Métodos Computacionais em Engenharia DCA0304 Capítulo 4

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1 Métodos Computciois m Eghri DCA34 Cpítulo 4 4 Solução d Equçõs Não-lirs 4 Técic d isolmto d rízs ris m poliômios Cosidrdo um poliômio d orm: P L Dsj-s cotrr os limits ds rízs ris dst poliômio Chmrmos d rízs positivs d P r sus rízs gtivs 4 Limit suprior ds rízs ris positivs r s Torm d Lgrg Sdo o limit suprior ds rízs positivs é ddo por: L k B m qu: k é o mior ídic dos coicits gtivos do poliômio P B é o máimo dos módulos dos coicits gtivos S os coicits d P orm todos ão gtivo, tão o poliômio ão possui rízs positivs 42 Limit irior ds rízs ris positivs O limit irior ds rízs ris positivs é otido plicdo-s o torm d Lgrg o poliômio: P P/ Ao plicr o torm d Lgrg m P cotrrmos um crto L d modo qu o limit irior ds rízs ris positivs é / L 43 Limit irior ds rízs ris gtivs O limit irior ds rízs ris gtivs é otido plicdo-s o torm d Lgrg o poliômio: P2 P

2 Ao plicr o torm d Lgrg m P 2 cotrrmos um crto L 2 d modo qu o limit irior ds rízs ris gtivs é L2 44 Limit suprior ds rízs ris gtivs O limit suprior ds rízs ris gtivs é otido plicdo-s o torm d Lgrg o poliômio: P3 P / Ao plicr o torm d Lgrg m P 3 cotrrmos um crto L 3 d modo qu o limit irior ds rízs ris gtivs é / L3 Dss orm podmos irmr qu os limits ds rízs ris stão os sguits itrvlos: 42 Método d Bissção 42 Dscrição L r / L L2 r / L3 Sj um ução cotíu o itrvlo [, ], grtimos qu ist plo mos um riz rl dtro dst itrvlo s Dividido o itrvlo o mio, otrmos um poto, o qu rsultrá m dois suitrvlos, sr, [, ] [, ] A riz logicmt strá m um dos suitrvlos clculdos Cso riz strá o itrvlo [, ], cso cotrário riz strá m [, ] O ovo itrvlo pod sr ovmt dividido o mio cotrrmos um vlor prtir do itrvlo qu cotém riz rptimos o procsso té qu um critério d prd sj stisito Em outrs plvrs cotrrmos um sqüêci d proimçõs,, L, pr riz r Gricmt trmos: 422 Critério d Prd covrgêci O critério d prd dotdo pr o método d issção é o sguit: δ m qu δ é tolrâci dsjd

3 Como srão cotrdos um sqüêci d itrvlos qu cotêm riz [, ], [, 2 2 ],, [, ],, d modo qu smpr A cd itrção o itrvlo srá dividido o mio orm qu -ésim itrção trmos qu: 2 ou id, 2 Dss modo trmos qu: Assim, 2 δ l[ / δ ] l 2 A prssão cim mostr qu pr s clculr riz com prcisão δ são cssáris o míimo itrçõs Emplo 4 Achr um proimção d riz d qução 3 com δ, sdo qu ε [2,3] A tl io mostr s itrçõs os rspctivos itrvlos dtrmidos: δ 2 3 2,5 5, ,5 2,25,3962, ,25 2,25 -,443,25 3 2,25 2,25 2,875,46753,625 Dss orm, um proimção pr riz d m ε [2,3] é: ε 3 2,875 Podmos comprr o vlor d riz cotrdo umricmt com o gráico d ução grdo m MATLAB Vj igur sguir:

4 43 Método ds Cords O método ds cords cosist m dividir o itrvlo ], [ d um crt ução, qu cotém riz, por um cord pssdo por sts potos Nst método s rqur qu o sil d " sj costt o itrvlo Sdo disso, podrmos tr qutro situçõs possívis, sr: 4 3 " 2 " CASO CASO CASO CASO 43 Cso Gricmt trmos, Por smlhç d triâgulos podmos costtr pl igur qu: ou id:

5 Por idução podmos grlizr: pr L,,2, 432 Cso 2 Gricmt trmos, Por smlhç d triâgulos podmos costtr pl igur qu: ou id: Por idução podmos grlizr: pr L,,2, 433 Cso 3 Gricmt trmos, Por smlhç d triâgulos podmos costtr pl igur qu:

6 ou id: Por idução podmos grlizr: pr L,,2, 434 Cso 4 Gricmt trmos, Por smlhç d triâgulos podmos costtr pl igur qu: ou id: Por idução podmos grlizr: 435 Equção Grl Osrvmos todos os csos prcmos qu o qu distigu um do outro é ps o poto io ou do itrvlo sr scolhido Prc-s qu smpr o poto scolhido é o qu possui o msmo sil d " Dss orm, grlizrmos todos os csos d sguit orm:

7 c c m qu c é scolhido d orm qu c " c O critério d prd é o msmo mciodo sção 422 pr o método d issção Emplo 42 Achr um proimção d riz d qução s 2 sdo qu ε [,,2] com δ 5 Clculdo " trmos qu " s Osrv-s qu ução possui sil positivo o itrvlo ε [,,2] Dss modo, o poto do itrvlo sr scolhido dv sr o poto qu orç sil positivo pr ução,239 2,3888 Dss modo o poto scolhido é c, 2 A tl io mostr s itrçõs s rspctivs proimçõs dtrmids: δ -,239,489 -,44 -,489 2,5349 -,5 -,53 3,546 -,6 -,57 4,542 -,2 -,6 5,543 -, -, Dss orm, um proimção pr riz d m ε [,,2] com tolrâci rqurid é: 5,543 ε Podmos comprr o vlor d riz cotrdo umricmt com o gráico d ução grdo m MATLAB Vj igur sguir:

8 44 Método d Nwto-Rphso 44 Dscrição O método d Nwto-Rphso cosist m pdir m séri d Tylor m toro d um poto d oprção trucdo séri Nss cso, trímos: ' Supodo qu sj um proimção d riz ε d Dss orm: isoldo proimção trmos: 442 Itrprtção Gráic Gricmt trmos qu: ' pr,,2, L ', tão trmos qu Clculdo tgt do âgulo α, o qu quivl clculr, otrmos: ' ' tg α ou sj, ' por idução,

9 pr,,2, L ' qu é msm prssão mostrd triormt 443 Escolh d Escolhrmos o poto do itrvlo pr iicir o lgoritmo d tl orm qu " Emplo 43 3 Achr um proimção d riz d qução 2 l 5 com δ 3 sdo qu ε [, 2] ' 6 2 " 2 2 Prcmos qu " [, 2] 3 2,6935 Nst cso o poto scolhido é 2 A tl io mostr s itrçõs s rspctivs proimçõs dtrmids: δ 2,693, ,482,4773 2,35237,2485,74 3,335,35,222 4,3384 4, ,84-4 Dss orm, um proimção pr riz d m ε [,,2] com tolrâci rqurid é: ε, Podmos comprr o vlor d riz cotrdo umricmt com o gráico d ução grdo m MATLAB Vj igur sguir: