Material Teórico - Módulo Teorema de Pitágoras e Aplicações. Aplicações do Teorema de Pitágoras. Nono Ano

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1 Mtril Tórico - Módulo Torm d Pitágors plicçõs plicçõs do Torm d Pitágors Nono no utor: Prof. Ulisss Lim Prnt Rvisor: Prof. ntonio min M. Nto d mio d 019

2 1 lgums plicçõs simpls Nsst ul, prsntrmos mis lgums plicçõs do Torm d Pitágors. Emplo 1. lcul ár do trpézio rtângulo dsndo n figur sguir Solução. Vmos dnotr por mdid d digonl. gor, vj qu  = 90  =, logo, os triângulos são smlnts(plo cso ). 1 ss modo, obtmos = 1 = = 1 50 = 900. (Nst ponto, podrímos clculr = 900 = 0, ms, como qurmos obtr ár do trpézio, procdrmos d outr form.) Por outro ldo, utilizndo o Torm d Pitágors no triângulo, obtmos +1 = = = 1 Então, = = = = 0 1 = = (0+1)(0 1) = 1 = = 1 1 = 1 = = 1 =. [] = (1+50) = = 1. Emplo. N figur bio, tmos um triângulo rtângulo, inscrito m um smicírculo, dois outros smicírculos cujos diâmtros são os cttos d. Encontr som ds mdids ds árs ds dus rgiõs colorids (sss rgiõs são concids como lúnuls d Hipócrts 1 ). Solução. notmos (compn n figur sguir) por y s mdids ds árs colorids por z w s difrnçs ntr sss árs s árs dos smicírculos cujos diâmtros são os cttos d. y w 10 z Umvzquosriosdtissmicírculossão, tmos +z = 1 π = 9π y +w = 1 π = 1π. Somndo sss dus quçõs, cgmos +y +z +w = 9π + 1π = 5π. (1) gor, obsrv qu z + w é difrnç ntr s árs do smicírculo d diâmtro do triângulo rtângulo. Por um ldo, tmos [] = =. Por outro, fim d clculr ár do smicírculo, vj qu o Torm d Pitágors fornc = + = 100, 1 Em omngm Hipócrts d ios, mtmático, gômtr strônomo grgo qu vivu proimdmnt d ttp://mtmtic.obmp.org.br/ 1 mtmtic@obmp.org.br

3 d sort qu = 10. ssim, obtmos z +w = 1 π 5 = 5π. Porfim, substituindo o vlord z+w m (1), concluímos qu +y + 5π = 5π = +y =. Um outro modo d mostrr qu som ds árs ds lúnuls é igul à ár do triângulo é sguint: s F 1, F F são s árs d figurs smlnts construíds sobr os cttos ipotnus d, rspctivmnt, ntão F 1 +F = F. () (Obsrv qu ss fto gnrliz o torm d Pitágors, qundo dmos l sguint intrprtção: ár do qudrdo construído sobr ipotnus d um triângulo rtângulo é igul à som ds árs dos qudrdos construídos sobr os dois cttos liás, r tmnt ss form pl qul os grgos ntndim nuncivm o torm d Pitágors.) Podmos justificr () obsrvndo qu í, sgu qu ( ) F 1 = = F ( ) F = = F F 1 +F = F 1 + F F F F = = 1, sndo últim iguldd dcorrnt, m últim nális, do torm d Pitágors. Em prticulr, qundo construímos smicírculos sobr os cttos d (vj figur sguir), tmos qu som ds árs dos dois smicírculos construídos sobr os cttos é igul à ár do smicírculo construído sobr ipotnus, pois smicírculos são figurs smlnts. Ns notçõs d figur, ss firmção fornc iguldd (y +w)+(+z) = w+z +[]. Então, cnclndo s prcls w z, obtmos conform dsjávmos. y + = [], y w 10 z Obsrvção. Em grl, construção ds lúnuls d Hipócrts pod sr fit m todo triângulo rtângulo. ssim fzndo, dptndo os rgumntos d um qulqur ds soluçõs qu prsntmos, pod sr mostrdo qu som ds árs ds lúnuls é smpr igul à ár do triângulo. gor vmos robtr Li dos ossnos como plicção do Torm d Pitágors. Proposição (Li dos ossnos). Sj um triângulo com = c, = b, = Â = α. Então, vl rlção = b +c bccosα. () Prov. Evidntmnt, () é válid s α = 90, um vz qu, nss cso, tmos cosα = 0. Supondo α 90, dividirmos prov d Li dos ossnos m dois csos: (i) S α é gudo, sjm H o pé d prpndiculr à rt suport do ldo pssndo por, = H m = H (vj figur sguir, n qul ilustrmos o cso m qu tmbém tm-s < 90 d form qu H ; os dmis csos podm sr trtdos d modo nálogo). b α m H c Utilizndo o torm d pitágors m H, obtmos m + = b = = b m. msm form, utilizndo o torm d Pitágors m H, cgmos +(c m) = = = (c m) = = c m +mc. Igulndo s prssõs pr obtids ns dus quçõs cim, concluímos fcilmnt qu = b +c mc. () ttp://mtmtic.obmp.org.br/ mtmtic@obmp.org.br

4 Por outro ldo, invocndo s rzõs trigonométrics no triângulo H, obtmos cosα = m b ou, ind, bcosα. (5) Finlmnt, substituindo (5) m (), sgu qu = b +c bccosα. (ii) Sαéobtuso, ntão, dfinindo opontoh comonocso ntrior, tmos qu stá situdo sobr o prolongmnto do ldo, com ntr H (vj próim figur). H m b α Tmbém como nts, sjm m = H = H. Nst cso, utilizndo o torm d Pitágors m H m H, obtmos, rspctivmnt, +m = b = = b m +(m+c) = = = m c mc. Igulndo os vlors d obtidos ns dus quçõs, cgmos = b +c +mc. () gor, sndo β = ÂH, tmos β = 10 α, d sort qu cos β = cos α. lém disso, s rlçõs trigonométrics no triângulo H forncm cosβ = m b, d ond obtmos m = bcosβ = bcosα. Substituindo ss prssão pr m m (), cgmos = b +c bccosα. c Finlizmos st mtril com um plicção do torm d Pitágors um pouco mis lbord: Emplo 5. Sj P um ponto no intrior d um triângulo quilátro tl qu P =, P = P = 5. Encontr mdid do ldo d. P Mrqu no plno o ponto tl qu P é quilátro stão situdos m smiplnos opostos m rlção à rt P (vj figur bio). Então, 5 ÂP = 0 PÂ = Â. lém disso, = = l P = =. ssim, os triângulos P são congrunts, plo cso LL. Sgu dí qu = P =. Um vz qu + P = + = 5 = P, rcíproc do torm d Pitágors grnt qu o triângulo P é rtângulo m. Portnto, = P +P = = 150. l P gor, idi é plicr li dos cossnos o triângulo, fim d clculr l. fto, como cos150 = cos0 =, obtmos 5 l = + cos150 = 9+1+ = 5+1. Solução. notmos mdid dos ldos d por l. Então, l = 5+1. ttp://mtmtic.obmp.org.br/ mtmtic@obmp.org.br

5 ics pr o Profssor Rcomndmos qu sjm utilizds dus sssõs d 50min pr por todo o contúdo dst mtril. É importnt qu os lunos prcbm iguldd ntr som ds mdids ds árs ds lúnuls mdid d ár do triângulo rtângulo, obsrvndo pns smlnç ntr os smicírculos gomtri prsnt no problm (sm fzr s conts). Ess tipo d rcício é fundmntl pr qu ls dsnvolvm bilidd d rciocínio gométrico, qul os prmitirá rsolvr divrsos outros problms d Gomtri. s rfrêncis listds bio prsntm outrs plicçõs do Torm d Pitágors. Sugstõs d Litur omplmntr 1. E. L. Lim. Mu Profssor d Mtmátic Outrs Históris. Rio d Jniro, Editor S..M., min. Tópicos d Mtmátic Elmntr, Volum : Gomtri Euclidin Pln. Rio d Jniro, Editor S..M., 01. ttp://mtmtic.obmp.org.br/ mtmtic@obmp.org.br