PREFÁCIO BOM TRABALHO!

Transcrição

1

2 PREFÁCIO Est volum corrspond o sgundo livro virtul lnçdo plo Sistm d Ensino Intrtivo SEI. O livro trt d um curso d cálculo voltdo pr os vstibulrs militrs o longo d qutro cpítulos. Cd um dos qutro cpítulos inici-s com um brv introdução do ssunto, sguido d qustõs dos últimos concursos d EFOMM Escol Nvl, sndo um totl d rcícios. Há ind um último cpítulo ond s ncontr o gbrito ds qustõs, bm como solução dquls qu nos cpítulos ntriors possum su numrção inicid com ltr R, totlizndo 6 soluçõs. Os dmis rcícios srão rsolvidos m vído uls postdos no sit do livro, ttp:// rgulrmnt. Com isto o utor spr stndr sl d ul do SEI à rsidênci dos qu usrm st livro, principlmnt dquls qu não podm frquntr um curso prprtório, contribuindo pr su prprção provção. O utor spr qu o uso dst livro ocorr d form intrtiv, ou sj, srá um przr rcbr comntários, corrçõs pdidos, st contto pod sr fito dirtmnt com o utor plo mil lucino@sistmsi.com.br. BOM TRABALHO! Págin

3 SOBRE O AUTOR Nturl do Rio d Jniro, Lucino, qundo luno foi mdlist d prt n Opíd d Mtmátic do Estdo do Rio d Jniro - OMERJ (99) n Opíd Brsilir d Mtmátic - OBM (994), lém disso, foi provdo nos concursos d Escol Nvl, IME ITA cbou optndo plo último. Após lgum tmpo, rsolvu sguir su sono trocou ngnri pl mtmátic, rtornndo o Rio d Jniro, fz vstibulr pr UFRJ, ond concluiu Grdução m Mtmátic. Prllmnt à grdução foi profssor nos principis cursos prprtórios do Rio d Jniro, tndo contribuído n provção d cntns d lunos nos concursos d EFOMM, AFA, Escol Nvl, IME ITA. Dois nos pós tr trmindo Grdução m Mtmátic iniciou o Mstrdo m Gomtri Difrncil m sguid o Doutordo m Sistms Dinâmicos, tndo prticipdo d congrssos ncionis intrncionis. Funddor do Sistm d Ensino Intrtivo SEI, Lucino é um dos utors dos rtigos d mtmátic do SEI Ensin. Atulmnt Lucino é profssor djunto d UFRJ. Lucino Nuns Págin

4 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME ÍNDICE. LIMITE E CONTINUIDADE.... DERIVADA.... APLICAÇÕES DE DERIVADA INTEGRAL GABARITO E SOLUÇÕES Págin 4

5 CAPÍTULO LIMITE E CONTINUIDADE. LIMITE LATERAL Sj função f :IR p IR, dizmos qu o it d f qundo tnd p pl dirit, ou por vlors miors ou supriors qu p,ist vl L, L IR, s somnt s, IR, : p f() L. O qu quivl scrvr f () L, p Anlogmnt dizmos qu o it d f qundo tnd p pl squrd, ou por vlors mnors ou infriors qu p, é L IR, s somnt s, O qu quivl scrvr, : p f() L p f () L EXEMPLO.: Sj f : IR IR, f (), Podmos firmr intuitivmnt qu f (). Págin 5

6 Já qu, prtir do cálculo d lguns vlors obtmos: f() = +,,,5,5,,,,,5,5 Anlogmnt podmos firmr intuitivmnt qu f () Já qu, prtir do cálculo d lguns vlors obtmos:. f() = -,9 -,9,95 -,95,97 -,97,99 -,99,995 -,995 EXEMPLO.: Sj f : IR IR f (),,, Podmos firmr intuitivmnt qu f (). Págin 6

7 Já qu, prtir do cálculo d lguns vlors obtmos: f () = +,,,5,,,6,,,5, Anlogmnt podmos firmr intuitivmnt qu f () Já qu, prtir do cálculo d lguns vlors obtmos: ( ). f() = - -, -, -,5 -,5 -, -, -, -, -, -, EXEMPLO.: Sj f : IR IR f (),,, Podmos firmr intuitivmnt qu Já qu, prtir do cálculo d lguns vlors obtmos: f () ( ). f() = +,,,5,,,6,,,5, Págin 7

8 Anlogmnt podmos firmr intuitivmnt qu f () Já qu, prtir do cálculo d lguns vlors obtmos: ( ). f() = + -,,9 -,5,95 -,,97 -,,99 -,,999 EXEMPLO.4: f : IR IR f () Podmos firmr intuitivmnt qu f () Já qu, prtir do cálculo d lguns vlors obtmos:. f() =,,,5,,,6,,,5, Anlogmnt podmos firmr intuitivmnt qu Já qu, prtir do cálculo d lguns vlors obtmos: f (). f() =,9,8,95,9,97,94,99,98,995,99 Págin 8

9 . LIMITE Sj função f :IR IR p IR, dizmos qu o it d f qundo tnd p ist vl L, L IR, s somnt s,, : p f() L. O qu quivl scrvr f () L. p Ds dfiniçõs d its ltris tmos qu o it d um função m um ponto somnt s, os its ltris d p istm mbos vlm L, ou sj, f () L p f () L f () L p p p, p IR, ist tm vlor L, L IR, s EXEMPLO.: f : IR IR, f (), Não ist f (),um vz qu f () f () EXEMPLO.: f : IR IR f (),,, Não ist f (), um vz qu f () f () EXEMPLO.: Sj f : IR IR f (),,, Um vz qu f () f () tmos f () EXEMPLO.4: f : IR IR f () Um vz qu f () f () tmos f () Págin 9

10 . CONTINUIDADE Sj função f :IR IR p IR, dizmos qu f é contínu m p, s somnt s, istir f () p, lém disso, f () p f (p). A função f :IR IR É contínu, s somnt s, for contínu pr todo ponto do su domínio EXEMPLO.: f : IR IR, f (), Não é contínu m, já qu não ist f (), pois f () f () já qu nm prtnc o su domínio. EXEMPLO.: f : IR IR f (),,, Não é contínu m, pois não ist f (), já qu f () f () EXEMPLO.: f : IR IR f (),,, Não é contínu m, pois como f () já qu f () Tmos f ( ) f () EXEMPLO.4: f : IR IR f () f (). É contínu m, já qu f () f (). IMPORTANTE: N prátic, podmos prcbr qu um função é contínu s o su gráfico não possui sltos pr vlors do su domínio, os pontos do domínio d função crctrizdos por sts sltos são os ponto d dscontinuidd d função, no mplo.4 o gráfico d função não possui sltos, logo função é contínu m todo o su domínio, já nos mplos.,.., =, = = são, rspctivmnt, os únicos pontos d dscontinuidd. Págin

11 4. PRINCIPAIS FUNÇÕES CONTÍNUAS Todo polinômio rl é um função contínu. EXEMPLO 4.: ( ) 7 Além disso, são contínus f : IR IR f () sn f : IR IR f () cos f : IR IR f (), IR *, f : IR * IR f () log, IR *, 5. PROPRIEDADES Sjm f :IR IR f :IR IR funçõs ris p IR, tis qu f p f p () () L L Com L L IR, ntão, 5.. LIMITE DA SOMA S f f são contúnus ntão EXEMPLO 5. ( cos ( ) log ) 5. ( f () f () ) L p (f() f()) f(p) f(p) p L Págin

12 Como s funçõs polinomiis, cossno logritmo são contínus o it d cd um ds funçõs cim ist, ntão: ( cos ( ) log ) ( ) (cos ( ) ) ( log cos ( ) log 4 5. ) 5.. LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO S f f são contúnus ntão ( f () f () ) L L p (f() f()) f(p) f(p) p EXEMPLO 5.. Justifiqu ( sn ( )). 4 Como s funçõs polinomiis, sno são contínus o it d cd um ds funçõs cim ist, ntão: ( 4 sn ( )) ( 4 ) ( sn 4 ( )) 4 sn (4) 5.. LIMITE DA DIVISÃO S f f são contúnus L f() f () p f() f (p) p f () L L f f (p) (p) EXEMPLO 5... log( ) cos Como s funçõs polinomiis, cossno logritmo são contínus o it d cd um ds funçõs cim ist, lém disso, como (log( ) cos ) (log( )) (cos ) log( ) cos () Trmos log( ) cos ( ) (log( ) cos ) log( ) cos () 5.5. LIMITE DA COMPOSTA Sjm f :IR IR contínu f :IR IR funçõs ris p IR EXEMPLO 5.5. ( 5 ) 4 6. f() (f f()) f f() p p p Como s funçõs polinomiis, sno são contínus o it d cd um ds funçõs cim ist, lém disso, como Págin

13 ( 5 ) Tmos ( 5 ) LIMITES NO INFINITO Primirmnt vmos ntndr o concito d infinito, qundo dizmos qu tnd mis infinito, stmos dizndo ssum vlors rbitrrimnt grnds, ou sj, pod sr mior qu qulqur númro rl. Anlogmnt, qundo dizmos qu tnd mnos infinito, stmos dizndo ssum vlors rbitrrimnt pqunos, ou sj, pod sr mnor qu qulqur númro rl, dito isso podmos dfinir d form rigoros os its d um função qundo tnd mis ou mnos infinito. Sj função f :IR IR Dizmos qu o it d f qundo tnd mis infinito ist vl L, L IR, s somnt s,, M IR : M f () L O qu quivl scrvr f () L. Além disso, dizmos qu o it d f qundo tnd mnos infinito ist vl L, L IR, s somnt s,, M IR : M f() L O qu quivl f () L EXEMPLO 6.. * f : IR IR f () Do gráfico podmos firmr qu Págin

14 f () f () Rpr qu qunto mior o vlor d, mis próimo o gráfico fic do io ds bscisss d msm form qunto mnor o vlor d, mis próimo o gráfico fic do io ds bscisss, no primiro cso função s proim por vlors supriors no sgundo cso função s proim por vlors infriors, o qu nos prmit sr mis to nos its cim, ou sj, podmos dizr qu f () f () 7. LIMITES INFINITOS Qundo dizmos qu um função tnd pr mis infinito ou mnos infinito, n rlidd qurmos dizr qu função ssum vlors rbitrrimnt grnds ou pqunos, ou sj, função não s proim d nnum númro rl, d form rigoros isto pod sr dito d sguint mnir. Sj função f :IR IR Dizmos qu o it d f qundo tnd p, p IR, tnd mis infinito,s somnt s, O qu quivl scrvr N IR, : p Além disso, dizmos qu o it d f qundo tnd p, O qu quivl EXEMPLO 7.. * f : IR IR f () N IR, : p f (). p f() N p IR,tnd mnos infinito,s somnt s, p f (). f() N Págin 4

15 Do gráfico podmos firmr qu f () f () Além disso, podmos scrvr qu o it d f qundo tnd mis infinito, tnd mis infinito, s somnt s, O qu quivl N IR, M IR : M E d form nálog dfinimos s outrs possívis combinçõs. f (). f() N f () f () f (),,. EXEMPLO 7.. f : IR IR f () Do gráfico podmos firmr qu f () f () 8. INDETERMINAÇÕES Sjm f :IR IR, f :IR IR funçõs ris p IR, tis qu f () p f () p Págin 5

16 f Então o it () não pod sr trtdo plos rsultdos té ntão studdos, dizmos qu um it dst tipo é um p f () indtrminção, tlvz plo fto d its dst tipo podrm ssumir vários vlors, como nos mplos sguir: EXEMPLO ( )( ) ( ) 6 EXEMPLO ( )( 4) ( 4) Equivlnt são s indtrminçõs,,,, primir sgund podm sr vrificds pls idntidds b b b três últims pl idntidd b b bln. p Outr indtrminção é difrnç d its infinitos, ou sj, dds IR, tis qu f :IR IR, f :IR IR funçõs ris O it f () p f () p f() f() p é um indtrminção, pois, como ntriormnt, its dst tipo ssumm vários vlors, como nos mplos sguir: EXEMPLO 8.. ( ) ( )( ) ( ) EXEMPLO 8.4. ( ) ( )( ) ( ) IMPORTANTE.: Nm smpr o rtifício utilizdo nos dois primiros mplos pod sr utilizdo, l fic itdo rzão d polinômios. A sguir studrmos lgums indtrminçõs prticulrs qu cmrmos, d its fundmntis. Obs.: No Cpítulo studrmos o Torm d L Hôpitl qu nos judrá rsolvr tods s indtrminçõs. Págin 6

17 8.. LIMITES FUNDAMENTAIS LIMITE TRIGONOMÉTRICO Sj IR, m rdinos, ntão sn sn tg tg LIMITE EXPONENCIAL Sj IR, ntão D mnir quivlnt podmos scrvr Págin 7

18 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R. EFOMM 7 O vlor do it (A) (B) (C) 4 (D) 6 (E) 8 R. EFOMM 6 O vlor do it 5 sn 5 4, é é (A) /4 (B) / (C) (D) /4 (E) /.. EFOMM 6 O vlor do it / X / X 4, é (A) /8 (B) /6 (C) (D) /6 (E) /8. R4. EFOMM 5 Dtrmin 5 (A) (B) (C) (D) 4 (E) 4 ESCOLA NAVAL R5. EN 998 O vlor d (A) (B) (C) (D) (E) +. sn sn é Págin 8

19 6. EN 99 O vlor d (A) (B) 5 4 (C) (D) (E) 4 5 é: R7. EN 99 (A) (B) / (C) / (D) / (E) é igul : R8. EN = (A) (B) (C) (D) 4 (E). R9. EN 987 (A) 4 (B) (C) (D) (E) 4 cos vl: R. EN 986 é igul : (A) (B) (C) (D) (E). Págin 9

20 NÍVEL B EFOMM R. EFOMM O vlor do é: (A). (B). (C). (D). (E). R. EFOMM O vlor do é (A) (D) (E) (B) (C) R. EFOMM Anlis função sguir. 4, f ( ) p 5, Pr qu função cim sj contínu no ponto =, qul dvrá sr o vlor d p? (A) / (B) (C) (D) (E) 4. EFOMM sj f um função d domínio D(f) = R {}. Sb-s qu o it d f(), qundo tnd L scrvs f() = L, s pr todo >, istir >, tl qu, s < < ntão f() L<. Nsss condiçõs, nlis s firmtivs bio. s, I Sj f() =, logo, f () s 4 s I I - N função f() = s, tm-s f () s III - Sjm f g funçõs quisqur, pod-s firmr qu (f.g)n. () = (LM) n, n N*, s f() = L g() = M Assinl opção corrt. (A) Apns firmtiv I é vrddir. (B) Apns s firmtivs II III são vrddirs. (C) Apns s firmtivs I II são vrddirs. (D) Apns firmtiv III é vrddir. (E) As firmtivs I, II III são vrddirs. Págin

21 ESCOLA NAVAL 5. EN 999 O gráfico d função 4 f() = s s (A) é: (B) (C) (D) Págin

22 (E) R6. EN 998 O vlor d pr qu função (A) (B) (C) (D) 6 (E) 6 f () s sj contínu m = é s R. EFOMM 8 Anlis s firmtivs bio: I- k II- k k tn III- Assinl ltrntiv corrt: (A) Apns firmtiv III é fls. (B) Apns firmtiv II é vrddir. (C) As firmtivs I III são vrddirs. (D) As firmtivs II III são flss. (E) As firmtivs I III são vrddirs. NÍVEL C EFOMM Págin

23 ESCOLA NAVAL. EN Os númros ris, b, c, d, f, g, constitum, nst ordm, um progrssão ritmétic. S mtriz b b = d d n n, ntão o vlor d (b g) vl 4 dt A y, ond A é y y 9 (A) (B) 6 49 (C) 48 (D) 5 6 (E) 48. EN 6 Sjm f g funçõs ris d vriávl rl. S 6 g() n, pod-s firmr qu g ( 7) vl: 7 7 s 7 f () 5 8 é contínu m 7 s 7 (A). (B) n. (C). (D) n 4. (E). R4. EN 4 O (A) (B) 6 (C) (D) (E) ( ) ( ) é igul : Págin

24 CAPÍTULO - DERIVADA. DEFINIÇÃO Sj f : IR IR Um função contínu p IR, dizmos qu f é drivávl m p, s somnt, s istir o it: Em prticulr, dfin-s drivd d f m p como o vlor dst it, ou sj, f (p ) f (p). f (p) f (p ) f (p). Sndo drivd um it, dfin-s s drivds ltris por f (p f (p ) ) f (p ) f (p) f (p ) f (p). IMPORTANTE: S um função for drivávl m um ponto ntão função é contínu nst ponto. D fto, f () f (p) p p S somnt, s Um vz qu f () f (p) ( f () f (p)) p p p Então f () f (p). p ( f () f (p)) p p p p f () f (p) p p Logo, s um função for dscontínu m um ponto ntão msm não é drivávl nst ponto. D um form grl, um função srá drivávl m um ponto, s somnt s, função for contínu nst ponto s drivds ltris istirm form iguis. Dizmos qu um função é drivávl, s somnt s for drivávl m todos os pontos do su domínio.. PROPRIEDADES Sjm f :IR IR f : IR IR p IR tl qu f f são drivávis m p. Então: Págin 4

25 .. DERIVADA DA SOMA f f (p) f (p) f (p).. DERIVADA DA MULTIPLICAÇÃO f f (p) f (p) f (p) f (p) f (p).. DERIVADA DA DIVISÃO S f (p) ntão f f (p) f (p) f (p) f (p) f (p) f (p). DERIVADAS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES.. FUNÇÃO CONSTANTE Então IR, f (), pois, f : IR IR f () c, c ct. f () f ( ) f () c c.. POLINÔMIOS Primirmnt provrmos pr s sguints funçõs f : IR IR f () n, n IN ntão f IR, f () n f ( ) f () () n, n IN, pois, n n n p n p p np n n p po p np n n n n n. D um form grl, sj o polinômio p : IR IR p() o n n... n Págin 5

26 Págin 6 ntão. IR,... n n () p n n n o.. FUNÇÃO SENO sn () f () IR IR : f Então. IR, () cos () f D fto, () cos () cos sn() sn() cos() ) (cos() sn() sn() cos() ) (cos() sn() sn() cos() ) (cos() sn() sn() ) sn( f () ) f ( () f.4. FUNÇÃO COSSENO cos () f () IR IR : f Então. IR, () sn () f () sn () sn cos() sn() sn() ) (cos() cos() sn() sn() ) (cos() cos() sn() sn() ) (cos() cos() cos() ) cos( f () ) f ( () f.5. FUNÇÃO EXPONENCIAL f () IR IR : f Então. IR, () f!) (Vrifiqu () f tmos, Como ) ( f () ) f ( () f

27 .6. FUNÇÃO LOGARITMO f : IR * IR f () ln * ntão f (), IR. f Já o logritmo éum função continu f () ln( ) ln() () ln ln ( ln ) ntão 4. REGRA DA CADEIA Sjm f : IR IR g : IR IR funçõs ris, drivávis, tis qu g f : IR IR stá bm dfinid sj drivávl. Então (g f) () g (f()) f (), IR EXEMPLO 4.. Driv () sn ( ). Sndo g() sn () f () rpr qu () g f () ntão: () (g f) () g (f()) f () (cos( )) ( ) cos( ) 5. NOTAÇÃO DE LEIBNIZ Sjm f : IR IR um função drivávl. Cd ponto do gráfico d f, é rprsntdo por um pr ordndo (, y), ond y f (). É comum dy rprsntr drivd m rlção por. d Págin 7

28 dy Rsumindo: f ( ) d Usndo notção d Libniz rgr d cdi s rsum ond y g f () t f (). EXEMPLO 5.. dy Sj y sn ( ), IR, dtrmin. d dy d dy dt. dt d Sj t, logo como dy dt cos t tmos dt d dy dy dt (cos t)( ) cos( ) d dt d 6. DERIVADA IMPLÍCITA Sj. f : IR IR Função Rl, um qução d form g(,f()) é cmd d qução implícit. EXEMPLO 6.. A qução f () f () f() sn Ond IR : ( ), é um qução implícit, bst considrr f () g(,f()) f() sn. Podmos scrvr qução cim ind d sguint form f () f() sn lmbrndo pns qu y f (). Ao drivrmos um qução implícit drivmos normlmnt, usndo s propridds d drivds, lmbrndo pns qu vriávl y é um função d. EXEMPLO 6.. Dtrmin f () ond Drivndo obtmos f () f() sn. Págin 8

29 f f f () ( ) f () f ( ) f () f ( ) sn cos ( ). f () ( ) f () sn cos f ( ) sn cos Rpr qu f ( ) stá bm dfinid s somnt s ( ). f () Sndo um função rl drivávl, dfinindo u f () f : IR IR u pl drivd d u m rlção, obtmos d rgr d cdi qu: ( u ( sn ( cos u ) ( tg u ) ( sc u ) ( cos sc u ) ( cot ( ( u u n ) ) ( ln u ) ( log ) u ) u ) n u ln u ) cos u u sn u u sc sc u tgu u cos sc u cos sc u u u u n u u u u u, u u u ln, n IR u u, u cot gu u 7. DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA Sj um função rl, bijtor su função invrs, ntão Logo g(y) g(y) y (f EXEMPLO 7.. Driv y rcsn,. Um vz qu y rcsn )() f () (f f : IR IR g : IR IR y f () g(y) )(), f () f () é função invrs d função sno, tmos: Logo, y rcsn sny sny cos y y y cos y sn y Págin 9

30 Então compltndo list tmos: ( u ( sn u ) cos u u ( cos u ) sn u u ( tg u ) sc ( sc u ) sc u tgu u (cos sc u ) cos sc u cot gu u ( cot u ) cos sc ( ( u u n ) ) u ( lnu ) u ( log ) n u u u ln u u u, u u u ), u u ln u (rcsn u) u u (rctg u) u u (rc sc u) u u n u u, n IR u u Págin

31 EXERCÍCIOS NÍVEL A ESCOLA NAVAL R. EN 998 Sj y = + 5, ond = g(t), g () = g() = 4. A drivd d y no ponto t = é (A) 9 (B) 7 (C) 45 (D) 9 (E) 5. R. EN 998 A drivd d função f() = rctg é (A) (B) (C) (D) ( ) (E). R. EN 997 A drivd d y = / tg + ln (cos ) é (A) sn tg cos (B) cos (C) tg sn cos (D) cos (E). 4. EN 99 S f() = ln, o vlor d f (A) (B) / (C) / (D) 4/ é: Págin

32 (E) 8/ R5. EN 99 S f () = (A),4 (B), (C) (D), (E),4 ntão f () vl: Págin

33 6. EN 99 S f() = ln sn dtrmin f (π/4). (A) ln (B) (C) π/4 (D) (E) 7. EN 99 A drivd d função f() = / é: (A) f () = / (B) f () = (C) f () = (D) f`() = (E) f`() = + / R8. EN 989 S f() = tg π (), podmos firmr qu f 8 é igul (A) (B) 7 (C) 44 (D) 96 (E) 4 9. EN 985 A drivd d ordm n d função f() =. pr = é: (A) (B) n (C) n (D) n n (E) (n + ). NÍVEL B ESCOLA NAVAL. EN Sjm f g funçõs dfinids m R drivávis m =, tis qu f() =, f () = 4, g() = g () = -. f g Então f g () é igul : (A) /6 (B) 7/5 (C) /4 (D) /. Págin

34 R. EN 999 Supondo qu y = f() sj um função rl drivávl qu stisfz qução y + y + =, podmos firmr qu: f () (A) f () = f () (B) f () = (C) f () = (D) f () = (E) f () = (f ()) f () (f ()) f () (f ()) f () (f ()). f () NÍVEL C ESCOLA NAVAL R. EN Considr f f funçõs ris d vriávl rl, drivávis, ond f() = f () =. Qul o vlor d drivd d função () = f ( sn) pr =? (A) (B) (C) (D) (E) R. EN 9 Considr função rl f, d vriávl rl, dfinid por () = + ln, >. S g é função invrs d f, ntão g () vl (A) (B),5 (C),5 (D),5 (E).. EN 6 Sjm f g dus funçõs ris drivávis tis qu f () sn (cos ) g() f ( ), qu g ( ) é igul : R *. Pod-s firmr (A) sn (cos ). (B) cos (cos ). (C) sn (cos ). (D) cos (cos ). (E) sn (cos ). Págin 4

35 R4. EN 4 Sj g () um função rl, drivávl té ª ordm pr todo rl, tl qu g() g () g" () 6. S f () um função rl dfinid por: g() s f (), s ntão f ( ) é igul : (A) 6. (B). (C) 8. (D) 4. (E). R5. EN 4 A função rl f () stisfz sguint qução: sn f () f (). f () Considr função g, dfinid por g() k com k R. Sbndo qu f(), podmos firmr qu o vlor d constnt rl k pr qu g () = f () é: (A). (B) 4. (C) 4. (D) 5 8. (E). R6. EN 5 O vlor ds constnts ris b pr s quis função rl todo é: b g() b s s sj drivávl pr (A) b. (B) b. (C) b. (D) b. (E) b. 7. EN 985 S f () = cos ( + ), f () =, g ()= f ( ) g - é invrs d g, o vlor d (g - ) () é: (A) cos (B) sc (C) tg (D) (E). Págin 5

36 CAPÍTULO APLICAÇÕES DE DERIVADA.. RETA TANGENTE A rt tngnt o gráfico d um função drivávl m um ponto é dfinid pl rt qu contm st ponto cujo coficint ngulr é drivd d função nst ponto. A rt tngnt o gráfico d um função m um ponto ist somnt qundo função for drivávl nst ponto. Assim, sndo f drivávl, qução d rt tngnt o su gráfico no ponto P é dd por: ( t) : y f () ( ) f () Além disso, pod-s dfinir rt norml o gráfico d f no ponto P. mt S f ( ) ntão S f () ntão ( n) :. ( n) : y ( ) f () f ( ) EXEMPLO.. Sj f : IR IR f () qução d rt tngnt o gráfico d f no ponto d bsciss, é obtid por (t) : y f () f () ( ) Como f () f () ntão y 5 ( ) (t) : y 5. qução d rt norml o gráfico d f é dtrmind por: (n) : y já qu () 5, ntão ( n) : 5y 6. f f () f () ( ) Págin 6

37 .. MÁXIMOS MÍINIMOS E PONTODE INFLEXÃO TEOREMA.. Sj f : IR IR drivávl I IR um intrvlo brto, ntão ) S (), I ntão f é stritmnt crscnt m I. f b) S (), I ntão f é stritmnt dcrscnt m I. f DEFINIÇÃO.. Sj f : IR IR.Dizmos qu um ponto c IR é um ponto d máimo bsoluto d f, s somnt s f () f(c), IR. DEFINIÇÃO.. Sj f : IR IR.Dizmos qu um ponto c IR é um ponto d mínimo bsoluto d f, s somnt s f (c) f (), IR. DEFINIÇÃO.. Sj f : IR IR. Dizmos qu um ponto c IR é um ponto d máimo locl d f, s somnt s c, c, f() f(c) :. DEFINIÇÃO.4. Sj f : IR IR. Dizmos qu um ponto c IR é um ponto d mínimo locl d f, s somnt s c, c, f(c) f() :. TEOREMA.. Sj f : IR IR drivávl p IR tl qu f (p) ) S : f (), Então p é um máimo locl. b) S : f (), Então p é um mínimo locl. p, p f (), p, p p, p f (), p, p EXEMPLO.. f : IR IR f () Como f () ntão (). Not qu é um mínimo locl já qu f f () f (). EXEMPLO.. Como f () ntão (). Not qu é um máimo locl já qu f f : IR IR f () Págin 7

38 f () f (). DEFINIÇÃO.5. Sj f : IR IR drivávl I IR brto p I, ntão f tm concvidd pr cim m I s somnt s f() y f (p) f (p) ( p),, p I, p. DEFINIÇÃO.6. Sj f : IR IR drivávl I IR brto p I, ntão f tm concvidd pr bio m I s somnt s f() y f(p) f (p) ( p),, p I, p. DEFINIÇÃO.7. Sj f : IR IR drivávl I IR brto p I, p é um ponto d inflão, s ns vizinnçs ltris d p, s concvidds form difrnts. TEOREMA.. Sjm f : IR IR drivávl d sgund ordm, I IR um intrvlo brto p I : () ) S f (), I ntão f tm concvidd pr cim m I. () b) S f (), I ntão f tm concvidd pr bio m I EXEMPLO.4. f : IR IR f () Como f () (), IR f tm concvidd pr cim m todo su domínio. EXEMPLO.5. f : IR IR f () Not qu é um ponto d inflão já qu f f () () () 6, concvidd () 6, concvidd... GRÁFICOS DE FUNÇÕES O sboço d um gráfico pod sr fito trvés d um procdimnto, qu srá dscrito sguir. PASSO Domínio d função. PASSO Limits ltris nos pontos d frontir do domínio d função nos pontos d dscontinuidd. PASSO Dtrminr s rízs d função. 4 PASSO Anális d primir drivd. 5 PASSO Anális d sgund drivd. 6 PASSO Dtrminção ds ssíntots o gráfico d função. Págin 8

39 As ssíntots do gráfico d um função podm sr vrticis ou não vrticis. ASSÍNTOTAS VERTICAIS é um ssíntot vrticl s f () ou f () ou f () ou f () ASSÍNTOTAS NÃO VERTICAIS y m é um ssíntot não vrticl s istirm os its, m E f () ( f () m) EXEMPLO.6. Sj PASSO Df IR \ f : IR \ IR f () PASSO f () f () ( ( PASSO Rízs d função f (), IR. ) ) Págin 9

40 PASSO O único ponto d dscontinuidd d função os its ltris já form clculdos. 4 PASSO f () Então f () f () Logo função é crscnt m, E dcrscnt m,,,,, é ponto d mínimo locl. 5 PASSO () f () Então () f () () f (),,, Logo função tm concvidd voltd pr cim m,, tm concvidd voltd pr bio m, é ponto d inflão. 6 PASSO é um ssíntot vrticl já qu f () f () O gráfico não possui ssíntots não vrticis. Págin 4

41 .4. TEOREMA DE L HÔPITAL f () p g() p ou Sjm f : IR IR g : IR IR funçõs drivávis tis qu g(), IR f () p g() p Então f () p g() f (). p g() EXEMPLO.7. Um vz qu sn sn cos cos cos Págin 4

42 EXERCÍCIOS NÍVEL A ESCOLA NAVAL R. EN Considr função rl d vriávl rl dfinid por f() = É vrdd firmr qu (A) f tm um ponto d mínimo m ], [. (B) f tm um ponto d inflão m, (C) f tm um ponto d máimo m [, +[ (D) f é crscnt m [, ] (E) f é dcrscnt m [, ]. R. EFOMM O vlor do é (A) (D) (E) (B) (C) R. EFOMM Anlis função sguir. 4, f ( ) p 5, Pr qu função cim sj contínu no ponto =, qul dvrá sr o vlor d p? (A) / (B) (C) (D) (E) R4. EFOMM 6 O vlor do it, é (A) /4 (B) / (C) (D) /4 (E) /. 5. EFOMM 6 O vlor do it (A) /8 (B) /6 (C) (D) /6 (E) /8. / X / X 4, é Págin 4

43 R6. EN 999 A rt S pss plo ponto (, ) é norml o gráfico d f() = no ponto P(, y). As coordnds y d P, são, rspctivmnt: (A) 4 (B) 4 (C) (D) (E). 4 R7. EN 998 A função f() = / é dcrscnt no intrvlo (A) ], [ (B) ], [ (C) ], [ (D) ], + [ (E) ], [. 8. EN 998 Podmos obsrvr qu o gráfico d y = (A) crsc m ], ] ],[ (B) tm (, ) como ponto d inflão (C) tm ssíntot orizontl m y = ssíntot vrticl m = = (D) tm cvidd voltd pr cim qulqur ], [ (E) stá dfinido pr R. R9. EN 998 O vlor d pr qu função f()= (A) (B) (C) s s sj contínu m = é (D) 6 (E) 6 R. EN 994 A mnor distânci ntr um ponto d prábol y origm é igul : (A) (B) 4 7 (C) 4 (D) (E) 4. Págin 4

44 . EN 99 A ár do triângulo formdo plos ios coordndos pl tngnt à curv y = 4 no ponto (,4) vl: (A) 8 (B) 4 (C) (D) (E). EN 99 O vlor d (A) (B) 5 4 (C) (D) (E) 4 5 é: R. EN 988 No intrvlo, o mnor vlor o mior vlor d função f() = 4 + são, rspctivmnt: (A),5 5 (B),5 (C) (D) 5 (E) 5. R4. EN 987 Pr >, o vlor mínimo d é obtido pr igul : (A) (B) (C) (D) (E). NÍVEL B ESCOLA NAVAL R. EN. Um ponto P(, y) mov-s o longo d curv pln d qução + 4y =, com y >. S bsciss stá d vrindo um vlocidd = sn4t, pod-s firmr qu clrção d ordnd y tm por prssão dt ( ) sn 4t 4 cos4t (A) 8y (B) (C) (D) (E) sn4t 4 cos 4t 6y sn 4t 6y cos4t 6y sn4t 4 cos 4t 8y sn 4t 6y cos4t 6y Págin 44

45 R. EN. A t d dprcição dv d dtrmind máquin é invrsmnt proporcionl o qudrdo d t+, ond V é o dt vlor, m ris, d máquin t nos dpois d tr sido comprd. S máquin foi comprd por R$ 5., su vlor dcrscu R$., no primiro no, qul o vlor stimdo d mquin dqui pós 4 nos? (A) R$ 5., (B) R$ 4., (C) R$ 6., (D) R$ 5., (E) R$ 4.,. EN Ao mio di, o nvio NE-Brsil ncontr-s km lst do nvio Aródromo São Pulo. O NE-Brsil nvg pr ost com vlocidd d km/ o São Pulo pr o sul km/. Em qu instnt, proimdmnt, os nvios strão mis próimos um do outro? (A) 5, (B) 5, (C) 4,9 (D) 4,4 (E) 4, 4. EN D um ponto P do cis, João obsrv um brco AB ncordo. Pr um sistm d ios ortogonis os pontos A B têm coordnds rspctivmnt iguis (,) (,4), nqunto P ncontr-s no smi-io positivo ds bscisss. S o ângulo A Pˆ B d obsrvção é máimo, ntão bsciss d P é igul : (A) (B) (C) (D) 5 (E). 5. EN A rt tngnt à curv d qução + 5 y = no ponto P 9, é dd por 5 (A) y + 9 = 75 (B) 5 y 5 = (C) 5 y + 5 = 5 (D) y 9 = 45 (E) y 5 = EN 999 N confcção d ri d tiro pr nvios d Mrin, vrificou-s qu o lvo idl sri um rtângulo. As dimnsõs d um rtângulo d ár máim com bs no io vértics supriors sobr prábol y = prtncm o intrvlo: (A) [, 5] (B) [, ] (C) ], 7] (D) [4, 9[ (E) [, 6[. R7. EN 998 A rlção ntr os coficints b c pr qu qução + b + c = possu dus rízs iguis é (A) 4 b + 7 c = (B) b + c = (C) b + c = (D) b + c = (E) b = c. Págin 45

46 8. EN 998 Considr um con circulr rto d rio d bs 5 cm ltur cm. As dimnsõs do rio d ltur do cilindro circulr rto, d mior volum, qu pod sr inscrito nst con, são rspctivmnt (A) 4 (B) 4 4 (C) 9 (D) 5 4 (E) 5 5. R9. EN 998 O vlor d (A) (B) (C) (D) (E) +. sn sn é. EN 997 Dois trns s dslocm sobr trilos prllos, sprdos por /4 km. A vlocidd do primiro é 4 km/ do sgundo 6 km/, no msmo sntido qu o primiro. O pssgiro A do trm mis lnto obsrv o pssgiro B do trm mis rápido. A vlocidd com qu mud distânci ntr ls qundo A stá /8 km à frnt d B é, m km/. (A) 5 (B) 5 (C) (D) 5 (E) 5. EN 99 As tngnts à curv d qução y = qu pssm plo ponto P (, ) formm ângulo α. Dtrmin tgα. (A) (B) (C) 4 (D) 6 (E) 8. EN 987 A qução d rt qu é tngnt à curv y = qu contém o ponto (, ) é: (A) y = (B) y = (C) y = + (D) y = + 8 (E) y = EN 987 O volum do con d rvolução d volum máimo qu pod sr inscrito m um sfr d rio R é: 6R (A) 8 R (B) R (C) 8 6R (D) 7 R (E). 7 Págin 46

47 4. EN 986 Os vlors mínimo máimo d f() = no intrvlo, são rspctivmnt: (A) (B) (C) (D) 4 (E). R5. EN 986 O vlor d pr o qul s curvs d quçõs y = y = 6 são tngnts é: (A) (B) 4 (C) 4 (D) (E). NÍVEL C EFOMM R. EFOMM. O gráfico d f() = ( )., IR tm um ssíntot orizontl r. S o gráfico d f intrcpt r no ponto P = (,b), ntão + b. (A). (B). (C). (D). sn 4 é igul : (E) R. EN Clculndo s (A) (B) (C) (D) (E) (cot g ) sn ESCOLA NAVAL, obtém-s R. EN Em qu ponto d curv y = rt tngnt é prpndiculr à rt d qução 4 y + =? (A), 8 6 (B), 4 6 (C) (, ) (D) (, 4) (E), Págin 47

48 R4. EN Sjm f g funçõs ris d vriávl rl dfinids por f() = rcsn ( + ) com g() = 8 8 f(). Sj L rt norml o gráfico g no ponto (, g ()), ond g rprsnt função invrs d função g. A rt L contém o ponto (A) (, 6) (B) ( 4, ) (C) (, ) (D) (, 6) (E) (, ) 5. EN Sjm: ) f um função rl d vriávl rl dfinid por f() = rctg, > b) L rt tngnt o gráfico d função y = f () no ponto (, f ()). Qunto md, m unidds d ár, ár do triângulo formdo pl rt L os ios coordndos? (A) (B) (C) (D) (E) 4 6. EN Os gráficos ds funçõs ris f g d vriávl rl, dfinids por f() = 4 g() = 5 intrcptm-s nos pontos A = (,f()) B = (b,f(b)), b. Considr os polígonos CAPBD ond C D são s projçõs ortogonis d A B rspctivmnt sobr o io P(,y), b um ponto qulqur do gráfico d f. Dntr sss polígonos, sj, qul qu tm ár máim. Qul o vlor d ár d, m unidds d ár? (A) 5 64 (B) (C) (D) 5 64 (E) EN Sj L um lt d form cilíndric, sm tmp, d rio d bs r ltur. S ár d suprfíci d L md 54 π cm, qul dv sr o vlor d (A) cm (B) cm (C) 6 cm (D) 9 cm (E) cm r, pr qu L tn volum máimo? Págin 48

49 R8. EN Considr o triângulo ABC ddo bio, ond M,M M são os pontos médios dos ldos AC, BC AB, rspctivmnt k rzão d ár do triângulo AIB pr ár do triângulo IM M f()=( + ). S um cubo s pnd d tl modo qu num dtrmindo instnt su rst md 5dm umnt à rzão d f (k) dm min ntão podmos firmr qu t d vrição d ár totl d suprfíci dst sólido, nst instnt, vl m dm min (A) 4 (B) (C) 4 (D)94 (E) EN 8 O vlor mínimo rltivo d função f, d vriávl rl, dfinid por (A) b. f() b, ond sn cos *, b R, vl: (B) b. (C) b. (D) b, E) ( b). 5 R. EN 8 A função rl f, d vriávl rl, é dfinid por f() n ( ). Podmos firmr qu qução d rt norml o gráfico d função invrs f no ponto ( n, f ( n )) é: (A) y n. (B) y n. (C) y n 7. (D) y n. (E) y n.. EN 8 Sjm L rt tngnt o gráfico d função rl f() no ponto P(,f( ) L rt tngnt o gráfico d função y f () no ponto Q(, f ( )). A bsciss do ponto d intrsção d L L é: (A). 9 (B). (C) 9. (D). (E). Págin 49

50 . EN 7 A rt r tngnt à curv d qução y y, no ponto P (, y), é prll o io ds bscisss. Pod-s firmr qu o ponto P tmbém prtnc à rt d qução: (A). (B) y. (C) y. (D) y. (E) y.. EN 7 O con circulr rto, d volum mínimo, circunscrito um misfério d rio R poido no plno dimtrl, tm por volum o númro rl: (A) R. (B) (C) R. R. (D) (E) R. R. 4. EN 6 Um rcipint cilíndrico qu dv tr m d volum vi sr construído ns oficins do Arsnl d Mrin, pr tndr um dos nvios d MB. N ltrl n tmp, srá utilizdo um mtril cujo prço é R$., por m, no fundo, um mtril cujo prço é R$., por m. Qu dimnsõs dv tr o rcipint, pr qu MB tn mnor dsps possívl? (A) m m. (B) m 9 (C) m 9 m. m. 9 (D) m m. (E) m m. 9 π 5. EN 6 Sj L rt tngnt o gráfico d função rl, d vriávl rl, π Y() cos no ponto π, 4. S P Q são os pontos d intrsção d L com os ios coordndos, mdid d ár do triângulo d vértics P, Q (, ) é: (A) (B) (C) (D) ( ). ( ) ( ). 4 Págin 5

51 (E). R6. EN S (A) p (B) < p (cot) n = p, ntão (C) < p (D) < p (E) < p. 7. EN Qul o vlor do (A) (B) / (C) (D). (cotg ) /n? 8. EN 999 Um nvio lvrá stocdo um ltão d ólo contndo dm d volum dv tr form d um cilindro com bs pln prt suprior misféric, conform figur. Dsprzndo spssur do mtril, podmos firmr qu o rio r d bs, pr qu sj gsto mnor quntidd possívl d mtril pr confcção do ltão é: (A) 6 (B) 5 (C) 4 5 (D) 5 (E) EN 998 Considr r rt tngnt o gráfico d função y = f() no ponto (, f()). Sjm f() = f () =. S r intrcpt o gráfico d função g() = + 7 nos pontos (, y ) (, y ) ntão os vlors d y y são rspctivmnt (A) (B) (C) 5 (D) 5 7 (E) 7 9. R. EN 997 O vlor d (A) (B) / (C) (D) / (E) não ist. ln ( ) sn sn é Págin 5

52 . EN 99 Clcul (A) (B) (C) (D) (E). EN 987 A qução d rt qu é tngnt à curv y = (A) y = (B) y = (C) y = + (D) y = + 8 (E) y = + 5. R. EN 985 O vlor d qu torn função: qu contém o ponto (, ) é: f() = (cos / ),, s s contínu m = é: (A) (B) (C) (D) (E). Págin 5

53 CAPÍTULO 4 - INTEGRAL. DEFINIÇÃO Tl qu Sj f : IR IR,um primitiv d f é um função F () F : IR IR f (), IR. A primitiv d um função, cso ist, é únic mnos d um constnt rl, F () F c IR : F () (), IR F () c, IR Pr rprsntr fmíli d primitivs d um função, introduzimos sguint notção f () d F() c, c IR : F () f (), IR. Dizmos qu um função é intgrávl s somnt su primitiv istir. EXEMPLO 4.. d c, c IR. pois, c, IR. A função F : IR IR tmbém é cmd d intgrl indfinid d f. As principis propridds d intgrl indfinid são:. f () f ()) d f() d f (. ( c f ()) d c f ()d, c IR. ()) d As intgris indfinids ds principis funçõs são: n n. d c, c IR n. n. d ln c, c IR,.. sn d cos c, c IR 4. cos d sn c, c IR 5. tg d ln sc c, c IR 6. sc d ln sc tg c, c IR 7. cos sc d ln cos sc cot g c, c IR 8. cot d ln sn c, c IR Págin 5

54 9. d rc sn c, c IR,,. d rc tg c, c IR, d rc sc c, c IR,,.. d c, c IR.. d c, c IR. ln 4. ln d ln c, c IR. ln 5. d ln c, c IR. log 6. sc d tg c, c IR 7. cos sc d cot g c, c IR 8. sc tg d sc c, c IR 9. cos sc cot g d cos sc c, c IR. INTEGRAL DE RIEMANN Sj f : IR IR Intgrávl. A intgrl d Rimnn ou intgrl dfinid d f no intrvlo, b, é rprsntd por b f ()d Ond b são cmdos d it infrior suprior d intgrl dfinid. TEOREMA. (Torm Fundmntl do Cálculo) Sj Intgrávl m, b,, b IR, b. ond () f (),, b. F Então b f () f : IR IR d F(b) F() Sjm, b IR, b, s principis propridds d intgrl d Rimnn são: b. ( f() f ()) d f () d f () d b b b. (c f ()) d c f () d, c IR. b c b. f () d f () d f () d, c, b c b Págin 54

55 IMPORTANTE: Qundo função f for um função intgrávl não ngtiv, o vlor d intgrl d Rimnn coincid com o vlor d ár itd plo gráfico d função, pls rts, b plo io ds bscisss. EXEMPLO.. Clcul d Como d c, IR, Tmos F() c, IR Logo d F() F() c c c c. Então ár itd plo gráfico d prábol y, pls rts, plo io ds bscisss vl. Págin 55

56 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R. EFOMM O vlor d intgrl sn.cos d é: (A) cos + c. (B) 4 cos + c (C) cos + c (D) + 4 cos + c (E) + cos + c ESCOLA NAVAL R. EN O vlor d / ( cos )d é (A) (B) / (C) / (D) / (E). EN Qul o vlor d sn6cos d (A) 7cos7 5cos5 c (B) 7sn7 5sn5 c (C) sn7 sn5 c 4 cos7 cos5 (D) c 4 (E) 7cos7 5cos5 c Págin 56

57 R4. EN 8 O vlor d 4sn cos d é: cos cos 4 (A) C. 4 sn (B) cos C. 4cos (C) C. (D) cos C. cos 4 (E) cos C. 4 R5. EN 998 O vlor d / 8 (A) (B) 6 (C) 8 (D) 4 4 (E). 8 / 6. EN 997 O vlor d / (A) / (B) (C) / (D) / (E). tg () d sn d é 7. EN 989 d é igul 4 (A) /8 (B) /4 (C) /8 (D) /4 (E) Págin 57

58 R. EN Qul o vlor d (cossc. sc ) d? NÍVEL B ESCOLA NAVAL (A) (4 sn4) c (B) (C) 5 sn sn c 5 sn. cos 9 c (D) (4 sn4) c 6 (E) (4 sn4) c 6 R. EN 7 Sjm b constnts ris positivs, b. S é um vriávl rl, ntão ( b b ) d é: b (A) ( n n b) c. b b (B) ( n b n ) c. b b (C) c. ( n n b) b b (D) c. b b (E) c. ( n b n ) b R. EN 6 O cálculo d 4 n (A) c. 4 (B) rctg c. rctg (C) c. 4 4 n (D) c. 4 rcctg (E) c. 4 d é igul : Págin 58

59 n (p) R4. EN 4 Sj p um constnt rl positiv. A intgrl d é igul : (A) p c. (B) pp c (C) p c.. (D) p c. (E) p c. 5. EN 999 Sbndo-s qu função é contínu m = 7 qu b = o / f() = 7 s s 7 cos. sn 4 d, o vlor d b é: (A) 7 7 (B) (C) 49 (D) (E) EN 985 O vlor d / 4 sn (cos sn ) sn (A) (B) (C) (D) (E) d é: NÍVEL C Págin 59

60 ESCOLA NAVAL R. EN Considr função f() = ln (sc + tg) + sn, com < <. O rsultdo d (A) tg sn + C (B) sc C (C) sc sn + C (D) tg C (E) sc + 6 sn + C f () cos d é R. EN Sj f() = ln(cos ), o < F() f () sn d. S 7 F() 5, ntão 8 F() 4 vl (A) (B) (C) (D) (E). EN 9 A qução d y d dy 4, vl d 48 vlor d y qundo = 4, vl m mtros cúbicos (A) 4( + ) (B) 8(4 + ) (C) 4(4 + ) (D) 6( + ) (E) 6( + ). = sn5 cos é dit um qução difrncil ordinári d ordm. Qundo = y vl. O volum do cilindro circulr rto, cujo rio d bs md m cuj ltur, m mtros, é o R4. EN 8 Considr y f() um função rl, d vriávl rl, drivávl té ª ordm tl qu f () f(), R. S g() f () sn f() sn (A) g() C. (B) g() C. cos cos (C) g() C. cos (D) g() f () C. (E) g() sn cos C. cos, ntão: R5. EN 6 Sj y f() um função rl qu stisfz qução O vlor d dy d d é: 6 8y, * R. Págin 6

61 6 n (A) c. 4 (B) c (C) n c. 6 n (D) c. 4 (E) c. 8 4 R6. EN 5 Sbndo-s qu y () é um função drivávl m todo o su domínio qu y() π 4, pod-s firmr qu y( ) é igul : 4 y () n (A). 4 5 (B). 4 n (C). n (D). n (E) EN 999 Sj f() =, o vlor d 8 4 (f ()) d é: (A) ; 6 7 (B) ; 6 (C) ; (D) ; 6 7 (E) EN 987 A ár d rgião do primiro qudrnt itd pls rts y = 9 y = 4 pl ipérbol y = vl: (A) (B) n,5 (C) + n (D) + n (E) EN 985 A suprfíci itd pl curv d qução y = pl rt d qução y = 4 gir m torno d rt y = 5. O volum do sólido ssim grdo md: Págin 6

62 8 (A) 5 5 (B) 5 86 (C) 5 76 (D) 5 (E) 5.. EN 985 Considr os gráficos ds funçõs y = sn y = cos, [, ]. A ár d suprfíci itd infriormnt por y = sn supriormnt por y = cos md: (A) 4 (B) (C) (D) (E) +. (F) Nnum ds rsposts cim. CAPÍTULO 5 - GABARITO E SOLUÇÕES Págin 6

63 CAPÍTULO LIMITE E CONTINUIDADE NÍVEL A EFOMM. E 5 sn sn E D 4. E 5 4 ESCOLA NAVAL 5. C sn sn sn sn 6. A 7. E é 8. B 9. B Págin 6

64 cos sn. D Um vz qu ntão NÍVEL B EFOMM. C é:. C. C 4 f () f () p 5 p 5 p 5 4 p 4. D Págin 64

65 Págin 65 ESCOLA NAVAL 5. D 6. D 6 f () f () NÍVEL C EFOMM. A I- II- k k k k k k k III- tn tn ESCOLA NAVAL. C. D 4. C 6 6 ) ( ) ( Então ) ( ) (

66 . E y(t) g (t) g(t) 5 y(t) g rctg. C tg lncos tg sc CAPÍTULO DERIVADA NÍVEL A ESCOLA NAVAL (t) g (t) g (t) y() g () g () g () 4 tg tg sc tg tg tg 5. C 4. E 5. B f () 6. D f (), 5 7. B 8. C f () tg f () 6 f 8 9. E sc 6 tg sc sc sc 6 tg tg sc sc tg Págin 66

67 . C. B f () f () f (f ()) f () f () () f () f () f NÍVEL B ESCOLA NAVAL () NÍVEL C ESCOLA NAVAL. E () f ( sn) `() f ( sn) f `( sn) (cos ) `() f () f `() (). B g(f ()) g`(f ()) f `() g`(f ()) f ``() g`(f ()) f ``() g``(f ()) f `() g`(f ()) f ``() g``(f ()) g``(f ()) f () g`(f ()) f `() g`() f `() Um vz qu f `() f `() g`() Logo g`() f ``() g``() f `() Um vz qu f ``() f ``() Logo g`() f ``() g``() f `() f `() f `(). C 4. D f () f () f () g() g () g () 6 f () 4, Págin 67

68 5.D f () f () f () f () f () g() k g () k g () k 4 f () 4 f () f () k k 4 f () Um vz qu sn f () f () cos f () Logo f () f () f () f () cos 4 f () 4 k f () 6. C. g(). g () g() cos f () f () f () f () f () f () 8 5 b b b b b g () 7. B Págin 68

69 CAPÍTULO APLICAÇÕES DE DERIVADA NÍVEL A ESCOLA NAVAL. B SOLUÇÃ: 4 f () 4 5 f `() f `() f `() ou f `() ou f ``() ou f ``() f ``() 6 4 f ``() ou Logo = é ponto d inflão. C. C 4 f () f () p 5 4 p 5 4. E 5. B 4 p. Págin 69

70 Págin 7 6. C y Então y (P) ) y, ( P qu vz Um y y m : (n) :m (t) Como (n) (P) ) y, ( P norml rt (n) y (P): Sjm n t 7. E () f 8. C 9. D SOLUÇÃO 6 f () f (). D ) (d ) (d ) (d 4 ) ( d ) ( d y d y : (P) y, Sj P min O, P min O, P min O, P 4 O, P 4 O, P 4 O, P. D. C. D ou () f ou ou ou () f ou () f () f

71 Um vz qu, f () (máimo locl ) f ( ), 6875( mínimo locl) má 5 6 mín f ( ) f () 5 4. C y y y ln y ln y y ln ln y ln ln NÍVEL B ESCOLA NAVAL. C 4y 8yy sn4t 4yy sn4t 4 cos 4t 4(y) (sn4t) sn4t 4 cos 4t 4( ) 4y 4yy 4yy 4y sn 4t 6y cos 4t sn 4t sn 4t 6y cos 4t y 6y 6y. B dv k k V(t) c, c IR dt t t V() 5. k c 5. k k. c. V() 4. c 4.. V(t). V(4) 4. t. C 4. A 5. A 6. D 7. A b c b c b c b c b b b c b b 7c 4b Págin 7

72 8. A 9. C sn sn cos sn cos cos 4 sn. E. E. A. C 4. B 5. A 6 y 6 y 6 y A f () r f () r Então b sn 4 sn 4 NÍVEL C EFOMM r r b f () r r Págin 7

73 ESCOLA NAVAL. E sn sn ln(cotg ) sc ln(t g ) tg sc s n cos c cos c cot cos c cos (cot g ) Pr cismos d Logo sn ln(cot g ) sn ln(cotg ) sn (cot g ). A y Um vz qu y y 4 Então y y 4 y y D g () g() f () rcsn ( Então (n) : y m ( ) Um vz qu n m t (g ) () g() f () ( ) (n) : y 6 ( ) (n) : y 6 ) rcsn ( m 6 n 6 ) 5. E 6. B 7. C Págin 7

74 8. E S k 4, S ond S 4 d 5 dt f (4) 9 ds S 6 dt ABC dm / min d dt 6S ds dt dm / min 9. D. E (n) :. f. m t Então (n) : ( ln, f m n m t (ln ) f () ln ln( f () ( ln, ) (n) 5 (ln )) (n) y ( ln). A. D. E 4. D 5. B 6. B SOLUÇÃO cot ln 4 5 m ln(cot) ln Um vz qu 5 n ) ln 5 7. B 8. E 9. D. B sn cos ln ( ) sn sn sn() cos(). E. A. D c Págin 74

75 CAPÍTULO 4 INTEGRAL NÍVEL A EFOMM. B sn.cos d sn d cos c cos c 4. A ESCOLA NAVAL / ( cos )d sn c sn c sn c. D 4. E 4sn cos d 5. E /8 tg () d cos 4sn d (sc () )d tg c ( sn sn4) d cos cos 4 4 /8 8 c tg c tg c 6. C A (cos sc. sc ) d sn cos d sn d cos 4 d sn4 c sn4 c NÍVEL B ESCOLA NAVAL Págin 75

76 . C b b d b d b b b c b c ln ln b ln b ln ln ln b b. E 4 d rc tg( ) c rc ctg( ) c rc ctg( ) c 4. D n (p) d pd p d p c p c 5. C 6. B. D f () ln sc tg sn f () sc cos Logo f () cos d (sc cos ) cos d NÍVEL C ESCOLA NAVAL cos (sc 4 4 ) cos d sc 8 d tg 8 c Págin 76

77 . B f () ln cos f `() tg Logo F() f () sn d 4tg sn d cos Um vz qu 4sc 4 d 4sc cos 4 d 4 tg sn4 c F() 5 c 5 F() 4 tg sn Logo 7 7 F() 4 sn E 4. C g() f () sn g () g () g() f () cos dy d f() cos cos f () cos f f () sn c 5. D 6 y 8 8 Logo () cos f () sn cos sn f () sn cos sn cos sn sn d 4 d 4 dy d 5 d d 6 ln 6. D y() y () rc tg( ) 4 y() c c 4 4 y () rc tg( ) ln y ( ) 7. D 8. B 9. A. B c ln ln 4 c Págin 77