Lista de Matemática ITA 2012 Trigonometria

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1 List d Mtmátic ITA 0 Trigonomtri 0 - (UERJ/00) Obsrv bixo ilustrção d um pistão su squm no plno. Um condição ncssári suficint pr qu s dus árs sombrds n figur sjm iguis é t =. tg =. tg =. tg =. tg. O pistão é ligdo, por mio d hst BC, um disco qu gir m torno do cntro A. 0 - (UFSCr SP/00) Um pizz circulr srá ftid, prtir do su cntro, m stors circulrs. S o rco d cd stor mdir 0,8 rdino, obtém-s um númro máximo N d ftis idêntics, sobrndo, no finl, um fti mnor, qu é indicd n figur por fti N +. Considr qu: o rio AB hst BC mdm, rspctivmnt, polgd polgds; à mdid qu o disco gir, o pistão mov-s vrticlmnt pr cim ou pr bixo, vrindo distânci AC o ângulo B ÂC. S mdid do ângulo B ÂC é dd por x rdinos, distânci ntr A C, m polgds, pod sr obtid pl sguint qução: y = + sn(x) y = + cos(x) y sn(x) 6cos (x) y cos(x) 6sn (x) 0 - (UFSCr SP/009) N figur indicd, 0, C é o cntro do círculo, AB tngnci o círculo no ponto A, os pontos B, C D stão linhdos, ssim como os pontos A, C E. Considrndo =,, o rco d fti N +, m rdino, é 0,7. 0,7. 0,68. 0,6. 0,. 0 - (FURG RS/00) N figur bixo stá sombrd rgião comprndid ntr o sgmnto OP, circunfrênci d rio, cntrd n origm, o qudrdo circunscrito ss circunfrênci. Os ldos do qudrdo são prllos os ixos OX OU. Considr qu o sgmnto OP form um ângulo com o ixo OX. Qundo 0 ár A() stá rprsntd n figur sguir. P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

2 A ár A() d rgião sombrd m função do ângulo é dd por tg A( ) 07 - (POLI SP) Um homm inici vigm qundo os pontiros do A( ) rlógio stão juntos ntr 8 9 hors; trmin tg vigm qundo o pontiro mnor stá ntr A ( ) o pontiro mior 80 do outro. Qunto tmpo durou vigm? A ( ) A( ) ( ) 08 - (ITA SP/00) 6 O vlor d som sn sn, pr todo R, n n 0 - (UEM PR/00) n Considr um ponto P(x, y) sobr circunfrênci é igul trigonométric qu não stj sobr nnhum dos ixos coordndos. Sj o ângulo dtrmindo plo ixo OX pl smi-rt OP, ond O é origm do cos cos 79 sistm. Nsss condiçõs, ssinl o qu for corrto. sn sn 0. A bsciss d P é mnor do qu cos() A ordnd d P é igul sn( ). cos cos A tngnt d é dtrmind pl rzão ntr ordnd bsciss d P. cos cos As coordnds d P stisfzm à qução x + y =. cos cos S x = y, ntão cotg() =.. é o mnor rco positivo pr o qul 09 - (IME RJ/00) Rsolv qução snx cosx snx 0. qução cos ( ) sn ( ) cos ( ) sn ( 0 ) - (MACK SP/00) S sn (x + ) = cos ( - x), ntão x pod sr: é stisfit. 6. sn() = y. π 06 - (ITA SP/00) π Considrndo s funçõs rc sn:, /, / π rc cos:, 0,, ssinl o vlor d 7π cos rcsn rccos (UNICAMP SP/00) P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

3 Considr qução trigonométric sn ² cos ² sn 0 Mostr qu não são soluçõs dss qução os vlors d pr os quis cos = 0. Encontr todos os vlors d cos qu são soluçõs d qução. - (UFOP MG/997) Sj séc x = - com < x < /. O vlor d S = tg x + 6 cos x é: ( ) ( ) ( ) (UNICAMP SP/99) Encontr tods s soluçõs do sistm: sn(x y) 0 qu sn(x y) 0 stisfçm 0 x 0 y. - (UFBA/00) snx,0 x Dds s funçõs ris f(x) cosx, x g(x) f x, x 0, dtrmin x, prtncnt o f x,0 x intrvlo 0,, tl qu [f(x)] 7 + g(x) = 0. - (UFPE/00) Qunts soluçõs qução trigonométric snx cosx dmit, no intrvlo [0, 80)? 6 - (CEFET PR/008) 79º Sndo A cos k (k m grus) kº B sn sc( ) cotg cos, ntão o vlor d xprssão A B é: (ITA SP/008) A som d tods s soluçõs distints d qução cosx cos6x cos9x 0, qu stão no intrvlo 0 x /, é igul (ITA SP/008) Sndo /, / o contrdomínio d função rcosno 0, o contrdomínio d função rco-cossno, ssinl o vlor d cos rcsn rccos (UPE/008) O profssor d Mtmátic plicou um problmdsfio pr os lunos: No intrvlo brto ] 0, [, qunts são s soluçõs d qução? ( snx) - ( snx) 0( snx) 0( snx) ( snx) Os lunos Júnior, Dnil, Edurd, Rbc Dn rsolvrm dtrminrm s soluçõs bixo pr o dsfio. Qul dls é CORRETA? Júnior rspondu qu o problm não tinh solução. Dnil rspondu qu o problm tinh um únic solução. Edurd rspondu qu o problm tinh dus soluçõs. Rbc rspondu qu o problm tinh três soluçõs. Dn rspondu qu o problm tinh somnt soluçõs. P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

4 0 - (UEPB/007) Obtmos o mior vlor d xprssão [6 + sn( x)], com 0 x, s x for igul : 6 - (ITA SP/007) Sj x um númro rl no intrvlo 0 x /. Assinl opção qu indic o comprimnto do mnor intrvlo qu contém tods s soluçõs d dsiguldd x tg x cos sc(x) 0 / / / / 6 / - (IME RJ/007) Rsolv qução log ( sn x cos x) ( sn x),x -, - (ITA SP/006) Dtrmin pr quis vlors d x, vl dsiguldd logcos x (sn x ) logcosx ( sc x). - (ITA SP/00) O intrvlo I R qu contém tods s soluçõs d x x inqução rctn rctn 6 é: [, ]. [, ]. [, ]. [0, ]. [, 6]. - (ITA SP/00) Obtnh todos os prs (x, y), com x, y [0, ], tis qu sn (x + y) + sn (x y) = sn x + cos y = 6 - (IME RJ/00) Rsolv qução tg + tg( = tg(, sbndo-s qu [0, /). 7 - (ITA SP/00) Encontr todos os vlors d, pr os quis qução n vriávl rl x, x x rctg rctg, dmit solução. 8 - (UFU MG/999) A ár d rgião do primiro qudrnt dlimit pls rts, qu são soluçõs d qução cos(x + y) = 0, com 0 x + y, é igul unidds d ár unidds d ár unidds d ár 8 unidds d ár unidds d ár. 9 - (ITA SP/009) A xprssão é quivlnt sn x cotg x tg cosx -sn x cotg x sn x cosx tgx tg cos x snx cotg x cotg x sn x x cotg xsn x cosx 0 - (UNIFOR CE/00) Sjm x = sn t y = cos t. Qundo t prcorr o conjunto dos númros, os pontos d coordnds (x, y) dscrvm: um circunfrênci um círculo um prábol um rt um sgmnto d rt - (ITA SP/00) A qução m x, x P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

5 x x rctg( ) rc cotg, x R\{0}, x dmit infinits soluçõs, tods positivs. dmit um únic solução, st é positiv. dmit três soluçõs qu s ncontrm no intrvlo,. dmit pns soluçõs ngtivs. não dmit solução. - (UFPE/009) A ilustrção sguir é prt do gráfico d função y.sn(bx) c, com, b c sndo constnts ris. A função tm príodo pss plos pontos com coordnds (0,) (/,). Clculndo som, S é igul 0 log log - (ESPCEX/009) As funçõs y = sn x y = cos x stão rprsntds no gráfico bixo. Então, mdid d ár do triângulo rtângulo dfinido plos sgmntos rtilínos AB, BC AC é: Dsnho for d scl Dtrmin, b c indiqu ( + b +. - (UFTM/009) S é um númro rl, tl qu 0 log (sn ) -lo (cos), ntão o vlor d sn é igul (UNISA SP/009) Sj S log(tgº ) log(tgº ) log(tgº ) log(tg88º ) log(tg89º ). ( 8 ) 8 ( 6 ) 6 ( 6 ) 6 - (UPE/009) Anlis s proposiçõs conclu. f( ) 00. S f ( ) tg( ), ntão f () - f( ) 0. S f (x) rc cos(log x) ntão f ( ) 0. A função f (x) sn x sn(-x) é ímpr. sn cos 0. cos sn sn cos 0. A xprssão rcsn rccos 7 - (UFU MG/008) P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

6 A cd vlor tribuído o númro rl α, considr prábol obtid por mio d qução crtsin y x x cos( ) sn ( ). Dss form, pod-s firmr qu, à mdid qu α vri, os vértics ds prábols ssim obtids dscrvm um rco d prábol d qução y x y x y x y x 8 - (UFU MG/008) Sjm os conjuntos B (x,y) R tlqux y 9 y x x A {x R tlqu(x,0) B}. Considr f : A R, função rl d vriávl rl, x cos, s x 0 dfinid por f (x) - x, sx 0 Clcul qul é o mior vlor possívl pr f (x), x A. 9 - (UFPE/008) Admit qu prssão rtril P(t) d um psso no instnt t, mdido m sgundos, sj dd por P(t) = cos( t), t 0 Considrndo sss ddos, nlis vrcidd ds sguints firmçõs. 00. O vlor máximo d prssão rtril d psso é. 0. O vlor mínimo d prssão rtril d psso é A prssão rtril d psso s rpt cd sgundo, ou sj, P(t + ) = P(t), pr todo t Qundo t = / d sgundo, tmos P(/) = O gráfico d P(t) pr 0 t é 0 - (UFC CE/007) Sj f : R R função dd por f(x) = sn x + cos(x). Clcul os vlors máximo mínimo d f, bm como os númros ris x pr os quis f ssum tis vlors. - (ITA SP/006) Sj f : R R dfinid por f (x) 77 sn[(x / 6)] sj B o conjunto ddo por B {x R : f(x) 0}. S m é o mior lmnto d B (, 0) n é o mnor lmnto d B (0, ), ntão m n é igul / / / 0 / / - (ITA SP) Trnsformr m rdinos. - (ITA SP/008) O conjunto imgm o príodo d f (x) sn (x) sn(6x) são, rspctivmnt,,,,,, - (ITA SP/008) Dtrmin todos os vlors -, tis qu qução (m x) x x tg 0 dmit pns rízs ris simpls. - (ITA SP/006) O Conjunto solução d tg x cotg x x k/, k Z, é k, k Z k, k Z k, k Z 6 k, k Z 8 k, k Z, 6 - (ITA SP/99) O conjunto ds soluçõs d qução: snx = cosx, contém o sguint conjunto:, k Z 6 k 6 P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

7 6 k, k Z k, k Z k, k Z k, k Z 7 - (ITA SP/00) Pr todo x R, xprssão [cos(x)] [sn(x)] sn x é igul : [sn(x) + sn(x) + sn(7x)]. [ sn x + sn(7x) sn (9x)]. [ sn(x) sn(x) + sn(7x)]. [ sn x + sn(x) sn(9x)]. [sn x + sn(x) + sn (x)]. 8 - (ITA SP/00) Sj f : R P(R) dd por f (x) = {y A = [, ]. A = [, A = [, A = (. A = (. 9 - (ITA SP/00) Sjm f g dus funçõs dfinids por snx f (x) x sn² g(x), x R. A som do vlor mínimo d f com o vlor mínimo d g é igul (ITA SP/997) Sj n N com n > fixdo. Considr o conjunto P A : p, q Z 0 q n. q Dfinimos f: R R por f(x) = [cos (n! x)] n. S f(a) dnot imgm do conjunto A pl função f, ntão: f(a) = ], [ f(a) = [0, ] f(a) = {} f(a) = {0} f(a) = {0,} Prof. Alx Prir Bzrr - (ITA SP/997) Sj S o conjunto d tods s soluçõs ris d x qução scrctg rctg( ) x Então: S = S = R S [, ] S [-, ] S = [-, [ - (ITA SP/99) S R com > 0 rc sn stá no primiro qudrnt, ntão o vlor d - tg rc sn rc tg é: n.d.. - (ITA SP/99) Num triângulo ABC rtângulo m A, sj D projção d A sobr BC. Sbndo-s qu o sgmnto BD md l cm qu o ângulo DÂC md grus ntão ár do triângulo ABC vl: sc tg l l sc tg l sc tg cossc cotg l cossc cotg l - (ITA SP/00) S os númros ris, com, 0, mximizm som sn sn, ntão é igul. 7 P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

8 8 7 - (ITA SP/007) Assinl opção qu indic som dos lmntos d A B, sndo: k A x sn : k, k (k ) B yk sn : k, 0 ( ) / ( ) / 6 - (ITA SP/00) Prov qu, s os ângulos intrnos, triângulo stisfzm qução d um sn( ) sn( ) sn( ) 0, ntão, plo mnos, um dos três ângulos, ou igul 60 o. é 7 - (ITA SP/99) A xprssão trigonométric tg x π π pr x 0,, x cos x sn x tg x, é igul : sn (x) cos (x) 0 sc (x) 8 - (ITA SP/99) A digonl mnor d um prllogrmo divid um dos ângulos intrnos m dois outros, um o outro. A rzão ntr o ldo mnor o mior do prllogrmo, é: /cos /sn /(sn) /(cos) tg 9 - (ITA SP/990) Sjm b constnts ris positivs. Considr x = tg t + y = b sc t b ond 0 t < π. Então um rlção ntr x y é dd por: b y (x ), x b y (x ), x b y (x ), x R. - b y (x ), x y (x ), x b 60 - (ITA SP/00) S x, y z são ângulos intrnos d um triângulo ABC sn y sn z sn x, prov qu o triângulo ABC é cos y cos z rtângulo. 6 - (ITA SP/99) Um triângulo ABC, rtângulo m A, possui ár S. S x = ABC r é o rio d circunfrênci circunscrit st triângulo, ntão: S = r cos (x) S = r sn (x) S r sn (x) S r cos x S r sn x 6 - (ITA SP/99) Sbndo-s qu x y são ângulos do primiro qudrnt tis qu cos x = 6 cos y =, ntão s = x y T tg tg sn, tmos: stá no o qudrnt T. stá no o qudrnt T. stá no o qudrnt T. 0 stá no o qudrnt T. 0 n.d (ITA SP/990) 8 P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

9 Sbndo-s qu é um ângulo tl qu sn ( - 60 ) = cos ( + 60 ) ntão tg é um númro d form b ond: b são ris ngtivos. b são intiros. + b =. b são prs. + b =. 9 P r o j t o R u m o o I T A w w w. r u m o o i t. c o m

10 GABARITO: ) Gb: D ) Gb: B ) Gb: C ) Gb: A ) Gb: 6) Gb: B 7) Gb: 6 hors 8) Gb: A k 9) Gb: S x R x 8 7 0) Gb: D k ou x,k Z 8 ) Gb: S,0 0, ) Gb: V ; ; 6 6 ) Gb: C ) Gb: (/6; /); (/6; /); (/6; /); (/6; /) 6) Gb: S 0, 7) Gb: 0 < tg < 0 < < 8) Gb: A 9) Gb: A 0) Gb: E ) Gb: Obsrv-s qu os vlors d pr os quis cos = 0 não são soluçõs d qução dd. Os vlors d cos qu são soluçõs d qução dd são, ) Gb: C ) Gb: s soluçõs são prs (0,0), (0, ), (,0), (, ), ( /, /) ) Gb: x = 6 ) Gb: 80 6) Gb: C 7) Gb: E 8) Gb: B 9) Gb: C 0) Gb: A ) Gb: D ) Gb: B ) Gb: 6 ) Gb: E ) Gb: A ) Gb: C 6) Gb: VVVVV 7) Gb: B 8) Gb: f ( ) 9) Gb: VVVFF 0) Gb: vlor máximo d f é g(/) = /, obtido qundo sn x = /, qur dizr, qundo x k, ond k z. vlor mínimo d f é o mnor dntr os númros g()= g() = ; ssim, o vlor mínimo d f é, obtido qundo sn x=, qur dizr, qundo x k, ond k Z. 0 P r o j t o R u m o o I T A u m o o i t. c o m

11 ) Gb: E ) Gb: 0,09 rd ) Gb: C ) Gb: Pr ) Gb: D 6) Gb: E 7) Gb: B 8) Gb: B 9) Gb: D 0) Gb: C ) Gb: D ) Gb: C ) Gb: B ) Gb: B ) Gb: C - ; 6) Gb: dmonstrção 7) Gb: C 8) Gb: D 9) Gb: D, 0 tg 0 Prof. Alx Prir Bzrr 0.sn x.cos x cos x 0 cosx..sn x cos x 0 ou sn x. Como: 0 < x <, ntão tm-s finlmnt: x sn x π ABC é rtângulo. 6) Gb: B 6) Gb: C 6) Gb: B x π Elbordo por: Alx Prir Bzrr (lxmtmtic@gmil.com) Digrmdo por: Jülio Sous (conttos@rumooit.com) 60) Gb: S x, y z são s mdids dos ângulos intrnos d um triângulo ABC, ntão: x + y + z = y + z = x yz S sn x x x. sn y cos y x sn z, ntão: cos z.sn.sn.cos.cos yz yz.cos yz yz.cos sn π x.sn x.cos x cosπ x.sn x.cos x cos sn x x P r o j t o R u m o o I T A u m o o i t. c o m