CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

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1 CONVERSÃO EETROMECÂNICA DE ENERGIA Ivn Cmrgo Rvisão 1 (mio d 007) Pr nális d um convrsor, é fundmntl o conhcimnto d forç ltromgnétic dsnvolvid plo convrsor. Existm divrss forms d cálculo dst forç (ou conjugdo), um ds forms mis intrssnts é bsd nos princípios d consrvção d nrgi. 1) Princípios d Consrvção d Enrgi Em todo sistm, nrgi d ntrd tm qu sr igul nrgi qu si diciond às prds o qu foi rmzndo. Esqumticmnt, tm-s: Mtmticmnt: Figur 1.1: Princípio d consrvção d nrgi W W + W + W (1) in out prds rm Em um convrsor ltromcânico d nrgi, pod-s dcompor o grnd sistm m três subsistms: létrico, do cmpo d coplmnto mcânico. Em cd um dls o princípio d convrsão tm qu vlr. Mis um vz, squmticmnt, tm-s: Figur 1.: Consrvção d nrgi m um convrsor ltromcânico 1

2 Pr cd um dos sistms nrgi tm qu s consrvr. Pr o sistm létrico tms: W W + W ( prds) W ( rm) () E + Pr o sistm mcânico, tm-s: W W + W ( prds) W ( rm) (3) m M m + Finlmnt, pr o cmpo d coplmnto: W m W + W W ( prds) (4) m + A idntificção d cd um dos trmos é dd plo squm d figur 1.. As prds do cmpo d coplmnto, qu smpr ocorrm, podm sr rprsntds como prt ds prds létrics (ou prt ds prds mcânics). D fto, como foi fito no circuito quivlnt do trnsformdor, s prds por corrnt d Foucult por histrsis form rprsntds por um rsistênci quivlnt (Rn), rsistênci d prds no núclo. Fzndo st considrção o sistm d coplmnto pss sr um sistm consrvtivo ou sj, um sistm sm prds. Pr o cálculo d forç ltromgnétic, vi-s, sm nnhum prd d gnrlidd, considrr st sistm, ou sj: W W + W (5) m ) Sistm Eltromgnético com Excitção Simpls m Trnslção Um xmplo d um sistm d convrsão ltromgnétic d nrgi, com xcitção simpls, pod sr visto n figur.1: Figur.1: Convrsor ltromcânico d xcitção simpls A qução létric qu dscrv o comportmnto d bobin é óbvi: dλ v ri + (6) dt

3 O fluxo totl conctndo com bobin pod sr dividido m dus prts: fluxo d mgntizção fluxo d disprsão. λ λ mg + λ disp (7) Considrndo um rlção linr ntr o fluxo d disprsão corrnt tm-s: λ disp li (8) A qução (6) é um qução d tnsão. Pr s obtr um qução d nrgi é prciso multiplicr pl corrnt intgrr no tmpo. vidt ri dt + idi + idλmg W ( prds) + W ( rm + W l ) (9) E W A nrgi létric d ntrd no cmpo d coplmnto é portnto dd por: W λ (10) id mg A vrição (ou o difrncil) dst nrgi, pod sr colocdo d sguint form: dw idλ (11) mg Existm inúmrs forms d xprssr qução (11). Usndo li d Frdy qu diz qu tnsão intrn () é proporcionl à vrição do fluxo conctndo d mgntizção com o tmpo, vm: dw idt (1) É intrssnt notr qu st qução mostr qu tod vrição d fluxo conctndo stá rlciond um vrição d nrgi létric forncid o sistm. A vrição do fluxo pod ocorrr d divrss forms, por xmplo, vrindo font d nrgi, vrindo rlutânci ou fzndo s dus vriçõs simultnmnt. A qução mcânic tmbém pod sr obtid fcilmnt prtir d li d Nwton. Considrndo qu mss d prt móvl do convrsor sj M, tm-s: d x f R M (13) dt A forç rsultnt srá compost por tods s forçs qu tum n prt móvl do convrsor. Por xmplo: fr f + fk + fd + (14) f 0 Ond f é forç létric, f K forç d mol, f D forç d trito f 0 um forç mcânic indpndnt d posição. Considrndo o coficint d mortcimnto do 3

4 dslocmnto sj ddo por D qu um mol d coficint d lsticidd K ligu prt móvl do convrsor um rfrênci fix, tm-s: d x dx f M + D + K( x x 0) + f0 (15) dt dt Ond x 0 é ponto d quilíbrio d mol. Intgrndo qução (15) o longo d um dslocmnto x, tm-s um qução rlcionndo nrgi smlhnt à qução (3). A nrgi mcânic d síd do cmpo d coplmnto é dd por: Wm fdx (16) Ou, n form difrncil: dw m fdx (17) É intrssnt notr qu só xist vrição n nrgi mcânic s houvr dslocmnto d prt móvl do convrsor. Rscrvndo qução (5) n su form difrncil, tm-s: dw dw + dw (18) m D nális dst qução é possívl drivr um xprssão grl pr forç ltromgnétic m um convrsor. A xprssão srá dtrmind pr um convrsor d xcitção simpls ms xtnsão do concito pr um convrsor grl é bsolutmnt trivil. Um nális gráfic fcilit bstnt comprnsão d itrção létric mcânic no convrsor. Considrndo, inicilmnt qu o sistm stj prdo, ou sj, qu não hj convrsão d nrgi, é fácil dtrminr nrgi rmznd no cmpo. S dx 0, ntão, d (18) vm: dw dw idλ (19) Considr tmbém qu o convrsor mostrdo n figur.1 stj m um posição x A. Nst posição, rlção ntr fluxo conctndo (d mgntizção) corrnt srá influncid m grnd prt pl rlutânci do ntrfrro. Pod-s ntão considrr proximdmnt linr rlção ntr sts dus grndzs su crctrístic pod sr rprsntd pl figur.. 4

5 x A W i 0 i Figur.: Crctrístic fluxo x corrnt do convrsor n posição x A Nst posição dtrminção d nrgi rmznd no cmpo é simpls. D fto, como: λ 0 W idλ (0) 0 A nrgi rmznd corrspond à ár hchurd d figur.. Suponh gor qu o convrsor stj prdo m outr posição, por xmplo n posição x 0. Nst cso totlidd d rlutânci vist pl forç mgntomotriz produzid pl bobin srá do frro. A rlção fluxo corrnt não é ncssrimnt linr. Rprsntndo st rlção pl figur.3, é fácil dtrminr ár qu corrspond à nrgi rmznd no cmpo nst condição. Not qu nrgi rmznd indpnd d como o convrsor pssou d posição x A pr x 0. Not tmbém qu foi considrdo qu corrnt no convrsor r msm ns dus situçõs. Indpndntmnt d linridd do sistm, nrgi rmznd no convrsor prdo corrspond à ár sob curv d corrnt m função do fluxo. Dfinição d Co-nrgi 5

6 x 0 W x A i 0 i Figur.3: Enrgi rmznd no convrsor n posição x 0 Em muits situçõs é mis convnint considrr como vriávl corrnt m lugr do fluxo. Pr fzr st mudnç d vriávis dfin-s um grndz chmd conrgi (W ) qu corrspond o complmnto d nrgi rmznd m rlção o produto fluxo por corrnt. Mtmticmnt, tm-s: W + W λi (1) N form difrncil: dw + dw λdi idλ () + ogo,m um dtrmind posição, com dx 0, tm-s: dw λdi (3) A intrprtção gráfic d co-nrgi é dirt. Rptindo os dois gráficos mostrdos ns figurs ntriors tm-s: 6

7 x 0 W (0) x A W (A) i 0 i Figur.4: Dfinição gráfic d co-nrgi Exmplo 1 A prtir d dfinição gráfic d nrgi co-nrgi, dtrmin grficmnt o vlor d forç ltromgnétic médi supondo qu é únic forç tundo no convrsor qu o movimnto d pssgm d posição x A pr x 0 sj muito lnto. Tão lnto ponto d supor qu corrnt n bobin prmnç inltrd. D fto, corrnt n bobin é dd pl qução (6) pod sr rscrit como: v dλ / dt i (4) r S vrição do fluxo for suficintmnt lnt n su pssgm d A pr 0, pod-s supor qu corrnt prmnç constnt igul i 0. Nst cso, como há o movimnto d prt móvl do convrsor qução qu dscrv consrvção d nrgi no sistm consrvtivo srá qução 5 qu é rscrit bixo: W W + W (5) m Ond λ i0 λ 1 W idλ ( λ λ ) 0 (6) 0 1 7

8 A nrgi rmznd nos pontos x A x 0 form mostrds ns figurs..3 rspctivmnt. A nrgi mcânic trnsformd por st convrsor nst dslocmnto d su prt móvl corrspond grficmnt à difrnç ntr ntrd d nrgi létric vrição d nrgi rmznd nos dois pontos, ou sj: W W W ( 0) W ( A) (7) m + Grficmnt corrspond à ár mrcd n figur.5. x 0 Wm x A i 0 i Figur.5: Enrgi mcânic É fácil obsrvr qu st ár corrspond à vrição d co-nrgi do ponto 0 m rlção o ponto A. W W ( 0) W ( A) W (8) m A prtir d dfinição d qução (16), obsrv-s qu forç ltromgnétic médi pod sr scrit como: W f ( médi) (9) x Considrndo um dslocmnto infinitsiml (dx) obtém-s forç instntân: f W W lim x 0 (30) x x i ct Exmplo 8

9 Rptir o xmplo ntrior considrndo qu o movimnto d A pr 0 sj instntâno, ou muito rápido. Considrndo qu o movimnto sj muito rápido, não é possívl dmitir qulqur vrição no fluxo conctndo com bobin. Cso contrário, pl li d Frdy, sri induzid um tnsão infinit nos trminis d bobin. Qundo o fluxo prmnc constnt, solução d qução d quilíbrio d nrgi fic muito simpls um vz qu não há vrição d nrgi létric. dλ 0 dw dw m idλ 0 dw (31) A qução (31) mostr clrmnt qu, como não houv vrição d nrgi létric, tod nrgi mcânic foi tird d nrgi rmznd no cmpo. Grficmnt, tms: x 0 Wm x A i 1 i 0 i Figur.6: Dslocmnto instntâno com fluxo constnt. A corrnt circulndo n bobin rduz-s instntnmnt d i 0 pr i 1 prticmnt tod nrgi rmznd no cmpo (brto x A) s trnsform m nrgi mcânic. O vlor d forç médi pod ntão sr ddo por: W (0) W ( A) W f ( médi) (3) x x 9

10 O vlor d forç instntân, considrndo um dslocmnto infinitsiml (dx) com fluxo constnt, srá: f W x λ ct (33) Obsrv qu forç ltromgnétic positiv tnd diminuir nrgi rmznd no sistm. Fzndo um prllo com um sistm purmnt mcânico bstnt conhcido, forç grvitcionl tnd diminuir nrgi potncil d um mss. A forç ltromgnétic é smpr no sntido d diminuir rlutânci do cminho mgnético. Exmplo 3 S font d tnsão plicd no convrsor foss constnt, o qu contcri com corrnt pós o convrsor tingir posição x 0? A corrnt voltri o su vlor inici i 0. O fluxo conctndo com bobin mudri d λ 0 pr λ 1. Tod nrgi létric forncid o convrsor ficri rmznd no cmpo um vz qu não há movimnto. No gráfico d figur.7 ár mrcd corrspond à quntidd d nrgi létric forncid o convrsor qu é rmznd plo cmpo. W W x 0 x A i 1 i 0 i Figur.7: Enrgi rmznd pós o dslocmnto instntâno Obsrv qu st xmplo é muito prcido com qul qu foi fito no itm d consrvção do fluxo conctndo. Exmplo 4 10

11 No cso d um movimnto qulqur, qul sri xprssão pr forç ltromgnétic? Considr o msmo convrsor, no su dslocmnto do ponto x A pr o ponto x 0, tnto o fluxo qunto corrnt podm ( dvm) s ltrr. O dslocmnto ntr os dois pontos pod sr fito trvés d qulqur trjtóri ntr os dois csos limits mostrdos nos xmplos ntriors. A st n figur.8 mostr o dslocmnto convrsor considrndo qu tnto o fluxo qunto corrnt vrim o longo do tmpo. x 0 x + dx x x A i 1 Figur.8: Dslocmnto qulqur i 0 i A msm nális gráfic pod sr fit no cso do dslocmnto qulqur. Pod-s prcbr qu o vlor d forç médi é difrnt m cd cso. No ntnto, considrndo um dslocmnto infinitsiml (dx), ár do gráfico igul à vrição d co-nrgi tnd igulr à ár d vrição d nrgi com sinl trocdo, ou sj, m um movimnto qulqur, o vlor d forç ltromgnétic é ddo por: f W x W x λ ct i ct (34) Exmplo 5 Dtrmin mtmticmnt um xprssão pr forç ltromgnétic dos xmplos ntriors. 11

12 Como foi visto, d dfinição d difrncil d nrgi létric mcânic (quçõs 11 17) vm: dw idλ (35) dwm f dx (36) Rtomndo o princípio d consrvção d nrgi (qução 18): dw dw dw dw + dw dw m m (37) mbrndo qu nrgi rmznd no cmpo é um função d dus vriávis, ou sj, posição o fluxo, vm: W W ( λ, x) (38) dw W W dx + x λ dλ (39) Idntificndo os coficints ds quçõs (37) (39), vm: f W x λ ct (40) W i λ x ct (41) Exmplo 6 Dtrmin mtmticmnt forç ltromgnétic usndo dfinição d co-nrgi. A co-nrgi, n form qu foi dfinid, é um função d corrnt d posição. Os gráficos mostrm clrmnt difrnç ntr nrgi co-nrgi. Portnto: W W ( i, x) (4) W W dw di + dx (43) i x A prtir d dfinição d co-nrgi, tm-s tmbém qu: dw + dw λdi idλ (44) + 1

13 Como dw idλ f dx (45) Então, substituindo (45) m (44), vm: dw λ di f dx (46) + Igulndo os coficints d (43) com (46), tm-s: f W x (47) i ct o fluxo é ddo pl vrição d co-nrgi com corrnt, mntndo posição constnt. W i λ (48) x ct As xprssõs clculds pr forç ltromgnétic form obtids sm fzr nnhum hipóts sobr linridd do sistm. O xmplo foi fito com um sistm não linr. Considrr o sistm linr simplific muito s rlçõs um vz qu s pod colocr o fluxo m função d corrnt ou vic-vrs. Exmplo 7 Dtrmin um xprssão pr forç ltromgnétic considrndo linr rlção ntr fluxo corrnt m qulqur posição do convrsor. Rptindo figur.3 considrndo linr rlção ntr fluxo corrnt tnto n posição x A qunto n outr x 0, obtém-s figur.9. 13

14 x 0 (x 0) x A (x A) i 1 i 0 i Figur.9: Rlção linr ntr fluxo corrnt Obsrv-s qu ns dus posiçõs xist um coficint qu rlcion fluxo com corrnt qu st coficint ( indutânci) é função d posição. Pod-s scrvr ntão qu: λ ( x). i (49) A nrgi co-nrgi, nst cso, tm smpr o msmo vlor numérico. Pod-s obsrvr d figur.9 qu forç ltromgnétic tnd diminuir nrgi rmznd supondo o fluxo constnt ou umntr co-nrgi rmznd supondo corrnt constnt. As xprssõs d forç dduzids ntriormnt podm sr usds novmnt. Pod-s usr tnto xprssão rlcionndo forç com nrgi qunto com co-nrgi. É mis usul utilizr xprssão d co-nrgi porqu rlção ntr o fluxo corrnt é indutânci, bstnt conhcid. Já rlção ntr corrnt o fluxo é o invrso d indutânci cuj dfinição é mnos nturl. Em sistms com xcitção simpls st difrnç prc insignificnt, no ntnto, m sistms com muits ntrds simplificção é bm mis nítid como srá visto dint. A co-nrgi rmznd no ponto x A é dd por: W 1 i0 i0 λ di ( x) idi ( x) i0 0 (50) 0 Not qu pr intgrr st qução considrou-s qu indutânci indpnd d corrnt. Rtomndo qução (47), tm-s: f W x i ct 1 x i ( ) 0 (51) x 14

15 O vlor instntâno d forç é, portnto, proporcionl o qudrdo d corrnt d vrição d indutânci com posição. 3) Sistm com Dupl Excitção m Rotção A figur 3.1 mostr um xmplo d um sistm d convrsão d nrgi com dupl xcitção m rotção. Exmplo 8 Figur 3.1: Exmplo d convrsor com dupl xcitção m rotção Considr qu o sistm com dupl xcitção d figur 3.1 sj linr dtrmin um xprssão pr co-nrgi rmznd n posição θ. A co-nrgi rmznd m um sistm d múltiplos nrolmntos srá dd pl somtóri ds co-nrgis m cd sistm individul. Nst cso com dus xcitçõs tm-s: dw λ + λ (5) 1di1 di O fluxo conctndo com cd spir dpnd ds indutâncis própris mútus qu, por su vz, dpndm d posição θ. 15

16 λ1 λ ou 11 1 ( θ ) ( θ ) 1 ( θ ) i ( θ ) i 1 (53) [ λ ] [ ( θ )][ i] (54) Substituindo dfinição do fluxo n xprssão (5) considrndo qu corrnt finl n bobin 1 sj i 1 n bobin sj i, tm-s: W ( ) i1 + 1 ( θ ) i ) di1 + ( 1( θ ) i1 + ( 11 θ ( θ ) i ) di (55) Considrndo os limits d intgrção d (0, i 1 ) (0,i ) qu s indutâncis são função d posição ms indpndm d corrnt, vm: W ( θ ) i1 + 1 ( θ ) i1i + ( θ ) i (56) É possívl colocr st xprssão m form mtricil. Usndo qução (54) m conjunto com (56) obtém-s: 1 T W [ i] {[ ( θ )]}[ i] (57) Ond o símbolo T s rfr o vtor trnsposto (no cso, d corrnt). Exmplo 9 Clcul o conjugdo ltromgnético no convrsor do xmplo ntrior. mbrndo qu m movimnto d rotção nrgi mcânic é dd por: dw Γdθ (58) m Por nlogi o qu foi fito pr forç ltromgnétic, obtém-s: Γ W θ i ct (59) Juntndo s quçõs (59) (57), tm-s: 1 [ ( θ )] Γ [ i] T { }[ i] (60) θ 16

17 Obsrv qu xprssão foi dduzid pr um sistm d xcitçõs ms pod sr stndid pr um sistm qulqur d n xcitçõs. Nst cso, ordm d mtriz d indutânci dos vtors d corrnt pss sr n. É muito importnt obsrvr qu bs pr s studr o comportmnto d um convrsor é su mtriz d indutânci. Tnto qução mcânic, m função d forç ou do conjugdo ltromgnético, qunto qução létric, dd pl li d Frdy. Exmplo 10 Dtrmin um xprssão pr o conjugdo ltromgnético do convrsor d figur 3.1 supondo qu corrnt n bobin sj igul zro. O primiro psso é clculr como indutânci vri com posição ngulr θ. Considrndo o mtril mgnético d lt prmbilidd, rlutânci do cminho mgnético stri concntrd no ntrfrro. A posição θ do rotor é fundmntl n dtrminção d rlutânci (ou prmânci) do cminho mgnético. A prmânci é máxim qundo θ 0 ou 180 o, é mínim qundo θ 90 o ou 70 o. Outro fto fcilmnt obsrvávl d figur é qu o vlor d prmânci é um função priódic dpnd do dsnho d spt polr. Est função priódic pod sr dcompost m séri d Fourir. Considrndo pns os dois primiros trmos, m função d prmânci máxim (chmd d prmânci d ixo dirto P d ) d prmânci mínim (chmd d prmânci d ixo m qudrtur P q ) tm-s: Ρd + Ρq Ρd Ρq Ρ ( θ ) + cos θ (61) A indutânci srá tmbém um função d posição θ. Dirtmnt d dfinição, tm-s: ( θ ) N P( θ ) (6) Chmndo d indutânci d ixo dirto ( d ) indutânci d bobin qundo os dois ixos stão linhdos d indutânci d ixo m qudrtur ( q ) qul qundo os ixos stão dfsdos d 90 o (m qudrtur), tm-s: d + q d q ( θ ) + cos(θ ) (63) Como o conjugdo é ddo pl vrição d co-nrgi com posição, tm-s: W 1 Γ i ( ) sn( θ d q ) (64) θ O conjugdo, como nos outros xmplos, tnd diminuir rlutânci do cminho mgnético (ou umntr indutânci) qu no cso consist no linhmnto dos ixos. 17

18 Est conjugdo é chmdo d conjugdo d rlutânci. O princípio dst conjugdo é usdo nos motors d psso. Exmplo 11 Anlisr o dispositivo d figur bixo dtrminr qul posição d rpouso d su prt móvl s v(t) 10V (DC), r 10Ω, constnt d mol K 3000 N/m, posição d rpouso d mol ocorr m x 0 5 mm. Considrr ind qu ár do ntrfrro é d 100 mm, bobin tm N 1000 spirs qu rlutânci do cminho frromgnético é dsprzívl. Figur 3.: Convrsor m trnslção A solução dst problm pss pl rsolução simultân ds quçõs létric mcânic do sistm, ou sj, d i d Frdy d Nwton. dλ v ri + (65) dt f d x dx M + D + K( x x0 ) (66) dt dt As dus quçõs dpndm d xprssão d indutânci m função d posição x já qu: λ ( x) i (67) f 1 x i ( ) (68) x O cálculo d indutânci m função d posição pr st convrsor nsts condiçõs é muito simpls: 18

19 N ( x) (69) R( x) Ond rlutânci é dd por: x R ( x) (70) µ A 0 Substituindo os vlors numéricos ddos do problm, tm-s: C ( x) (71) x Ond C π.10-5 H.m. A dtrminção d forç ltromgnétic é ntão dd pl drivd m função d posição d xprssão d indutânci. f 1 C x i (7) Est xprssão só é válid pr vlors d x miors do qu zro. Evidntmnt, qundo x 0 tod rlutânci do circuito mgnético stá concntrd no frro,, nst xmplo, st rlutânci foi dsprzd. O sinl ngtivo d forç ltromgnétic indic qu l s opõ o sntido positivo do dslocmnto, portnto, o sntido d forç é qul mostrdo n figur 3.. Em rgim prmnnt, s vriçõs ds grndzs com o tmpo não são considrds, ntão, solução dst problm fic muito simplificd. A rsolução d qução létric, por xmplo, é dirt: v i 1A (73) r A qução mcânic fic rduzid o quilíbrio d forç ltromgnétic com forç d mol. f f k (74) A forç d mol é positiv no sntido indicdo n figur (opost à forç ltromgnétic) qundo x < x 0. Portnto: f k K( x 0 x) (75) Igulndo-s s dus xprssõs (7) (75), obtém-s um qução do trciro gru m x. Um solução mis simpls pod sr obtid substituindo vlors d x ns dus xprssõs, conform tbl 3.1, obtid com um plnilh d cálculo. 19

20 Tbl 3.1: Vlors numéricos pr s forçs x (mm) f (N) fk(n) 0 15, ,14 1,00 7,79 9,00 3 3,46 6,00 4 1,95 3,00 5 1,5 0,00 Pod tmbém sr trçd um curv rlcionndo s dus forçs m função d posição x dd m milímtro. Est curv stá mostrd n figur f (N) 0 15 f (N) fk(n) x (mm) Figur 3.3: Forç Eltromgnétic d mol m função d posição Obsrv-s qu s dus forçs s igulm m dois pontos, pr x 1,8 mm pr x 4,6 mm. Exmplo 1 Em qul dos dois pontos o quilíbrio é stávl? S houvr um pqun vrição d posição d prt móvl do convrsor, o rdor do ponto x 4,6 mm, obsrv-s qu s distânci umntr, forç ltromgnétic fic mior qu d mol fzndo com qu l volt su posição inicil. S distânci diminuir, forç d mol fic mior qu ltromgnétic cusndo o msmo fito. Por outro ldo, s posição d quilíbrio foss o ponto x 1,8 mm, qulqur prturbção ou vrição nst posição fri com qu ou o convrsor s fchss ou s quilibrss no outro ponto d quilíbrio. Portnto, únic solução possívl é pr x 4,6 mm. Exmplo 13 0

21 Simulr dinâmic do dispositivo supondo qu tnsão sj plicd m t 0, qu o dispositivo s ncontrv m um posição inicil x 1 mm, qu mss d prt móvl é d m 50 g, qu o coficint d mortcimnto D 4 Ns/m. A considrção do rgim dinâmico consist simplsmnt d rsolução simultân ds dus quçõs dfinids ntriormnt. Como qução mcânic é d sgund ordm, convém fzr um troc d vriávis d form trnsformr o sistm m 3 quçõs difrnciis simultâns d primir ordm. Rscrvndo s quçõs, dfinindo vlocidd como sndo vrição d posição com o tmpo, tm-s: dx ν (76) dt A qução létric, dpois d xpndid, fic d sguint form: di di d( x) dx v ri + l + ( x) + i (77) dt dt dx dt Colocndo- m função d drivd d corrnt, tm-s: di dt 1 d( x) { v ri ν. i} ( x) + l dx (78) A qução mcânic, colocd m função d vrição d vlocidd é dd por: dν 1 { f Dν K( x 0 x)} dt M (79) Est conjunto d 3 quçõs difrnciis, não linrs, qu não tm solução nlític, pod sr rsolvido fcilmnt trvés d um procsso numérico do tipo Rung-Kutt. Supondo qu vlocidd corrnt iniciis são nulos, os outros vlors m função do tmpo são clculdos dirtmnt prtir dos ddos forncidos. Not qu não é possívl dfinir posição inicil igul zro um vz qu forç ltromgnétic tnd infinito. Usndo um progrm do tipo Mtlb, rsolução é trivil. O rquivo os rsultdos stão mostrdos bixo. kp 6.8-5; t0 0; tf 0.1; 1

22 x0 [ ]'; [t,x] od3('rl',t0,tf,x0); xx [x(:,1) x(:,) 1*x(:,3)]; lmbd [kp*x(:,1)./x(:,3)]; %plot(x(:,1),lmbd) plot(t,xx) function xponto rl(t,x) % dinmic mss mol xponto zros(3,1); % prmtros r 10; xo 0.005; K 3000; kp 6.8-5; V 10; l 0; M 0.05; D 4; f0; % qucos lx kp/x(3); dldx -kp/(*x(3)^); xponto(1) (1/(lx+l))*(V-(r + dldx*x())*x(1)); xponto() (f - D*x() - K*(x(3)-xo) + dldx* x(1).^)/m; xponto(3) x(); O rsultdo d simulção é ddo n figur 3.4. Figur 3.4: Corrnt, posição (x10 ) vlocidd m função do tmpo.

23 Exmplo 14 Suponh qu um forç mcânic d 5 N poss sr plicd no convrsor. Dtrminr o novo ponto d quilíbrio trçr um curv rlcionndo fluxo corrnt durnt pssgm d um ponto pr o outro.. Como solução m rgim prmnnt é um cso prticulr d solução dinâmic, vis rsolvr simplsmnt o rgim trnsitório considrndo mudnç d stdo m t 0,1 s volt o stdo ntrior m t 0, s. A simulção numéric ds quçõs difrnciis dscrits ntriormnt, com inclusão d um forç constnt, é idêntic os rsultdos stão mostrdos bixo. Figur 3.5: Corrnt, posição (x10 ) vlocidd m função do tmpo. Obsrv-s qu posição d rpouso pss sr 6,5 mm qundo s tir forç xtrn d 5 N o convrsor volt su posição ntrior: 4,6 mm. Plotndo o gráfico do fluxo m função d corrnt obtém-s figur

24 Figur 3.6: Fluxo (Wb) m função d corrnt (A) Obsrv-s qu corrnt, ns dus situçõs tnd pr 1 A, qu pssgm d um ponto pr o outro s dá, como r d s sprr, com vrição simultân do fluxo d corrnt. 4) Concitos Básicos d Máquins Rottivs As máquins rottivs são formds por circuitos copldos m movimnto. Normlmnt o movimnto é rotcionl. Nst itm vi-s nlisr os concitos básicos torqu, tnsão induzid forç mgntomotriz ds máquins rottivs. É intrssnt inicir nális com um máquin lmntr com um único nrolmnto no sttor outro no rotor. Exmplo 15 Ddo o convrsor d dois nrolmntos d Figur 4.1, nlisr o su comportmnto létrico mcânico. Obsrvr qu nst figur é dfinido o ângulo θ como sndo posição ngulr do ixo mgnético do rotor m rlção o ixo mgnético d bobin do sttor. S o rotor gir um vlocidd ω, ntão: θ ωt + (80) θ 0 4

25 Figur 4.1: Esqum d um convrsor d dois nrolmntos rottivo Dtrminr o comportmnto létrico mcânico do convrsor consist m rsolvr s quçõs difrnciis létrics mcânics como foi visto no itm ntrior. A qução létric mtricil é dd por: d [ v ] [ r][ i] + [ λ] (81) dt ou v v F r 0 0 i r F i F + d dt λ λf (8) Foi usdo o índic minúsculo pr dfinir o nrolmnto do sttor F miúsculo pr o nrolmnto do rotor. Considrndo qu o sistm sj linr: λ λf F F FF i i F (83) A qução mcânic, como tmbém já foi visto dsprzndo o fito do trito, pod sr scrit como: d θ Γ Γm J (84) dt Ond o conjugdo létrico é ddo por: 5

26 Γ 1 [ ] i T [ ( θ )] θ [ i] (85) Mis um vz, o fundmntl é o cálculo d mtriz d indutânci qu, nst xmplo, é função d posição θ. A indutânci, por dfinição, é rlção ntr o fluxo conctndo corrnt. O fluxo conctndo, por su vz, é proporcionl à rlção ntr forç mgntomotriz rlutânci. No convrsor dst xmplo rlutânci stá prticmnt concntrd no ntrfrro, dsprzndo o fito ds rnhurs, pod sr considrd constnt. Pr s dtrminr mtriz d indutânci, é fundmntl o cálculo d forç mgntomotriz produzid plos nrolmntos distribuídos no sttor. Ants d s fzr o cálculo complto vi-s simplificr um pouco mis o modlo do convrsor pr fcilitr nális. 4.1) Forç Mgntomotriz d nrolmntos distribuídos Exmplo 16 Dtrminr form d forç mgntomotriz produzid por um únic spir do convrsor do xmplo ntrior. Considrndo spir cntrl do sttor do convrsor d figur 4.1, pod-s obsrvr qu s linhs d fluxo produzids por st spir vão nxrgr bsicmnt rlutânci do ntrfrro infrior suprior como mostr Figur 4.. ixo bobin do sttor ntrfrro Figur 4.: inhs d fluxo produzids por um únic spir. 6

27 A forç mgntomotriz (fmm) é dd pl li d Ampèr. Supondo rlutânci do frro dsprzívl, só hvrá intnsidd d cmpo (H) no ntrfrro fmm srá igul o su produto sclr com o comprimnto. r r fmm H. dl (86) Considrndo intnsidd d cmpo rdil, o qu é bstnt rzoávl dvido o tmnho rduzido do ntrfrro, st produto sclr srá igul o produto dos módulos. S intnsidd d cmpo o cminho d intgrção stivrm n msm dirção o produto srá positivo s stivrm m dirçõs oposts l srá ngtivo. Pr fcilitr visulizção m muitos csos us-s rtificr o ntrfrro. A Figur 4.3 mostr máquin lmntr d Figur 4. com o ntrfrro linrizdo. Figur 4.3: Rtificção do ntrfrro O ângulo α dfinido n figur ntrior s rfr à posição spcil do ntrfrro m rlção o ixo d fs. Not qu spir stá loclizd m + ou 90 o m rlção st ixo d rfrênci. Not tmbém qu l é difrnt do ângulo θ qu mostr posição do rotor m rlção st msm rfrênci. Trçndo, inicilmnt, um linh d intgrção qulqur como qul mostrd n msm Figur 4.3, corrnt totl nvolvid é zro, portnto li d Ampèr pod sr rsolvid d sguint form: H r. d l r 0 Fzndo s considrçõs ntriors supondo qu linh d intgrção pss m α 0 α β (pr um β qulqur ntr ± π/) tm-s: H(0).g(0) - H(β)g(β) 0 (88) A qução (88) mostr qu o vlor d fmm m α 0 é igul o vlor d fmm pr qulqur outro β ntr -π/ π/. Pod-s fzr outro cminho d intgrção nvolvndo, dst vz, um condutor, como mostr figur 4.4. (87) 7

28 Figur 4.4: Novo cminho d intgrção Evidntmnt, nst cso, intgrl d linh dfinid pl li d Ampèr srá: H(0).g(0) - H(β)g(β) I (89) Ond I é corrnt nvolvid pl linh d intrgrção qu corrspond o vlor d corrnt no nrolmnto. Est msmo rsultdo é obtido pr qulqur β ntr π/ 3π/. Pr, finlmnt, s dtrminr form d ond d fmm m função d α, bst conhcr o vlor dst função m α 0. Pr isto, lmbrndo li d Guss qu grnt qu o vlor médio d dnsidd d fluxo no ntrfrro tm qu sr igul zro, um vz qu: r B. d s r 0 Então, considrndo dnsidd d fluxo rdil suprfíci cilíndric do ntrfrro dd por: ds rldα (91) Ond l é o comprimnto longitudinl do cilindro r o su rio. Portnto, s rlutânci é constnt, o vlor médio d fmm tmbém dv sr nulo. Pr tndr às xigêncis imposts pls lis d Ampèr Guss, o vlor d fmm m α 0 srá: fmm(0) H(0).g(0) I/ (9) Portnto form d ond d fmm srá ond qudrd mostrd n figur 4.5. (90) 8

29 Figur 4.5: form d ond d fmm produzid no ntrfrro por um únic spir. Exmplo 17 Clculr fmm lvndo m considrção os cinco nrolmntos distribuídos mostrdos n Figur 1. A form d ond d fmm produzid por cd spir é idêntic àqul obtid no xmplo ntrior. Somndo cinco onds qudrds suprposts, mntndo suposição d linridd do sistm, obtêm-s: ixo 5(I/) fmm( ) I/ -I/ -5(I/) Figur 4.6: Form d ond d fmm d nrolmntos distribuídos 9

30 A dcomposição m séri d Fourir dst ond é bstnt simpls é fácil mostrr qu com um projto rzoávl, trblhndo-s com o tmnho ds rnhurs, é possívl fzr com qu ond s proxim bstnt d um ond cosnoidl, ou sj, qu s hrmônics supriors podm sr dsprzds. fmm α) fmm 1 ( α) F cosα (93) ( mx Ond 4 Ni Fmx. (94) π O primiro trmo s dv à trnsformd d Fourir o sgundo é dcorrênci dirt do qu stá mostrdo n figur 4.6. Pr todos os fitos, é muito rzoávl supor qu fmm sj um função snoidl. Exmplo 18 Supondo qu distribuição dos nrolmntos do rotor sj smlhnt àqul do sttor, dtrminr mtriz d indutânci dst convrsor. É ncssário dtrminr qutro vlors d indutâncis, dus própris dus mútus. (θ (95) F FF F [ )] Um nális d figur mostr qu s indutâncis própris indpndm d posição do rotor um vz qu, sj qul for st posição, rlutânci vist por cd um ds bobins srá smpr prdominntmnt rlutânci do ntrfrro qu não s ltr com posição do rotor. Por outro ldo, indutânci mútu, vidntmnt, dpnd d posição do rotor. Um nális gráfic simpls mostr qu qundo θ 0 rd, indutânci mútu srá máxim positiv um vz qu os ixos mgnéticos stão linhdos. Qundo θ π rd, st indutânci srá, mis um vz máxim ms com o sinl ngtivo já qu os ixos mgnéticos stão m oposição d fs. Finlmnt, qundo θ π/ ou θ 3π/, o fluxo produzido por um dl não conctn outr já qu os sus ixos stão prpndiculrs, portnto, indutânci mútu nst situção é nul. Com bs nsts informçõs lmbrndo qu distribuição spcil d fmm é snoidl, xprssão pr indutânci mútu é dd por: M cosθ (96) F F 30

31 4.) Tnsão Induzid Exmplo 19 Suponh qu o rotor sj limntdo por um corrnt contínu i F I qu l sj ciondo um vlocidd ngulr constnt ω. Qul srá tnsão nos trminis d bobin do sttor s l stivr m brto? Nst problm, qução mcânic tm solução trivil um vz qu vlocidd é dd é constnt. Rtomndo qução (84), obtém-s dirtmnt: Γ Γ. A rsolução d qução létric é tmbém muito simpls um vz qu s dus corrnts form dds no nuncido. A corrnt do rotor igul I, constnt, corrnt do sttor igul zro um vz qu l stá brto. Dst form, como o qu s qur é tnsão nos trminis do sttor, tm-s: m v d r i + λ (97) dt λ i + i (98) F F Juntndo s dus quçõs lmbrndo qu i 0: v d d FiF IM cosθ (99) dt dt v IMωsnθ (100) Váris obsrvçõs podm sr tirds d qução (100). A primir é qu é muito fácil grr um tnsão snoidl. Est tnsão é função d corrnt d xcitção (I), d gomtri d máquin (M) d frqüênci ngulr (ω). Obsrv qu, m um dispositivo d vlocidd constnt, o control d tnsão dpnd xclusivmnt d corrnt d cmpo. Em muits situçõs, s stá intrssdo no vlor rms d tnsão, dfinindo, ntão E como o vlor rms d tnsão m vzio, tm-s: IMω E (101) v Esnθ (10) A xprssão (101) nd mis é do qu form linr d rprsntr tnsão grd mostrd ntriormnt. Como mútu multiplicd pl corrnt é, por dfinição, o fluxo conctndo com bobin do sttor, xprssão d E, considrndo o sistm não linr, é dd por: 31

32 E Nφπf 4,44Nφf (103) Exmplo 0 Supondo qu outros dois nrolmntos sjm crscntdos o convrsor d figur 4.1, d form qu os sus ixos mgnéticos fiqum dfsdos d π/3 rdinos como mostr figur 4.7. Quis srim s tnsõs grds m cd um dsts nrolmntos supondo s msms condiçõs do xmplo ntrior. ixo c' b ' ixo c b' c ixo b Figur 4.7: Convrsor com três nrolmntos no sttor A qução mcânic continu com um únic solução trivil qução létric pss sr d ordm 4 por qu rlcion 4 bobins. Como nos problms ntriors, é fundmntl dtrminr vrição d mtriz d indutânci m função d posição do rotor. Com s msms suposiçõs fits ntriormnt obsrv-s qu s únics indutâncis qu vrim com posição do rotor são s mútus ntr o sttor o rotor. Com bs n qução (95), obtém-s s outrs indutâncis um vz qu únic ltrção é posição d bobin m rlção o rotor: F bf cf F Fb Fc M cosθ π M cos( θ ) 3 π M cos( θ + ) 3 (104) S o convrsor stá m vzio, ntão: i i b i c 0. Usndo qução létric mtricil do convrsor com sts condiçõs d contorno, fic muito simpls clculr corrnt no cmpo. 3

33 v vb vc v F r r r i ib ic rf i F d dt b c F b bb cb Fb c bc cc Fc F bf cf FF i i i i b c F (105) Com tods s corrnts do sttor sndo nuls (máquin m vzio), qução difrncil qu dfin corrnt do cmpo é d primir ordm: d vf rf if FFiF (106) dt Not qu o sinl d tnsão v F tmbém foi ltrdo pr crctrizr qu st nrolmnto m prticulr s mntém com convnção motor. A solução d qução (106) é trivil considrndo qu um tmpo rzoávl tnh dcorrido, o vlor d corrnt i F vi tndr pr: v F i F (107) rf Voltndo, ntão, à qução (105), pod-s obtr o vlor ds tnsõs ns três fss do sttor. Clculndo, inicilmnt, pr fs, tm-s: d d v FiF M cosθ. if (108) dt dt Sndo corrnt d cmpo indutânci mútu dois vlors constnts, bst difrncir o cosno θ m função do tmpo. v MωiFsnθ (109) D msm form: v v b c π MωiF sn( θ ) 3 π MωiF sn( θ + ) 3 (110) Chmndo d E o vlor rms d tnsão d fs m vzio, ou sj: Mωi E F (111) As tnsõs m vzio ns três fss srão dds por: 33

34 v v b Esnθ Esn( θ π /3) (11) v c Esn( θ + π /3) Usndo um notção fsoril tm-s: V V V b c E 0 E 10 E + 10 (113) É fácil obsrvr qu tnsão grd m um dispositivo com sts crctrístics é trifásic quilibrd. Exmplo 1 Suponh qu st convrsor stj ligdo um crg trifásic quilibrd. Qul srá corrnt qu circulrá m cd fs? Um crg trifásic quilibrd é qul qu pod sr rprsntd por um msm impdânci m cd fs. S impdânci for dd plo númro complxo Z Z/φ, ntão s corrnts srão trifásics quilibrds. I I I b c E φ Z E π φ Z 3 E π φ + Z 3 (114) Colocndo sts fsors m su rprsntção no tmpo, tm-s: i i i b c E sn( ωt φ) Z π Isn( ωt φ) 3 π Isn( ωt + φ) 3 Isn( ωt φ) (115) Not qu, s o rotor stivr rodndo um vlocidd ngulr ω, ntão posição do ixo do rotor srá dd por: θ ωt. Pr ntndr o comportmnto d máquin é importnt nlisr o fito conjunto ds corrnts pr o fluxo rsultnt no ntrfrro. 34

35 4.3) Cmpo Mgnético Girnt Exmplo Qul srá forç mgntomotriz produzid por sts três nrolmntos m conjunto? Como foi visto ns quçõs (93) (94), distribuição spcil d forç mgntomotriz é proximdmnt um snoidl é função do vlor d corrnt instntân. Como os ixos ds três fss stão dfsdos d π/3, ntão forç mgntomotriz srá dd por: fmm fmm fmm b c 4N i π 4N i π 4N i π b c cos( α) π cos( α ) 3 π cos( α + ) 3 (116) O vlor d corrnt m cd fs é função do tmpo foi dtrmindo n qução (115). Então: fmm fmm fmm b c 4N Isn( ωt φ)cos( α) Ksn( ωt φ)cos( α) π π π Ksn( ωt φ )cos( α ) 3 3 π π Ksn( ωt φ + )cos( α + ) 3 3 (117) Obsrv-s qu o vlor máximo d fmm m cd fs vri com o tmpo st vlor stá cntrdo no ixo mgnético d cd fs. Diz-s qu é um ond snoidl pulsnt. A fmm rsultnt srá som dsts fitos. fmm fmm R R fmm + fmm + 3K cos( ωt α) b fmm c (118) O vlor máximo d fmm rsultnt prmnc constnt st vlor pont pr difrnts vlors d α mdid qu o tmpo pss. Diz-s qu é um ond snoidl trfgnt. 4.4) Conjugdo m máquins rottivs Exmplo 3 Clculr o conjugdo d máquin lmntr d dois nrolmntos mostrd n figur

36 A solução é dirt qundo s supõ o sistm linr mtriz d indutânci é conhcid. Γ 1 [ ] i T [ ( θ )] θ [ i] (119) [ ( θ )] θ Então: 0 Msnθ Msnθ 0 (10) Γ Mi i snθ (11) 1 A intrprtção d qução (11) é intrssnt. Qundo s dus bobins são xcitds (i 1 i difrnts d zro) o conjugdo tnd linhr os ixos mgnéticos ds dus bobins. É nturl um vz qu o conjugdo, como foi visto, g smpr no sntido d diminuir nrgi rmznd no cmpo. Qunto mnor o ntrfrro mnor srá nrgi rmznd. A indutânci mútu (M), função do númro d spirs d cd bobin d rlutânci do cminho mgnético, rlcion influênci ds crctrístics físics do convrsor no vlor do conjugdo. Figur 4.8: Rprsntção squmátic do conjugdo É importnt notr tmbém qu o vlor médio d xprssão (11) é, normlmnt, igul zro. O dispositivo mostrdo n figur 4.1 não funcion como um máquin. Exmplo 4 Clculr o conjugdo d máquin d 4 nrolmntos. 36

37 Usndo msm xprssão mtricil: Γ 1 [ i i i i ] b c F [ (θ )] θ i i i i b c F (1) [ ( θ )] θ 0 0 M 0 sn( θ ) sn( θ π / 3) sn( θ + π / 3) sn( θ ) sn( θ π / 3) sn( θ + π / 3) 0 (13) Considrndo corrnt ns três fss dfinids pl qução (115) fzndo oprção mtricil, obtém-s: Γ 3 MIi F cos( θ 0 + φ) (14) Obsrv-s qu xprssão (14) indpnd do tmpo. Um máquin trifásic produz um conjugdo ltromgnético constnt qu é função ds crctrístics d máquin (M), do crrgmnto (I φ), d corrnt d xcitção (i F ) d posição do rotor (θ 0 ). A intrprtção físic é smlhnt qul do xmplo ntrior. O cmpo mgnético do sttor (qu stá girndo à vlocidd síncron) tnt s linhr com o cmpo mgnético do cmpo qu rod à msm vlocidd. O conjugdo tu pr minimizr nrgi rmznd no cmpo. Cmpo mgnético girnt do sttor ixo F Figur 4.9: Rprsntção squmátic do conjugdo 37