Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Intervalo de Confiança
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1 Etatítica: Aplicação ao Seoriameto Remoto SER 4 - ANO 19 Itervalo de Cofiaça Camilo Dalele Reó camilo.reo@ipe.br
2 Itervalo de Cofiaça Um parâmetro pode er etimado atravé de um úico valor (etimador potual) f(x)? X amotra X 1, X,..., X X Qual a probabilidade de que X teha exatamete o valor de? PX ( ) (improvável) Uma alterativa é defiir um itervalo de etimativa mai provávei de acordo com a ditribuição teórica da etatítica (etimador), que é uma v.a. Para io, é eceário cohecer eta ditribuição
3 Itervalo de Cofiaça para X X1, X,, X amotra aleatória Xi ~?(, ) ditribuição decohecida, decohecido, ma cohecido X Se X X X X 1 ~ N(, ) ou e for grade (ou eja, adotado-e o TLC): (?,?) X ~ N(, ) E X Var X f(x) f( X )? X amotra X 1, X,..., X X X 3
4 Itervalo de Cofiaça para X ~?(, ) ditribuição decohecida, decohecido, ma cohecido X ~ N(, ) e X tiver ditribuição ormal ou for grade (TLC) X ~? N (,1),14 (Normal Padrão),1,1,8 N(,1),6,4, valore mai freqüete 4
5 Itervalo de Cofiaça para X ~?(, ) ditribuição decohecida, decohecido, ma cohecido X ~ N(, ) e X tiver ditribuição ormal ou for grade (TLC) Z X ~? N (,1) X P( z z) 1,14 (Normal Padrão),1,1,8,6,4, P( z X z ) 1 P( X z X z ) 1 IC para 1 N(,1) - -z z P( Z z) ível de igificâcia P( z Z z) 1 ível de cofiaça 5
6 Itervalo de Cofiaça para Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma ditribuição decohecida com média também decohecida e variâcia = 16. Retira-e uma amotra de 36 valore e calcula-e a média amotral. Cotrua um IC de 95% para upodo que X 1,7.,14 P( X z X z ),95,1,1,8 N(,1),6,4,5% 95%,5%, - -z z ? 6
7 Itervalo de Cofiaça para 14 1, z + PZ P( ( Z 1,96) z),5 5 z,,1,,3,4,5,6,7,8,9,,5,496,49,488,484,481,4761,471,4681,4641,1,46,456,45,4483,4443,444,4364,435,486,447,,47,4168,419,49,45,413,3974,3936,3897,3859,3,381,3783,3745,377,3669,363,3594,3557,35,3483,4,3446,349,337,3336,33,364,38,319,3156,311,5,385,35,315,981,946,91,877,843,81,776,6,743,79,676,643,611,578,546,514,483,451,7,4,389,358,37,96,66,36,6,177,148,8,119,9,61,33,5,1977,1949,19,1894,1867,9,1841,1814,1788,176,1736,1711,1685,166,1635,1611 1,,1587,156,1539,1515,149,1469,1446,143,141,1379 1,1,1357,1335,1314,19,171,151,13,11,119,117 1,,1151,1131,111,193,175,156,138,1,13,985 1,3,968,951,934,918,91,885,869,853,838,83 1,4,88,793,778,764,749,735,71,78,694,681 1,5,668,655,643,63,618,66,594,58,571,559 1,6,548,537,56,516,55,495,485,475,465,455 1,7,446,436,47,418,49,41,39,384,375,367 1,8,359,351,344,336,39,3,314,37,31,94 1,9,87,81,74,68,6,56,5,44,39,33,,8,,17,1,7,,197,19,188,183,1,179,174,17,166,16,158,154,15,146,143,,139,136,13,19,15,1,119,116,113,11,3,17,14,1,99,96,94,91,89,87,84,4,8,8,78,75,73,71,69,68,66,64,5,6,6,59,57,55,54,5,51,49,48,6,47,45,44,43,41,4,39,38,37,36,7,35,34,33,3,31,3,9,8,7,6,8,6,5,4,3,3,,1,1,,19,9,19,18,18,17,16,16,15,15,14,14 3,,13,13,13,1,1,11,11,11,1,1 7
8 Itervalo de Cofiaça para Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma ditribuição decohecida com média também decohecida e variâcia = 16. Retira-e uma amotra de 36 valore e calcula-e a média amotral. Cotrua um IC de 95% para upodo que X 1,7.,14 P( X z X z ),95,1 P P,1 4 4 (1, 7 1,96 1, 7 1,96,8 ), ,6 (1, 7 1,37 1, 7 1,37),4,95 P(11,393 14, 7),95,,5% 95% N(,1),5% - -z z Como poderia obter itervalo de cofiaça mai etreito, ou eja, com limite mai próximo da média verdadeira? - dimiuido-e o ível de cofiaça - aumetado-e o tamaho da amotra melhor opção? 1,96 É poível obter IC com 1% de cofiaça? Não P( ) 1 8
9 Como Iterpretar o IC para? Supoha uma v.a. X ormalmete ditribuída com = 1 e = 4 X ~ N(1, 4) Sorteia-e 5 valore aleatoriamete e calcula-e X. Em eguida determia-e o IC para com 95% de cofiaça, ou eja P ( X 1,96 z X Xz 1,96 ),95), P( X,5544 X,5544),95 (O IC varia para cada amotra!!!) Atravé de imulaçõe, foram gerado iúmero IC, um para cada amotra... ão cotém! Iterpretação: 95% do poívei IC obtido a partir de uma amotra de tamaho 5, coterão de fato a verdadeira média (ver IC.xl) 9
10 Itervalo de Cofiaça para ( 1) ~ 1 1 ( 1) P( xa x ) 1 b P x b ( 1) x a xa xb + P( x x ) 1 a 1 b ( 1) ( 1) P 1 xb xa IC para 1
11 Itervalo de Cofiaça para Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma ditribuição ormal com média e variâcia decohecida. Retira-e uma amotra de 5 valore e calcula-e a variâcia amotral. Cotrua um IC de 95% para upodo que =,34. ( 1) ( 1) P,95 xb xa,5% 95% 4,5% xa xb +?? 11
12 Ditribuição t + P 4 x a P ( ),975 P 4 x b ( ),5 ( g t ) g,5,1,5,5,1,9,95,975,99, ,88 6,63 5, 3,84,71,16,39,1,16,4 1,6 9,1 7,38 5,99 4,61,1,1,51,,1 3 1,84 11,34 9,35 7,81 6,5,58,35,,11,7 4 14,86 13,8 11,14 9,49 7,78 1,6,71,48,3,1 5 16,75 15,9 1,83 11,7 9,4 1,61 1,15,83,55, ,55 16,81 14,45 1,59 1,64, 1,64 1,4,87,68 7,8 18,48 16,1 14,7 1,,83,17 1,69 1,4,99 8 1,95,9 17,53 15,51 13,36 3,49,73,18 1,65 1,34 9 3,59 1,67 19, 16,9 14,68 4,17 3,33,7,9 1,73 1 5,19 3,1,48 18,31 15,99 4,87 3,94 3,5,56, ,76 4,7 1,9 19,68 17,8 5,58 4,57 3,8 3,5,6 1 8,3 6, 3,34 1,3 18,55 6,3 5,3 4,4 3,57 3,7 13 9,8 7,69 4,74,36 19,81 7,4 5,89 5,1 4,11 3, ,3 9,14 6,1 3,68 1,6 7,79 6,57 5,63 4,66 4,7 15 3,8 3,58 7,49 5,,31 8,55 7,6 6,6 5,3 4, ,7 3, 8,85 6,3 3,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5, ,7 33,41 3,19 7,59 4,77 1,9 8,67 7,56 6,41 5, ,16 34,81 31,53 8,87 5,99 1,86 9,39 8,3 7,1 6, ,58 36,19 3,85 3,14 7, 11,65 1,1 8,91 7,63 6,84 4, 37,57 34,17 31,41 8,41 1,44 1,85 9,59 8,6 7, ,4 38,93 35,48 3,67 9,6 13,4 11,59 1,8 8,9 8,3 4,8 4,9 36,78 33,9 3,81 14,4 1,34 1,98 9,54 8, ,18 41,64 38,8 35,17 3,1 14,85 13,9 11,69 1, 9,6 4 45,56 4,98 39,36 36,4 33, 15,66 13,85 1,4 1,86 9, ,93 44,31 4,65 37,65 34,38 16,47 14,61 13,1 11,5 1,5 6 48,9 45,64 41,9 38,89 35,56 17,9 15,38 13,84 1, 11, ,64 46,96 43,19 4,11 36,74 18,11 16,15 14,57 1,88 11,81 8 5,99 48,8 44,46 41,34 37,9 18,94 16,93 15,31 13,56 1,46 9 5,34 49,59 45,7 4,56 39,9 19,77 17,71 16,5 14,6 13,1 3 53,67 5,89 46,98 43,77 4,6,6 18,49 16,79 14,95 13, ,77 63,69 59,34 55,76 51,81 9,5 6,51 4,43,16, ,49 76,15 71,4 67,5 63,17 37,69 34,76 3,36 9,71 7, ,95 88,38 83,3 79,8 74,4 46,46 43,19 4,48 37,48 35, ,1 1,43 95, 9,53 85,53 55,33 51,74 48,76 45,44 43, ,3 11,33 16,63 11,88 96,58 64,8 6,39 57,15 53,54 51, ,3 14,1 118,14 113,15 17,57 73,9 69,13 65,65 61,75 59, 1 14,17 135,81 19,56 14,34 118,5 8,36 77,93 74, 7,6 67,33 1
13 Itervalo de Cofiaça para Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma ditribuição ormal com média e variâcia decohecida. Retira-e uma amotra de 5 valore e calcula-e a variâcia amotral. Cotrua um IC de 95% para upodo que =,34. ( 1) ( 1) P,95 xb xa 4.,34 4.,34 P 39,36 1, 4 P 1, 43 4,53,95,95,5%? 1,4 95% 4,5% xa xb +? 39,36 13
14 Itervalo de Cofiaça para com decohecida X ~ N(, ) e decohecido T X ~? t 1,14,1,1 X,8 P( t t) 1,6,4 P( t X t ) 1, P( X t X t ) 1 1 t 1 - -t t P( t T t) 1 IC para 14
15 Itervalo de Cofiaça para com decohecida Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma ditribuição ormal com média e variâcia decohecida. Retira-e uma amotra de 5 valore e calcula-e a média amotral e a variâcia amotral. Cotrua um IC de 95% para upodo que X 1,7 e = 16. P( X t X t ),95,14,1,1,8 t 4,6,4,5% 95%,5%, - -t t ? 15
16 Ditribuição t de Studet,14,1,1,8,6,4, t + P( T t),5 4 PT ( 4, 64), 5 P( T t) g g,1,5,5,1,5 1 3,78 6,314 1,76 31,81 63,656 1,886,9 4,33 6,965 9,95 3 1,638,353 3,18 4,541 5, ,533,13,776 3,747 4,64 5 1,476,15,571 3,365 4,3 6 1,44 1,943,447 3,143 3,77 7 1,415 1,895,365,998 3, ,397 1,86,36,896 3, ,383 1,833,6,81 3,5 1 1,37 1,81,8,764 3, ,363 1,796,1,718 3,16 1 1,356 1,78,179,681 3, ,35 1,771,16,65 3,1 14 1,345 1,761,145,64, ,341 1,753,131,6, ,337 1,746,1,583, ,333 1,74,11,567, ,33 1,734,11,55, ,38 1,79,93,539,861 1,35 1,75,86,58, ,33 1,71,8,518,831 1,31 1,717,74,58, ,319 1,714,69,5,87 4 1,318 1,711,64,49, ,316 1,78,6,485, ,315 1,76,56,479, ,314 1,73,5,473, ,313 1,71,48,467, ,311 1,699,45,46, ,31 1,697,4,457,75 4 1,33 1,684,1,43,74 5 1,99 1,676,9,43, ,96 1,671,,39,66 1 1,89 1,658 1,98,358,617 1,8 1,645 1,96,36,576 16
17 Itervalo de Cofiaça para com decohecida Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma ditribuição ormal com média e variâcia decohecida. Retira-e uma amotra de 5 valore e calcula-e a média amotral e a variâcia amotral. Cotrua um IC de 95% para upodo que X 1,7 e = 16. P( X t X t ),95,14,1,1,8 4,6 4 P(1,7,64 1,7,64 ),95 5,4 5, P(1,7 1,651 1,7 1,651),95 P(11,488 14,351),95,5% 95% - -t t t 4?,64,5% 17
18 Itervalo de Cofiaça para proporção p pq pˆ ~ N( p, ) Z pˆ p pq ~? N(,1) pˆ p P( z z) 1 pq,14,1,1,8,6,4 pq pq P( pˆ z p pˆ z, ) 1 pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ P( pˆ z p pˆ z ) 1 1 N(,1) - -z z P( z Z z) 1 IC para p 18
19 Itervalo de Cofiaça (Reumo) para N(,1) t 1 e é cohecida e é decohecida para 1 para p N(,1) N(,1) 1 e e ão cohecida para 1 - t 1 1 e e ão decohecida, ma 1 F 1, 1 1 para 1 t g para p 1 p N(,1) 1 e e ão decohecida, ma 1 19
20 Itervalo de Cofiaça (Reumo) Obervaçõe importate: O IC ão cotruído a partir de uma etatítica que relacioa o etimador potual ao eu parâmetro; Para e coeguir IC mai etreito, coervado-e o memo ível de cofiaça, deve-e aumetar o tamaho da amotra; Cao o IC eja utilizado para verificar e o parâmetro para o qual o IC foi cotruído tem um determiado valor, deve-e aceitar qualquer valor preete detro do itervalo, coiderado o ível de cofiaça adotado; Ex: e o IC para for P(,3 < < 43,8) =,95 pode er 3? pode er 1? pode er 45? SIM* SIM NÃO coiderado 95% de cofiaça ão e pode egar que ela eja 3 ou ão e pode afirmar que a verdadeira média ão eja 3
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Capítulo 5- Itrodução à Iferêcia estatística. 1.1) Itrodução.(184) Na iferêcia estatística, aalisamos e iterpretamos amostras com o objetivo de tirar coclusões acerca da população de ode se extraiu a amostra.
Nosso objetivo agora é estudar a média de uma variável quantitativa X. Denotamos a média desconhecida como E(X)=µ
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Obtemos, então, uma amostra aleatória de tamanho n de X, que representamos por X 1, X 2,..., X n.
Vamos observar elemetos, extraídos ao acaso e com reposição da população; Para cada elemeto selecioado, observamos o valor da variável X de iteresse. Obtemos, etão, uma amostra aleatória de tamaho de X,
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