de Lre Sej um ução teld em potos distitos poliômios de Lre de ru ode L i é ddo por: L i j j i j ji de tl orm que L i se se i i e sej L i 7 Determie i i L L i L L L L L L L i pr i e L L L L Pr P i i com temos: ili i i L i L i i i i Luro / Nues

57 A orm de Lre pr o poliômio iterpoldor é: P i L i i ou i i P j j i j ji Iterpolção -5 7 Iterpolr o poto 5 tel io empredo o poliômio iterpoldor de Lre i i i P L i L L L é o ru máimo de ili i j L Loo: P j j i i j P P L L L L P P 5 P P 5 P 5 P 8 - Luro / Nues

58 Form de Newto A orm de Newto pr o poliômio + potos distitos é seuite: P [ Ode [ [ [ [ [ potos [ ] [ ] ] [ ] [ ] ] ] [ P [ ] [ ] ] ] que iterpol [ ] [ ] ] [ [ ] [ ] ] é DIFERENÇA DIVIDIDA de ordem Tel Prátic DIFERENÇAS DIVIDIDAS ] Iterpolção em d ução -55 ORDEM sore os ordem ordem ordem ordem ordem [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ ] ] [ ] [ [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ ] ] [ [ ] [ ] ] ] Luro / Nues

59 Iterpolção 75 Iterpolr o poto 5 tel io empredo orm de Newto i i i é o ru máimo de P ordem ordem ordem ordem Tel de diereçs dividids: -56 P [ ] [ ] [ ] [ ] P P P Estudo de erro iterpolção Sejm pr E pertecete o itervlo [ potos Sej ] Sej P o poliômio iterpoldor de os potos Etão em qulquer poto pertecete o itervlo [ E P ode! com derivds té ordem ] o erro é ddo por: Est órmul tem uso limitdo pois são rrs s situções em que coecid e o poto uc é coecido é Luro / Nues

60 Estimtiv pr o Erro escrever: Utilizdo equção terior sedo E E i P i M! ode Iterpolção -57 cotíu em I [ ] pode-se M m I Ao se costruir tel de diereçs dividids té ordem pode-se usr o mior vlor em módulo dest ordem como proimção pr Etão: E sedo Dd i i m Dd M! o itervlo os vlores d tel de diereçs dividids de ordem 76 Sej dd em orm de tel de vlores como seue: Oter usdo um poliômio de ru ; Dr um estimtiv pr o erro Tel de diereçs dividids: ordem ordem ordem ordem I [ ] Deve-se escoler potos próimos de 7 pr oteção de P P [ ] [ [ ] P P P 7 7 E 7 ] Luro / Nues

61 E 7 Iterpolção Prove iuldde seuite P ordem ordem [ ] [ ] [ ] [ ] P P [ ] P [ ] [ ] Iterpolção ivers: csos eistetes O prolem d iterpolção ivers cosiste em: ddo oter tl que São dus s orms de se oter A primeir é ecotrr tl que P seud é zer própri iterpolção ivers utilizdo pr isso os vlores de Ecotrr que OBS : Oter tl que P P que iterpol em otido dest orm ão permite se estimr o erro ; A e em seuid ecotrr tl Luro / Nues

62 78 Ecotre tl que pel tel io: Iterpolção Fzedo iterpolção lier por P P 6 e 7: -59 Iterpolção ivers Se or iversível um itervlo cotedo Codição pr iversão de um itervlo [ ] Ddo cotíu em : etão e moóto decrescete se etão é cotíu e moóto crescete decrescete será dmitid moóto crescete se Respeitds s codições dds cim será otido o poliômio sore [ 79 Cosidere tel seuir: e ] P que iterpol Oter tl que 65 usdo um processo de iterpolção qudrátic Usr orm de Newto pr oter Costruir tel de diereçs dividids e P ordem ordem ordem ordem Luro / Nues

63 P [ P P 65 ] [ ] [ Iterpolção ] -6 e Assim Erro cometido: E 65 N clculdor 659 M! E 65 M m ''' [ ] o Cso: E o Cso: M! 65 pode ser proimdo por e tel de diereçs dividids de ordem E l Loo: M E 65 Fuções splie em iterpolção i Cosidere 5 No ráico io pode ser oservd ução i teld o itervlo [] os potos i com e o poliômio P que iterpol o cojuto discreto de potos pr P - - Luro / Nues

64 Em certos csos proimção por P Iterpolção -6 pode ser desstros Um ltertiv é iterpolr em rupos de poucos potos otedo-se poliômios de rus meores e impor codições pr que ução de proimção sej cotíu e te derivds cotíus té um cert ordem Fução Splie Cosidere ução Um ução S p teld os potos é deomid SPLINE DE GRAU com i se stisz s seuites codições: Em cd suitervlo [ represetdo por i s i i] com i S p é cotíu e tem derivd cotíu té ordem S p i i Nestes termos com i Splie lier iterpolte s i É represetd por S p p com ós os potos é um poliômio de ru p em [ S p é deomid SPLINE INTERPOLANTE S S pode ser escrit em cd suitervlo [ S i i i i i i i i [ i i deiid dess orm stisz s codições e i i ] ] com i como: ] 8 Acr ução splie lier que iterpol ução teld seuir Pel deiição pode-se deiir splies lieres pr os potos: s e s s 5 s s s s [ ] s s i p Luro / Nues

65 s Iterpolção -6 s s s [ ] s Etão o itervlo [ ][7] splie lier s S é dd por: [ ] S Splie cúic iterpolte É represetd por S A splie lier tem derivd primeir descotíu os ós A splie qudrátic tem derivds cotíus té ordem portto pode ter picos ou troc rupt de curvtur os ós A splie cúic cotíus que z S é mis utilizd por ter derivds primeir e seud S ser mis suve os ós S Supo dd por S i com i Tome como splie cúic de ru deiidos em cd suitervlo por S deve stiszer s 5 iulddes seuites: S s s s S i s i s s s pr [ com i Em cd itervlo [ ] os ós s ] s i cso eistm poliômios de com Etão splie cúic será dd por: s c com São coeicietes pr cd à serem determidos Tome otção pr d Codição : é stiseit pel deiição de s Pr codição tem-se s equções: d s Luro / Nues

66 s c Codição pr s d Iterpolção -6 s c Pr s codições e tome s derivds: d c 5 6 s 6 Pr s Assim o coeiciete é ddo por: 7 s Pr s s s 6 Impodo codição 6 s 6 s s otém-se: 8 s s 6 com s N oteção de c utilizm-se s equções e 5: c c c Dí c d s pode ser ddo por: ritrári 9 d s 6 sustituido e s otém-se: c s s N oteção dos coeicietes tome 6 e s c 6 6 d Luro / Nues

67 que: Impodo últim codição Pr c c s c + c s etão: c c s com Iterpolção -6 coclui-se c Fzedo-se lums sustituições trvés ds equções e : 6 Dí ce-se equção 5: com 5 A equção 5 é um sistem de equções lieres A ode A A ordem do sistem é: e Pel vrição de o sistem A é idetermido Pr se resolver o sistem de orm úic é ecessário impor mis dus codições presetds s três ltertivs seuir Splie Nturl os etremos " S " S S é proimdmete lier Nos etremos S é proimdmete práol Nos etremos é dd um iclição I e I pr ' S ' S I I s s I I c I S c Ns ltertivs e são elimids dus vriáveis e SPD sedo que o sistem é ddo ordem: e A I N ltertiv são crescetds dus equções Assim A que o sistem é ddo ordem: A e Assim A é é SPD sedo Luro / Nues

68 8 Ecotrr um proimção pr tel: Iterpolção 5 por splie cúic turl iterpoldo loo procur-se s s s e s Splie Nturl Utilizdo 5 seue que: 6 Desevolvedo o sistem A : Etão A Splie Nturl Form erl de 5 6 s i s 5 s i i i i i c i i d i com i c d c d Loo s 5 6 s 5 5 Luro / Nues

69 Iterpolção -66 Cosiderdo os próimos 5 eercícios ecotrr um proimção pr splie cúic turl iterpoldo tel: por loo procur-se s s s e s Do eercício terior orm erl de s i é dd por: s i i i i i c i i d i com i c d Loo s 6 s 8 s 8 c d Loo s c d 6 c s s d Luro / Nues

70 Iterpolção c d Loo 6 s 6 s s 85 c d Loo 6 s 6 s s c d c d s 7 c d 6 Loo s 7 s 7 6 c d 7 Luro / Nues

71 Iterção Numéric Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5 Itrodução Um orm de se trlr com um ução deiid por um tel de vlores é iterpolção Cotudo iterpolção pode ão ser coselável qudo: É preciso oter um vlor proimdo d ução em lum poto or do itervlo de telmeto etrpolção Os vlores teldos são resultdo de eperimetos ísicos pois estes vlores poderão coter erros ieretes que em erl ão são previsíveis Sure etão ecessidde de se justr ests uções telds um ução que sej um o proimção pr s mesms e que os permit etrpolr com cert mrem de seurç Assim o ojetivo deste processo é proimr um ução por outr ução escolid de um míli de uções em dus situções distits: Domíio discreto: qudo ução é dd por um tel de vlores Domíio cotíuo: qudo ução é dd por su orm lític = Luro / Nues

72 5 Cso Discreto com Iterção Numéric O prolem do juste de curvs o cso em que se tem um tel de potos: tis que ução m [ ] cosiste em: escolids cotíus em [ ] oter m m uções cotíus costtes 5-69 se proime o máimo de Este modelo mtemático é lier pois os coeicietes que devem ser determidos precem liermete emor s uções possm ser ão lieres Sure etão primeir perut: Como escoler s uções cotíus? Est escol pode ser eit oservdo o ráico dos potos teldos dirm de dispersão ou sedo-se em udmetos teóricos do eperimeto que oreceu tel Sej o desvio em m d d O método dos míimos qudrdos cosiste em escoler os coeicietes de tl orm que som dos qudrdos dos desvios sej míim isto é: m [ o máimo de ] Assim os coeicietes F m deve ser míimo são os que miimizm ução: m [ ] = que zem com que [ ] se proime d Pr isto é ecessário que: F j F j j isto é: Luro / Nues

73 Iterção Numéric Luro / Nues 5-7 m j ] [ ] [ j ou Assim tem-se o seuite sistem de equções lieres com icóits : Que é equivlete : As equções deste sistem lier são cmds de equções ormis Este sistem pode ser escrito orm mtricil : ode tl que ou sej é um mtriz simétric; e é tl que Lemrdo que ddos os vetores e o úmero rel é cmdo de produto esclr de por e usdo est otção o sistem orml tem-se: e ode: é o vetor e m j ] [ ] [ j m m m ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ m m m m m m m m m A A ij ij m j i m ji i j A T ] [ T ] [ m i i m m A j i ij i i l T m l l l l ] [

74 é o vetor Dest orm o sistem orm mtricil ic: Demostr-se que se s uções Iterção Numéric 5-7 orem tis que os det A vetores sejm liermete idepedetes LI etão e o sistem de equções é possível e determido SPD Demostr-se id que solução úic deste sistem é o poto em que ução F tie seu vlor míimo OBS : se i j Se os vetores i j e se i j i diol o que cilit resolução do sistem j orem ortoois etre si isto é se mtriz dos coeicietes A 87 Reressão Lier Ajustr os ddos d tel io trvés de um ret i i i Fzedo [ ] m T e cosiderdo A será um mtriz e tem-se: Assim ret que melor se just os vlores d tel terá coeicietes são solução do seuite sistem orm mtricil: [ [ ] T ] T [ ] T Assim e que Loo equção d ret procurd é: Luro / Nues

75 88 Ajustr os ddos d tel trvés d práol i i i : Iterção Numéric Fzedo e cosiderdo otém-se Assim pr se oter práol que melor se just os potos d tel será ecessário ecotrr [ do sistem: [ ] T - ] T Assim Loo equção d práol procurd é: 89 Ajustr os ddos d tel io por um poliômio do seudo ru i i 9 i Neste cso tem-se que: e Luro / Nues

76 [ [ [ [ ] T ] T ] T ] T Iterção Numéric Assim 5-7 Loo equção d práol procurd é: 5 Cso Cotíuo No cso cotíuo o prolem de juste de curvs cosiste em: dd um ução cotíu em [ ] e escolids s uções tods cotíus em [ ] determir costtes de modo que ução = α + α + α + + α se proime o máimo de o itervlo [ ] Seuido o critério dos míimos qudrdos pr o coceito de proimidde etre e os coeicietes serem otidos são tis que sej o meor possível Pr cr tl que [ ] d F F tome: Ecotrm-se os potos críticos de F : F j Ms F F j [ ] d [ ] d [ ] d d d d Luro / Nues

77 Ao desevolver F j j otém-se: d d d d d d Este é um sistem lier A de ordem A ij A tl que ij é SIMÉTRICA d i j ji ij e ji Iterção Numéric d d d tl que 5-7 i [ d i Usdo deiição de produto esclr de dus uções p e q o itervlo ] por p q p q d o sistem A ic: A ij i j e i i 9 Aproimr ução itervlo [] A por um poliômio do primeiro ru um ret o = isto é e A Loo: em [] Luro / Nues

78 9 Aproimr ução isto é e e o itervlo [] por um ret = Iterção Numéric 5-75 A Usdo o método de iterção por prtes em u : dv u v vdu e em [] Luro / Nues

79 Iterção Numéric Fmíli de Fuções Não Lieres os Prâmetros Em lus csos míli de uções escolids pode ser ão lier os prâmetros isto é ão é d orm m trvés de trsormções coveietes Eemplos: o o o l e l l e Fzedo e Dest orm G Fzedo l l G Dest orm G Fzedo Dest orm G e e G Nestes csos é preciso eetur um lierizção G tem-se: G sedo que G é lier os prâmetros tem-se: G sedo que G tem-se: G sedo que G é lier os prâmetros é lier os prâmetros e e e Luro / Nues

80 Iterção Numéric Ajustr os ddos d tel que seue por um ução d orm 5 7 Dest orm lierizdo ução eemplo terior tem-se: e e como o primeiro [ ] T [ ] T [ ]T Os prâmetros ssim otidos ão são ótimos detro do critério dos míimos qudrdos isto porque estmos justdo o prolem lierizdo por míimos qudrdos e ão o prolem oriil Portto os prâmetros e do eemplo são os que justm ução à ução o setido dos míimos qudrdos Não se pode irmr G l que os prâmetros e otidos de e são os que justm à detro do critério dos míimos qudrdos e Luro / Nues

81 6 Iterção Numéric Se um ução coecid etão d F é cotíu em um itervlo [ F Iterção Numéric ] e su primitiv F 6-78 é ode F' Por outro ldo em sempre se tem F e em lus csos ução ser iterd é dd por meio de tel de potos Neste cso tor-se ecessári utilizção de métodos uméricos A idéi ásic d iterção uméric é sustituição d ução por um poliômio que proime o itervlo [ ] Assim o prolem ic resolvido pel iterção de poliômios o que é trivil de se zer 6 Fórmuls de Newto-Cotes [ ] Neste cso o poliômio que iterpol o z em potos iulmete espçdos de Fórmuls ecds: e d i determidos de cordo com o ru do poliômio proimdor A i i sedo A i coeicietes 6 Rer dos Trpézios p A iterl de = = = - = - o itervlo [ ] é proimd pel áre de um trpézio d com L A proimção de [ e L ] I T pel órmul de Lre é loo: p L L p Luro / Nues

82 Estimtiv pr o Erro p E Iterdo I T p p d d : p d " E Iterção Numéric! 6-79 E " d com " E T " d E T " ET E T ou " c c " d 6 c com c E T m [ ] " 5 OBS : d Clculr d usdo rer dos trpézios d IT Luro / Nues

83 O erro cometido será o máimo: Iterção Numéric 6-8 Loo E T 6 Rer dos Trpézios repetid A i d [ = = com A i sedo o úmero de sudivisões do itervlo [ A A - i ] A tl que Ai áre do trpézio i com i ] d [ i i ] 6 Estimtiv pr o Erro E TR Prove 7 tl que 9 Clculr 9 6 m [ ] 5 E TR " 7 ET d empredo o método dos trpézios com 8 repetições Determie um proimção pr o erro cometido Luro / Nues

84 Iterção Numéric 6-8 = = = = = 5 = 6 = 7 = 8 = d Erro cometido será o máimo: E TR Neste cso em prticulr pode ser iterd de orm et: d 95 Sej I e d Clcule um proimção pr dos trpézios repetid Estimr o erro cometido I usdo suitervlos e rer e d Erro cometido será o máimo: E TR 96 Sej I e repetid plicd em d Qul o úmero míimo de sudivisões pr rer dos trpézios I de modo que o erro sej ierior? 6 Rer / de Simpso É otid proimdo-se ução d equção por um poliômio iterpoldor de o ru p que é ddo pel órmul de Lre: p L L L Luro / Nues

85 tl que L i j j i i j j com i Iterção Numéric p 6-8 m p [ m d e d d = m= = p d ] Loo: d d d d [ ] 8 Estimtiv pr o Erro d p d R d ES R d '''! d 9 Luro / Nues

86 Mudç de Vriável z dz E S E S E S d z d dz ''' z 6 ''' z 6 6 Loo Etão: E S E S 5 ''' z z z z dz z z z dz z z z E S Isso quer dizer que R d z 5 E S 9 6 E S 6 ''' ''' z z z Iterção Numéric z z z z ão depede de z z z z dz com 5 R! z z dz z resíduo de o ru d z 6z z 6z dz E S 5 9 m [ ] 5 Cosiderdo 5 tem-se: E S 5 88 m [ ] Luro / Nues

87 6 Rer / de Simpso repetid Iterção Numéric 6-8 = 5 6 m - m = N iur tome i i i m Aplic-se rer de Simpso repetids vezes o itervlo [ Etão: d [ d m m [ são potos iulmete espçdos d ] [ m i - m [ i i ] [ i ] m m m pr m m ][ ] ] m m m ] é pr d m m i i m i i Estimtiv pr o erro: E SR ESR 5 9 m [ ] E SR 5 9 m [ ] Cosiderdo tem-se: ESR 5 88 m [ ] Luro / Nues

88 Iterção Numéric Sej I e d m Estime o erro cometido Clcule um proimção pr I usdo rer / de Simpso com e d Estimtiv do erro: ESR Oserve que E SR e E TR 98 Sej I e d Pr que vlor de m terímos erro ierior? m Pr um erro ierior serim ecessários Os: rer dos trpézios com repetição são ecessários 99 Sej I erro cometido 6 suitervlos itervlos lo d Aproime I com rer dos trpézios com 8 repetições Estime o i i i Luro / Nues

89 6 lod Estimtiv do erro: Iterção Numéric 6-86 E TR Sej I 6 o erro cometido lod Aproime I com rer de Simpso com 8 suitervlos Estime m e i i i 6 lod Estimtiv do erro: E SR Luro / Nues

90 Solução uméric de equções diereciis ordiáris Solução uméric de equções diereciis ordiáris 7 Itrodução Se um equção dierecil tem pes um vriável idepedete etão el é um equção dierecil ordiári EXEMPLOS: d d ; ; Se um equção dierecil evolve mis que um vriável idepedete etão el é equção dierecil prcil EXEMPLO: u u com u u A ordem de um equção dierecil é mis lt ordem de derivção que prece equção Se dd um equção dierecil de ordem ução ssim como sus derivds té ordem são especiicds em um mesmo poto etão temos um prolem de vlor iicil PVI Se em prolems evolvedo equções diereciis ordiáris de ordem s codições orecids ão são dds tods um mesmo poto etão temos um prolem de vlor de cotoro PVC Resolver seuite EDO: d d pr Que represet um míli de curvs em Pr mesm EDO terior com e resolv cosiderdo um codição iicil Luro / Nues

91 Solução uméric de equções diereciis ordiáris 7 Prolem de vlor iicil PVI Um equção dierecil de ordem se preset d seuite orm: 7-88 ode l l d l d l = [ ] e :[ ] Associds Eq podem eistir codições cujo úmero coicide com ordem d EDO Se tis codições se reerem um úico vlor tem-se um PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI Cso cotrário tem-se um prolem de vlores de cotoro 7 Solução uméric de um PVI de primeir ordem Tom-se m j m m I { suitervlos de [ j [ ] é ução lier por prtes ] m e z-se j m } é deomido REDE ou MALHA de [ j ode m ] A solução uméric m Solução Et m = Solução Numéric m- m NOTAÇÃO: NO GRÁFICO: j j siiic que j vlor eto; j é proimção pr j j I j vlor proimdo; j m 7 Método de Euler Sej o PVI de primeir ordem deiido por: sedo um úmeroddo Luro / Nues

92 iicilmete Pr se proimr j Solução uméric de equções diereciis ordiáris pr s soluções ets j com e 7-89 j m procur-se T = Trç-se tete T à curv o poto cuj equção é: Fzedo tem-se: e lemrdo que e Erro cometido e Aproimção e erro de j de orm erl e j j j j j j j com j m 5 O método de Euler cosiste em clculr RECURSIVAMENTE seqüêci { trvés ds órmuls: j } A B j j j j com j m 6 Acr proimções pr solução do PVI m Usr pr j 9 m ml de [] com j : Luro / Nues

93 Solução uméric de equções diereciis ordiáris 7-9 j : TABELA: j j j N prtic ão se dispõe d solução et j j j j e j do PVI Dí ecessidde de se determir um epressão mtemátic pr o erro Us-se órmul de Tlor pr desevolver solução teóric do PVI em toro de : Fzedo! e lemrdo que!! tom-se os dois primeiros termos d equção 7: Geerlizdo-se tem-se equção 5 Erro locl de trucmeto - ELT 7 O erro o método de Euler qudo se clcul é otido prtir do resto d órmul de Tlor que é: Num etp e j!! j dos cálculos tem-se: e ou! pr j j 8 que é o ERRO LOCAL DE TRUNCAMENTO ELT N prátic procur-se estelecer COTAS ou ESTIMATIVAS pr que se poss coduzir o cálculo do erro com seurç e Luro / Nues

94 Tom-se costte e prâmetro do ELT Diz-se que ELT é d ordem de 7 Métodos de Rue-Kutt Solução uméric de equções diereciis ordiáris 7-9 suicietemete pequeo pr ser tomdo como e se escreve Métodos de psso simples Um método pr resolver o PVI é de psso simples se proimção pes do resultdo j d etp terior Form erl pr métodos de psso simples: j depede j j j j ; pr Ode é ução icremeto e j m 9 o comprimeto do psso OBS : Pr o método de Euler ução icremeto é cso especil de Rue-Kutt Métodos com Derivds j j ; j j Um O método de Euler possui ordem um pois oi otido d órmul de Tlor com desevolvimeto té o termo em Ao zer o mesmo desevolvimeto té o termo em simples e ordem dois otém-se o método de psso j j j! j pr j m ELT Erro locl de trucmeto e j! OBS : Em j j j j j j j? Rer d cdei de j j j j j j j j j j j em relção j j j j j : j j j j Luro / Nues

95 Solução uméric de equções diereciis ordiáris 7-9 Acr proimções pr solução do PVI usdo o método d equção m Usr equção pr j 9 m ml [] com = j : j : TABELA: j j j j j j e j Luro / Nues

96 Solução uméric de equções diereciis ordiáris 7 Método de Euler Aprimordo Método de Rue-Kutt de Seud Ordem Retomdo equção 9: j j Fzedo-se j j ; j j ; pr j m e sustituido equção tem-se: 7-9 j ode j j j e pr j m j j 5 Acr proimções pr solução do PVI usdo o método de Euler Aprimordo j j j d d 75 Fórmuls de Rue-Kutt de Qurt Ordem Ests órmuls são ormlmete s mis utilizds ml [] com =5 j e / j j j ode j 6 j j j j j j j j e pr j m Erro locl de trucmeto: ETL e j 5 5! 5 j j Luro / Nues